ESTRUTURAS DE BETÃO II

ESTRUTURAS DE BETÃO II FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS MÓDULO 3 FUNDAÇÕES DE EDIFÍCIOS Carla Marchão Júlio Appleton José Camara Ano Lecti vo 2008/2009

ÍNDICE 1. DIMENSIONAMENTO DE ZONAS DE DESCONTINUIDADE... 1 2. TIPOS DE FUNDAÇÕES... 9 3. FUNDAÇÕES DIRECTAS (SAPATAS)... 9 3.1. TIPOS DE SAPATAS... 9 3.1.1. Sapatas rígidas... 9 3.1.2. Sapatas flexíveis... 10 3.2. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS... 10 3.2.1. Sapata sem excentricidade de carga... 10 3.2.2. Sapata com excentricidade de carga... 11 4. SAPATAS LIGADAS POR UM LINTEL DE FUNDAÇÃO... 19 5. DIMENSIONAMENTO DE UM MACIÇO DE ENCABEÇAMENTO DE ESTACAS... 25

1. Dimensionamento de Zonas de Descontinuidade Nas estruturas em geral, e de betão estrutural em particular, há zonas em que, por razões da sua geometria ou do tipo de carregamento (em especial se se tratar de acções concentradas) o comportamento afasta-se claramente do das teorias clássicas de peça linear ou de laje da mecânica estrutural. Essas zonas são denominadas de zonas D (Descontinuidade), ao passo que as zonas com comportamento uniforme e regular se chamam de B (Bernoulli, Bending). Na figura 1 representam-se uma série de situações que caracterizam uma zona D como: a zona de mudança de altura de uma viga b abertura numa alma de viga c zona de um nó de ligação de uma viga e um pilar d situação de uma sapata, elemento com comportamento bi-dimensional mas em que a altura é grande em relação às dimensões em planta e zona de ancoragens de cabos de pré-esforço f zona de aplicação de uma carga concentrada numa viga g zona com geometria de consola curta h situação de uma denominada viga-parede (viga com uma relação l/h pequena) 1

Figura 1 Ilustração de zonas das estruturas de betão que têm um comportamento diferente do de peça linear Em termos do dimensionamento do betão estrutural é natural que os modelos a adoptar nestas zonas sejam diferentes dos aplicados nos elementos com comportamento uniforme. Na figura 2 representa-se o modelo de campos de tensão de escoras e tirantes e o correspondente para uma viga contínua. É de realçar nesse modelo que, junto aos apoios, também se tem zonas D, onde os campos de compressões deixam de ser paralelos para tomarem uma forma em leque e, as correspondentes resultantes, ficam com maior inclinação. 2

θ Zona B -campo de tensões no betão (paralelo na zona corrente da viga Zona B -campo de tracções nos estribos Zona D -campo de tensões no betão em leque junto ao apoio (a) Modelo de campos de tensão θ1 θ θ z (b) Modelo equivalente e discreto de escoras e tirantes Figura 2 Modelo (a) de campos de tensão e (b) de escoras e tirantes numa viga contínua de betão armado Para geometrias diferentes há que encontrar, para cada situação, um modelo de dimensionamento apropriado que seja representativo do encaminhamento das principais forças no elemento, numa situação próxima da rotura. 3

Figura 3 Modelos de dimensionamento de vigas com aberturas e distribuição de armaduras resultante Na figura 3 representam-se, como exemplo, modelos possíveis para o dimensionamento de duas vigas em T com disposições diferentes de aberturas nas almas. Em tais situações as expressões gerais dos regulamentos para verificação da segurança ao esforço transverso não são aplicáveis. Há que avaliar as forças nos tirantes e escoras do modelo e, a partir dessas forças, verificar a segurança em relação ao nível de tensões no betão e avaliar as armaduras necessárias para resistir às tracções. Assim para o betão há que verificar que: ou σ Rd,max = F cd A c f cd (1.a) σ Rd,max = F A c 0.6 ν f cd (1.b) com ν = 1 f ck /250. 4

A expressão 1.a deve ser utilizada quando não há tensões na direcção transversal (como nas compressões por flexão) ou quando há compressão moderada, e a expressão 1.b se há tracções transversais (como nas compressões inclinadas das almas das vigas). E para as armaduras há que verificar que: A s F Sd f syd Na figura 4 apresenta-se um caso tipo de uma zona D que se refere a uma consola curta, sendo especialmente importante notar que: A força de tracção é constante em todo o comprimento contrariamente à situação de uma consola de vão maior O valor da força de tracção é inferior à que adviria do cálculo em relação ao eixo do pilar. A força de dimensionamento vale: F Sd = P Sd. a z Em que a é a distância na horizontal do ponto de aplicação de carga à resultante da compressão no pilar P P T C Figura 4 Modelo de dimensionamento de uma consola curta M P Também a transmissão ao apoio de uma carga concentrada aplicada numa viga, próxima do apoio, segue um processo de transmissão semelhante. Na figura 5 está representada essa transmissão em que, função da distância entre os eixos de aplicação da carga e do apoio, se considera uma repartição adequada da força entre dois sistemas estruturais (o primeiro semelhante ao considerado no caso anterior da 5

consola curta, o segundo semelhante ao do comportamento de uma viga nas zonas de extremidade, com campos de tensão em leque). a P P C T z R1 R2 R1 (i) Modelo 1 (ii) Modelo 2 (1 - ) P P C C T z T z (1 - ) R1 R1 Para z 2 < a < 2 z = 1 3 2a z - 1 Se a = z = 1 3 ; se a = 1.5 z = 2 3 Figura 5 Esquema de transmissão de uma carga próxima do apoio com repartição da carga por dois modelos complementares Como se verifica, a modelação por escoras e tirantes do betão armado próximo da rotura, para peças com comportamento unidimensional e geometria diversa, não é mais do que a generalização do modelo de treliça da viga a situações particulares de geometria e/ou carregamento. Por outro lado, as fundações directas, denominadas de sapatas, têm um comportamento bi-dimensional, tipo laje fungiforme, em que a altura é tal que a distribuição de tensões é diferente da resultante da teoria das lajes. De facto, para sapatas rígidas, solução corrente na prática, a altura deve ter um valor entre a distância da face do pilar ao limite da sapata e metade desse valor ver figura 6. A distribuição de tensões, próximo da rotura, em ambas as direcções é do tipo da representada na figura, gerando-se campos de tensão em leque que exigem, para equilíbrio das tensões no solo, uma distribuição parabólica de forças de tracção na face inferior da base, como representada na figura 6.a). 6

N N Fmáx DFT Fmáx Figura 6 Distribuição dos campos de tensão nas sapatas numa dada direcção e representação de um modelo simples para determinação da força máxima nas armaduras. O valor máximo destas tracções nas armaduras pode ser estimada com base num modelo definido em termos resultantes como indicado na figura 6.b). Modelos para outros tipos de carregamentos, em particular de esforços axiais com excentricidades, serão referidos no capítulo referente às fundações. É, no entanto, importante compreender desde já que, tal como numa laje fungiforme, as forças de tracção nas armaduras têm de ser dimensionadas para o equilíbrio da totalidade das tensões no terreno numa e noutra direcção. É uma questão básica de equilíbrio na transmissão das cargas do pilar ao terreno, ou se quisermos pensar inversamente, do terreno ao pilar. No caso de fundações indirectas a transmissão das cargas do pilar às estacas faz-se através do denominado maciço de encabeçamento. Nestes casos estabelecem-se modelos, por vezes tridimensionais, de transmissão da carga como o representado na figura 7. Os modelos de transmissão de cargas, uma vez que se tratam de acções concentradas, são do tipo dos referidos nas figuras 4 e 5, mas tendo em consideração a eventual tridimensionalidade de transmissão das cargas. 7

N/4 N/4 N/4 N/4 Figura 7 Modelo tridimensional de transmissão de carga de um pilar às estacas através de um maciço de encabeçamento. 8

2. Tipos de Fundações a) Fundações directas por sapatas Solo superficial com boas características de resistência Edifícios de pequeno ou médio porte. b) Ensoleiramento geral Edifício de porte elevado e características resistentes do solo que conduzam a uma área de sapatas superior a 50% da área total Particularmente aconselhável se o nível freático se encontrar acima do nível de fundação. c) Fundações profundas Camadas superficiais de terreno pouco consistentes Cargas elevadas por pilar. 3. Fundações directas (sapatas) 3.1. TIPOS DE SAPATAS 3.1.1. Sapatas rígidas N a M b Pré-dimensionamento: Área em planta: σ adm N raro A B H Altura: A - a 4 H A - a 2 A (x B) ( H b/2 condição de rigidez) Quando a sapata é rígida, pode admitir-se que a tensão no solo é uniforme. 9

3.1.2. Sapatas flexíveis Podem surgir problemas de punçoamento Devido à deformabilidade da sapata, em geral não se pode admitir que a tensão no solo é uniforme Não é aconselhável a utilização de sapatas flexíveis. 3.2. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS Para o dimensionamento de sapatas rígidas utilizam-se modelos de escoras e tirantes (modelos de encaminhamento de cargas ). 3.2.1. Sapata sem excentricidade de carga a N a/4 d 0.9H Ft Fc A Como as dimensões da sapata são conhecidas, é possível determinar a tangente do ângulo : tg = d A - a 4 (1) Através do equilíbrio do nó indicado, obtém-se tg = N / 2 Ft (2) igualando (1) e (2), obtém-se a expressão para o cálculo da força de tracção: F t = N (A - a) 8d 10

A área de armadura pode ser determinada pelas expressões: A s = F t f syd A s = F t s f 1 syd x, sendo x a área carregada na direcção ortogonal. 3.2.2. Sapata com excentricidade de carga (i) e > A / 4 (tensões no solo em menos de metade da sapata) N M 0.15a d 0.9H Ft Fc N e x N e = M N ; x = A 2 - e 2 = A 2e Como as dimensões da sapata são conhecidas, é possível determinar a tangente do ângulo : tg = d e - 0.35a (1) Através do equilíbrio do nó indicado, obtém-se tg = N Ft (2) igualando (1) e (2), obtém-se a expressão para o cálculo da força de tracção: F t = N (e - 0.35a) d A área de armadura pode ser determinada pelas expressões: A s = F t f syd A s s = F t f 1 syd y, sendo y a área carregada na direcção ortogonal. 11

(ii) e < A / 4 (tensões no solo em mais de metade da sapata) N a M 0.15a d 0.9H Ft Fc R1 R2 A/4 x R1 e = M N ; x = A 2 - e 2 = A 2e Como as dimensões da sapata são conhecidas, é possível determinar a tangente do ângulo : tg = d A/4-0.35a (1) Através do equilíbrio do nó indicado, obtém-se tg = R 1 Ft (2) igualando (1) e (2), obtém-se a expressão para o cálculo da força de tracção: F t = R 1 (A/4-0.35a) d O valor da reacção R 1 pode ser determinado utilizando a relação N A - 2e = R 1 A / 2 R 1 = A 2 N A - 2e A área de armadura pode ser determinada pelas expressões: A s = F t f syd A s s = F t f 1 syd y, sendo y a área carregada na direcção ortogonal. 12

EXERCÍCIO S1 Considere a sapata de fundação de um pilar isolado, representada na figura. 0.40 2.00 0.75 0.50 2.50 2.50 Dimensione e pormenorize as armaduras da sapata para as combinações de acções consideradas: Combinação 1: 1.5 cp + 1.5 sc Combinação 2: cp + ψ 2 sc + 1.5 E Os esforços na base do pilar, para cada uma das acções, são os seguintes: Acções N [kn] M [knm] Cargas permanentes -700.0 0.0 Sobrecarga (ψ 2 = 0.2) -300.0 0.0 Sismo 50.0 300.0 Adopte para materiais C20/25 e A400NR e considere que a tensão de segurança do solo é de 3.0 kg/cm 2 (300 kn/m 2 ). 13

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO S1 1. Esforços de dimensionamento a) Combinação 1 N sd,1 = (700 + 300) 1.5 = 1500 kn M sd,1 = 0 b) Combinação 2 b.1) N > 0 (sismo a carregar) N sd,2.1 = 700 + 0.2 300) + 1.5 50 = 835 kn M sd,2.1 = 1.5 300 = 450 knm b.2) N < 0 (sismo a aliviar) N sd,2.2 = 700 + 0.2 300) - 1.5 50 = 685 kn M sd,2.2 = 1.5 300 = 450 knm 2. Dimensionamento 2.1. Direcção x (i) Combinação 1 N σ σ = Verificação da rigidez da sapata: 2.5-0.5 4 = 0.5 m < 0.75 m 2.0-0.4 = 0.4 m < 0.75 m 4 Verificação da tensão no solo N sd A B = 1500 2.5 2.0 = 300 kn/m2 <450 kn/m 2 14

Cálculo das armaduras a N a/4 d 0.9H Ft Fc A tg = tg = N / 2 F t d ( A - a) / 4 = 0.68 2.5/4-0.5/4 = 1.36 F t = N / 2 tg = 750 1.36 = 551.5 kn A s = F t f syd = 551.5 348 10 3 10 4 = 15.85 cm 2 A s s = F t f 1 syd x = 15.85 2 = 7.93 cm 2 /m (ii) Combinação 2.1 Verificação da tensão no solo N sd = 835 kn ; M sd = 450 kn e = 450 835 Zona carregada: x = A 2e = 2.5 2 0.539 = 1.42 m = 0.539 m < A / 4 = 2.5 / 4 = 0.625 m (tensões no solo em mais de metade da sapata) σ = N sd A carregada = 835 1.42 2.0 = 294.0 kn/m2 < 450 kn/m 2 15

Cálculo das armaduras tg = tg = R 1 F t 0.68 0.625-0.175 = 1.51 F t = R 1 tg = 735 1.51 = 486.8 kn A s = F t f syd = 486.8 348 10 3 10 4 = 14.0 cm 2 A s s = F t f 1 syd x = 14.0 2 = 7.0 cm2 /m (iii) Combinação 2.2 Verificação da tensão no solo N sd = 685 kn ; M sd = 450 kn e = 450 685 Zona carregada: x = A 2e = 2.5 2 0.657 = 1.19 m = 0.657 m > A / 4 = 2.5 / 4 = 0.625 m (tensões no solo em menos de metade da sapata) σ = N sd A carregada = 685 1.19 2.0 = 287.8 kn/m2 < 450 kn/m 2 Cálculo das armaduras tg = 0.68 0.657-0.175 = 1.41 tg = N F t F t = N tg = 685 1.41 = 485.8 kn A s = F t f syd = 485.8 348 10 3 10 4 = 13.96 cm 2 A s = F t s f 1 syd x = 13.96 = 7.0 cm 2 2 /m 16

2.2. Direcção y A carga é centrada para todas as combinações, logo F t = N (A - a) 8d (i) Combinação 1 F t = 1500 (2-0.4) 8 0.68 = 441.2 kn A s = F t s f 1 syd x = = 441.2 348 10 4 1 2.5 104 = 5.07 cm 2 /m (ii) Combinação 2.1 F t = 835 (2-0.4) 8 0.68 = 245.6 kn A s s = F t f 1 syd x = = 245.6 348 10 4 1 1.42 104 = 4.97 cm 2 /m (iii) Combinação 2.2 F t = 685 (2-0.4) 8 0.68 = 201.5 kn A s = F t s f 1 syd x = = 201.5 348 10 4 1 1.19 104 = 4.87 cm 2 /m 17

EXERCÍCIO S2 Considere o sistema constituído por duas sapatas ligadas por um lintel, como indicado na figura. 0.50 N1 = 500 kn M1 = ± 300 knm 0.50 N2 = 1000 kn M1 = ± 500 knm 0.70 0.80 1.50 2.50 2.50 0.40 0.60 0.40 2.00 Dimensione e pormenorize as armaduras da sapata e do lintel para os esforços indicados (materiais: C20/25 e A400NR). 18

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO S2 1. Modelo de cálculo A B 0.50 R1 4.50 R2 2. Determinação das reacções R 1 e R 2 Contribuição de N 1 N1 A B R1 R2 Σ M A = 0 0.5 N 1 = -R 2 4.5 R 2 = -0.11 N 1 ; R 1 = 1.11 N 1 Contribuição de M 1 e M 2 M1 A M2 B R1 R2 Σ M B = 0 4.5 R 1 (M 1 + M 2 ) = 0 R 1 = M 1 + M 2 4.5 ; R 2 = - M 1 + M 2 4.5 19

Cálculo de R 1 e R 2 R 1 = 1.11 N 1 ± M 1 + M 2 4.5 R 1 = N 2-0.11 N 1 ± M 1 + M 2 4.5 = 1.11 500 ± 300 + 500 4.5 = 1000-0.11 500 ± = 732.8 kn 377.2 kn 300 + 500 4.5 = 1122.8 kn 767.2 kn 3. Dimensionamento da sapata 1 (i) Direcção x 500 0.175 300 Fc 0.72 Ft 732.8 tg = 732.8 0.72 1.5 / 2-0.15 0.5 = 1.07 tg = R 1 F t F t = R 1 tg = 732.8 1.07 = 684.9 kn A s = F t f syd = 684.9 348 10 3 10 4 = 19.68 cm 2 A s s = F t f 1 syd x = 19.68 2 = 9.84 cm 2 /m (ii) Direcção y (não há momento) N1 0.5/4 N1/2 N1/2 0.72 Ft Fc R1/2 R1/2 R1/2 20

tg = d ( A - a) / 4 = 0.72 2.0/4-0.4/4 = 1.8 tg = R 1 / 2 F t F t = R 1 / 2 tg = 366.4 1.8 = 203.6 kn A s = F t f syd = 203.6 348 10 3 10 4 = 5.85 cm 2 A s = F t s f 1 syd x = 5.85 1.5 = 3.90 cm2 /m 21

4. Dimensionamento da sapata 2 (i) Direcção x N 2 M 2 0.175 N2/2 0.72 Fc Ft R2/2 R2/2 R2/2 tg = 0.72 2.5 / 4 + 0.175 = 0.9 tg = R 2 / 2 F t F t = R 2 / 2 tg = 1122.8 / 2 0.9 = 623.8 kn A s = F t f syd = 623.8 348 10 3 10 4 = 17.9 cm 2 A s s = F t f 1 syd x = 17.9 2 = 9.0 cm2 /m (ii) Direcção y (não há momento) tg = d ( A - a) / 4 = 0.72 2.0/4-0.4/4 = 1.8 tg = R 2 / 2 F t F t = R 2 / 2 tg = 1122.8 / 2 1.8 = 311.9 kn A s = F t f = 311.9 syd 348 10 3 10 4 = 8.96 cm 2 A s = F t s f 1 syd x = 8.96 2.5 = 3.58 cm2 /m 22

5. Dimensionamento da viga de fundação 500 1000 300 500 0.50 732.8 1122.8 4.50 DMF [knm] 300 ( - ) 550 550 233.3 (+) 500 233.3 500 M sd = 550 knm µ = 0.174 (d = 0.63) ; ω = 0.197 A s = 28.48 cm 2 V sd = 550 + 500 4.5 = 233.3 kn A sw s = V sd 0.9d cotg θ f syd = 233.3 0.9 0.63 cotg 30 348 10 3 10 4 = 6.83 cm 2 /m 23

EXERCÍCIO S3 Considere o maciço de encabeçamento de estacas representado na figura. 0.80 Nsd = 5600 kn Msd = 2160 knm 3.00 1.20 0.30 0.60 1.20 0.60 0.30 3.00 a) Determine o esforço axial nas estacas. b) Dimensione o maciço de encabeçamento (materiais: C20/25 e A400NR). c) Pormenorize as armaduras. 24

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO S3 ALÍNEA A) N i = N n ± M e i 2 = 5600 Σ e i 4 ± 2160 0.9 4 (0.6 + 0.3) 2 = 2000 kn (2 estacas) 800 kn (2 estacas) ALÍNEA B) (i) Direcção x 5600 kn 2160 knm 0.28 1.10 Ft Fc 2000 800 kn 2000 kn tg = 1.10 0.9-0.28 = 1.77 tg = R F t F t = R tg = 2000 1.77 A s = F t f syd = 1129.9 348 10 3 10 4 = 32.5 cm 2 = 1129.9 kn (ii) Direcção y (não há momento) tg = 1.10 0.9-0.2 = 1.57 tg = R F t F t = R tg = 2000 1.57 A s = F t f syd = 1272.7 348 10 3 10 4 = 36.6 cm 2 = 1272.7 kn 25