CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI

CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO APOSTILA 13

Parabéns!!! Você já é um vencedor! Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da arte matemática que elaboramos o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes de matemática da forma mais clara possível. Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará ferramentas matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e facilitála. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na sua vida. Uma parte fundamental dessa apostila são os Exercícios. Não se aprende matemática apenas lendo um texto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e papel resolvendo exercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os exercícios de cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os exercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudálo. No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante. Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio. Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo. Página 2

Matrizes A matriz não é encontrada apenas no estudo da matemática, mas também na engenharia, informática, tabelas financeiras, e dentre outras. Podemos dizer que uma matriz é uma tabela com colunas (vertical) e linhas (horizontal). Então chamamos de matriz toda tabela m x n sendo que m e n podem assumir qualquer valor natural menos o zero. Sendo que m é o número de linhas e n o número de colunas. Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, chaves ou entre duas barras duplas, veja alguns exemplos: Observe que em cada matriz dos exemplos acima tem ao lado indicando o número de linhas e o de colunas da matriz, o primeiro exemplo esta indicado 2 x 3 que lê assim a matriz é de ordem dois por três. E cada número pertencente a uma matriz é o seu elemento. Se pegarmos uma matriz qualquer de ordem m x n, como iríamos representá-la? Cada elemento de uma matriz pertence a uma linha e uma coluna. Dada a matriz de ordem 3 x 2: O elemento - 5 pertence a 1ª linha e a 1ª coluna. O elemento 2 pertence a 2ª linha e 2ª coluna. Página 3

Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2 onde não temos seus elementos definidos, representamos da seguinte forma: a 11 ; a 21 ; a 12 ; a 22 são elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas). Então o elemento a 21 pertence a 2ª linha e 1º coluna. Exemplo 1: Na matriz: temos Exercício 1: Observe as matrizes e depois complete com os termos que se pede: B= a 11= a 12= a 21= a 22= C= a 11= a 12= a 21= a 22= a 31= a 32= Página 4

Exercício 2: Construa uma matriz 4X2 e outra 3X4: Exemplo 2: Escreva a matriz A = (ai j) 2 x 3 tal que ai j = 2i + j. A matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos escrevê-la assim: Agora os números que ocuparam o lugar de: a 11, a 21, a 12, a 22, a 13 e a 23, irão depender da equação dada no enunciado: ai j = 2i + j. Então iremos calcular cada elemento sabendo que: i é a linha que o elemento pertence. j é a coluna que o elemento pertence. a 11 = 2. 1 + 1 a 21 = 2. 2 + 1 a 11 = 3 a 21 = 5 a 12 = 2. 1 + 2 a 22 = 2. 2 + 2 a 12 = 4 a 22 = 6 a 13 = 2. 1 + 3 a 23 = 2. 2 + 3 a 13 = 5 a 23 = 7 Então os elementos que pertencem a matriz A são: Exercício 3: Escreva a matriz B= (b ij ) 3 x 3 tal que b ij = i+j. Exercício 4: Escreva a matriz C= (c ij ) 3x 2 tal que c ij =3 i+j. Página 5

Tipos de Matrizes Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características específicas. Matriz linha Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. Por exemplo: 1 x 3 Matriz coluna Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente. Por exemplo: 5 x 1 Matriz nula Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo: Podendo ser representada por 0 3 x 2. Matriz quadrada Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo: Página 6

Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal. Matriz diagonal Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo: Matriz identidade Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo: Página 7

Exercício 5: Classifique os tipos das matrizes a seguir: B= Exercício 6: Agora, faça você um exemplo de matriz diagonal e outro de matriz nula: Matriz oposta Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz: A matriz oposta a ela é: Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos. Página 8

Exercício 7: Dada a matriz A, faça a matriz oposta a ela. A= -A= Matriz Transposta Dada uma matriz A, chamamos de matriz transposta de A à matriz obtida de A trocando-se, ordenadamente, suas linhas por colunas. Indicamos a matriz transposta de A por At. Exemplos : Exercício 8: a) Dada a matriz B, complete com sua transposta: B t B= B t = b) Dada a matriz C, complete com sua transposta: C t C= C t = c) Dada a matriz D, complete com sua transposta: D t D= D t = Página 9

Matrizes iguais ou igualdade de matrizes Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais. As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais. Outro exemplo: Determinar os números reais x e y de modo que as matrizes A e B sejam iguais, dadas: A= B= Inicialmente, observamos que os elementos de valor conhecido e de mesma posição são iguais. Sendo A=B, podemos formar o sistema de equações: Resolvendo o sistema, vamos isolar o x na equação II: x=5-y e substituí-lo na equação I: 5(5-y) - 2y = 4 25 5y 2y = 4-7y = 4 25-7y = -21 Y = Y = 3 Como x = 5 y; então X = 5 3 x = 2 Exercício 9: Determine os números reais x e y em cada caso: a) = b) = Página 10

Adição de matrizes As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem. Assim podemos concluir que: Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a 11 + b 11 = c 11. Exemplos: Dada a matriz A= 3 x 3 e matriz B= 3 x 3, se somarmos a A + B, teremos: Observe os elementos em destaques: + = 3 x 3 a 13 = - 1 e b 13 = - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o c 13 = -6. Pois -1 + (-5) = -1 5 = - 6 O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c 32, tivemos que somar a 32 + b 32. Pois, 3 + (-5) = 3 5 = - 2 Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B. Subtração de matrizes As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem. Assim temos: Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a 21 b 21 = c 21. Exemplos: Dada a matriz A = 3 x 3 e B = 3 x 3, se subtrairmos A B, teremos: - = 3 x 3 Observe os elementos destacados: Quando subtraímos a 13 b 13 = c 13, -1 (-5) = -1 + 5 = 4 Quando subtraímos a 31 b 31 = c 31, - 4 (-1) = -4 + 1 = -3 Assim A B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B. Página 11

Multiplicação de número real por matriz MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO RE A multiplicação de uma matriz por um número real funciona da seguinte forma: considerando uma matriz qualquer C de ordem mxn e um número real qualquer p. Quando multiplicamos o número real p pela matriz C encontraremos como produto outra matriz p.c de ordem mxn e seus elementos é o produto de p por cada elemento de C. Veja o exemplo: Dada a matriz C = e o número real p = 3. O produto p. C será: p. C = p. C = p. C = Vamos realizar mais algumas multiplicações, a fim de fixar os métodos utilizados nesse tipo de operação. Dada as matrizes : e, a) Determine: 2A + 3B Página 12

b) 7A 6B Exemplo 4: Dada as matrizes A =, B =, C = calcule: 3A + 2B 5C Portanto, 3A + 2B 5C =. Exercício 10: Dadas as matrizes A =, B= e C=, determine: a) A + B b) B C c) 2A + B d) 3A C e) 2A + 2B Página 13

Multiplicação de matrizes Entre as propriedades mais importantes está a multiplicação de matrizes. Antes de multiplicarmos duas matrizes devemos verificar se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda, sendo registrada a igualdade podemos realizar a operação. A multiplicação consiste em uma regra prática geral, observe passo a passo como deve ser feita a multiplicação. Devemos sempre multiplicar na seguinte ordem: linha x coluna. Observe o exemplo: Exemplo 1: Observe que a multiplicação somente foi efetuada porque o número de coluna da 1ª matriz é igual ao número de linhas da 2ª. Outra característica importante que deve ser analisada é que a matriz produto possui o mesmo número de linhas da 1ª e o mesmo número de colunas da 2ª. Exemplo 2: Em uma confecção são produzidos três modelos de calças: A, B e C. Sendo usado dois tipos de botões G (grande) e M (médio). O número de botões usado por modelo de calça é dado pela seguinte tabela: O número de calças produzidas nos meses de novembro e dezembro é fornecido pela tabela a seguir: Página 14

De acordo com os dados fornecidos, calcule a quantidade de botões gastos nos meses referidos. O cálculo da quantidade de botões pode ser efetuado multiplicando as duas tabelas, pois elas constituem uma multiplicação entre matrizes. Exemplo 3: Exercício 11: Efetue as multiplicações: a) b) c) Página 15

Exercício 12: Calcule A.B e B.A dadas as matrizes: A= B= determinantes Determinante é o valor numérico de uma matriz quadrada (que tem o mesmo número de linhas e de colunas). Determinantes de matrizes de ordem 1 Matriz de ordem 1 é uma matriz que possui apenas uma linha e uma coluna. Por exemplo: A = (1) B = [-5] O valor do determinante desse tipo de matriz é o próprio elemento da matriz de ordem 1, assim podemos concluir que o determinante das matrizes A e B serão: det A = 1 = 1 det B = -5 = -5 OBSERVAÇÃO: As duas barras que limitam os elementos de um determinante não devem ser considerados módulos, é apenas um símbolo que representa os determinantes. Determinantes de matrizes de ordem 2 Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, basta multiplicar os elementos da diagonal principal e diminuir pelo produto dos elementos da diagonal secundária. Dada uma matriz de ordem 2: Página 16

O seu determinante será = a 11. a 22 a 21. a 12. Exemplo: Dada a matriz B de ordem 2x2 Calcule o seu determinante: = -3. 0 1. 2 = 0 2 = -2, portanto det B = -2 Determinantes de matrizes de ordem 3 O cálculo do determinante de matriz de ordem 3 é feito utilizando um processo diferente. Veja como é feito. Dada a matriz A de ordem 3x3 seguinte forma:, o seu determinante será calculado da Escrevemos o seu determinante, repetindo as duas primeiras colunas à direita da matriz A: Agora devemos multiplicar os elementos conforme o esquema montado abaixo, sabendo que os produtos da direita conservaram os sinais e os produtos da esquerda inverteram os sinais, veja: Depois de ter feito as multiplicações devemos somar os seus produtos. det A = 0 40 + 0 15 + 0 4 = -59, portanto det A = -59 Esse processo é chamado de regra de Sarrus. Página 17

Exercício 13: Calcule o determinante das seguintes matrizes: a) b) j) k) c) d) l) e) m) f) n) g) o) h) i) p) Página 18

Gabarito Exercício 1: B= a 11= 3 a 12= 1 a 21= -2 a 22= 4 C= a 11= 1 a 12= 0 a 21= 2 a 22= -1 a 31= 3 a 32= -2 Exercício 2: (escolha pessoal) 4 linhas x 2 colunas 3 linhas x 4 colunas Exercício 3: Exercício 4: Exercício 5: A= matriz quadrada B= matriz coluna A= matriz linha 0= matriz nula C= matriz quadrada I= matriz identidade Exercício 6: (pessoal) Exercício 7: Exercício 8: a) B t = b) C t = c) D t = Página 19

Exercício 9: a) x =1; y = 1 b) x = 6; y = 4 Exercício 10: a) c) e) b) d) Exercício 11: a) b) c) Exercício 12: A.B= B.A= Exercício 13: a) 5 b) c) 8 d) -3 e) -13 f) 1 g) -6 h) 10 i) 19 j) 13 k) -5 l) 17 m) 7 n) 153 o) 20 p) 0 Página 20

Bibliografia Os textos e os exercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros: Telecurso 2000 Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo: Editora Globo, 2000. Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, 2000. Matemática: Contexto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. - São Paulo: Ática,1999. Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, 1994. Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. São Paulo: Moderna, 1999. Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo Bucchi. São Paulo: Moderna, 1998. Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos Machado. São Paulo: Atual, 1986. Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. São Paulo: Editora do Brasil, 2002. A Conquista da Matemática Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, 1998. Página 21

Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos professores da Área de Matemática do CEEJA Max Dadá Gallizzi, com base nos livros didáticos descritos na Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e teorias, ora criando com base nos conteúdos observados. Professores Ednilton Feliciano Francis Mara C. Sirolli Paulo Teles de Araújo Jr Satie Sandra Soares Taira 2010 Página 22