E X E Í I O S. Na figura abaio estão representadas os vetores A, B e. Determine, em termos de vetores unitários, e como um módulo, direção e sentido os vetores resultantes : Dados módulo dos vetores: A = 9 cm; B = 8 cm; = 6 cm a) A B b) A c) B d) AB ESPOSTA: a). = (,7i ˆ + 7,5j)cm; ˆ 7,5cm y 87,87º b). = (,79i ˆ-,7j)cm; ˆ,8cm y 8,º c). = (-,5i ˆ-, 6j)cm; ˆ,8cm y,6º d). = (-,7i ˆ +,j)cm; ˆ, cm y 6,77º
. orpos neutros podem ser atraídos por uma barra eletrizada. omo isso é possível? : Devido ao fenômeno de indução ou polarização. (a) Uma barra de vidro positivamente carregada atrai um objeto suspenso por um fio não condutor. Podemos concluir ue o objeto está com carga negativa? (b) Uma barra de vidro positivamente carregada repele um objeto também suspenso por um fio não condutor. Podemos concluir ue esse objeto está positivamente carregado? :(a) não, pois ele pode estar neutro. :(b) sim, pois só ocorre a repulsão em corpos com cargas de sinais iguais.. Eperiências eletrostáticas simples, como atrair pedaços de papel com barras eletrizadas, não funcionam tão bem em dias chuvosos (alta umidade relativa do ar) como nos dias secos (baia umidade do ar). Por uê? :Quanto maior a umidade mais condutor se torna o ar, conseuentemente o corpo perde cargas elétricas rapidamente para o meio eterno. 5. aminhões de transporte de combustível às vezes são dotados de corrente penduradas na etremidade traseira, ue se arrastam pelo solo. Qual o motivo deste procedimento? :azer o aterramento evitando o armazenamento de carga elétrica no caminhão. 6. Um elétron (carga = - e) gira ao redor de um núcleo de hélio (carga = + e) em um átomo de hélio. A força elétrica ue o elétron eerce sobre o núcleo é maior, menor ou igual à força elétrica ue o núcleo eerce sobre o elétron? :A força elétrica terá o mesmo valor, pois ela depende do produto entre as cargas e não de apenas uma delas. 7. O esuema abaio mostra três cargas puntiformes fias, no vácuo. Determine o módulo, a direção e o sentido da força elétrica resultante: (a) Que atua na carga Q (b) Que atua na carga Q. Q =6 Q = 6 Q = m m horizontal a) Inicialmente devemos repersentar as duas forças ue atuam em. omo as duas forças têm a mesma direção e sentidos contrários a força resultante tem um valor ue é dado pela diferença entre as duas forças e o sentido no sentido de maior valor. Todas as grandezas devem estar no S.I. 9 6 6 K,96 N 9 6 6 d 9 6 K,8N 9 6 6 d
, 96, 8, 78N é a força resultante na direção horizontal e sentido para a direita. b) A resolução é feia de maneira semelhante ao item (a).omo as duas forças têm a mesma direção e sentido, a força resultante tem um valor ue é dado pela soma entre as duas forças. Todas as grandezas devem estar no S.I. 9 6 K,8N 9 6 6 d 6 9 6 K,8N 9 6 6 d, 8, 8, 6N é a força resultante na direção horizontal e sentido para a direita. 8. A figura abaio mostra duas cargas, e, mantidas a uma distância fia d uma da outra. (a) Qual é o módulo da orça eletrostática ue atua sobre? Suponha = =, e d =,5 m. (b) Uma terceira carga =, é trazida e colocada na posição mostrada na ig.b. Qual é agora o módulo da força eletrostática ue atua sobre? d,5m a),6 N 6 9 8,99 K r,5 b) omo a distância entre a carga e a carga é a mesma do item a, e o valor da carga é igual, temos ue o módulo da força individual de cada carga é o mesmo, no entanto temos agora duas forças atuando na carga e, portanto, a força resultante será: cos6,6,6,6,6 cos6 o o,77n 9. Duas esferas condutoras idênticas e isoladas, e, possuem uantidades iguais de carga e estão separadas por uma distância grande comparada com seus diâmetros (figura a). A força eletrostática
ue atua sobre a esfera devida à esfera é. Suponha agora ue uma terceira esfera idêntica, dotada de um suporte isolante e inicialmente descarregada, toue primeiro a esfera (figura b), depois a esfera (figura c) e, em seguida, seja afastada (figura d). Em termos de, ual a força eletrostática ' ue atua agora sobre a esfera? : ' = /8 Inicialmente temos ue: K K d devemos determinar a carga final de cada esfera após os contatos. omo as esferas são idênticas, cada esfera ficará com metade da carga total em cada contato. após o primeiro contato ( e ) temos ue: ' ' após o segundo contato ( e ) temos ue: ' '' portanto: ' ' ' K K K ' 8 d d 8 d d. Três partículas carregadas, localizadas sobre uma linha reta, estão separadas pela distância d, como mostra a figura abaio. As cargas e são mantidas fias. A carga, ue é livre para mover-se, encontra-se em euilíbrio (nenhuma força eletrostática líuida atua sobre ela). Determine em termos de. K K d d omo as forças possuem sentidos opostos, as cargas também devem possuir sinais opostos.
. As cargas e se encontram sobre o eio dos, nos pontos = -a e =+a, respectivamente. (a) ual deve ser a relação entre e para ue a força eletrostática líuida sobre a carga + Q, colocada no ponto = +a/, seja nula? (b) epita o item (a) com a carga +Q colocada no ponto =+a/. a) K Q Q Q Q K a a 9 b) K Q Q Q Q K a a a 5 omo as forças possuem sentidos opostos, as cargas também devem possuir sinais opostos 5. Na figura abaio, uais são os componentes horizontal e vertical da força eletrostática resultante ue atua sobre a carga no vértice inferior esuerdo do uadrado, sendo =, -7 e a = 5, cm? d a a diagonal do uadrado d 7, 7cm inicialmente devemos representar as três forças ue atuam na carga considerada. 7 7 9, K 8,99, 7N a 5 K 8,99 a 7 9, 5 7,N 7 7 9, K 8,99, 6N d 5 Temos ue decompor a força em suas componentes e y. cos 5,6,77,5N sen5 o y omo temos agora uatro forças, somamos as forças nas mesmas direções e depois usamos o teorema de Pitágoras para achar a resultante, com isso, temos o
, 5,,69N h,7,5,7n v y se uisermos encontrar o módulo da força resultante, temos:,69, 7 h v,9n. Duas cargas puntiformes livres + e + estão a uma distância L uma da outra. Uma terceira carga e colocada de tal modo ue todo o sistema fica em euilíbrio. Determine a posição, o módulo e sinal da terceira carga. A única maneira de todo o sistema ficar em euilíbrio, ou seja, cada uma das cargas estar sob ação de duas forças de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos é se uma carga negativa for colocada entre as cargas e. Usando a condição de euilíbrio na carga temos ue: L K K K K usando a condição de euilíbrio na carga L L temos ue: K K K K L L como a carga é negativa, temos 9 L A carga deve ser colocada entre e, a uma distância de. Uma carga Q é dividida em duas partes e (Q ), ue são, a seguir, afastadas por certa distância entre si. Qual deve ser o valor de em termos de Q, de modo ue a repulsão eletrostática entre as duas cargas seja máima. Q Q K K r Quando a força for máima a sua derivada em relação a carga será nula. d Q Q K Q d r r omo a derivada segunda da força em relação à carga é negativa, podemos afirmar ue a força será máima uando dividirmos a carga total ao meio. 5. Duas peuenas bolas condutoras idênticas, de massa m e carga, estão suspensas por fios não condutores de comprimento L como mostra a figura. Suponha tão peueno ue tan possa ser substituída por sen com erro desprezível. (a) Mostre ue, para o euilíbrio, L mg /, 9
Onde é a separação entre as bolas. (b) Sendo L = cm, m = g, e = 5, cm. Qual o valor de? a) Inicialmente devemos representar as forças ue atuam em uma das cargas. omo cada bola está em euilíbrio a resultante das forças em cada eio e y será nula. Tsen considerando: tg y T cos mg mg mas tg sen mgsen mas tg sen mgsen / sen e L L 8 mg L mg mg L L b) L substituindo os valores em mg temos:, 6. Um nêutron consiste em um uark up de carga +e/ e dois uarks down cada um tendo carga de e/. Se os uarks down estiverem a uma distância de,6-5 m um do outro, dentro do nêutron, ual será o módulo da força eletrostática entre eles?
() e () e r,6 K r 5 9 8,99 e e,6 5 m 9 9, 6,79N 5,6 7. Qual deve ser a distância entre dois prótons pra ue o módulo da força eletrostática atuando sobre ualuer um deles seja igual ao seu peso na superfície da Terra? Massa do próton =,67-7 kg. P mg K 7,67 9,78 9 9 8,99, 6 6, 6 r 6 r r,m r cm 8. As linhas de campo elétrico nunca se cruzam. Por uê?, 6 : se as linhas de força pudessem se cruzar, nos pontos de cruzamento teríamos duas tangentes diferentes, uma para cada linha ue se cruza. Em outras palavras, em tal ponto do espaço teríamos duas direções diferentes para o mesmo campo elétrico, o ue é absurdo. 9. Duas cargas puntiformes de módulos e sinais desconhecidos estão separadas por uma distância d. O campo elétrico é nulo num ponto do segmento ue une as cargas. O ue se pode concluir sobre essas cargas? : Para ue o campo seja nulo em um ponto entre as cargas, as mesmas devem ser de mesmo sinal.. Duas cargas puntiformes de sinais e módulos desconhecidos estão fias sobre um eio a uma distância L uma da outra. Podemos ter E = para pontos fora do eio (ecluindo o infinito)? Epliue. : Não, uma vez ue em nenhum ponto os vetores campo elétricos irão se cancelar. ora do eio, os campos gerados elas duas cargas terão direções diferentes. Dois vetores com direções diferentes, mas podem ter a resultante nula.. Duas cargas, uma positiva e outra negativa, de módulos iguais, estão situadas sobre uma linha reta. Qual a direção e o sentido do campo elétrico criado por essas cargas em pontos sobre a linha, e ue estejam (a) entre as cargas, (b) fora da região entre as cargas e próimos da carga positiva, e (c) fora da região entre as cargas e próimos da carga negativa? (d) Qual a direção e o sentido de E para pontos fora da linha e no plano mediano das cargas? a) Os campos gerados pelas duas cargas estarão no sentido da carga positiva para a negativa, portanto, o sentido do campo resultante será da carga positiva para a negativa. A direção é a mesma da linha. b) Os campos gerados pelas duas cargas terão sentidos opostos, sendo ue o valor do campo gerado pela carga positiva será maior ue o valor da carga negativa neste caso. Portanto, o
sentido do campo resultante será o mesmo do campo gerado pela carga positiva, ou seja, de afastamento da carga positiva. A direção é a mesma da linha. c) om uma análise semelhante ao item (b) podemos perceber ue o campo resultante terá um sentido de aproimação da carga negativa. A direção é a mesma da linha. d) Basta representarmos os campos gerados pelas duas cargas num ponto fora da linha e no plano mediano das cargas para percebermos ue o campo resultante será paralelo a linha e terá sentido da carga positiva para a carga negativa. Observe ue os dois vetores tem o mesmo valor para estes pontos, portanto, devem ser representados por setas com o mesmo tamanho.. Qual é o modulo de uma carga puntiforme cujo campo elétrico, a uma distância de 5 cm, tem módulo igual a, N/?? r 5cm E, N / E Er K o r 5,6 K 5 8,99. Seja E o módulo do campo elétrico, gerado por uma carga puntiforme Q, e r a distância da carga até um ponto. epresente os seguintes gráficos: a) E Q ; b) E r; c) E ( / r ). r 9. O esuema abaio mostra duas cargas fias, no vácuo. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico resultante: : a) zero; b),5 8 N/, na direção horizontal e sentido para a direita. a) No ponto A. b) No ponto B. Q = 6. - 6 A Q = 6. - 6 B cm cm cm horizontal 6 6 a) ET E E K 8,99 r r E N / T 6 6 9,,
6 6 b) ET E E E E E K 8,99 r r E T 6 6 9 T 8,5 N /, na direção horizontal e sentido para a direita 8,, 5. Duas cargas puntiformes de módulos Q =, -7 e Q = 8,5-8 estão separadas por uma distância de cm. (a) Qual o módulo do campo elétrico ue cada uma cria no local onde está a outra? (b) Qual o módulo da força ue atua sobre cada uma delas? 7 8,5 r cm 8 a) 7 9 E K 8,99 5 N / o r r 8 9 8,5 E K 8,99 5, N / o r r b) E E 5 8,5, 6 8 6. Duas cargas iguais, mas de sinais postos (de módulo, -7 ) são mantidas a uma distância de 5 cm uma da outra. (a) Quais são o módulo, a direção e o sentido de E no ponto situado a meia distância entre as cargas? (b) Qual o módulo, a direção e o sentido da força ue atuaria sobre um elétron colocado nesse ponto? N 7 r 5cm 7 a) ET E E K r r E T E T 7 7 9 8,99 6 N / na direção da carga negt a iva 7,5 7,5
b) E 6, 6 T 9, N na direção na carga positiva 7. Na figura abaio, localize o ponto (ou os pontos) onde o campo elétrico resultante é nulo. (b) Esboce, ualitativamente, as linhas do campo elétrico. 5 r a E próimo de E 5 r r a a 5 a E 5 a 5 a a,7 a 5 8. Na figura abaio, as cargas +, e, estão fias a uma distância d uma da outra. (a) Determine E nos pontos A, B e. (b) Esboce as linhas do campo elétrico. a) EA E E EA E E K K r r d d E T K K para a esu r. e da d d
b) EB E E E E E K K B r r d d K K EB para a direita. d d 7K c) E, para a esuerda. d 9. Duas cargas =, -8 e = - estão fias a uma distância de 5 cm uma da outra. Determine, ao longo da linha reta ue passa pelas duas cargas, o ponto onde o campo elétrico é zero. Para ue o campo elétrico resultante seja nulo, os campos gerados pelas duas cargas devem ter mesma direção, mesmo módulo e sentidos opostos, portanto o ponto deve estar fora do segmento ue une as cargas e mais próimo da carga de menor módulo ( ). E E K K, 8, d d,5,5m 8 8 O campo elétrico resultante será nulo num ponto fora do segmento ue une as cargas a uma distância de,5 m de e a, m de.. Na figura abaio, ual o campo elétrico no ponto P criado pelas uatro cargas mostradas? Onde = +5, = +5, = + e = -, Inicialmente devemos representar no ponto P os campos gerados para cada uma das uatro cargas. Em seguida determinamos o valor de cada campo neste ponto. K E E 5 d K E d K K E d d
Os campos gerados pelas cargas e têm a mesma direção, mesmo módulo e sentidos opostos, portanto se anulam. O mesmo acontece com os campos gerados por e, portanto o campo resultante no ponto P é nulo.. Determine o módulo do campo elétrico no ponto P da figura abaio. Adote a 6 6, m Por simetria vemos ue as contribuições das duas cargas = = +e se cancelam, então calculamos apenas a contribuição de = +e. A magnitude do campo elétrico é: e e e ET r a Este campo aponta em 5, em relação ao eio. ( a / ). Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no centro do uadrado da figura abaio, sabendo ue =+, -8, =-, -8, =+, -8 e = -, -8 e a = 5, cm.
Adotamos o centro do uadrado como sendo o ponto zero de nosso sistema cartesiano. pelas cargas e passa o eio e pelas cargas e passa o eio y. a om isso a distância de cada carga até o ponto de interesse é d. com isso: 9 8 9 E K K 7,9 N / a / a / a /,5 / de mesma forma temos 9 a / a / a /,5 / O módulo do campo é dado por: 9 8 Ey K K 7,9 N / 5 y 7, E E E o ângulo feito com o eio é: E E y o tan tan 5 9 7,9, N /. Um elétron é liberado a partir do repouso num campo elétrico uniforme de módulo, N/. alcule a aceleração do elétron. (Ignore a gravidade.) m e = 9, - kg. m 9, kg e e,6 E N / 9 9 7 E, 6, N 7, ma a,5 m / s m 9,. Ar úmido sofre ruptura elétrica (suas moléculas tornam-se ionizadas) num campo elétrico de, 6 N/. Nesse campo, ual é o módulo da força eletrostática ue atua sobre (a) um elétron e (b) um íon em ue falta um elétron? E 6 / N 6 9 elétron Eelétron, 6,8 N 6 9 próton E próton, 6,8 N 5. Uma barra fina, não condutora, de comprimento L, tem uma carga positiva + uniformemente distribuída ao longo dela. Mostre ue o módulo do campo elétrico no ponto P sobre a mediatriz da barra (como está representado na figura abaio) é dado por: E = / [ o (L + ) ½
Vamos usar um recurso muito útil na resolução de eercícios, a simetria. Se pensarmos na barra dividida ao meio, percebemos ue as componentes horizontais do campo elétrico, geradas por cada metade da barra, se anulam e as componentes verticais se somam. Vamos determinar a componente vertical do campo gerado pela metade esuerda da barra. Kd Kd dey de cos cos r r r K dey d L/ L/ K de d K d y Para resolver a integral vamos usar substituição trigonométrica. azendo: I d e tg temos: Portanto, sec d sec d sec d I tg tg tg sec sec sec sec d sec d d I sen I Temos ue: L ; K inalmente podemos escrever: Lembrando ue resultante é: L/ K L Ey K E L y E y L. cosd Ey é a componente vertical do campo gerado pela metade esuerda da barra. O campo
E Ey L 6. Uma barra fina não condutora, de comprimento L, tem uma carga uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento. Mostre ue o campo elétrico no ponto P, sobre o eio da barra, a uma distância a de sua etremidade é dado por: E = / [ o a(l+a)] de a a K d K d K alculando a integral: u a du d Temos ue: L e K Portanto: L L L E d K a d a I a d u du u a L K K KL E K a L a a a L a E a L a 7. Uma barra fina de plástico é encurvada na forma de um círculo de raio. Uma carga +Q está uniformemente distribuída ao longo do círculo. (a) Mostre ue o campo elétrico no centro do círculo, gerado pelo semicírculo ue se encontra à esuerda do eio y, é dado por: E = K o Q/π. (observe ue a carga de cada semicírculo é +Q/ ). (b) Determine o valor do campo elétrico gerado por toda barra circular no centro do círculo. a) Se pensarmos no semicírculo dividido ao meio, pela simetria, percebemos ue as componentes verticais do campo elétrico, gerado por cada metade do semicírculo, se anulam e as componentes horizontais se somam.
Vamos determinar a componente horizontal do campo gerado pela metade de cima do semicírculo. Kd Kds de desen sen sen s ds d de E Kd Ksen d sen Ksen d K send K / K E cos Q K Q KQ E E E é a componente horizontal do campo elétrico gerado pela metade superior do semicírculo. O campo resultante é: KQ E E b) Devemos observar, pela simetria, ue o campo resultante neste caso será nulo. 8. Uma barra fina de vidro é encurvada na forma de um semicírculo de raio r. uma carga + está uniformemente distribuída ao longo da metade superior e uma carga está uniformemente distribuída ao longo da metade inferior, como mostra a figura abaio. Determine o campo elétrico E em P, o centro do semicírculo.
Para a metade superior: d dl de K K r r Q Q onde e dl rd. Portanto: r r Q rd Q de K r K d r r o módulo da componente horizontal do campo total positivo é, portanto: / Q cos r Q / Q E de de K cosd E K sen E K r Analogamente: r / Q y y r Q / Q y cos y E de de sen K send E K E K r usando a simetria do problema vemos facilmente ue as componentes horizontais cancelam-se enuanto ue as verticais reforçam-se. Assim sendo, o módulo do compo total é simplesmente: KQ E Ey com o vetor correspondente apontando para baio. r r 9. Na eperiência de Millikan, uma gota de raio,6-6 m e densidade de,85 g/cm fica suspensa na câmara inferior uando o campo elétrico aplicado tem módulo igual a,9 5 N/ e aponta verticalmente para baio. Determine a carga da gota em termos de e. Para a gota estar em euilíbrio é necessário ue a força gravitacional esteja contrabalançada pela força eletrostática associada ao campo elétrico, ou seja, é preciso ter mg E, onde m é a massa da gota, é a carga sobre a gora e E é a magnitude do compo elétrico no ual a gota está imersa. A massa da gota é dada por m V r, com isso temos:
r g 6 mg r g, 6 85 9,8 5 E E E,9 8, e, portanto, 9 9 8, n n 5 ou seja, 5e 9 e,6. Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) devido a um dipolo elétrico em um ponto localizado a uma distância r >>d sobre a mediatriz do segmento ue une as cargas como na figura abaio. Epresse sua resposta em termos do momento de dipolo p. Obtém-se o campo elétrico resultante no ponto P somando-se vetorialmente E E E o módulo dos vetores é dado por: E E K z d / As componentes sobre a mediatriz se cancelam enuanto as componentes perpendiculares a ela somam-se. om isso temos: E E cos com: cos d / z d / d / E K z d / z d / d K E K z d / z d / z como: z d d / z Kd E z Em termos do momento de dipolo p d, uma vez ue E e p tem sentidos opostos, temos: p E K z d