Muitos dos dispersos pitagóricos acorreram a Atenas e Zenão e Parmênides, da escola eleática, foram ao grande centro para ensinar. Zenão de Eléia, filósofo e matemático viveu por volta de (495-430 a.c.), enunciou argumentos para provar a inconsistência dos conceitos de multiplicidade e divisibilidade. A concepção dos números figurados e a idéia de que o espaço e o tempo podem ser pensados como Colegiado do Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel 49
consistindo cada um de elementos separados, foram atacados por Zenão por meio de quatro paradoxos: Dicotomia, Aquiles e a Tartaruga, A flecha e O estádio. A Zenão foram atribuídos os exercícios de lógica, que são discutidos até hoje pelos matemáticos. Arquitas, matemático, astrônomo, músico e político grego de Tarento continuou a tradição pitagórica, colocando a aritmética acima da geometria. Escreveu sobre a aplicação das médias aritméticas e geométricas, sobre métodos interativos para determinação de raízes quadradas e, também, sobre geometria analítica e introduziu o estudo da média harmônica na música. Ele parece ter dado considerável atenção ao papel da matemática no aprendizado, e foi-lhe atribuída à designação dos quatro ramos no quadrivium matemático: aritmética (ou número em repouso), geometria (ou grandezas em repouso), música (ou números em movimento), astronomia (as grandezas em movimento). Um dos mais conhecidos matemáticos de sua época foi Eudoxo, pois dominou muitas técnicas da geometria. Eudoxo estudou um procedimento matemático para calcular a área de superfícies, que chamou de Método da Exaustão, que articula os conhecimentos de infinitésimos, o conceito de Soma Superior (Sup) e Soma Inferior (Inf), o que influenciaria os criadores do cálculo integral. Menaecmus, amigo de Platão e discípulo de Eudoxo descobriu as curvas que mais tarde foram chamadas elipses, parábola e hipérbole e deduziu as propriedades das secções cônicas. Seu irmão Dinostrato foi um geômetra competente. Teetetos discutiu a natureza das grandezas incomensuráveis, fez estudos mais extensos dos cinco sólidos regulares e talvez seja o responsável pelos cálculos das razões das arestas dos sólidos regulares para o raio da esfera circunscrita. Grande parte do material do décimo e do décimo terceiro livros de Euclides deve-se a ele. Ao longo desses trezentos anos existem três distintas linhas de desenvolvimento da matemática grega. Colegiado do Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel 50
A primeira é o desenvolvimento material que acabou se organizando em os Elementos, iniciado habilmente pelos pitagóricos e acrescido depois por Hipócrates, Eudoxo, Teodoro e outros. A segunda linha consiste no desenvolvimento de noções relacionadas com infinitésimos e infinitos e processos somatórios, que só foram esclarecidos de vez com a invenção do cálculo nos tempos modernos. Os paradoxos de Zenão, o método de exaustão de Antífon e Eudoxo e a teoria atomística associada ao nome de Demócrito inserem-se nesta segunda linha. Por último a linha de desenvolvimento da geometria superior, ou geometria de curvas que não a reta e a circunferência e superfícies outras que não o plano e a esfera. Essa geometria surgiu na tentativa de solucionar os três famosos problemas de construção. Os três grandes problemas são os seguintes: 1. Duplicação do cubo ou problema de construir o lado de um cubo, cujo volume é o dobro do de um cubo dado; 2. Trissecção do ângulo ou problema de dividir um ângulo arbitrário dado em três partes iguais; 3. Quadratura do círculo ou problema de construir um quadrado com área igual à de um círculo dado. Esses problemas tiveram grande importância, pois eles não podem ser resolvidos, a não ser aproximadamente, com régua e compasso. Alem disso, eles foram importantes para o desenvolvimento de novas teorias. Na época em que foram criados houve descobertas das secções cônicas e estudos de curvas. Vários anos depois desenvolveram-se teorias como a das equações ligadas a domínios de racionalidade, números algébricos e teoria dos grupos. Somente no século XIX se estabeleceu a impossibilidade das três construções. 3.1 Sobre a impossibilidade Com esses instrumentos é possível fazer várias construções, de forma que parece impossível a idéia de que não se possa resolver os três problemas descritos acima. Colegiado do Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel 51
π Colegiado do Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel 52
= = = = = Colegiado do Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel 53
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1 Anaxágoras foi o fundador da primeira escola filosófica dessa cidade. Na matemática representava o motivo grego típico o desejo de saber. Anaxágoras foi preso em Atenas, por assegurar que o sol não era uma divindade, mais uma grande pedra incandescente, e que a lua era uma terra habitada. Anaxágoras faleceu em 428 a.c. Colegiado do Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel 56
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