Problemas de Mecânica e Ondas 1 P 1.1 ( Introdução à Física J. Dias de Deus et al., Mc Graw Hill, 2000) Considere uma rã a a saltar. a) Qual será o ângulo de lançamento preferido da rã? Porquê? b) Se, ao contrário das rãs, um animal estiver mais interessado em aumentar o seu tempo de voo do que em aumentar o alcance do salto (é o que acontece com os gafanhotos), deve saltar para o ar com um ângulo superior ou inferior a 45? c) Os gafanhotos saltam para o ar fazendo um ângulo de 55 com a horizontal, em geral. Qual a velocidade com que partem para um salto que tenha um alcance de 0,8m? a) 45 ; b) ângulo > 45 (tempo de voo maior); P 1.2 ( Introdução à Física J. Dias de Deus et al., Mc Graw Hill, 2000) Certos animais saltam dobrando as pernas de uma certa distância d ( distância de aceleração ) e estendendo-as muito rapidamente. Essa distância é depois usada para levantar voo, isto é, à custa da energia elástica dos músculos os animais adquirem uma certa velocidade, percorrendo essa distância com uma certa aceleração que podemos aproximadamente supor constante. A distância normal para levantar voo é, para uma mosca, d = 8 10 4 m e para um homem d=0,5 m (tudo depende da altura). a) Qual é a aceleração do lançamento de um salto humano, sabendo que, em média, a altura que um homem pode atingir é 1 m? b) Sabendo que o salto vertical de uma mosca atinge 0,1 m, determine a altura a que um ser humano poderia atingir com um salto se tivesse a possibilidade de saltar com a mesma aceleração de uma mosca. a) 19 ms -2 ; b) 62,5 m P 1.3. ( Introdução à Física J. Dias de Deus et al., Mc Graw Hill, 2000) Considerando os dados do problema anterior, calcule a energia que um homem com uma massa de 70 kg dispende num salto. a) E = mgd + (1/2)mv s 2 = mg(d+h) = 1029 J
P 1.4. ( Introdução à Física J. Dias de Deus et al., Mc Graw Hill, 2000) Uma bola de massa igual a 100g colide com uma parede, a uma altura de 2 metros, tendo no instante inicial do choque, uma velocidade horizontal de 10 m/s. Após a colisão, a bola vai cair a uma distância de 4 m da parede (ao nível do chão). a) Desprezando o atrito no ar entre o momento do choque a o momento em que abola atinge o solo, calcule a perda de energia no choque. b) Se o mesmo choque se tivesse efectuado na Lua, em que ponto depois do choque iria cair a bola? (massa da Lua: 7,36 10 kg, raio médio da lua: 1,74 10 m). a) E = 3 J ; b) 9,8 m P 1.5. ( Introdução à Física J. Dias de Deus et al., Mc Graw Hill, 2000) Um homem de 70 kg sobe 3 m (de altura) de escadas em dois segundos. a) Qual o trabalho que realiza a subir as escadas? b) Qual a potência média que ele dissipa nesse exercício? a) 2060 J ; 1030 W.
Problemas de Mecânica e Ondas 2 P 2.1. Determine a função de Lagrange do um pêndulo duplo oscilante num plano com massas m 1 e m 2 (ver figura) e comprimentos, respectivamente, 1 e 2. P 2.2. Determine a função de Lagrange do um pêndulo plano de massa m 2 cujo ponto de suspensão de massa m 2 pode deslocar-se sobre uma recta horizontal (ver figura) P 2.3 A máquina de Atwood é composta por duas massas diferentes, suspensas nas extremidades de um fio inextensível, nos dois lados de uma roldana de massa desprezável. A roldana pode girar livremente, de forma que a massa de valor mais elevado (m 1 ) desce e a massa de valor mais baixo (m 2 ) sobe devido à respectiva diferença de pesos. d) Quantos graus de liberdade tem o sistema? Escreva a função de Lagrange do sistema considerando que as duas massas iniciam o seu movimento colocadas à mesma altura. e) Deduza a equação diferencial que descreve o movimento das massas partindo da equação de Lagrange. a) 1 grau de liberdade (x). b)
P 2.4 ( Física para Engenheiros M. Rogalski, A. Ferraz, Escolar Editora, 2011) Considere a máquina de Atwood, descrita no problema anterior, pendurada num dos braços da balança representada na figura. Se bloquear a roldana o sistema pendurado na balança é equilibrado por uma massa. Determine o sentido de inclinação da balança no caso em que a roldana é desbloqueada. No caso em que a roldana está bloqueada, a força aplicada no lado esquerdo da roldana é dada por. A balança está equilibrada. Quando a roldana é desbloqueada, a tensão no fio altera-se sendo o respectivo módulo dado por ou (podemos utilizar o resultado de no problema anterior ou resolver o sistema de equações, obtendo simultaneamente e ). De acordo com a figura, a diferença de forças entre o braço esquerdo e o braço direito da balança será dada por: Logo a balança desiquilibra-se para o lado direito. P 2.5. ( Física para Engenheiros M. Rogalski, A. Ferraz, Escolar Editora, 2011 ) Uma esfera de massa M e raio R rola sem deslizar ao longo de um plano de inclinação a) Determine a energia cinética e a energia potencial do sistema (despreze as forças de atrito). (Momento de inércia da esfera ) b) Escreva a função de Lagrange do sistema e determine a aceleração do movimento da esfera. c) Mostre que a aceleração diminui no caso de existir no interior da esfera uma cavidade esférica concêntrica de raio. a) ; b) ; c)
P 2.6. ( Física para Engenheiros M. Rogalski, A. Ferraz, Escolar Editora, 2011) Considere duas massas m 1 e m 2 suspensas nas extremidades de um fio inextensível, de massa desprezável que passa por uma roldana de massa M e raio R (momento de inércia da roldana ). Escreva a função de Lagrange do sistema e determine a aceleração do movimento. (arbitrando como zero da energia potencial o ponto em que as duas massas se encontram à mesma altura) P 2.7. ( Física para Engenheiros M. Rogalski, A. Ferraz, Escolar Editora, 2011) Um cilindro homogéneo de massa M e raio R pode rolar sem deslizar ao longo duma cunha fixa de inclinação. Um fio inextensível com uma extremidade fixa no topo da cunha (ponto A), enrolado em torno do cilindro passa por uma roldana de massa desprezável e tem um corpo de massa m pendurado na outra extremidade. c) Escreva a função de Lagrange do sistema utilizando a coordenada x representada na figura (sugestão: repare que, nas condições do problema, quando a massa m se desloca de uma altura x, a massa M desloca-se de um comprimento x/2 ao longo do plano inclinado). d) Escreva a equação do movimento do corpo m e determine a sua solução. e) Calcule o ângulo necessário para que o sistema permaneça em equilíbrio. a) b) problema. c) Condição de equilíbrio: corresponde a ; A e B são determinados pelas condições iniciais do O equilíbrio é possível apenas na condição Note que esta condição de equilíbrio corresponde a (mínimo da energia potencial).