Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo 1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras: b) 15 5 α α 1 resp: sen α =/5 cos α = /5 tgα=/ resp: sen α = 17 cos α = 17 17 tgα= 17 ) Calcule x e y nas figuras: a) 0 Dado: sen α =/5 b) Dado: tg α =/ α x y resp: x= 18 e y= resp: x= 0 e y=1 x α y 16 ) Um garoto empina uma pipa com um fio esticado de 50m. Sabendo que o ângulo entre o fio e solo é de 0º, calcule a altura que está a pipa? resp: 5m ) Do alto da torre de uma plataforma de petróleo marítima, de 5m de altura, o ângulo de depressão em relação a proa de um barco é de 60º. A que distância o barco está da plataforma? resp: 15 m ou 5,95m 5)Um barco atravessa um rio e segue numa direção que forma com uma das margens um ângulo de 0º. Sabendo que a largura do rio é de 60m, Calcule a distância percorrida pelo barco para atravessar o rio? resp: 10m 6) Do alto de uma torre de 50m de altura, localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de 5º em relação a horizontal. Para transportar material da praia até a ilha, um barqueiro cobra R$0,0 por metro navegado. Quanto ele recebe em cada transporte até a praia? resp: R$10,00 7) Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10º em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 0m de comprimento, a quantos metros o caminhão se eleva, verticalmente, após percorrer toda a rampa? resp: 5,10m dados: sen 10º=0,17 cos 10º = 0,98 tg 10º = 0,18 1
8) Um projétil é lançado segundo uma trajetória de 60º com a horizontal com uma velocidade de 90m/s. Determine: a) a sua velocidade horizontal; resp: 5m/s b) a sua velocidade vertical; resp: 5 m/s c) após s a altura atingida pelo projétil. resp: 15 m/s 9) Sendo α um ângulo agudo de um triângulo retângulo e cos α = 5/1. Calcule: a) sen α resp: 1/1 b) tg α resp: 1/5 10) Sendo α um ângulo agudo de um triângulo retângulo e tg α = /. Calcule: a) sen α resp: 1 1 b) cos α resp: 1 1 11) O acesso a um edifício é feito por uma escada de dois degraus, sendo que cada um tem 16 cm de altura. Para atender portadores de necessidades especiais, foi construída uma rampa. Respeitando a legislação em vigor, a rampa deve formar, com o solo, um ângulo de 6, conforme figura: A medida c do comprimento da rampa é, em metros, igual a a) 1,8. b),0. c),. d),9. e),. 1) (Unesp) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de graus a uma velocidade constante de metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é 0 m. Use a aproximação sen = 0,05 e responda. O tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente a rampa é a),5. b) 7,5. c) 10. d) 15. e) 0.
Assuntos: Arcos e ângulos 1) Expresse em rad: a) 60º resp: π/ rad b) 10º resp: 7π/6 c) 50º resp: 5π/18 d) 150º resp: 5π/6 e) 1º resp: π/15 rad f) º resp: π/90 rad g) 67º0 resp: π/8rad h) 5º0 resp: 19π/15 ) Expresse em graus: a) 10π/9rad resp: 00º b) 11π/18rad resp: 110º c) rad resp: 171º58 1 d) 1rad resp: 57º19 1 ) Qual é, em radianos, o ângulo descrito pelo ponteiro dos minutos de um relógio, num período de 5 minutos? resp: 5π/6 rad ) Expresse em graus e em radianos : a) 1/6 da medida da circunferência. resp: 60º e π/rad b) /5 da medida da circunferência. resp: 1º e π/5rad 5) Determine o comprimento de uma circunferência de diâmetro 60cm. resp: 188,0cm 6) Sabendo uma pessoa dá voltas em torno de um canteiro circular de 1,5m de raio, calcule a distância percorrida pela pessoa. resp: 7,68m 7) Uma pessoa percorre 10m em torno de uma pista circular de raio 50m. Quantas voltas completas ela deu? resp: 10 8) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 1cm. Qual distância que sua extremidade percorre durante 0 minutos? resp: 5,1cm 9) Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio: a) 9h10min resp: 15º b) 1h15min resp: 8º0 10) Um ciclista dá 10 voltas em torno da pista indicada na figura abaixo. 110m 0m 0m Calcule a distância percorrida. resp: 56m 11) Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a: a) 1550º resp: 1ª dp = 110º e AM = 110º+n.60º, n Ζ b) 165º resp: 1º dp = 55º e AM = 55º+n.60º, n Ζ
π c) rad 17π d) rad 7π 7π resp: 1ºdp = rad e AM = +n.π, n Ζ 5π 5π resp: 1º dp = rad e AM = + n.π, n Ζ 1) Verifique se são côngruos os arcos 1π 19π a) 190º e 100º resp: sim b) rad e rad resp: não 1) Quantas voltas completas dá e em que quadrante pára um móvel que, partindo da origem dos arcos, percorre um arco de: a) 1810º resp: 5 voltas e parou no 1º Q b ) 100º resp: 6 voltas e parou no º Q 5π c ) rad resp: voltas e parou no 1º Q 1) Uma semi-reta dá, em torno da origem, volta completas, no sentido positivo. Determine, em radianos, o ângulo gerado pela semi-reta no seu movimento. resp: 8π rad 15) Determine os arcos positivos côngruos a 10º e menores que 900º. resp: 0º e 700º 16) (PUC-SP) Qual dos pares de ângulos é côngruo de 10º? a) 0º e 190º b) 00º e 1560º c) 00º e 600º d) 100º e 0º e) nda. resp: a 17π 17) (UFPA) Um arco côngruo a rad é: 5 a) π/5 rad b) π rad c) π/5 rad d) π rad e) 7π/5 rad resp: e 18) (MACK-SP) A menor determinação positiva de 900º é: a) 100º b) 10º c) 0º d) 80º e) n.d.a resp: b 19) (Ueg 008) Duas importantes cidades estão localizadas sobre a linha do Equador: uma é a capital do Amapá e a outra é a capital do Equador, ambas na América do Sul. Suas longitudes são, respectivamente, 78 Oeste e 5 Oeste. Considerando que a Terra é uma esfera de raio 600 km, qual é a distância entre essas duas cidades? Resp:.90,76 km 0) (Fuvest) Considere um arco AB de 110 numa circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco A'B' de 60 numa circunferência de raio 5 cm. Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco A'B' (ambos medidos em cm), obtém-se: a) 11/6 b) c) 11/ d) / e) 11 Prof. Carlinhos
Assuntos: Seno e Co-seno de um arco 1) Calcule o seno e co-seno de: a) 1080º resp: sen 1080º= 0 cos 1080º = 1 b) 990º resp: sen 990º = -1 cos 990º = 0 c) 9π/ rad resp: sen 9π/ = cos 9π/ = d) 510º resp: sen 510º = ½ cos 510º = - e) 17π/ rad resp: sen 17π/ = - cos 17π/=1/ f) 105º resp: sen 105º= - cos 105º = ) Calcule o valor da expressão A = sen 50º + cos 0º - sen 10π resp: 5 ) Calcule m nas igualdades: a) sen(x) = m+ resp: -5 m - b) cos (x) = m- resp: m ) Qual valor é maior? a) sen 1º, sen 170 º ou sen 0º resp: sen 0º b) cos 1º, cos 170º ou cos 0º resp: cos 1º 5) Calcule o valor da expressão y= sen(x)+ sen(x+180º) cos(x) para x=π/rad. resp: - Prof. Carlinhos 5
Assunto: Função Seno 1) Calcule: a) sen 170º resp: ½ b) sen 115º resp: / c) sen 100º resp: / d) sen 1π resp: 0 e) sen 1π resp: 0 f) sen17π/ resp: -1 ) Calcule o período das funções: a) y = -sen x resp. π b) y = +sen (x-0º) resp: π c) y = 5+6sen(x+5º) resp: π d) y = sen(x/10) resp: 0π e) y = -5sen(0x-60º) resp: π/10 f) y = sen(x/5) resp: 5π ) Calcule o valor da expressão y = sen(x)+ sen(x+180º) sen(5x) para x=π/rad. resp: - ) Construa o gráfico, e dê, o período, o domínio e a imagem das funções. a) y = sen(x) resp: D=R IM= [-;] P= π b) y = +sen(x) resp: D=R IM= [;] P=π c) y =1+sen(x) resp: D=R IM= [-;] P=π d) y = sen(x+π/) resp: D=R IM= [-1;1] P=π e) y = +sen(x-π) resp: D=R IM= [1;] P=π f) y = sen(x) resp: D=R IM=[-1;1] P=π/ 5) Calcule m nas igualdades: a) sen (x)=m+ resp: -5 x - b) sen (x)= m- resp: x 6
Assunto: Função Co-seno 1) Calcule: a) cos 1500º b) cos 180º c) cos 150º d) cos 05º e) cos 900º f) cos 150º g) cos 990º h) cos 10π i) cos 1π/ j) cos 19π/ l) cos 1π/ m) cosπ resp:a)1/ b) / c) 0 d) / e) 1 g) 0 h) 1 i) 0 j)0 l)1/ m)-1 ) Construa o gráfico das funções, e dê o domínio, o período e a imagem das funções: a) y = cos(x) resp: D=R P=π IM=[-;] b) y = +cos(x) resp: D=R P=π IM=[-1;5] c) y = -+cos(x) resp: D=R P=π IM=[-7;1] d) y = cos(x) resp: D=R P=π IM=[-;] e) y = 5cos(x/) resp; D=R P=8π IM=[-5;5] ) Encontre o período das funções : a) y = 6+cos(x) resp: P= π/ rad b) y = cos(5x+π/) resp: P= π/5 rad c) y = 10-5cos(x/8) resp; P= 16π rad d) y = cos(x) resp: P= π/ rad e) y = +cos 5(x+0º) resp: P= π/5 rad ) Calcule o valor das expressões: a) A= cos(17π) + cos (5π/)- sen (5π) resp: -1 b) B = cos (110º) + cos (160º) cos (10º) resp: 5/ c) C = sen (765º) cos (-115º) + sen (750º)- cos (0º) 7
Assunto: Função Tangente 1) Calcule: a) tg 750º b) tg 115º c) tg 810º d) tg 15π e) tg 7π/ f) tg 1080º Resp: a) b) 1 c) d) 0 e) f) 0 ) Determine o domínio e o período das funções: a) y = tg(x+60º) resp: D={x R/ x 10º+k.60º} P=π/ rad b) y = -5tg(6x) resp: D= { x R/ x 15º+k.0º} P=π/6 rad c) y = +tg( x-π/) resp: D= { x R/ x π+k. π} P=π d) y = tg( x-π) resp: D={ x R/ x π/6+k.π/} P=π/ ) Calcule o valor da expressão y= sen(x) +cos(x)-tg( 8 x ) para x=60º. resp: ) Calcule o valor da expressão A= 5 sen ( 1π/)-cos(0π)+tg(6π). resp:/ 8
Assuntos: Funções trigonométricas de um arco Relações trigonométricas 1) Determine o valor de: 17π a) cotg 990º resp: 0 b) cotg 10º resp: c) cotg resp: 1 d) sec 50º resp: -1 e) sec 9π resp: f) sec 750º resp: ) Calcule as funções trigonométricas de : a) 80º resp: sen 80º= / cos 80º= -l/ tg 80º= - cotg 80º= - / sec 80º= - cosec= / b) π/ rad resp: sen π/= / cos π/= - / tg π/= -l cotg π/= -l sec π/= - cosec π/= c) 570º resp: sen 570º = -l/ cos 570º= - / tg 570º= / cotg 570º= sec 570º= - / cosec570º= - d) 585º resp: sen 585º= - / cos 585º= - / tg 570º= l cotg 585º=l sec 585º= - cosec 585º= - 11π g) cosec (1800º) resp: h) cosec resp: -1 e) 100º resp: sen 90º= - / cos 90º= l/ tg 90º= - cotg 90º= - / sec 90º= cosec 90º= - / ) Dado cos x = - /5 com x º Q, calcule: a) sen x resp: 7/5 b) tg x resp: -7/ ) Dado cos x = /5 com x 1º Q, calcule: a) sec x resp: 5/ b) tg x resp: ¾ 5) Dado sen x = -1/ com x º Q, calcule: a) cossec x resp: - b) cotg x resp: 6) Dado tg x =, com 0 < x < π/, calcular: a) sen x resp: b) cos x resp: ½ 7) Dado cossec x =, com 0 < x < π/, calcular: a) sec x resp: b) cos x resp: 9
Assuntos: Adição e subtração de arcos 1) Usando as formulas da adição e subtração de arcos, calcule: 6 + a) sen 105º resp: b) cos 15º resp: - 6 6 c) cos 195º resp: d) sen 5º resp: ) Demonstre, utilizando as fórmulas da adição e subtração de arcos: π a) sen (π-x) = sen x b) cos (π+x) = cos x c) tg (π-x) = -tg x d) sen ( -x) = -cos x ) Dados sen a = /5 e cos b = /, com 0 < a e b < π/, determine: 8 + 5 6 + 5 a) sen(a+b) resp: b) cos (a-b) resp: c) tg (a+b) resp: 15 15 5 5 5 π ) Dado sen x = 1/, com 0 < x < π/, calcular sen ( x). resp: 6 6 5) Se tg (x+y) = e tg y = 1, calcular tg x. resp: 1/ 6) Simplifique a expressão y = π sen( x).sen( π + x) cos( π x).cos(π x) 7) Dado x = 11,5º, calcule o valor da expressão A = tg x + tg x 1- tg x. tg x. Resp: 1 8) Calcule o valor da expressão A = cos 80º.cos 0º + sen 80º. sen 0º + 1 Resp: / tg + 67º - tg º. tg 67º.tg º 10
1) Dado sen 18º = 0,1, calcule: Assuntos: Arco duplo e Arco metade a) sen 6º resp: 0,59 b) cos 6º resp: 0,81 c) tg 6º resp: 0,7 ) Calcule sen x, se sen x =/, com x Є º Q. resp: ) Dado tg x = ½, com x Є 1º Q, calcule: a) tg x resp: / b) cotg x resp: ¾ 8 7 ) Se sen x + cos x = 1, calcule sen x. resp: -8/9 5) Sabendo que a Є º Q e tg a = ¾, calcule: a) sen a resp: /5 b) cos a resp: 7/5 6) Se cos 6º = 0,, calcule: a) sen º resp: 0,5 b) cos º resp: 0,85 c) tg º resp: 0,6 7) Calcule sen º 0. resp: x 8) Sabendo que sen x = 5/1, com x Є º Q, calcule tg. resp: 5 a 9) Dado cos a = ½, com a Є 1º Q, calcule cos. resp: a 10) Dado sen a = ½, com a Є 1º Q, calcule sen. resp: 11
Assuntos: Equações trigonométricas e Funções Inversas 1) Resolva as equações no intervalo de 0 à π. a) sen x = -1 resp: S = {π/} b) cos x = resp: S = { π / ; π/ } c) tg x = 1 resp: S = { π / ; 5π/ } d) sen(x) +1 = 0 S = { -π/18 ; 7π/18} e) cos x - = 0 resp: S = {± π/6} f).sen x + 5.sen x = 0 resp: S = { π/6 ; 5π/6} ) Resolva em R as equações: a) cos x = -1 resp: S = { x R/ x = π + n. π, n Z} b) sen x = - ½ resp: S = { x R/ x = 7π/6 + n. π ou x = 11π/6 + n. π, n Z} c) tg x = - resp: S = { x R/ x = π/ + n.π, n Z} ) Determine o valor de y sendo: a) y = arc sen π π, com y resp: π/ 1 b) y = arc cos (- ), com 0 y π resp: π/ c) y = arc tg π π, com y resp: π/6 1 ) (UEM-PR) Considerando os valores principais, a expressão E = arc sen + arc tg vale : a) π / b) π / c) π /6 d) π / e) π / resp: d 5) (Mack-SP) O valor de tg ( 5.arc tg 1 - arc sen ) pode ser dado por: a) 0 b) 1 c) -1 d) -1/ e) ½ resp: c 1