Aplicações da Matemática no Mundo Moderno Escola Secundária Fernão Mendes Pinto 21 de Abril de 1999 Manuel L. Esquível 1
MATEMÁTICA Observações Preliminares Objecto de estudo: ideias (não objectos reais) Método: dedutivo (não descritivo) Linguagem: formalizada (não natural) MODELAÇÃO Modelo do fenómeno + Modelo Matemático Conclusões do estudo do modelo Matemático. 2
Uma Introdução à Matemática Financeira Preços de um produto financeiro (derivado) na Bolsa de Derivados do Porto (contratos de futuros sobre o índice Psi-20). Gráfico Comparativo 14,500 14,000 13,500 13,000 12,500 12,000 11,500 11,000 Preço Referência - futuros 10,500 10,000 9,500 9,000 Preço Paridade 8,500 8,000 7,500 20/7/98 27/7/98 3/8/98 10/8/98 17/8/98 24/8/98 31/8/98 7/9/98 14/9/98 21/9/98 28/9/98 5/10/98 12/10/98 19/10/98 26/10/98 Datas de sessão Questão: Como descrever matematicamente a evolução destes preços? 3
Resposta: Com um modelo matemático sofisticado baseado na noção de passeio aleatório. Passeio aleatório: W 0 := 0 W n+1 := W n + Número ao acaso 4
Característica dos preços: grande variabilidade. Variabilidade = Risco Questão: Como proteger um investidor contra o risco associado à variabilidade dos preços? Resposta: Com produtos financeiros derivados. Exemplos: Contratos de Opção (options) Call Option Contrato que dá o direito mas não a obrigação de comprar um activo numa dada data a um dado preço. Put Option Contrato que dá o direito mas não a obrigação de vender um activo numa dada data a um dado preço. 5
Hipóteses: O investidor compra uma dada acção. O investidor acredita que o mercado tem tendência ou para subir (bull market) ou para descer (bear market). Não se vai manter mais ou menos constante. Se o mercado subir não há problema mas se descer o investidor pode perder muito dinheiro Estratégia: O investidor compra uma uma Put Option para, daqui a três meses, poder vender a acção ao preço que a acção tem hoje. 6
Resultados da estratégia: O mercado sobe e a acção fica com o preço de 5 630 $ 00. 1/03/99 1/06/99 Acção -4 630 $ 00 5 630 $ 00 Put -253 $ 00 0$00 Juros 0 $ 00-102 $ 00 Total -4 883 $ 00 5 528 $ 00 Ganhos: 5 528 $ 00-4 883 $ 00 = 645 $ 00. O mercado desce e a acção fica com o preço de 3 630 $ 00. 1/03/99 1/06/99 Acção -4 630 $ 00 3 630 $ 00 Put -253 $ 00 1 000 $ 00 Juros 0 $ 00-102 $ 00 Total -4 883 $ 00 4 528 $ 00 Perdas: 4 528 $ 00-4 883 $ 00 = -355 $ 00. 7
Questão: Não é possível ganhar sempre? Factos a ter em conta: É preciso pagar pelo contrato da Put Option e o preço destge contrato é tanto maior quanto maior fôr o valor pelo qual eu quero vender daqui a três meses. Quanto mais pagar pela opção mais pago em juros. PREÇO DE EXERCÍCIO vs VALOR DA PUT 6 5 VALOR DA PUT 4 3 2 1 0 40.0 42.5 45.0 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0 PREÇO DE EXERCÍCIO 8
Questão: Como é que se calcula então o preço da Put Option? Resposta: Black e Scholes descobriram em 1973 uma fórmula que depois foi estudada por Merton e que permite calcular o preço das Put Option. Em 1997 Scholes e Merton receberam por estes trabalhos o prémio Nobel da Economia. Modelo de Black e Scholes Um activo com risco (a acção) e um activo sem risco (o dinheiro no banco). Taxa de juro activa = Taxa de juro passiva. Não há custos de transacção e negoceia-se em contínuo! 9
Modelo simplificado a um período (dois momentos: agora 0 e, daqui a três meses T ). Dois estados do mundo daqui a três meses: Ω={ω 1,ω 2 }. Preço da acção daqui a três meses: S T (ω 1 ) = 5630, e S T (ω 2 ) = 3630. Um activo sem risco B com uma taxa de juro r. Se fôr B 0 = 1, será B T =1+r. Carteira Φ = (Φ S, Φ B ) em que Φ S representa a quantidade de activo com risco que possuímos e Φ B representa a quantidade de activo sem risco que possuímos. 10
FC fluxo de capital gerado pela Put Option: Se S T (ω 1 ) = 5630 então FC(ω 1 )=0; se S T (ω 2 ) = 3630 então FC(ω 2 ) = 1000. Diremos que a carteira reproduz a Put Option se o valor da carteira no instante T fôr igual ao fluxo de capital da Put Option no instante T. Suponhamos que assim acontece. Verifica-se então: Φ S S T (ω 1 )+(1+r) Φ B =0 Φ S S T (ω 2 )+(1+r) Φ B = 1000 Solução do sistema: Φ S = 0, 5eΦ B = 2815/(1 + r). 11
Π 0, o custo de construir a carteira Φ no instante 0, é dado por: Π 0 =Φ S S 0 +Φ B = 0, 5 4630+2815/(1+r). Note-se que se r =9, 61% então Π 0 = 253. Definimos oportunidade de arbitragem como a possibilidade realizar lucros sem risco. Teorema: Se o mercado fôr livre de arbitragem então o preço da Put Option é igual a Π 0. 12
Demonstração: Suponha-se que o preço da Put Option era 240 $ 00. Poder-se-ia então considerar uma estratégia descrita no quadro seguinte permitindo lucros arbitrariamente grandes e sem risco. Preços Quantidades Totais Put -240 2-480 Acção -4630 1-4630 Dinheiro 5230 1.0961 5110 Caso 1 Totais 1 Put 0 2 0 Acção 5630 1 5630 Dinheiro -5110 1.0961-5601.071 28.929 Caso 2 Totais 2 Put 1000 2 2000 Acção 3630 1 3630 Dinheiro -5601.071 28.929 13