Questão 1: Um carro viaja atrás de um caminhão lento, ambos com velocidade constante v 1, em uma estrada de mão dupla. A distância do carro até a dianteira do caminhão é d. Em um dado instante, o carro entra no início de uma reta e seu motorista avista um seundo carro vindo na direção oposta à velocidade constante v 2, a uma distância D. O motorista do primeiro carro imprime ao carro uma aceleração constante a para realizar a ultrapassaem. Qual é o valor mínimo de a para que a ultrapassaem seja bem-sucedida? Despreze o comprimento dos carros. Sua resposta deve estar e função de v 1, v 2, d e D. Tomando t = 0 s o início da arrancada para a ultrapassaem e x = 0 m sua posição nesse instante, as posições do carro que realiza a ultrapassaem [x carr1 (t)], da dianteira do caminhão [x cam (t)] e do seundo carro [x carr2 (t)] são, respectivamente: A ultrapassaem irá acontecer no instante t c, dado por: x carr1 (t) = v 1 t + 1 2 at2 x cam (t) = d + v 1 t x carr2 (t) = D v 2 t As coordenadas dos dois carros neste instante são: x carr1 (t c ) = x cam (t c ) v 1 t c + 1 2 at2 c = d + v 1 t c 1 2 at2 c = d t c = a. x carr1 (t c ) = d + v 1 a x carr2 (t c ) = D v 2 a Para que a ultrapassaem seja bem-sucedida o carro 1 não pode atinir o carro 2. Assim, x carr1 (t c ) < x carr2 (t c ). Portanto, Loo: d + v 1 a < D v 2 a. a > 2 ( v1 + v ) 2 2 d. D d
Questão 2: Um projétil é disparado para cima na direção de um plano inclinado com inclinação φ (com a horizontal), com uma velocidade inicial v i com uma inclinação θ com a horizontal (θ > φ), como mostrado na fiura abaixo. Mostre que o projétil percorre uma distância d até a rampa, em que d = 2v2 i cos(θ) sen(θ φ) cos 2 (φ) Nota: sen(a b) = sen(a)cos(b) cos(a) sen(b) Trajetória do Projétil Primeiramente temos que decompor o vetor velocidade inicial: v i = v i cos(θ)î + v i sen(θ) ĵ. Observe também que o vetor deslocamento d é dado por: d = d cos(φ)î + d sen(φ) ĵ. Na direção x, o movimento do projétil é dado por: enquanto em y temos x(t) = v i cos(θ)t, y(t) = v i sen(θ)t 1 2 t2. Observe que podemos encontrar/ obter uma expressão para y(x): Assim a expressão y(x) fica: Observe que quando y = d sen(φ), x = d cos(φ). Portanto, x = v i cos(θ)t t = x v i cos(θ). x 2 y(x) = xt(θ). d sen(φ) = d cos(φ)t(θ) d 2 cos 2 (φ) sen(φ) = cos(φ)t(θ) d cos 2 (φ) d cos 2 (φ) = cos(φ) t(θ) sen(φ) d = 2v 2 i cos 2 (φ) cos2 (θ)[cos(φ)t(θ) sen(φ)] d = 2v 2 i cos 2 cos(θ)[cos(φ) sen(θ) sen(φ)cos(θ)] (φ) d = 2v2 i cos(θ) sen(θ φ) cos 2 (φ)
m 1 m 2 CENTRO UNIVERSITÁRIO NORTE DO ESPÍRITO SANTO Questão 3: Dois blocos de massas m 1 e m 2 são colocados em contato sobre uma mesa horizontal áspera. O bloco de massa m 1 ainda encontra-se conectado a um terceiro bloco de massa, conforme é mostrado na fiura abaixo. O sistema desliza para direita e o coeficiente de atrito cinético entre os blocos m 1 e m 2 com a mesa vale µ. a) Faça um diarama de corpo livre para os três blocos. N 1 T N 2 T m 1 m 2 f c1 C 21 C 12 f c2 m 1 m 2 b) Encontre o módulo da aceleração do sistema. Para o bloco de massa m 1 temos: - Na direção y, o sistema encontra-se em equilíbrio e portanto: N 1 m 1 = 0 Dessa forma, o módulo da força de atrito é f c1 = µn 1 = µm 1. - Na direção x: Procedendo de maneira análoa ao bloco m 1, para m 2 temos: N 1 = m 1. F x = m 1 a T C 21 f c1 = m 1 a. - Na direção y: N 2 = m 2. Dessa forma, o módulo da força de atrito é f c2 = µn 2 = µm 2.
- Na direção x: F x = m 1 a C 12 f c2 = m 2 a. Para temos: - Na direção y: F y = a T = a. Lembrando que C 12 = C 21 = C, temos o seuinte sistema de equações: Assim, resolvendo o sistema acima obtemos: c) Determine o módulo da tensão no fio. A tensão no fio é dada por: T C µm 1 = m 1 a C µm 2 = m 2 a T + = a µ(m 1 + m 2 ) + = (m 1 + m 2 + )a a = µ(m 1 + m 2 ) (m 1 + m 2 + ) T = ( a) [ T = m ] 3 µ(m 1 + m 2 ) (m 1 + m 2 + ) [ ] m3 (m 1 + m 2 ) T = (1 + µ) m 1 + m 2 +
Questão 4: Quando um avião viaja com velocidade constante na horizontal, suas turbinas ou hélices sentem uma força horizontal para frente. A atuação do ar no corpo e nas asas do avião exerce uma força com uma componente na horizontal para trás, que é uma força de atrito, e outra componente ( E) vertical e para cima que sustenta o avião. Nessas condições, responda: a) Porque o avião não conseue fazer uma curva na horizontal sem inclinar as asas? Porque nesse caso não há nenhuma força na lateral do avião. b) De que ânulo as asas devem ser inclinadas para que o avião realize uma curva horizontal de raio R (ver fiura)? E θ m Analisando a fiura, é possível notar as forças que têm componentes na vertical que atuam sobre o avião. A força E é denominada de empuxo do ar sobre o avião. Sua componente vertical sustenta o avião no ar, equilibrando com se peso m. Assim: E y m = 0 E cos(θ) = m E = m cos(θ). A componente horizontal de E era a aceleração centrípeta do avião que o força a realizar a curva. Desse modo, podemos escrever: F x = ma c E x = ma c E sen(θ) = m v2 R mt(θ) = m v2 R t(θ) = v2 R ( ) v 2 θ = arct R