Unidade 10 Análise combinatória Introdução Princípio Fundamental da contagem Fatorial
Introdução A escolha do presente que você deseja ganhar em seu aniversário, a decisão de uma grande empresa quando às alternativas de investimento em certo ano e a seleção do time que técnico de futebol deve fazer para o próximo jogo são decisões que, na maioria das vezes, estão relacionadas a uma quantidade muito grande possibilidades. Como encontrar essas quantidades e escolher a melhor opção? Com o auxílio de Análise Combinatória, é impossível organizar as informações objetivando a contagem rápida das escolhas, sem a necessidade de contá-las uma a uma. Em alguns casos, inclusive, além de ser inconveniente, isso é praticamente impossível.
Introdução Vejamos, inicialmente, uma situação em que a quantidade de possibilidades não é representada por um número muito grande. Suponha, por exemplo, que uma empresa multinacional pretenda aumentar o lucro no próximo ano e, para alcançar a meta, necessita tomar três decisões importantes: 1º decisão: aumentar ou diminuir: aumentar ou diminuir o número de funcionários; 2º decisão: realizar um empréstimo junto a um de três bancos financeiros; 3º decisão: estabelecer uma nova política de investimentos ou manter a atual.
Introdução Cada decisão tem uma quantidade específica de possibilidade de escolha. Tomando as três decisões, de quantas maneiras ela poderá tentar alcançar a meta estabelecida? Vamos auxiliar a empresa na meta estabelecida, respondendo às seguintes questões:
Introdução Para você fazer p. 31 a) De quantas maneiras a empresa poderá tomar a 1ª decisão? R.: De duas maneiras: aumentando ou diminuindo a quantidade de funcionários. b) De quantas maneiras a empresa poderá tomar a 2ª decisão? R.: De três maneiras: banco 1, banco 2 ou banco 3, por exemplo. c) De quantas maneiras a empresa poderá tomar a 3ª decisão? R,: De duas maneiras: alterando ou mantendo a política de investimentos.
Introdução Para você fazer p. 31 d) Represente as opções de escolha em uma árvores de possibilidades e descubra de quantas maneiras a empresa poderá tomar as três decisões.
Introdução Para você fazer p. 31 e) Mostre uma maneira mais rápida de obter a quantidade total de possibilidade, sem construir a árvore. Resposta: Vamos supor que os clientes designados por A, B, C, D e E. Assim, o cliente A poderá receber uma das cinco cartas. Escolhidas a carta de A, o cliente B poderá receber quatro cartas. Escolhidas as duas cartas para A e B, o cliente C poderá receber três cartas. Escolhidas as quatro cartas para A, B, C, o cliente D poderá receber duas cartas. Escolhidas as quatro cartas para A, B, C e D, o cliente E poderá receber uma única carta. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, existem 5. 4. 3. 2. 1 = 120 maneiras.
Introdução As árvores de possibilidade são instrumentos eficientes na contagem dos agrupamentos que podemos realizar em uma determinada situação, pois elas organizam as informações. Porém, se a quantidade de escolhas aumentar muito, ficará impraticável construí-las. Nesses casos, necessitamos de métodos que nos permitam solucionar problemas de contagem com maior rapidez. Estudaremos a seguir métodos rápidos e eficientes, destinados à resolução de problemas relacionados à contagem.
Princípio Fundamental de Contagem O Princípio Fundamental de Contagem é uma das mais importante ferramentas em Análise Combinatória, estabelecendo os principais raciocínios utilizados na resolução de problemas de contagem. Nele, existem dois raciocínios (ou princípios) que podem ser empregados: Princípio aditivo e multiplicativo.
Princípio Fundamental de Contagem Princípio Aditivo Suponhamos que, na cantina do seu colégio, existam cinco tipos de suco de frutas disponíveis para a venda: laranja, pêssego, maçã, abacaxi e caju. Além disso, existem dois tipos de água mineral: com ou sem gás. Você deseja, para matar sua sede, pedir um único tipo de bebida entre as anteriores, sem repetições. Quantas opções de escolha existem?
Princípio Fundamental de Contagem Princípio Aditivo Existem cinco opções de suco e duas opções de água. Como você escolherá apenas uma delas, um dos sucos ou uma das águas minerais, então terá 7 (5 + 2) opções de escolha.
Princípio Fundamental de Contagem Princípio Aditivo Repare que as opções da bebida são independentes, ou seja, escolhida uma delas, as demais são eliminadas, sem a necessidade de nova escolha. Conceito Se existem m 1 maneiras de tomar a decisão D 1 e m 2 maneiras de tomar a decisão D 2, sendo D 1 e D 2 independentes, então o número de maneiras de optar pela decisão D 1 ou pela decisão D 2 é m 1 + m 2.
Princípio Aditivo Para você fazer p. 32 José escolherá apenas uma delas, ou seja, 10 + 2 = 12 possibilidades
Princípio Multiplicativo Em outra situação, imagine que, na cantina de sua escola, existam cinco opções de suco de frutas: pêssego, maçã, morango, caju e mamão. Você deseja escolher apenas um desses sucos, mas deverá decidir também se o suco será produzido com água ou leite. Escolhendo apenas uma das frutas e apenas um dos acompanhamentos, de quantas maneiras poderá pedir o suco?
Princípio Multiplicativo Observe que existem cinco opções de frutas e duas de acompanhamento para cada fruta possível de ser escolhida. Como você escolherá uma das frutas e, em seguida um dos acompanhamentos, então poderá pedir seu suco de 10 (5. 2) maneiras possíveis.
Princípio Multiplicativo Para generalizar o raciocínio exposto, a seguir temos a definição de Princípio Multiplicativo: Se existem m 1 maneiras de tomar a decisão D 1 e, para cada uma dessas maneiras, existem m 2 maneiras de tomar a decisão D 2, então o número de maneiras de tomar sucessivas decisões D 1 e D 2 é D 2 é m 1. m 2. Embora o enunciado anterior contemple apenas duas decisões, é importante destacar que o princípio pode ser estendido para mais escolhas.
Princípio Multiplicativo Para você fazer p. 33 Mauro escolherá apenas um dos 10 provedores. Para cada um deles, existem ainda duas opções de escolha de conexão. Logo, existem 10. 2 = 20 opções de acesso
Princípio Fundamental de Contagem Para estudarmos melhor os princípios e desenvolver ainda mais o raciocínio, acompanha a resolução do próximo exercício: Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 5 8 e 9 de modo que? a) Os algarismos possam ser repetidos? b) Os algarismos sejam distintos?
Princípio Fundamental de Contagem
Preste Atenção Existem algumas recomendações importantes na resolução de problemas de contagem. Entre elas, destacam-se: 1) Sempre que possível, divida as decisões a serem tomadas em decisões mais simples, portanto de fácil solução. 2) Os detalhes de um problema são importantes. Leia com atenção o enunciado e verifique se o problema permite ou não a repetição de elementos, por exemplo. 3) É imprescindível não adiar dificuldades. Se uma das decisões for mais específica ou mais restritiva que outra, esta deverá ser tomada em primeiro lugar.
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Fatorial Na resolução de problemas de Análise Combinatória é frequente a ocorrência de multiplicações cujos fatores são números que formam uma sequência decrescente, em que cada fator é uma unidade menor do que o anterior.
Fatorial Para exemplificar, considere a sequência formada pelos seis primeiros corredores de uma prova de 100 metros rasos. Considerando-se todas as sequências possíveis desses seis corredores, quantos resultados existem?
Fatorial A quantidade de maneiras de formar a sequência dependerá do número de escolhas que poderemos fazer para cada colocação. Analisando, inicialmente, o número de escolhas da 1º colocação da prova e assim por diante até última, temos:
Fatorial
Fatorial Para facilitar a representação dessas multiplicações, a partir de agora, utilizaremos o símbolo! para representá-las, ou seja: 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 Lê-se : fatorial de 6 ou o fatorial
Fatorial Para você fazer p. 35 a) 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 b) 5! 3! = (5. 4. 3. 2. 1) (3. 2. 1) = 120 6 = 114 c) 3!. 2! = (3. 2. 1). (2. 1) = 6. 2 = 12 (3. 2)! = 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720 Logo, 3!. 2! (3. 2)! d) n! = n(n 1).(n 2)....3. 2. 1
Fatorial Para generalizar a definição de fatorial de números naturais, observe: Conceito O fatorial de um número natural n, n 2, representado por n!, é definido como sendo o produto de n por tos que o antecedem até o número 1, ou seja: n! = n(n-1).(n-2).....3. 2. 1 Para que todos os problemas de contagem possam ser resolvidos adequadamente, ainda faz parte da definição: 1! = 1 e 0! = 1
Fatorial O conceito fatorial está intimamente ligado a formação de filas e sequências, no sentido de que, se uma fila tem n pessoas, existem n! maneiras possíveis de ordenar essa pessoas. Sendo assim, vamos refletir um pouco sobre duas questões importantes: os valores de 1! e 0!.
Fatorial Preste Atenção De quantas maneiras poderemos ordenar uma fila de uma única pessoa? Com uma só pessoa, existe apenas uma fila. Isso explica por que definimos 1! = 1 Adiante, estudaremos algumas fórmulas em Análise Combinatória e veremos que o único valor possível para 0!, que torna todas as fórmulas válidas, é 0! = 1.
Fatorial Organizando os princípios resultados de fatoriais de números naturais de 0 a 10, podemos escrever:
Fatorial Como existem fatoriais apenas de números naturais, para citar alguns exemplos, não estão definidos os seguintes fatoriais: 4 5 ( 3)!;! ou( 5)!
Fatorial Para você fazer Os números de resultados é dado por: 11. 10. 9..... 3. 2. 1 = 11. 10! = 11. 3 628 800 = 39 916 800 A intenção principal aqui é mostrar que podemos calcular o fatorial de um número maior em função de um número menor.
Fatorial Em muitos casos, a quantidade de possibilidades presentes em problemas de contagem é relativamente grande. Por isso, o estudo da operação fatorial apresentase como uma ferramenta importante, minimizando as operações aritméticas. Por exemplo: Qual é o valor de 20! 17! 20! 20.19.18.17! = = 17! 17! = 20.19.18= 6840?
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