Relatividade galileana Física moderna Relatividade galileana Maio, 2011 Caldas da Rainha Luís Perna Relatividade o que significa? O observador junto à árvore diz: o comboio move-se para a frente com velocidade de módulo v. A primeira teoria da relatividade é designada por relatividade galileana, em homenagem a Galileu, esta relatividade aplica-se quando as velocidades dos corpos são pequenas comparadas com a velocidade da luz. Para fenómenos que envolvam velocidades próximas da velocidade da luz, aplicamos a teoria da relatividade restrita de Einstein, que engloba a relatividade galileana. Relatividade o que significa? Um observador dentro de uma carrinha que se move com movimento rectilíneo e uniforme deixa cair uma bola: como vê ele a trajectória da bola? O observador do comboio diz: A paisagem move-se para trás com velocidade de módulo v. E um observador no solo, como vê ele a trajectória da bola? Quem tem razão? Quem tem razão? Os dois!!! Cada observador, no seu referencial vê o movimento de modo diferente, mas os seus pontos de vista são igualmente válidos e equivalentes! A descrição de um fenómeno físico é relativa porque depende do referencial escolhido (relatividade). Mas que tipo de referenciais existem? Os dois!!! Cada observador, no seu referencial vê o movimento de modo diferente, mas os seus pontos de vista são igualmente válidos e equivalentes! Uma carruagem move-se com movimento rectilíneo uniforme em relação ao solo: sob o ponto de vista do observador na carruagem? Como vê o observador a mala? Ele verifica a lei da inércia? Se verifica, então o referencial ligado à carruagem é um referencial de inércia nele se verifica a lei da inércia. 1
Uma carruagem move-se com movimento rectilíneo uniforme em relação ao solo: sob o ponto de vista de um observador no solo? Como vê o observador a mala? Ele verifica a lei da inércia? Uma carruagem parte do repouso e começa a acelerar em relação ao solo: sob o ponto de vista do observador na carruagem? Como vê este observador a mala? Como explica o seu movimento? Ele verifica a lei da inércia? Se não verifica, então o referencial ligado à carruagem é um referencial acelerado nele não se verifica a lei da inércia. Se verifica, então o referencial ligado ao solo é um referencial de inércia nele se verifica a lei da inércia. Uma carruagem parte do repouso e começa a acelerar em relação ao solo: Este observador, se quiser interpretar o movimento utilizando a Segunda Lei de Newton, terá de supor uma força fictícia que empurra a mala para trás. Por que somos projectados para fora da curva na situação da figura? sob o ponto de vista do observador no solo? Como explica este observador o movimento da mala? Ele verifica a lei da inércia? Se verifica, então o referencial ligado ao solo é um referencial de inércia. A carruagem acelerou porque actuou uma força sobre ela. Mas a velocidade da mala manteve-se. Conclusão: a velocidade da carruagem passou a ser maior do que a da mala e esta ficou para trás! Resolução da questão O passageiro do automóvel está ligado a um referencial acelerado, é projectado para fora devido a uma força (fictícia) que sente exercer sobre si. O banco do carro exerce uma força de atrito sobre o condutor, que o obriga a descrever a curva, se assim não fosse o passageiro seguiria em linha recta. A pessoa no solo diz que sobre o carro actuam o peso e a força normal, cuja resultante é nula, e actua também a força de atrito exercida pelo solo que permite ao carro descrever a curva. Como explica a situação uma pessoa dentro do carro? Consegue aplicar as leis de Newton? Como explica a situação uma pessoa no solo? Consegue aplicar as leis de Newton? Um observador ligado a um referencial acelerado inventa novas forças (forças fictícias) para explicar o movimento a partir das Leis de Newton. Um observador ligado a um referencial de inércia explica os movimentos com as forças que actuam sobre um corpo a partir das Leis de Newton. As Leis da Mecânica só são válidas quando se descrevem os fenómenos em referenciais de inércia. 2
A Terra será um referencial de inércia? Não. Contudo a aceleração da Terra associada aos seus movimentos de rotação e de translação não é, para muitas situações, significativa. Por isso, nesses casos, podemos considerar inercial um referencial ligado à Terra. Um referencial ligado às estrelas será um referencial de inércia? Normalmente, adopta-se como sistema de referência inercial todo o sistema em repouso ou em translação rectilínea e uniforme em relação a estrelas longínquas, por aparentarem manter fixas as suas posições ao longo de muitos anos de observação. Um referencial é de inércia se nele se verificar a Lei da inércia. Um referencial é de inércia se se mover com velocidade constante em relação a outro também de inércia. Questão 2 Questão 1 Em que situações podemos dizer que há um referencial de inércia? - Referencial ligado a um carro que viaja na A1 com velocidade constante e de módulo 120 km/h. - Referencial ligado a um carro que descreve uma curva. - Referencial ligado a um avião que voa com velocidade constante de 900 km/h. - Referencial ligado a um carro que trava. - Referencial ligado a um carro que acelera. Questão 3 Uma carruagem move-se para a direita quando um objecto se desprende do tecto da carruagem. Em alguma das situações da figura um referencial ligado à carruagem é um referencial de inércia? Uma criança joga verticalmente para cima uma bola dentro de uma carruagem. Onde cairá a bola se: - A carruagem se mover com velocidade constante de 80 km/h? - A carruagem se mover com velocidade constante de 220 km/h? - A carruagem travar? - A carruagem acelerar? - A carruagem estiver parada? Questão 4 Numa carruagem um objecto desprende-se do tecto, caindo verticalmente. A carruagem está totalmente fechada para o exterior. O que dirá o observador dentro da carruagem? - A carruagem está parada. - A carruagem move-se com movimento rectilíneo uniforme. Poderá fazer uma experiência no interior da carruagem de modo a distinguir as duas situações? É impossível Questão 5 Um jogador de bilhar é convidado para um torneio a bordo de um navio transatlântico. Aceita o convite e intensifica os treinos em casa. Não seria melhor a bordo do navio? Se o barco se mover com movimento rectilíneo uniforme e sem oscilações laterais será indiferente. 3
Princípio da Relatividade de Galileu: As leis da mecânica são as mesmas em quaisquer referenciais de inércia (são invariantes) Todos os referenciais de inércia são equivalentes. Não há referenciais melhores do que outros. É impossível distinguir um estado de repouso de um estado de movimento rectilíneo uniforme. Os pontos de vista dos observadores ligados a referenciais de inércia são todos válidos e equivalentes. No referencial S o corpo cai com velocidade nula (é largado da mão). P v0 0 P ma No referencial S o corpo inicia o movimento com velocidade igual à da carrinha. P Se as leis da mecânica são sempre as mesmas (Princípio da Relatividade), por que vemos trajectórias diferentes em diferentes referenciais de inércia? A força resultante é a mesma (a 2ª lei de Newton é a mesma), mas as condições iniciais do movimento não são as mesmas, logo tem a ver com as condições iniciais. Como estudar o movimento da bola, do exemplo anterior, do ponto de vista dos passageiros e de quem está fora da carrinha? Consideremos dois observadores que se movem, um em relação ao outro com movimento de translação uniforme, ambos observam o movimento da bola. O observador A está ligado ao referencial fixo, Oxyz. O observador B está ligado ao referencial O x y z e desloca-se com movimento rectilíneo e uniforme. Os dois referenciais são tais que os seus eixos x e x coincidem. v0 0 P ma O movimento da bola do ponto de vista dos passageiros e de quem está fora da carrinha é dado pela seguinte equação vectorial: Admitindo que, para t = 0 s, a origem O coincide com a origem O, então no instante t qualquer, OO' vo'/ot vo'/o é a velocidade do observador B em relação ao observador A. A figura mostra que: ou seja: PO PO' O' O r r R ou A equação vectorial anterior é equivalente às três equações escalares: x x vt y y z z 4
O que é um acontecimento ou evento em teoria da relatividade? Num acontecimento ou evento as equações que relacionam as coordenadas de uma partícula material em dois referenciais de inércia são: Por exemplo um objecto é deixado cair, o início da queda é um acontecimento e a chegada ao solo é outro acontecimento ambos localizados: no espaço sítio onde acontece (x, y, z); no tempo instante em que acontece (t). Um acontecimento em Física é caracterizado por quatro coordenadas (x, y, z, t) Consequências da Transformação de Galileu t t x x vt y y z z t t Transformação de Galileu Também: A massa de um corpo é a mesma medida em diferentes referenciais de inércia. A velocidade de uma partícula é diferente quando medida em diferentes referenciais vp / O vp / O' vo'/o de inércia. O comprimento de um corpo módulo da diferença entre duas coordenadas num dado referencial é igual em diferentes referenciais de inércia. A posição de uma partícula é diferente quando medida em diferentes referenciais de inércia. A aceleração de uma partícula é igual quando medida em diferentes referenciais de inércia. O intervalo de tempo entre dois acontecimentos é igual quando medido em diferentes referenciais de inércia. ap / O ap / O ' t t Mas: - se a massa de um corpo é igual quando medida em diferentes referenciais de inércia e - a aceleração de uma partícula é igual quando medida em diferentes referenciais de inércia então, pela 2ª de Newton (que tem a mesma forma em diferentes referenciais de inércia): F F A força resultante é igual quando medida em diferentes referenciais de inércia. Tipos de grandezas em relatividade: Grandezas cujo valor é sempre o mesmo quando medidas em diferentes referenciais de inércia: Grandezas invariantes (ou absolutas) Grandezas cujo valor depende do referencial de inércia onde são medidas: Grandezas relativas 5
Grandezas invariantes Grandezas relativas massa posição comprimento velocidade intervalo de tempo momento linear aceleração energia cinética Em relatividade galileana há invariância Leis da mecânica (Princípio da Relatividade de Galileu) Grandezas invariantes força Grandezas relativas Não confundir invariância de uma grandeza: mesmo valor em diferentes referenciais de inércia. com conservação de uma grandeza: mesmo valor antes e depois de uma interacção no mesmo referencial de inércia. Quando aplicamos a Lei da Conservação da Energia Mecânica ou a Lei da Conservação do Momento Linear, sabemos que a energia do sistema ou o momento linear se mantêm no mesmo referencial de inércia. Ao aplicarmos a mesma lei de conservação noutro referencial de inércia, obtemos valores diferentes dos anteriores, mas os valores antes e depois da interacção continuam a ser iguais. Questão 6 Num grande navio de cruzeiro há uma sala onde se joga bilhar. O navio move-se com velocidade constante e sem oscilações laterais. Um jogador dá uma tacada e dá-se uma colisão entre duas bolas que se pode considerar perfeitamente elástica. 1.Que leis de conservação se poderiam aplicar à colisão se a mesa de bilhar estivesse em terra? Poder-se-ão também aplicar às circunstâncias do navio? Porquê? 2.Indique exemplos de grandezas físicas referentes à situação descrita: i) que são invariantes; (massa, diâmetro, intervalo de tempo, aceleração) ii) que são relativas; (posição, velocidade, momento linear, energia cinética) iii) que se conservam. (momento linear, energia cinética) Relatividade galileana (primeira teoria da relatividade) Apenas válida para referenciais de inércia que se movem com velocidades muito menores do que a velocidade da luz: v << c 6
Análise das situações: movimento de um barco que atravessa um rio Aplicando a Transformação de Galileu para a velocidade: v b/ m vb / r vr / m 1ª situação 2ª situação Cálculo da direcção em que seguiu o barco na 1ª situação Designando por o ângulo entre a direcção que o barqueiro imprimiu ao barco e a direcção seguida por este relativamente às margens do rio, conclui-se que: tg α v v r / m b/ m Questão 7 Resolução A Rita desloca-se com a velocidade de valor 2,0 m s -1 e a chuva cai com a velocidade de módulo 5,0 m s -1. Admita que não há vento. a) Calcule o valor da velocidade da chuva em relação à Rita. b) Calcule a inclinação que a Rita deverá dar ao guarda-chuva para não se molhar. c) Se a Rita se deslocasse com maior velocidade, teria de inclinar mais ou menos o guarda-chuva? Questão 8 Um barqueiro pretende atravessar um rio na direcção Sul-Norte, perpendicularmente às margens. A largura do rio é de 3,0 km e a travessia demora 15 minutos. A velocidade da corrente é 6,0 km h -1 na direcção Oeste- Este. a) Calcule a velocidade do barco em relação à Terra. b) Calcule a velocidade do barco em relação à água e o respectivo módulo. c) Determine a direcção em que seguiu o barco. a) v b / T 12ey (km/h) b) 13,4 km/h c) 26,6º 7