Agrupamento de Escolas de Almeirim Matemática 7.º Ano Propriedades das Operações Aritméticas em Q
Potências A definição usual de potência, remetendo para um expoente natural, reporta-se a uma multiplicação. Dado a inteiro e n natural, a n representa o produto a a a nfactores Assim, por exemplo, 2 representa simplificadamenteoproduto2 2 2 2 2
Todas as potências têm uma base e um expoente A base da potência é o factor que se repete. O expoente indica o número de vezes que o factor se repete. É o expoente da potência Éabasedapotência
Exemplos Na potência 2 5... 2 é a base da potência 5é o expoente da potência Na potência (-3) 2... -3 é a base da potência 2 é o expoente da potência
A potência a b lê-se aelevado a b Assim: 3 2 lê-se trêselevado a dois (-8) 9 lê-se menos oito elevado a nove lê-se cinco sextos elevado a dezoito.
Mesmo sem saber o valor de uma potência é possível saber o seu sinal... Se a base for positiva, a potência é sempre positiva. Se a base for negativa e se o expoente for par a potência é positiva, caso contrário é negativa
Resumindo... Sinal da Base O valor da potência é positivo + - Expoente par Expoente ímpar O valor da potência é positivo O valor da potência é negativo
Exemplos A potência expoente é par. ( 5) representa um número positivo porque a base é negativa mas o De facto, tem-se que: ( 5) =( 5) ( 5) ( 5) ( 5) [pela definição de potência] = 25 25 [pela propriedade associativa =625 da multiplicação] 625 é um número positivo.
A potência( 3) representa um número negativo porque a base é negativa mas o expoente é ímpar. De facto, tem-se que: ( 3) =( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) [pela definição de potência] = 9 9 ( 3) [pela propriedade associativa = 243 da multiplicação] -243 é um número negativo.
A potência 3 representa um número positivo porque a base é positiva. De facto, tem-se que: 3 =3 3 3 3 3 [pela definição de potência] =9 9 3 [pela propriedade associativa =243 da multiplicação] 243 é um número positivo.
Potências cujas Bases são Fracções Setiverumapotência,deexpoenten,cujabase é uma fracção, obtenho uma fracção cujo numerador é igual a a n e cujo denominador é igualab n Exemplos
Operações com Potências À semelhança do que acontecia para as potências de base e expoente naturais... As potências de base racional e expoente inteiro também gozam de propriedades operatórias para a multiplicação e para a divisão. No caso da soma e da subtracção de potências, a solução passa por determinar o valor das potências.
Multiplicação de Potências com a mesma Base O produto de duas potências de bases iguais é igual a uma potência com a mesma base e expoente igual à soma dos outros expoentes. Na multiplicação de potências com a mesma base, mantêm-se as bases e somam-se os expoentes.
Exemplos 2 2 2 [Na multiplicação de potências com a mesma base, mantêm-se as bases e somam-se os expoentes.] 2 2 [Se uma potência tem base negativa e expoente par,oseuvalorépositivo] [Na multiplicação de potências com a mesma base, mantêm-se as bases e somam-se os expoentes.] 2 5
Multiplicação de Potências com o mesmo Expoente O produto de duas potências de expoentes iguais é igual a uma potência com o mesmo expoente e base igual ao produto das outras bases. Na multiplicação de potências com o mesmo expoente, mantêm-se os expoentes e multiplicam-se as bases.
Exemplos 2 3 23 6 2 7 5 3 25 73 10 21 Na multiplicação de potências com o mesmo expoente, mantêm-se os expoentes e multiplicam-se as bases.
Divisão de Potências com a mesma Base O quociente de duas potências de bases iguais é igual a uma potência com a mesma base e expoente igual à diferença dos outros expoentes. Na divisão de potências com a mesma base, mantêm-se as bases e subtraem-se os expoentes.
Exemplos 2 2 2 2 [Na divisão de potências com a mesma base, subtraem-se os expoentes] 12 5 5 12 125 51 12 [Na multiplicação de potências com o mesmo expoente, multiplicam-se as bases] 12 12 12 [Na divisão de potências com a mesma base, subtraem-se os expoentes] 12 12
Divisão de Potências com o mesmo Expoente O quociente de duas potências de expoentes iguais é igual a uma potência com o mesmo expoente e base igual ao quociente das outras bases. Na divisão de potências com o mesmo expoente, mantêm-se os expoentes e dividem-se as bases.
Exemplos 10 5 = 10 5 =2 [Na divisão de potências com o mesmo expoente, mantêm-se os expoentes e dividem-se as bases.] 2 3 3 4 = 2 3 3 4 = 2 3 4 3 [Na divisão de potências com o mesmo expoente, mantêm-se os expoentes e dividem-se as bases.] [O quociente de dois números racionais é igual ao produto do dividendo pelo inverso do divisor] = 8 9 18 5 11 10 = 18 5 11 10 = 18 10 5 11 = 180 55 = 90 11
Potência de Potência Uma potência de potência é obtida quando uma potência é elevada a um segundo expoente. O seu valor é igual a uma potência com a mesma base e expoente igual ao produto dos outros expoentes.
Exemplos 3 3 3 Na simplificação de uma potência de potência, multiplicam-se os expoentes. 5 4 7 10 5 4 7 10 [numa potência de potência, multiplicam-se os expoentes] 5 4 7 10 5 4 7 10 35 40 7 8 7 8 [na multiplicação de potências com o mesmo expoente, multiplicam-se as bases]
O que acontece quando o expoente de uma potência é nulo? c Desde que a base não seja zero, o seuvaloréiguala1. Porquê?
Considerando um número a diferente de 0... a 0 = a 1-1 [1-1=0] a 0 = a 1-1 = a 1 a 1 [O quociente de potências com a mesma base é a potência com a mesma base e expoente igual à diferença entre o expoente do dividendo e do divisor] a 0 = a 1-1 = a 1 a 1 =1 Logo, dado a 0, tem-se que =1
Dadonúmeronaturalqualquer,ovalorde0 ézero,ouseja,0 =0 Isto porque se atendermos à definição de potência, veremos que 0 =0 0 0 nfactores Mas como 0 é o elemento absorvente da multiplicação 0 =0 0 0=0 Contudo,nãoépossíveldeterminarovalorde. Trata-sedeumaindeterminação.