Construções com Régua e Compasso: Os Problemas Clássicos da Matemática Grega
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- Ana Laura Cunha Alcântara
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1 Construções com Régua e Compasso: Os Problemas Clássicos da Matemática Grega Lúcio Fassarella Universidade Federal do Espírito Santo lucio.fassarella@ufes.br June 19, 2018 Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
2 Sumário 1 Introdução Excertos da História da Resolução dos Problemas Gregos clássicos 2 Construções Geométricas com Régua e Compasso Definições Exemplos 3 Os Teoremas de Wantzel Enunciados Impossibilidade do Problema da Dublicação do Cubo Impossibilidade do Problema da Trisecção do Ângulo 4 Conclusão Construções Geométricas no Ensino da Matemática Bibliografia Comentada 5 Referências Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
3 Introdução INTRODUÇÃO Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
4 Introdução Problemas Gregos Clássicos Os Três Problemas Clássicos da Matemática Grega (ou Três Problemas Gregos Clássicos) são questões acerca da possibilidade de realizar os seguintes procedimentos usando exclusivamente régua (não graduada) e compasso: Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
5 Introdução Problemas Gregos Clássicos Os Três Problemas Clássicos da Matemática Grega (ou Três Problemas Gregos Clássicos) são questões acerca da possibilidade de realizar os seguintes procedimentos usando exclusivamente régua (não graduada) e compasso: Trisecção do ângulo: dividir um ângulo dado em três partes iguais; Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
6 Introdução Problemas Gregos Clássicos Os Três Problemas Clássicos da Matemática Grega (ou Três Problemas Gregos Clássicos) são questões acerca da possibilidade de realizar os seguintes procedimentos usando exclusivamente régua (não graduada) e compasso: Trisecção do ângulo: dividir um ângulo dado em três partes iguais; Quadratura do círculo: construir um quadrado que possui a mesma área de um círculo dado; Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
7 Introdução Problemas Gregos Clássicos Os Três Problemas Clássicos da Matemática Grega (ou Três Problemas Gregos Clássicos) são questões acerca da possibilidade de realizar os seguintes procedimentos usando exclusivamente régua (não graduada) e compasso: Trisecção do ângulo: dividir um ângulo dado em três partes iguais; Quadratura do círculo: construir um quadrado que possui a mesma área de um círculo dado; Duplicação do cubo: construir um cubo que possui o dobro do volume de um cubo dado; Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
8 Introdução Problemas Gregos Clássicos Construção de poligonos regulares: dividir uma circunferência num número inteiro n de partes. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
![Introdução Problemas Gregos Clássicos: o Problema de Delos Eduardo Wagner (2007, pp.103-104]) descreve a famosa lenda do Problema de Delos: Conta a lenda que, em 429 a.c., os atenienses dirigiram-se ao célebre oráculo de Apolo na ilha de Delos, suplicando a graça de fazer cessar uma peste que então assolava a sua cidade.](/docs-images/83/87262577/images/9-0.jpg "O oráculo respondeu, exigindo que fosse construido um outro altar no templo da divindade, com o dobro do tamanho do que lá existia.")
9 Introdução Problemas Gregos Clássicos: o Problema de Delos Eduardo Wagner (2007, pp ]) descreve a famosa lenda do Problema de Delos: Conta a lenda que, em 429 a.c., os atenienses dirigiram-se ao célebre oráculo de Apolo na ilha de Delos, suplicando a graça de fazer cessar uma peste que então assolava a sua cidade. O oráculo respondeu, exigindo que fosse construido um outro altar no templo da divindade, com o dobro do tamanho do que lá existia. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
10 Introdução Problemas Gregos Clássicos: o Problema de Delos Os atenienses construiram então o novo altar, dobrando a aresta do antigo (em forma de um cubo), o que naturalmente, multiplicou o volume do altar por oito (a nova aresta, claro, deveria ser 3 2 vezes a anterior [ao invés de duas vezes]). Devido a esta falha, a peste continuou e dizimou um grande número de atenienses. Assim, o problema de duplicar o cubo ficou conhecido como o problema de Delos. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
11 Introdução Problemas Gregos Clássicos: Construções... Muitas figuras geométricas interessantes podem ser construidas usando exclusivamente régua e compasso por exemplo, Euclides apresenta mais de 100 construções nos Elementos. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
12 Introdução Problemas Gregos Clássicos: Construções... Muitas figuras geométricas interessantes podem ser construidas usando exclusivamente régua e compasso por exemplo, Euclides apresenta mais de 100 construções nos Elementos. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
13 Introdução Problemas Gregos Clássicos: Impossíveis... Entretanto, não é possível realizar nenhuma dos procedimentos que constituem os Três Problemas Gregos Clássicos! Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
14 Introdução Problemas Gregos Clássicos: Impossíveis... Entretanto, não é possível realizar nenhuma dos procedimentos que constituem os Três Problemas Gregos Clássicos! Essa conclusão negativa foi obtida somente após a Matemática ter alcançado maturidade suficiente em técnicas algébricas e anaĺıticas, o que levou mais de 2000 anos para acontecer desde que os problemas foram formulados! Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
15 Introdução Excertos da História da Resolução dos Problemas Gregos clássicos Excertos da História da Resolução dos Problemas Gregos clássicos Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
16 Introdução Excertos da História da Resolução dos Problemas Gregos clássicos Problemas Gregos Clássicos: Álgebra e Geometria Personagens importantes da história: Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
17 Introdução Excertos da História da Resolução dos Problemas Gregos clássicos Problemas Gregos Clássicos: Álgebra e Geometria Personagens importantes da história: René Descartes ( ) Niels Henrik Abel ( ) Évariste Galois ( ) Pierre Laurent Wantzel ( ) Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
18 Introdução Excertos da História da Resolução dos Problemas Gregos clássicos Álgebra e Geometria: Descartes René Descartes ( ) foi o criador da Geometria Anaĺıtica, cujo trabalho foi fundamental para o relacionamento de problemas geométricos e algébricos. Essencialmente, ele antecipou a ideia fundamental que permite transformar problemas geométricos em problemas algébricos, e vice-versa. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
19 Introdução Excertos da História da Resolução dos Problemas Gregos clássicos Álgebra e Geometria: Descartes O trabalho de Descartes é muito frequentemente descrito como a aplicação da álgebra à geometria, mas ele pode ser igualmente caracterizado como a translação de operações algébricas na linguagem da geometria. A primeira seção de La géométrie é intitulada Como os Cálculos da Aritmética Estão Relacionados às Operações da Geometria. A segunda seção descreve Como Multiplicação, Divisão, e a Extração de Raízes Quadradas São Realizadas Geometricamente. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
20 Introdução Excertos da História da Resolução dos Problemas Gregos clássicos Álgebra e Geometria: Descartes O trabalho de Descartes é muito frequentemente descrito como a aplicação da álgebra à geometria, mas ele pode ser igualmente caracterizado como a translação de operações algébricas na linguagem da geometria. A primeira seção de La géométrie é intitulada Como os Cálculos da Aritmética Estão Relacionados às Operações da Geometria. A segunda seção descreve Como Multiplicação, Divisão, e a Extração de Raízes Quadradas São Realizadas Geometricamente. Aqui, Descartes estava fazendo o que havia sido feito em alguma extensão do tempo de al-khwarizmi até Oughtred fornecer uma base geométrica para as operações algébricas. As cinco operações aritméticas são mostradas corresponder a simples construções com régra e compasso, então justificando a introdução de termos aritméticos na geometria. [Boyer-Merzbach, 2011, p.311]. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
21 Introdução Excertos da História da Resolução dos Problemas Gregos clássicos Álgebra e Geometria: Abel e Galois Niels Henrik Abel ( ) e Évariste Galois ( ) são considerados fundadores independentes da Teoria dos Grupos e dois dos maiores algebristas da história da Matemática. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
22 Introdução Excertos da História da Resolução dos Problemas Gregos clássicos Álgebra e Geometria: Abel Abel fundou a Teoria das Funções Eĺıpticas e também demonstrou a inexistência de solução algébrica para equações polinomiais de grau maior ou igual a cinco. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
23 Introdução Excertos da História da Resolução dos Problemas Gregos clássicos Álgebra e Geometria: Abel Abel fundou a Teoria das Funções Eĺıpticas e também demonstrou a inexistência de solução algébrica para equações polinomiais de grau maior ou igual a cinco. Funções eĺıpticas são funções complexas (meromorfas) que possuem período ao longo de duas direções distintas do plano complexo, generalizando as funções trigonométricas (que possuem período somente no eixo real): f (z + a) = f (z) = f (z + b), z C. com a b, Im (a/b) 0. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
24 Introdução Excertos da História da Resolução dos Problemas Gregos clássicos Álgebra e Geometria: Abel Abel fundou a Teoria das Funções Eĺıpticas e também demonstrou a inexistência de solução algébrica para equações polinomiais de grau maior ou igual a cinco. Funções eĺıpticas são funções complexas (meromorfas) que possuem período ao longo de duas direções distintas do plano complexo, generalizando as funções trigonométricas (que possuem período somente no eixo real): f (z + a) = f (z) = f (z + b), z C. com a b, Im (a/b) 0. As funções eĺıpticas encontram aplicações em algumas áreas da Matemática, dentre as quais a teoria das equações modulares. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
25 Introdução Excertos da História da Resolução dos Problemas Gregos clássicos Álgebra e Geometria: Galois Galois fundou a Teoria de Galois (sobre corpos e extensões algébricas) e também a aplicou a teoria das equações algébricas. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
26 Introdução Excertos da História da Resolução dos Problemas Gregos clássicos Álgebra e Geometria: Galois Galois fundou a Teoria de Galois (sobre corpos e extensões algébricas) e também a aplicou a teoria das equações algébricas. Na Teoria de Galois, o corpo dos números complexos C é o corpo de raízes do polinômio real p (x) = x 2 + 1, i.e., [ 1 ] C = R. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
27 Introdução Excertos da História da Resolução dos Problemas Gregos clássicos Álgebra e Geometria: Wantzel Pierre Laurent Wantzel ( ) estudou as construções com regua e compasso e escreveu um importante trabalho quando tinha 23 anos de idade, no qual resolveu a questão dos Problemas Clássicos. Tecnicamente, sua demonstração está baseada no relacionamento entre contruções geométricas e raízes de equações algébricas. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
28 Introdução Excertos da História da Resolução dos Problemas Gregos clássicos Álgebra e Geometria: Wantzel Pierre Laurent Wantzel ( ) estudou as construções com regua e compasso e escreveu um importante trabalho quando tinha 23 anos de idade, no qual resolveu a questão dos Problemas Clássicos. Tecnicamente, sua demonstração está baseada no relacionamento entre contruções geométricas e raízes de equações algébricas. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
29 Construções Geométricas com Régua e Compasso CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS COM RÉGUA E COMPASSO Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
30 Construções Geométricas com Régua e Compasso Definições Construções Geométricas com Régua e Compasso Nas construções geométricas com régua (não graduada) e compasso são admitidos somente os seguintes procedimentos: Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
31 Construções Geométricas com Régua e Compasso Definições Construções Geométricas com Régua e Compasso Nas construções geométricas com régua (não graduada) e compasso são admitidos somente os seguintes procedimentos: A régua só pode traçar retas ou segmentos de reta definidos por um par de pontos dados; Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
32 Construções Geométricas com Régua e Compasso Definições Construções Geométricas com Régua e Compasso Nas construções geométricas com régua (não graduada) e compasso são admitidos somente os seguintes procedimentos: A régua só pode traçar retas ou segmentos de reta definidos por um par de pontos dados; O compasso só pode traçar circunferências com o centro e um de seus pontos dados. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
33 Construções Geométricas com Régua e Compasso Definições Construções Geométricas com Régua e Compasso Nas construções geométricas com régua (não graduada) e compasso são admitidos somente os seguintes procedimentos: A régua só pode traçar retas ou segmentos de reta definidos por um par de pontos dados; O compasso só pode traçar circunferências com o centro e um de seus pontos dados. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
34 Construções Geométricas com Régua e Compasso Definições Construções Geométricas com Régua e Compasso Figuras Construtíveis são figuras construídas com régua e compasso obtidas com um número finito de procedimentos admissíveis aplicados a figuras já construídas, partindo de dois pontos com distância unitária. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
35 Construções Geométricas com Régua e Compasso Definições Construções Geométricas com Régua e Compasso Figuras Construtíveis são figuras construídas com régua e compasso obtidas com um número finito de procedimentos admissíveis aplicados a figuras já construídas, partindo de dois pontos com distância unitária. Números Construtíveis são distâncias entre pontos de interseção de figuras construtíveis. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
36 Construções Geométricas com Régua e Compasso Exemplos Construções Geométricas com Régua e Compasso: Exemplos Algumas construções: Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
37 Construções Geométricas com Régua e Compasso Exemplos Construções Geométricas com Régua e Compasso: Exemplos Algumas construções: Reta perpendicular a uma reta dada. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
38 Construções Geométricas com Régua e Compasso Exemplos Construções Geométricas com Régua e Compasso: Exemplos Algumas construções: Reta perpendicular a uma reta dada. Reta paralela a uma reta dada. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
39 Construções Geométricas com Régua e Compasso Exemplos Construções Geométricas com Régua e Compasso: Exemplos Algumas construções: Reta perpendicular a uma reta dada. Reta paralela a uma reta dada. Diâmetro de uma circunferência. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
40 Construções Geométricas com Régua e Compasso Exemplos Construções Geométricas com Régua e Compasso: Exemplos Algumas figuras e números construtíveis: Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
41 Construções Geométricas com Régua e Compasso Exemplos Construções Geométricas com Régua e Compasso: Exemplos Algumas figuras e números construtíveis: Triângulo equilátero com lado unitário. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
42 Construções Geométricas com Régua e Compasso Exemplos Construções Geométricas com Régua e Compasso: Exemplos Algumas figuras e números construtíveis: Triângulo equilátero com lado unitário. O ângulo de π 6. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
43 Construções Geométricas com Régua e Compasso Exemplos Construções Geométricas com Régua e Compasso: Exemplos Algumas figuras e números construtíveis: Triângulo equilátero com lado unitário. O ângulo de π 6. A raiz quadrada de 2. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
44 Construções Geométricas com Régua e Compasso Exemplos Construções Geométricas com Régua e Compasso: Exemplos Algumas figuras e números construtíveis: Triângulo equilátero com lado unitário. O ângulo de π 6. A raiz quadrada de 2. o cosseno de um ângulo dado. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
45 Construções Geométricas com Régua e Compasso Exemplos Construções Geométricas com Régua e Compasso: Exemplos Algumas figuras e números construtíveis: Triângulo equilátero com lado unitário. O ângulo de π 6. A raiz quadrada de 2. o cosseno de um ângulo dado. Dado um número c (0, 1), o ângulo agudo cujo cosseno é c. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
46 Construções Geométricas com Régua e Compasso Exemplos Construções Geométricas com Régua e Compasso: Exemplos Algumas construções geométricas de caráter algébrico, para dados a, b, c 0: Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
47 Construções Geométricas com Régua e Compasso Exemplos Construções Geométricas com Régua e Compasso: Exemplos Algumas construções geométricas de caráter algébrico, para dados a, b, c 0: Os números a + b, a b, a b, a/b. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
48 Construções Geométricas com Régua e Compasso Exemplos Construções Geométricas com Régua e Compasso: Exemplos Algumas construções geométricas de caráter algébrico, para dados a, b, c 0: Os números a + b, a b, a b, a/b. A solução da equação ax + b = 0. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
49 Construções Geométricas com Régua e Compasso Exemplos Construções Geométricas com Régua e Compasso: Exemplos Algumas construções geométricas de caráter algébrico, para dados a, b, c 0: Os números a + b, a b, a b, a/b. A solução da equação ax + b = 0. A solução da equação ax 2 + bx + c = 0. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
50 Os Teoremas de Wantzel OS TEOREMAS DE WANTZEL Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
51 Os Teoremas de Wantzel Enunciados Os teoremas de Wantzel Teorema 1 Uma figura geométrica e construtível se, e somente se, as medidas dos segmentos definidos por ela podem ser obtidos por uma quantidade finita de operações de soma, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes quadradas, começando com o número 1. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
52 Os Teoremas de Wantzel Enunciados Os teoremas de Wantzel Teorema 1 Uma figura geométrica e construtível se, e somente se, as medidas dos segmentos definidos por ela podem ser obtidos por uma quantidade finita de operações de soma, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes quadradas, começando com o número 1. Teorema 2 Dada uma equação do terceiro grau com coeficientes racionais, suas raízes são construtíveis se, e somente se, uma delas é racional. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
53 Os Teoremas de Wantzel Enunciados Os teoremas de Wantzel Teorema 1 Uma figura geométrica e construtível se, e somente se, as medidas dos segmentos definidos por ela podem ser obtidos por uma quantidade finita de operações de soma, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes quadradas, começando com o número 1. Teorema 2 Dada uma equação do terceiro grau com coeficientes racionais, suas raízes são construtíveis se, e somente se, uma delas é racional. Para demonstrações desses teoremas, vide [Courant-Robbins, 2000, pp.161ss]. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
54 Os Teoremas de Wantzel Impossibilidade do Problema da Dublicação do Cubo IMPOSSIBILIDADE DA DUPLICAÇÃO DO CUBO Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
55 Os Teoremas de Wantzel Impossibilidade do Problema da Dublicação do Cubo Demonstração... Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
56 Os Teoremas de Wantzel Impossibilidade do Problema da Dublicação do Cubo Demonstração... 1 Para duplicar um cubo com lado L dado (no sentido de Delos), temos que construir um cubo com lado 3 2L o que depende do número 3 2 ser construtível. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
57 Os Teoremas de Wantzel Impossibilidade do Problema da Dublicação do Cubo Demonstração... 1 Para duplicar um cubo com lado L dado (no sentido de Delos), temos que construir um cubo com lado 3 2L o que depende do número 3 2 ser construtível é raiz da seguinte equação de terceiro grau com coeficientes racionais: x 3 2 = 0. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
58 Os Teoremas de Wantzel Impossibilidade do Problema da Dublicação do Cubo Demonstração... 1 Para duplicar um cubo com lado L dado (no sentido de Delos), temos que construir um cubo com lado 3 2L o que depende do número 3 2 ser construtível é raiz da seguinte equação de terceiro grau com coeficientes racionais: x 3 2 = 0. 3 As três raízes dessa equação são os números (complexos): 3 2, ( sin π/3 + i cos π/3) 3 2, ( sin π/3 i cos π/3) 3 2. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
59 Os Teoremas de Wantzel Impossibilidade do Problema da Dublicação do Cubo Demonstração... 1 Para duplicar um cubo com lado L dado (no sentido de Delos), temos que construir um cubo com lado 3 2L o que depende do número 3 2 ser construtível é raiz da seguinte equação de terceiro grau com coeficientes racionais: x 3 2 = 0. 3 As três raízes dessa equação são os números (complexos): 3 2, ( sin π/3 + i cos π/3) 3 2, ( sin π/3 i cos π/3) Nenhum desses números são racionais! Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
60 Os Teoremas de Wantzel Impossibilidade do Problema da Dublicação do Cubo Demonstração... 1 Para duplicar um cubo com lado L dado (no sentido de Delos), temos que construir um cubo com lado 3 2L o que depende do número 3 2 ser construtível é raiz da seguinte equação de terceiro grau com coeficientes racionais: x 3 2 = 0. 3 As três raízes dessa equação são os números (complexos): 3 2, ( sin π/3 + i cos π/3) 3 2, ( sin π/3 i cos π/3) Nenhum desses números são racionais! 5 Pelo Teorema de Wantzel, concluimos que 3 2 não é construtível. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
61 Os Teoremas de Wantzel Impossibilidade do Problema da Trisecção do Ângulo IMPOSSIBILIDADE DO TRISSECÇÃO DO ÂNGULO: Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
62 Os Teoremas de Wantzel Impossibilidade do Problema da Trisecção do Ângulo Demonstração... Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
63 Os Teoremas de Wantzel Impossibilidade do Problema da Trisecção do Ângulo Demonstração... 1 Primeiro: cos (3θ) = 4 cos 3 (θ) 3 cos (θ). Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
64 Os Teoremas de Wantzel Impossibilidade do Problema da Trisecção do Ângulo Demonstração... 1 Primeiro: cos (3θ) = 4 cos 3 (θ) 3 cos (θ). 2 Para θ = 20, vale cos (3θ) = 1/2 e essa equação assume a forma: 8 cos 3 (θ) 6 cos (θ) 1 = 0. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
65 Os Teoremas de Wantzel Impossibilidade do Problema da Trisecção do Ângulo Demonstração... 1 Primeiro: cos (3θ) = 4 cos 3 (θ) 3 cos (θ). 2 Para θ = 20, vale cos (3θ) = 1/2 e essa equação assume a forma: 8 cos 3 (θ) 6 cos (θ) 1 = 0. 3 Como 60 é construtível, se for possível trisectar 60, então 20 e cos (20 ) serão construtíveis. 4 cos (20 ) é raiz desta equação do terceiro grau com coeficientes racionais: 8x 3 6x 1 = 0. 5 Acontece que as raízes dessa equação não são racionais! Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
66 Os Teoremas de Wantzel Impossibilidade do Problema da Trisecção do Ângulo 5 Acontece que as raízes dessa equação não são racionais! 6 Pelo Teorema de Wantzel, isso significa que cos (20 ) não é construtível logo, não é possível trisectar o ângulo 60. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40 Demonstração... 1 Primeiro: cos (3θ) = 4 cos 3 (θ) 3 cos (θ). 2 Para θ = 20, vale cos (3θ) = 1/2 e essa equação assume a forma: 8 cos 3 (θ) 6 cos (θ) 1 = 0. 3 Como 60 é construtível, se for possível trisectar 60, então 20 e cos (20 ) serão construtíveis. 4 cos (20 ) é raiz desta equação do terceiro grau com coeficientes racionais: 8x 3 6x 1 = 0.
67 Conclusão CONCLUSÃO Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
68 Conclusão Construções Geométricas no Ensino da Matemática Construções Geométricas no Ensino da Matemática Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
69 Conclusão Construções Geométricas no Ensino da Matemática Construções Geométricas no Ensino da Matemática Didaticamente, os problemas de construção geométrica podem ser muito úteis no ensino-aprendizagem de Geometria, pois estimulam a fixação de conceitos, a criatividade, o raciocínio lógico e metódico: Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
70 Conclusão Construções Geométricas no Ensino da Matemática Construções Geométricas no Ensino da Matemática Didaticamente, os problemas de construção geométrica podem ser muito úteis no ensino-aprendizagem de Geometria, pois estimulam a fixação de conceitos, a criatividade, o raciocínio lógico e metódico: Os problemas de construção são motivadores, às vezes intrigantes e frequentemente conduzem à descoberta de novas propriedades. São educativos no sentido que em cada um é necessária uma análise da situação onde se faz o planejamento da construção, seguindo-se a execução dessa construção, a poosterior conclusão sobre o número de soluções distintas e também sobre a compatibilidade dos dados. [Wagner, 2007, Prefácio]. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
71 Conclusão Construções Geométricas no Ensino da Matemática Construções Geométricas no Ensino da Matemática As construções geométricas são apontadas pelos PCNs e têm recebido atenção de educadores no Brasil: Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
72 Conclusão Construções Geométricas no Ensino da Matemática Construções Geométricas no Ensino da Matemática As construções geométricas são apontadas pelos PCNs e têm recebido atenção de educadores no Brasil: Segundo Zuin (2011, p.190): Poderíamos indicar que o retorno do ensino das construções geométricas, no Brasil, de uma forma mais ampla, já começa a se concretizar, através dos PCN, das coleções de livros didáticos de matemática e das novas reformulações das coleções de livros didáticos de Desenho Geométrico uma vez que existem escolas que mantiveram, reincluíram ou agregaram esta disciplina aos seus currículos. O ensino das construções geométricas tem sido valorizado por possibilitar a visualização, auxiliando nas conjecturas e provas na geometria. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
73 Conclusão Construções Geométricas no Ensino da Matemática Construções Geométricas no Ensino da Matemática Continuando com Zuin (2011, pp.186-7): Defendemos como importante o trabalho com as construções geométricas no ensino fundamental, pois são indispensáveis à construção do conhecimento da Geometria. Porém, a relação entre os traçados geométricos e a geometria com a justificativa das construções deve acontecer sempre, do contrário, não se tem uma aprendizagem efetiva (...). Se não estiverem justificados pela geometria euclidiana, os traçados geométricos não desenvolvem um raciocínio lógico, se mostram como uma seqüência de procedimentos sem sentido para o estudante. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
74 Conclusão Bibliografia Comentada Bibliografia comentada Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
75 Conclusão Bibliografia Comentada Bibliografia Comentada [Gonçalves, 2005] é um texto técnico de álgebra que aborda com rigor o tema das construções com régua e compasso, nas páginas Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
76 Conclusão Bibliografia Comentada Bibliografia Comentada [Gonçalves, 2005] é um texto técnico de álgebra que aborda com rigor o tema das construções com régua e compasso, nas páginas [Garbi, 2007] é uma apresentação panorâmica da história da Matemática com foco em álgebra, voltado para um público leigo; apresenta os problemas de construções com régua e compasso de modo bastante acessível e, dentre outras coisas, narra como Gauss descobriu o modo de construir com régua e compasso um heptadecágono (ou com dividir uma circunferência em 17 partes iguais). Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
77 Conclusão Bibliografia Comentada Bibliografia Comentada [Gonçalves, 2005] é um texto técnico de álgebra que aborda com rigor o tema das construções com régua e compasso, nas páginas [Garbi, 2007] é uma apresentação panorâmica da história da Matemática com foco em álgebra, voltado para um público leigo; apresenta os problemas de construções com régua e compasso de modo bastante acessível e, dentre outras coisas, narra como Gauss descobriu o modo de construir com régua e compasso um heptadecágono (ou com dividir uma circunferência em 17 partes iguais). [Boyer-Merzbach, 2011] e [Eves, 1969] são livros clássicos de história da Matemática que discorrem sobre diversos aspectos do tema, mas ambos não mencionam Wantzel. [Wagner, 2007] é uma referências bastante acessível sobre o tema construbibilidade com régua e compasso e os Problemas Clássicos; o Apêndice A traz definições, discussões e problemas propostos. Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
78 Referências Referências I A. Bogomolny Four Problems Of Antiquity URL: (Accessado em 13/06/2014) Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach A History of Mathematics - 3th. edition Wiley: 2011 R. Courant, H. Robbins O que é matemática? Uma abordagem elementar de métodos e conceitos 5a. edição Editora Ciência Moderna: Rio de Janeiro, 2000 Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
79 Referências Referências II Howard Eves An Introduction to the History of Mathematics - 3th. edition Holt, Rinehart and Winston: 1969 Gilberto G. Garbi O Romance das Equações Algébricas 2a. edição revista e ampliada Editora Livraria da Física: São Paulo, 2007 Adilson Gonçalves Introdução à Álgebra IMPA: Rio de Janeiro, 2005 Gert Schubring, Tatiana Roque O papel da régua e do compasso nos Elementos de Euclides: uma prática interpretada como regra História Unisinos, v. 18, n. 1, pp (2014) :., Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
80 Referências Referências III Eduardo Wagner. Construções Geométricas 6a. edição SBM: Rio de Janeiro, Elenice de Souza Lodron Zuin Da Régua e do Compasso: as Construções Geométricas como um Saber Escolar no Brasil (Dissertação de Mestrado) Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade Federal de Minas Gerais: UFMG, 2001 Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
81 Referências OBRIGADO! Lúcio Fassarella (UFES) Construções com Régua e Compasso June 19, / 40
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