1. ORÇÃO EM BARRAS DE SEÇÃO CIRCULAR Elementos estruturais sujeitos a torção são amplamente utilizados na engenharia. Podemos citar os seguintes exemplos, entre muitos outros: eixos de transmissão, turbinas e vigas. No presente curso, vamos analisar torção de eixos, ou seja, torção de barras longas e retas cuja seção apresenta simetria radial (circular cheia, circular vazada e tubo de parede fina). Serão mostradas as distribuições de tensão e deformação ao longo de um eixo sob torção, além da relação entre momento torsor (torque) aplicado versus giro da seção transversal. 1.1. Análise das ensões em Eixos de Seção Maciça e Seção Vazada Primeiramente, vamos imaginar um eixo de seção transversal circular cheia sob torção apenas (ver figura 1.1). Neste caso, podemos propor um modelo de distribuição de tensões ao longo da seção transversal que faça com que o único esforço solicitante na mesma seja o momento torsor (), isto é, os demais esforços (normal, cortante e momento fletor) devem ser nulos. Pela simetria da seção em relação ao eixo central, é razoável supor que as tensões se distribuam de modo simétrico em relação a esse eixo. Um modelo de tensão que satisfaz tais critérios é mostrado na figura 1.2, onde se nota que as tensões cisalhantes são perpendiculares à direção radial, e pontos com mesma distância ao centro possuem os mesmos valores de tensão cisalhante. Figura 1.1. Eixo de seção transversal circular cheia sob torção. 1
Figura 1.2. ensões cisalhantes na seção transversal de um eixo maciço sob torção. A linha tracejada representa pontos com mesma distância ao centro. Adotando a hipótese das tensões cisalhantes da figura 1.2, para relacionarmos o momento torsor interno com a tensão cisalhante na seção transversal, resta saber como é a variação dos valores de tensão ao longo da direção radial. Ainda não sabemos se as tensões aumentam ou diminuem à medida que nos afastamos do centro. Para definirmos essa variação, vamos analisar as deformações ao longo da seção transversal do eixo sob torção da figura 1.3. De acordo com tal figura, vamos adotar as seguintes hipóteses cinemáticas para eixos de seção circular sob torção: - material em regime de pequenos deslocamentos e pequenas deformações; - as linhas longitudinais ficam torcidas, mas seus comprimentos não variam significativamente; - as seções circulares sofrem um giro relativo, porém continuam circulares; - linhas radiais sofrem um giro relativo mas permanecem retas. Assim sendo, temos apenas distorção ou deformação por cisalhamento (γ), já que a deformação normal (ε) é nula. Em seguida, extraindo um segmento do eixo da figura 1.3, e chamando os giros relativos de suas extremidades de ϕ1 e ϕ2, a distorção ocorrida é (ver figura 1.4): 2
Δ x2 x1 x2 x1 Δx 1 2 1 2 (1.1) onde ρ é a distância ao centro do eixo, que varia de zero a ρmax (raio externo da seção). Assim, a deformação por cisalhamento (distorção) varia linearmente com a distância ao centro (ρ), de 0 em ρ = 0 até um valor máximo em ρ = ρmax. Figura 1.3. Eixo sob torque nas extremidades (momento torsor interno constante ao longo do eixo x). Figura 1.4. Segmento extraído do eixo sob torção (x1 < x < x2). 3
Para materiais em regime elástico linear, podemos combinar a expressão (1.1) com a lei de Hooke para cisalhamento: Δ G G Δx (1.2) onde G é o módulo elástico transversal. Portanto, para o caso de materiais homogêneos, a tensão cisalhante na seção transversal do eixo da figura 1.3 também varia linearmente com a distância ao centro (ρ), de 0 em ρ = 0 até um valor máximo em ρ = ρmax: Δ max G max maxg max Δx max (1.3) Por fim, agora que sabemos como é a distribuição da tensão cisalhante no eixo maciço da figura 1.3, é possível relacionarmos o momento torsor interno na seção transversal () com o valor máximo do cisalhamento (τmax). Para isso, utilizamos a expressão (1.3) e a figura 1.5: 2 2 max max max d da da da I A max max max (1.4) onde I é o chamado momento polar de inércia da seção transversal em relação à linha central do eixo. A expressão acima pode ser reescrita da seguinte forma: max I max (1.5) Essa equação é chamada de fórmula da torção. Ela relaciona tensão cisalhante máxima na seção transversal (que ocorre na superfície externa), momento torsor interno atuante na seção (determinado via equações de equilíbrio), máxima distância ρ (raio externo da seção) e momento polar de inércia da seção em relação ao eixo central. 4
Figura 1.5. Eixo sob torção: relação entre momento torsor interno () e tensão cisalhante (τ) em função da distância ρ. A convenção de momento torsor interno positivo é mostrada nesta figura. No presente curso, vamos analisar três seções circulares: eixo maciço, eixo vasado, e eixo tubular fino. Assim, é necessário determinar o momento polar de inércia (I) para cada uma dessas seções. A primeira a ser analisada é a seção circular cheia (eixo maciço). Para determinar a integral presente em (1.4) em relação ao eixo maciço, vamos integrar, de ρ = 0 até ρ = ρmax, as coroas circulares de espessura infinitesimal dρ mostradas na figura 1.6 (cuja área infinitesimal da é 2πρ dρ). O motivo disso é que cada uma dessas coroas possui uma simetria em relação à linha central longitudinal (todos os pontos da coroa estão a uma mesma distância do centro). Assim, o momento polar de inércia para essa seção é: max 2 2 3 4 max 2 A 0 I da 2d 2 d (1.6) 5
Figura 1.6. Integração das coroas circulares para obtenção do momento polar de inércia (I) da seção circular cheia. A segunda seção analisada é a vasada, a qual possui um raio interno (c1) e um raio externo (c2), ou seja, a distância dos pontos à linha longitudinal central (ρ) varia de c1 a c2. Assim sendo, a integral para obtenção do momento polar de inércia é a mesma da seção cheia, exceto pelos limites de integração: c2 3 4 4 2 1 2 c1 I 2 d c c (1.7) Por fim, para a seção tubular fina, admite-se que a espessura é tão pequena que a distância ρ é constante ao longo dessa espessura e, assim: I da r A r 2r t 2r t 2 2 2 3 m m m m A (1.8) onde rm é o raio médio, e t é a espessura do tubo. 6
1.2. Cálculo das Rotações Relativas Entre Seções Adjacentes Para um trecho qualquer da barra da figura 1.3, o momento torsor interno () é uniforme ao longo do eixo. Assim, o giro relativo entre as extremidades desse trecho pode ser calculado combinando as expressões (1.3) e (1.5): Δ G Δ Δx Δx I GI max max max 2 1 (1.9) O produto GI é chamado de rigidez à torção da seção. Outra maneira de descrever o giro relativo entre duas seções quaisquer (A e B) é a seguinte: ΔAB B A B/A (1.10) onde ϕa e ϕb são, respectivamente, os giros absolutos das seções A e B. O giro relativo neste caso é o giro da seção B em relação à seção A. Para exemplificar, vamos analisar o caso no qual as seções A e B correspondem às extremidades do eixo sob torção da figura 1.3. Se a extremidade A for engastada, então ϕa = 0 e, portanto, o giro absoluto da extremidade livre B é: L B B/A A B/A GI (1.11) onde L é o comprimento do eixo. No caso de barras sob torção onde o momento torsor interno () e/ou a rigidez à torção da seção (GI) variam ao longo do eixo, substituímos a expressão (1.9) pela seguinte: d GI dx (1.12) Neste caso, para calcular o giro relativo entre duas seções quaisquer, devemos definir as funções (x) e GI(x), e calcular a seguinte integral: 7
x x xb B/A B A d GI xa dx (1.13) Para o caso de um eixo sob torção composto por segmentos constantes com torques aplicados nas extremidades de cada segmento, as grandezas e GI variam de um segmento para outro mas não variam ao longo de cada trecho. Assim, o giro relativo entre as extremidades do eixo pode ser obtido somando o giro relativo (1.11) de cada segmento. De acordo com a convenção de sinais adotada aqui, tanto o momento torsor interno () quanto o giro da seção (ϕ) são positivos quando possuem o sentido indicado na figura 1.5 (pela regra da mão direita, o polegar aponta para fora da seção). 1.3. Eixos Estaticamente Indeterminados Assim como no caso das barras sob carga axial, existem os eixos hiperestáticos sob torção, ou seja, os eixos sob torção que possuem mais vínculos do que o necessário para manter equilíbrio. Em tais casos, o número de incógnitas (reações de vínculo) é maior do que o número de equações de equilíbrio. Assim, para resolver o problema hiperestático, é necessário encontrar a chamada condição de compatibilidade geométrica. No caso dos eixos sob torção, essa condição diz respeito aos giros prescritos, isto é, às seções cujo ângulo de torção é conhecido. Para esclarecer o procedimento, vamos analisar o eixo de seção circular da figura 1.7. Neste caso, desprezando forças horizontais (normais), verticais (cortantes) e momentos fletores, temos duas reações de apoio: torque aplicado pelo engaste A (A), e torque aplicado pelo engaste C (C). Contudo, temos apenas uma equação de equilíbrio: somatório de momentos torsores igual a zero. Inicialmente, vamos calcular tudo em função de uma reação adicional. Por exemplo, escolhendo C como reação adicional, seguimos a sequência de cálculos como se o eixo fosse isostático: cálculo da reação A via equilíbrio; cálculo do momento torsor interno 8
em cada segmento (AB e BC) via cortes pelo método das seções; cálculo do giro relativo de cada segmento (ϕb/a e ϕc/b) com a expressão (1.11); e cálculo do ângulo de torção referente à reação adicional, ou seja, o giro absoluto da seção C (lembrando que a seção A é engastada e, assim, não sofre giro): C B C/B A B/A C/B B/A C/B (1.14) Como o giro ϕc acima é expresso em função da reação adicional C, ao recompor a compatibilidade geométrica, dada por ϕc = 0, calculamos C. Figura 1.7. Eixo hiperestático sob torção. A seta com ponta dupla indica o sentido do polegar quando se aplica a regra da mão direita ao torque aplicado na seção B. A rigidez à torção, nesse caso, é constante e igual a GI. O procedimento descrito no parágrafo anterior pode ser modificado separando o problema hiperestático da figura 1.7 em dois casos isostáticos independentes, cuja superposição resulta no referido problema (ver figura 1.8). Para isso, deve-se calcular o giro absoluto referente à reação adicional para cada caso, superpor os efeitos e recuperar a condição de compatibilidade geométrica: I II C C C 0 (1.15) 9
Figura 1.8. Casos isostáticos para análise do eixo hiperestático da figura 6.10. Para resolver o problema hiperestático da figura 1.7, podemos adotar um método alternativo. Ao invés de começarmos a análise pelo equilíbrio de momentos torsores, iniciamos a resolução pela análise da compatibilidade geométrica. Neste caso, sem realizar cálculo algum, podemos notar que: B/A C/B 0 C/B B/A (1.16) Vamos calcular tudo em função do giro relativo do segmento AB (ϕb/a). Invertendo a expressão (1.11), é possível determinarmos o momento torsor em função do giro relativo em cada segmento: AB GI L AB B/A (1.17) GI GI BC C/B B/A L BC L BC (1.18) Ao final, empregamos o equilíbrio de momentos torsores em torno da seção B. Para isso, realizamos um corte antes da seção B e um corte depois de B. Supondo que os momentos torsores internos AB e BC sejam positivos, então: (1.19) AB BC Como os momentos internos AB e BC são expressos em função do giro relativo ϕb/a, podemos determinar esse giro via (1.19). 10
1.4. orção e ração Combinadas Neste item, vamos analisar o caso de uma barra sujeita a cargas axiais e a torques aplicados, como é o caso da figura 1.9. O primeiro passo é determinar as reações de apoio. Neste caso, o engaste impede o deslocamento axial da seção A (δa) e o giro da seção A relativo à torção (ϕa). Para isso, o engaste exerce sobre a barra uma força axial (na direção longitudinal) e um momento torsor (ou torque). Por equilíbrio, as reações no engaste devem ser: RA = Pb + Pc (1.20) A = b + c (1.21) Para manter o equilíbrio, o sentido da reação horizontal RA deve ser para a esquerda, e o sentido da reação de torção A deve ser contrário ao sentido dos torques aplicados (ou seja, pela regra da mão direita, o polegar deve apontar para a esquerda). A partir das reações (1.20-21), podem ser traçados os diagramas de esforço normal (N) e momento torsor interno (M). Para garantir equilíbrio, tais esforços devem ser iguais a: NAB = RA = Pb + Pc (1.22) NBC = RA - Pb = Pc (1.23) (M)AB = A = b + c (1.24) (M)BC = A - b = c (1.25) 11
Figura 1.9. Barra sujeita a cargas axiais (Pb e Pc) e a torques (b e c). Para determinarmos as tensões e deformações na barra, vamos supor que as hipóteses consideradas para barras sob esforço normal (da disciplina Introdução à Mecânica dos Sólidos) não interferem nas hipóteses admitidas para eixos sob torção (do presente capítulo). Em outras palavras, podemos analisar a barra sob normal e sob torção de forma independente e superpor os efeitos. Assim, conforme as referidas hipóteses, as tensões na barra serão as seguintes: σab = NAB / AAB = (Pb + Pc) / AAB (1.26) σbc = NBC / ABC = Pc) / ABC (1.27) (τmax)ab = (M)AB RAB / (I)AB = (b + c) RAB / (I)AB (1.28) (τmax)bc = (M)BC RBC / (I)BC = c RBC / (I)BC (1.29) onde σ é a tensão normal, uniforme ao longo da seção transversal da barra; e τmax é a máxima tensão cisalhante na seção devida à torção. Em relação às deformações nas seções transversais da barra, temos os seguintes deslocamentos axiais e ângulos de torção (ver figura 1.9): δa = ϕa = 0 (1.30) 12
δb = δab = (NL/EA)AB = (Pb + Pc) Lab / (EA)AB (1.31) δc = δb + δbc = δb + Pc Lbc / (EA)BC (1.32) ϕb = ϕab = (ML/GI)AB = (b + c) Lab / (GI)AB (1.33) ϕc = ϕb + ϕbc = ϕb + c Lbc / (GI)BC (1.34) onde EA é a rigidez ao esforço normal, e GI é a rigidez à torção da barra. 13
LISA 1 - ORÇÃO 1.1. Para o eixo maciço da figura (diâmetro 37,5 mm), se a tensão cisalhante admissível é 84 MPa, determinar o torque máximo que pode ser aplicado (). Para o caso em que for feito um furo de 25 mm de diâmetro no eixo, determinar o torque máximo ( ). Ex. 1.1. 1.2. Para o eixo maciço de 30 mm de diâmetro da figura, determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. Ex. 1.2. 14
1.3. O eixo AB tem um diâmetro de 1,5 in, e é feito de aço (cisalhamento admissível = 12000 lb/in²). Já a luva CD é feita de bronze (cisalhamento admissível = 7000 lb/in²). Determinar o máximo torque () que pode ser aplicado em A. Ex. 1.3. 1.4. No eixo maciço da figura abaixo, se o trecho de aço (cisalhamento admissível = 15000 lb/in²) tem diâmetro de 1,5 in, e o trecho de bronze (cisalhamento admissível = 8000 lb/in²) tem 1,8 in, determinar o torque máximo que pode ser aplicado em A. Ex. 1.4. 15
Ex. 1.5. Determinar o giro relativo dos três segmentos do eixo do exercício 1.2 considerando G = 75 GPa, e o ângulo de torção da seção A (para max) do eixo do exercício 1.4 considerando Laço = Lbronze = 3 in., Gaço = 11 10 6 lb/in² e Gbronze = 5,6 10 6 lb/in². Ex. 1.6. Para fazer um furo na placa A, uma força de 600 N é aplicada na extremidade livre da alavanca CD. De acordo com especificações de projeto, o deslocamento vertical do ponto D não pode ser superior a 15 mm. Determinar o diâmetro necessário do eixo BC se a tensão de cisalhamento admissível é 80 MPa e G = 77 GPa. Ex. 1.6. Ex. 1.7. O tubo da figura tem um diâmetro externo de 37,5 mm, uma espessura de 0,3 mm e é feito de bronze (G = 38 GPa). Se as seções A e B são engastadas, e a força aplicada F é de 100 N, determinar a máxima tensão de cisalhamento no tubo. 16
Ex. 1.7. Ex. 1.8. O eixo da figura é composto por uma seção maciça de aço AB e uma porção tubular feita de aço com núcleo de latão. A seção A está engastada. Para o torque de 50 N m aplicado na extremidade livre C, determinar o ângulo de torção em C, e a máxima tensão de cisalhamento. Dados: Gaço = 80 GPa, Glatão = 40 GPa. Ex. 1.8. 17
Ex. 1.9. O eixo da figura é maciço e feito de aço (G = 75 GPa). Se as extremidades A e B são engastadas e o torque em D for 750 N m, determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo. Ex. 1.9. Ex. 1.10. Para o eixo maciço da figura, desprezando a flexão, determinar e indicar as tensões nos pontos A, B e C. Ex. 1.10. 18