0 - LS KRCHHOFF 0.- FNÇÃO NÓ, RAMO MALHA Quando em um circuito elétrico existe mais do que uma fonte de tensão e mais do que um resistor, geralmente são necessárias outras leis, além da lei de Ohm, para sua resolução. stas leis adicionais são as leis de Kirchhoff, as quais propiciam uma maneira geral e sistemática de análise de circuitos. las são duas, a saber: Primeira lei de Kirchhoff ou lei das Correntes Segunda lei de Kirchhoff ou lei das Tensões Para o uso destas leis são necessárias algumas definições: Nó: é um ponto do circuito onde se conectam no mínimo três elementos. Ramo ou braço: é um trecho de um circuito compreendido entre dois nós consecutivos. Malha: é um trecho de circuito que forma uma trajetória eletricamente fechada. Na figura 0., por exemplo, identifica-se: a) dois nós: B e F b) três ramos: BAF, BF e BCGF c) três malhas: ABFA, BCGFB e ABCGFA R 3 A B C R 3 R R 4 F Figura 0. - Circuito elétrico com dois nós. 4 G 0. - PRMRA L KRCHHOFF Uma boa introdução à Primeira Lei de Kirchhoff já foi vista no circuito paralelo. Num dado nó entrava a corrente total do circuito e do mesmo nó partiam as correntes parciais para cada resistor. Como no nó não há possibilidade de armazenamento de cargas ou vazamento das mesmas, tem-se que a quantidade de cargas que chegam ao nó é exatamente igual à quantidade de cargas que saem do nó. esta constatação surge o enunciado da primeira lei de Kirchhoff: "A soma algébrica das correntes em um nó é sempre igual a zero." n i= = 0 i (0.) Por convenção, consideram-se as correntes que entram em um nó como positivas e as que saem como negativas. esta forma, a lei das correntes de Kirchhoff pode ser interpretada da seguinte forma:
X - letricidade Básica "A soma das correntes que chegam em um nó é sempre igual à soma das correntes que saem deste nó." n = m ichegam i= j= jsaem (0.) Por exemplo, no circuito mostrado na fig. 0., ao se aplicar a lei das correntes de Kirchhoff aos nós B e F, obtém-se: Nó B: = 3 Nó F: 3 = R 3 A B C R 3 3 R R 4 F Figura 0. Circuito para a aplicação da lei das correntes de Kirchhoff. 4 G Observa-se que as equações dos nós B e F são na realidade as mesmas, ou seja, a aplicação da lei das correntes de Kirchhoff ao nó F não aumenta a informação sobre o circuito. Assim, o número de equações independentes que se pode obter com a aplicação da lei das correntes de Kirchhoff em um circuito elétrico é igual ao número de nós menos um. Ne = n - (0.3) Onde: Ne = número de equações independentes obtidas com a aplicação da lei das correntes; n = número de nós do circuito. 0.3 - SGUNA L KRCHHOFF A lei de Kirchhoff das tensões é aplicada nas malhas. la já foi usada no estudo dos circuitos de resistores em série, onde a soma das quedas de tensão nos resistores é igual à f.e.m. da fonte. Se no circuito existe mais de uma fonte de f.e.m. deve-se determinar a resultante das mesmas, ou seja, somá-las considerando os seus sentidos relativos. A R B R C R 3 > t = V AB V BC V C ; - =.R.R.R 3 ; -.R.R.R 3 = 0; Figura 0.3 - Circuito série para a aplicação da lei das tensões de Kirchhoff.
Leis de Kirchhoff X - 3 ntenda-se que, na fonte de f.e.m., uma forma de energia não-elétrica é convertida para elétrica cedendo energia para as cargas, ou seja, colocando as cargas em um potencial mais elevado. Nas quedas de tensão as cargas se dirigem para um potencial mais baixo havendo o consumo da energia das cargas convertendo-a para uma forma de energia não-elétrica, por e- xemplo, calor, luz etc. Assim, ao percorrer uma malha fechada, percebe-se que toda a energia entregue às cargas num trecho do circuito elétrico é dissipada num outro trecho. A tensão, por definição, está associada à energia cedida às cargas ou retirada das mesmas durante o seu movimento. aí é obtido o enunciado da Segunda Lei de Kirchhoff: "A soma algébrica das tensões ( f.e.m.s e quedas de tensão ) ao longo de uma malha elétrica é igual a zero." n (0.4) V = 0 i= i Para a aplicação da lei das tensões de Kirchhoff, faz-se necessário adotar alguns procedimentos que são descritos a seguir:. Atribuir sentidos arbitrários para as correntes em todos os ramos;. Polarizar as fontes de f.e.m. com positivo sempre na placa maior da fonte; 3. Polarizar as quedas de tensão nos resistores usando a convenção de elemento passivo e sentido convencional de corrente elétrica. sto equivale a colocar a polaridade positiva da queda de tensão no resistor no terminal por onde a corrente entra no mesmo; R 4. Montar a equação percorrendo a malha e somando algebricamente as tensões. O sinal da tensão corresponde ao sinal da polaridade pela qual se ingressa no componente, independentemente do sentido da corrente elétrica. e acordo com o circuito apresentado na fig. 0.3, ao se aplicar a lei das tensões de Kirchhoff às malhas ABFA e BCGFB, no sentido horário, obtém-se: Malha ABFA: R R R4 = 0 Malha BCGFB: 3 R3 3 4 R = 0 V R 3 A B C R 3 3 R 4 F R 4 G Fig. 0.3 - Circuito para a aplicação da lei das tensões de Kirchhoff.
X - 4 letricidade Básica No circuito da fig. 0.3, existe ainda mais uma malha (a malha externa ABCGFA). Nesta malha poderia ser aplicada também a lei das tensões de Kirchhoff. ntretanto, como no caso da lei das correntes, a equação resultante seria dependente das duas já obtidas. Portanto, esta equação seria inútil. Supondo-se que, no circuito da fig. 0.3, fossem conhecidos os valores de todas as f.e.m.s das fontes de tensão e todas as resistências, restariam como incógnitas as três correntes. Para resolver um sistema de equações lineares com três incógnitas são necessárias três equações. Uma equação já foi obtida com a aplicação da lei da correntes de Kirchhoff. Portanto, são necessárias mais duas, que podem ser obtidas pela aplicação da lei das tensões de Kirchhoff. m síntese, pode-se concluir que, em um circuito elétrico com r ramos e n nós, tem-se r correntes, uma em cada ramo. A lei das correntes de Kirchhoff fornece N e = n equações e, portanto, a lei das tensões de Kirchhoff deve fornecer N e = r n equações para que o problema possa ser resolvido. Por exemplo, no circuito da fig. 0.3, tem-se r = 3, n =. Se r = 3, o número de correntes é 3. O número de equações fornecidas pela lei das correntes é N e = = e o número de equações fornecidas pela lei das tensões é N e = 3 =, conforme discutido anteriormente. A seguir, apresenta-se um resumo para aplicação da LCK e LTK. Resumo para aplicação das Leis de Kirchhoff o ) dentificar os nós, ramos e malhas do circuito elétrico; o ) Atribuir para cada ramo do circuito um sentido para a corrente elétrica; 3 o ) Polarizar as fontes de tensão; 4 o ) Polarizar as quedas de tensão nos resistores de acordo com o sentido adotado para a corrente; 5 o ) Havendo nós, aplicar a a Lei de Kirchhoff, obtendo-se N e = n ; 6 o ) Se o número de equações ainda não for suficiente para resolver o circuito, aplicar a a Lei de Kirchhoff, onde o número de equações é dado por N e = (r n ); 7 o ) scolher um ponto de partida e adotar um sentido de percurso para analisar a(s) malha (s). xemplo resolvido 0.: Calcule o sentido e o módulo da corrente elétrica no circuito da fig. 0.4. Ω 4,7 Ω 3,3 Ω Resolução: 6 V 5 V Fig. 0.4 - Circuito elétrico para o xemplo 0.. a) Arbitra-se (escolhe-se) um sentido para a corrente elétrica no circuito. Por exemplo, no sentido indicado na figura 0.5. b) Polarizam-se as quedas de tensão nos resistores (polaridade positiva no terminal por onde a corrente entra) e as f.e.m.s das fontes (o terminal maior é o positivo). c) Percorre-se a malha, somando algebricamente as tensões (o sinal da tensão corresponde ao sinal da polaridade da tensão encontrada na entrada do componente). stas etapas estão mostradas na figura 0.5 e na equação abaixo.
Leis de Kirchhoff X - 5 Ω 4,7 Ω 3,3 Ω 6 V 5 V Figura 0.5 squema de solução para o xemplo 0.4. 4, 7 3,3 5 6 = 0 9 = 9 = A O sinal negativo que aparece para o valor da corrente significa que o sentido escolhido para ela está invertido. Neste exemplo, o sentido correto da corrente elétrica é para baixo na fig. 0.5 e não para cima como foi arbitrado no início da resolução. xemplo resolvido 0.: Calcule os valores da, e 3 a partir dos valores das f.e.m.s e das resistências elétricas usando obrigatoriamente as leis de Kirchhoff. A R = 4 Ω; R = 3,3 Ω; R 3 =,7 Ω; R R = 36 V; = V; C R 3 B Solução: Fig.0.6 - Circuito elétrico para o xemplo 0.. a) O circuito possui nós, 3 ramos e 3 malhas. b) Os sentidos de corrente e polaridades foram arbitrados conforme fig.0.7. A - 3 R - R - R = 4 Ω; R = 3,3 Ω; R 3 =,7 Ω; = 36 V; = V; - C - R 3 B Fig.0.7 - Circuito elétrico para o xemplo 0. com sentidos de corrente e polarizações. c) Aplicando-se a lei das correntes de Kirchhoff tem-se apenas uma equação obtida em relação aos nós, pois (N e = n - ) 3 = ; d) Aplicando-se a lei das tensões de Kirchhoff, tem-se duas equações obtidas pelas malhas, pois [N = (r n ) = 3- = ] ª) Malha ACA: Começando pelo nó A, percorrendo a malha no sentido horário e chegando novamente ao no A tem-se:.r - = 0 ª) Malha ABCA: Começando pelo nó A, percorrendo a malha no sentido horário e chegando novamente ao no A tem-se:.r. R 3 -. R = 0
X - 6 letricidade Básica e) Substituindo os valores numéricos disponíveis tem-se: 3 = ;.4Ω V 36 V = 0.3,3 Ω.,7 Ω -. 4Ω = 0 f) Colocando em forma de sistema de equações tem-se: (): - 3 = 0; ():.4 = 4; (3): -. 4.6 = 0 ; g) Usando um método de resolução de sistema de equação chega-se na resposta. Nesse caso foi usado o método da substituição. e () obtém-se: = 4V/4Ω (4) = 6 A; Substituindo em (3) chega-se a - 4.6 = 0; = 4/6 e (5) = 4 A; Substituindo (4) e (5) em () chega-se a 6 4-3 = 0; 3 = 0 A Com os resultados foram todos positivos significa que os sentidos de corrente arbitrados estavam corretos. stes mesmos resultados poderiam ser obtidos, neste caso mais simples, usando a teoria dos circuitos em paralelo. xemplo resolvido 0.3: Calcule os valores da e da resistência elétrica do resistor R no circuito da figura 0.8. Sabe-se que as correntes que percorrem R e R valem, respectivamente, = 8 A e = 5 A. 60 V Ω R Ω Resolução: 4 Ω Figura 0.8 - Circuito elétrico para o xemplo 0.3. a) Observa-se que o circuito possui nós, 3 ramos e 3 malhas. b) Os sentidos de corrente e polaridades foram arbitrados conforme fig.0.9. 60 V 3 Ω 4 Ω R A C B Ω Fig. 0.9 - squema de solução para o xemplo 0.3. c) Aplicando-se a lei das correntes de Kirchhoff tem-se apenas uma equação obtida em relação aos nós, pois (N e = n-) Nó A: = 3, como = 8 A e = 5 A, tem-se: 8 = 5 3 3 = 3 A ; d) Aplicando-se a lei das tensões de Kirchhoff, tem-se duas equações obtidas pelas malhas, pois [N e = (r n ) = 3- = ]
Leis de Kirchhoff X - 7 ª) Malha ACA: R 4 60 = 0, como = 8 A e = 5 A, tem-se: R = 5 4 8 8 60 0 5R = 0 R = 4 Ω ª) Malha ABCA: R = 0 3 4 5 = 0 = 4 V 3 xemplo resolvido 0.4: Calcule o valor e o sentido correto das correntes em cada ramo do circuito da fig.0.0. 40 V 3 Ω 3 Ω Ω 5 V 0 V 40 V A B 3 Ω F 3 3 Ω Ω 5 V C 0 V 50 V Ω Fig. 0.0 - Circuito elétrico para o xemplo 0.4. 50 V Ω G Fig. 0. - squema de solução para o xemplo 0.4 Arbitrando-se os sentidos das correntes nos ramos como mostrado na fig.0., aplicando-se a lei das correntes de Kirchhoff ao nó B e a lei das tensões de Kirchhoff às malhas ABCA e BFGCB, obtém-se: 3 = 0 Lei das correntes de Kirchhoff no nó B 40 3 0 50 = 0 Lei das tensões de Kirchhoff na malha ABCA 33 5 3 0 3 = 0 Lei das tensões de Kirchhoff na malha BFGCB Substituindo-se os valores numéricos dos resistores e das fontes de tensão e rearranjando-se as correntes (incógnitas), obtém-se o seguinte sistema de equações lineares: 3 = 0 3 = 30 3 53 = 3 ste sistema pode ser resolvido pelo método de Cramer, como mostrado a seguir. Cálculo do determinante principal: = 3 0 3 0 3 5 0 3 = [ ( 3) ( 5) 0 0 3] [ ( 3) 0 0 3 ( 5)] = 5 0 36 [0 0 60] =
X - 8 letricidade Básica Cálculo do determinante para a corrente : 0 0 = 30 3 0 30 3 3 3 5 3 3 = [0 ( 3) ( 5) 0 3 30 3] [ ( 3) 3 0 0 3 30 ( 5)] = 0 0 90 [ 93 0 50] = 333 Cálculo do determinante para a corrente : 0 0 = 30 0 30 0 3 5 0 3 = [ 30 ( 5) 0 0 0 3] [ 30 0 0 3 0 ( 5)] = 50 0 37 [0 0 0] = Cálculo da corrente : 333 = = Cálculo da corrente : = = = 3 A = A Cálculo da corrente 3 : = 3 0 3 = = 3 3 = 5 A 40 V 3 Ω 5 A A 3 Ω Ω 3 A 5 V 0 V 50 V Fig.0.- Sentidos corretos para as correntes nos ramos no circuito do xemplo 0.4. Ω
Leis de Kirchhoff X - 9 Questões propostas: 0.- etermine os valores das correntes desconhecidas no circuito da figura 0.3. X 0 A X X 3 X X 3 0 V V 8 A X 4 X 5 X 6 X V X 4 8 V 3 9 A Figura 0.3 X 5 X 6 9 V V 3 Figura 0.4 R ta. : =A; =8A; 3 =9A. 0.- etermine os valores das tensões desconhecidas no circuito da figura 0.4. R ta. : V =V; V =V; V 3 = -V. 0.3 - Calcule o valor da corrente no circuito da figura 0.5. R ta. : = 0,3A. 0 Ω 5 Ω 30 V 0,5 Ω V 5 V 4 A Ω Ω 6 Ω 8 V 8 Ω Figura 0.5 R 3 40 V Figura 0.6 0.4- Calcule o valor da resistência do resistor R 3 no circuito da fig. 0.6. R ta. : R 3 =. 0.5- Sabendo que a corrente através do resistor R 3 no circuito da fig. 0.7 vale 4 A, calcule os valores e os sentidos corretos das outras correntes e o valor do resistor R 3. R ta. : =4A; =0; R 3 =,5. 0,5 Ω V 5 Ω 0,3 Ω 0 V 3 V R 5 V 3 5 Ω 4 A R 3 Ω Figura 0.7 Figura 0.8
X - 0 letricidade Básica 0.6- Calcule os valores das correntes e 3 e do resistor R, no circuito da figura 0.8, sabendo que a intensidade da corrente vale 0, A. R ta. : =0,8A; 3 =0,6A; R =,5. 0.7- Calcule o valor e o sentido correto das correntes nos ramos no circuito da figura 0.9. R ta. : =6A; =4A; 3 = 0A. 80 V 3 Ω 5 Ω 3 Ω Ω 0 V 90 V 0 Ω 30 V 40 V 00 V Ω 5 Ω Figura 0.9 Figura 0.0 0.8- Calcule os valores das correntes e no circuito da figura 0.0. R ta. : =9A; =,5A. 0.9- No circuito da figura 0., calcule o valor da corrente. R ta. : =3A para cima. 0 Ω 5 Ω 60 V V s 00 V 00 V Ω 8A R 5A Ω Figura 0. Figura 0. 0.0- No circuito da figura 0., calcule os valores da tensão Vs e da resistência R. R ta. : Vs=4V; R=4. 0.- etermine a potência dissipada em R e R do circuito da figura 0.3. R ta. : P =0mW; P =,5mW. 4 Ω 6 kω R 0 V 5 V R 0 kω 3V 5 k Ω 0 kω R 5 V 3V k Ω B 3 kω V Figura 0.3 Figura 0.4 0.- Qual deve ser o valor do resistor R para que a corrente no ramo AB da figura 0.4 seja nula? R ta. : R=6k.