UM JOGO DE DOMINÓ PARA A LÓGICA PROPOSICIONAL Fernanda Pires da Silva 1 e José Ricardo R. Zeni 2, 3 1 Curso de licenciatura em matemática 2 o ano e-mail: nandamiss@ig.com.br 2 DMEC (Departamento de Matemática, Estatística e Computação) www.prudente.unesp.br/jrzeni/algebra_1/domino UNESP Campus de Presidente Prudente, SP Resumo Público Alvo: este jogo é destinado a todos aqueles que estudam a lógica formal, em particular, estudantes de matemática e de computação do ensino superior. Ele também pode atrair o interesse de estudantes de ciências exatas em geral, inclusive aqueles do ensino médio. Pré-requisitos: para poder jogar, é suficiente conhecer os conectivos lógicos (e, ou, negação, se...então,...se e somente se...) e saber trabalhar com expressões envolvendo esses conectivos. Como jogar: de jogabilidade semelhante a um dominó comum. O jogador procura entre suas peças aquelas que tem expressões com resultados equivalentes as expressões que estão nas pontas do jogo de dominó. Objetivo: este jogo tem por objetivo fazer com que o estudante de lógica adquira habilidade com o cálculo proposicional. Assim ao jogar, o estudante naturalmente vai se familiarizar e memorizar algumas equivalências notáveis da lógica proposicional (DeMorgan, Propriedades de V ou F, Propriedades do Complementar, etc...). Experiência: o jogo foi apresentado aos alunos da disciplina de Álgebra I (diurno) e foram disponibilizados cinco jogos para empréstimo. Houve uma boa aceitação por parte dos alunos que utilizaram o jogo como ferramenta de estudo. O interesse demonstrado pelos alunos foi tanto que houve fila para empréstimo e também procura para saber como poderiam adquirir o dominó. 1. Descrição do dominó para lógica proposicional Como o jogo de dominó comum, este dominó possui 28 peças e um total de 56 expressões, duas para cada peça. Número de jogadores e distribuição das peças: podem participar de 2 à 4 jogadores, cada jogador recebe 7 peças. Caso haja menos do que 4 jogadores, as peças restantes vão para um monte em separado. 3 UNOESTE, FIPP (Faculdade de Informática) 1
Resultados possíveis: distintamente do dominó usual, cujas expressões são números de 0 (vazio) a 6, neste dominó para lógica existem três resultados possíveis para uma expressão: 0 (falso), 1 (verdade) e a para expressões equivalentes ao símbolo proposicional a. Início de jogo: inicialmente, misturam-se todas as peças, com as expressões voltadas para baixo. Começa o jogo quem tiver a peça ou ou a a 1 1 0 0 ou conforme estipulado antes do início da partida. O próximo a jogar é quem estiver à direita de quem iniciou o jogo e assim por diante. Como jogar: cada ponta do dominó possui uma expressão equivalente a 0, 1 ou a. O jogador procura entre suas peças aquelas que tem expressões com resultados equivalentes as expressões que estão nas pontas do jogo de dominó e deve abaixar uma dessas peças. Para o jogo com 2 ou 3 participantes, caso um deles não possua uma peça para aquela jogada, o participante compra uma peça no monte restante, até encontrar uma que se encaixe no jogo. Para o jogo com 4 participantes, quando um não tiver a peça exigida, o jogador passa a vez para o próximo. Fim de jogo: o jogo termina quando um dos participantes colocar a última peça que está em sua mão. 2. Noções de lógica proposicional Conectivos lógicos e sentenças compostas: as sentenças lógicas podem ser combinadas de modo a formar uma sentença mais complexa utilizando os conectivos lógicos, também denominados operadores lógicos. Existem cinco operadores fundamentais, resumidos no quadro abaixo, onde a e b são sentenças: Operadores Notação Lê-se Prioridade Negação a não a 1 (alta) Conjunção a b a e b 2 Disjunção a b a ou b 3 Condicional a b se a então b 4 Bicondicional a b a se e somente se b 5 (baixa) Semântica dos operadores lógicos: o valor verdade de uma sentença composta por um único operador lógico pode ser calculado a partir das seguintes definições: 2
Negação: a sentença negada tem valor verdade contrário ao da sentença original. Conjunção: a conjunção de duas sentenças é verdadeira se e somente se as duas sentenças forem ambas verdadeiras. Disjunção: a disjunção de duas sentenças é falsa se e somente se as duas sentenças forem ambas falsas. Condicional: o condicional a b é falso apenas quando a é verdade e b é falso. Bicondicional: o bicondicional a b é verdade quando a e b tem ambos os mesmos valores verdades. O valor verdade de uma sentença composta por mais de um operador lógico pode ser calculado utilizando-se as definições acima tantas vezes quantas forem necessárias. 3. Algumas equivalências lógicas As expressões utilizadas no dominó foram escolhidas de modo a destacar algumas das equivalências mais utilizadas em lógica formal, conforme mostrado na tabela abaixo. Nome Expressões equivalentes Propriedades da disjunção Elemento neutro a F a Complementar a a' V Idempotente a a a Propriedade de V a V V Propriedades da disjunção em relação a conjunção Distributiva a (b c) (a b) (a c) Absorção a (a b) a Propriedades da Negação Dupla negação a'' a DeMorgan (a b)' a' b' Propriedades da Condicional Forma Normal a b a' b Contraposição a b b' a' 3
A conjunção satisfaz propriedades análogas as da disjunção, incluindo a distributiva, absorção e DeMorgan. Estas propriedades podem ser demonstradas diretamente a partir da tabela verdade. 4. Sobre as peças Este jogo de dominó para lógica proposicional pode ser feito a partir de um jogo de dominó tradicional, colando-se nas faces das peças deste dominó as expressões lógicas. O apêndice a seguir traz uma cópia das expressões utilizadas no jogo. ou no site Cópias deste artigo podem ser obtidas diretamente com a autora através de e-mail nandamiss@ig.com.br www.prudente.unesp.br/jrzeni/algebra_1/domino 5. Histórico A idéia do dominó para lógica surgiu a partir de um trabalho realizado em grupo, do qual participaram as alunas Fernanda Pires da Silva, Viviane Silva Miranda e Leda da Silva, durante o ano de 2003, na disciplina de Álgebra I, ministrada pelo professor José Ricardo R. Zeni. A aluna Fernanda Pires da Silva continuou a aprimorar o dominó durante o ano de 2004 sob a orientação do referido professor. Destaca-se que esta aluna é monitora da disciplina de Álgebra I. 6. Conclusão Em um jogo de dominó, ganha quem acaba com todas as peças primeiro, mas neste dominó para lógica, todos os participantes ganham. Não há quem consiga chegar ao fim do jogo sem conhecer lógica. Com prática, há cada vez mais facilidade de cálculo e memorização de equivalências lógicas. Com isso, o objetivo do jogo é alcançado. De maneira prática e prazerosa, este dominó é um exemplo de como podemos trabalhar assuntos de diferentes maneiras despertando o interesse dos alunos pelos mesmos. Referências CASTRUCCI, Benedito, Introdução à Lógica Matemática, editora Nobel, 1984. GERSTING, Judith L., Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação, editora LTC, 3a. edição, 1995. LOPES, Paulo César A., INLOGIC: Software Educacional para Lógica, projeto de conclusão de curso, UNOESTE, FIPP (Faculdade de Informática), 2003. Disponível para download no site www.prudente.unesp.br/jrzeni/algebra_1/1bim LOPES, Paulo César A. e ZENI, José Ricardo R., Introdução a Automação de Demonstrações em Lógica, anais do III LAPTEC (Lógica Aplicada a Tecnologia), Faculdades SENAC, São Paulo, 2002. 4
Apêndice: as peças do dominó para lógica proposicional A seguir, listamos as 28 peças do dominó para lógica proposicional. a a a a a a a 0 0 a a 0 a 1 1 a a 1 0 0 1 0 0 1 1 1 (0 1) (1 0) 1 0 1 a a a a 0 1 1 0 1 0 0 a 1 a a 1 a (a b) a (a b ) a (b b ) a (a b ) (a 0) (a a) a a (0 a ) a (a 1) (a 1) (a 0) (a b) (a b ) (a b) (a b) (a a ) (b b ) 5
1 0 0 1 0 (0 1) (a b) a b (a b) (a b ) (a b) (a b) (a b) a b (0 1) 0 1 (0 0) 0 1 (1 0) 0 1 0 0 1 (1 0) 1 0 (a b) (b a ) (a a b) a (a b) Observação: neste dominó para lógica, cada peça tem uma divisória seja na vertical, como no dominó usual, ou na horizontal para expressões um pouco maiores, conforme ilustrado na figura abaixo expressão expressão Peça com divisória vertical expressão expressão Peça com divisória horizontal 6