TEORIAS PLANETÁRIAS Desde a época do homem das cavernas o ser humano foi, é e sempre será fascinado pelo universo, seus mistérios, suas peculiaridades, seus fenômenos e seu misticismo. Em todas as civilizações e por muitos séculos, filósofos, astrônomos e astrólogos procuraram explicar o modo como o Sol, a Lua, os planetas, as estrelas, os cometas e a Terra deveriam, de alguma forma, se organizar no céu, pois seus movimentos eram sabidamente periódicos e dessa forma, previsíveis. Por séculos elaboraram-se muitas teorias sobre essa organização dos astros e era inevitável que por muito tempo prevalecesse a idéia de que giravam ao redor da Terra. O Sol e a Lua cruzando o céu, desaparecendo de um lado e surgindo no lado oposto e as estrelas em trajetórias circulares não intrigaram tanto ao homem quanto o movimento dos planetas que, em determinadas épocas do ano, pareciam recuar, para depois seguirem em frente na sua trajetória pelo céu. Esse modelo recebeu o nome de Sistema Heliocêntrico, pois propunha ser o Sol o centro do universo (idéia já proposta, antigamente, por Aristarco e rejeitada pelos outros astrônomos gregos), em torno do qual circulam todos os planetas e a Terra, que também é um planeta. Ao redor da Terra circula a Lua, que é seu satélite. No sistema de Copérnico havia ainda uma esfera imóvel, na qual situavam-se as estrelas fixas, já que ele não conseguira perceber que se movimentam, pois estão muito distantes da Terra. TEORIA GEOCÊNTRICA No início da era cristã (século II), Cláudio Ptolomeu propôs, como tantos outros o haviam feito, um sistema que era capaz de explicar e prever esses movimentos com razoável precisão. Esse sistema recebeu o nome de Sistema Geocêntrico e situava a Terra como centro do universo, em torno da qual se moviam em trajetórias circulares: a Lua, Mercúrio, Vênus, o Sol, Marte, Júpiter e Saturno, nessa ordem. Para explicar o retrocesso de alguns planetas durante seu movimento, Ptolomeu justificava que o movimento dos planetas era circular em torno de um ponto C (movimento denominado: epiciclo ), e este é que girava ao redor da Terra, conforme a figura. Tycho Brahe (1546-1601), um astrônomo dinamarquês que passou a maior parte de sua vida observando o céu noturno, propôs em 1585 um modelo que, em parte, conciliava os modelos de Ptolomeu e Copérnico. Seu sistema também era geocêntrico, tendo a Terra como centro, os planetas girando ao redor do Sol e este ao redor da Terra, tudo num mesmo plano. Em 1600, Tycho Brahe recebeu Johannes Kepler (1571-1630), um jovem astrônomo alemão, a quem encarregou de estudar a órbita de Marte e ajudá-lo a organizar dados coletados durante vinte anos de observações. LEIS DE KEPLER Após analisar dados obtidos por Tycho Brahe, que viera a falecer um ano após a sua chegada, Kepler formulou três leis, baseadas no modelo heliocêntrico de Copérnico. 1 A LEI: LEI DAS ÓRBITAS Os planetas descrevem, ao redor do Sol, órbitas elípticas pouco excêntricas, das quais o Sol ocupa um dos focos. Apesar da complexidade e imprecisão, pois os calendários e as cartas de navegação, nele baseados, precisavam ser corrigidos de tempos em tempos, o sistema de Ptolomeu prevaleceu por catorze séculos. Tal lei era coerente com o sistema de Copérnico, só discordando deste quanto à forma da órbita dos planetas ao redor do Sol, pois para que houvesse coerência com os dados encontrados, a órbita de Marte só poderia ser uma elipse e não uma circunferência. TEORIA HELIOCÊNTRICA No século XVI, surge um astrônomo polonês de nome Nicolau Copérnico (1473-1543), propondo um novo modelo para explicar a organização do universo. 51
Na elipse da figura, o segmento AA é denominado semi-eixo maior e a medida f do segmento F 1 C é a distância focal. Pela definição de elipse tem-se que, para qualquer ponto da elipse: (constante) A excentricidade e da elipse é definida por: Quando e = 0 temos uma circunferência e não uma elipse; e quando e = 1 temos um segmento de reta. Assim, a trajetória dos planetas é quase uma circunferência, ou seja, os dois focos encontram-se muito próximos um do outro. 2 A LEI: LEI DAS ÁREAS 3 A LEI: LEI DOS PERÍODOS O quadrado do período de translação de um planeta é diretamente proporcional ao cubo do raio médio de sua órbita. Esta lei pode ser enunciada de três modos diferentes: 1 o modo O segmento de reta imaginário que une o planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais. Sendo T o intervalo de tempo gasto pelo planeta para completar uma volta ao redor do Sol, denominado período de Sendo o intervalo de tempo para o planeta ir de 1 translação e R o raio médio de sua órbita, tal que :, podemos escrever: para 2, e o intervalo de tempo para ir de 3 para 4, então: Para os planetas do sistema solar, temos: 2 o modo implica As áreas varridas pelo segmento imaginário que une o planeta ao Sol são proporcionais aos tempos gastos em varrê-las. Nesse caso, temos proporcionalidade. 3 o modo onde K é uma constante de A velocidade areolar de um planeta é constante. Define-se velocidade areolar como sendo o quociente entre a área varrida A e o tempo gasto em varrê-la t. Pela 2 a lei de Kepler observamos que o planeta, no mesmo intervalo de tempo, percorre o arco de elipse entre as posições 1 e 2 com uma velocidade média maior do que aquela que tem entre as posições 3 e 4. Assim, na posição de periélio (mais próximo do Sol) a velocidade linear do planeta é máxima, e na posição afélio (mais distante do Sol) sua velocidade linear é mínima. O período de translação do planeta Mercúrio é o menor de todos, pois é o planeta que se encontra mais próximo do Sol, já o período de translação de Plutão é o maior de todos, pois é o planeta que está mais distante do Sol. LEI DA A partir dos estudos de Galileu Galilei, começou-se a acreditar que os movimentos dos corpos na Terra e dos corpos celestes (planetas) obedeciam a leis universais. Isaac Newton, baseando-se no estudo dos movimentos da Lua e dos planetas, elaborou a base teórica que deu origem à Lei da Gravitação Universal: Matéria atrai matéria na razão direta do produto das massas e na razão inversa do quadrado da distância que podemos entender assim: Dois corpos quaisquer se atraem com forças cuja intensidade é diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre seus centros de massa. 52
Pela Lei da Gravitação Universal, sabemos que: e, sendo ou seja, F=m g, podemos A intensidade da força de atração é a mesma em ambos os corpos, independente dos valores de suas massas e pode ser determinada pela expressão: escrever: Dessa forma, obtemos a intensidade do campo gravitacional da Terra num ponto situado a uma distância d de seu centro: em que G tem um valor constante e é denominada: constante da gravitação universal. Seu valor, medido experimentalmente, é: G = 6,67 10 11 N m 2 /kg 2 APLICAÇÃO: FENÔMENO DA MARÉS Nas proximidades da superfície da Terra (d = R), o valor médio do campo gravitacional é: 9,8m/s 2. À medida que nos afastamos da Terra, esse valor vai diminuindo e podemos determiná-lo para uma certa altitude h, lembrando que a distância d do ponto ao centro do planeta é: d=r+h, onde R é o raio da Terra, considerada esférica. Assim, num ponto X, a uma altitude h: GRÁFICO: F = F(d) Variando-se somente a distância d entre os dois corpos, observamos uma variação na intensidade F da força gravitacional.como: F d 2 = G M m (constante), então a curva correspondente ao gráfico F x d é uma hipérbole quadrática. SATÉLITE EM ÓRBITA CIRCULAR CAMPO GRAVITACIONAL DA TERRA Como já vimos, as forças gravitacionais entre corpos só são perceptíveis caso a massa de pelo menos um deles seja muito grande. Todo corpo material causa campo gravitacional ao seu redor, pois qualquer massa será atraída por ele. A Terra (massa M) causa no espaço ao seu redor um campo gravitacional, facilmente perceptível, pois qualquer corpo (massa m) abandonado próximo a ela fica sujeito à força gravitacional Ao redor da Terra existem vários satélites artificiais em órbita, lançados pelo homem, para a comunicação, meteorologia, astronomia e pesquisas científicas quer do espaço, quer da Terra. Suas órbitas são elípticas, mas de excentricidade tão pequena que podemos considerá-las praticamente circulares. Em decorrência desse fato, a pequena variação apresentada pela sua velocidade linear será desconsiderada e assim seu movimento será uniforme. Dessa forma estaremos estudando os satélites descrevendo Movimento Circular Uniforme ao redor da Terra. VELOCIDADE LINEAR DE TRANSLAÇÃO Sendo m a massa do satélite, M a massa da Terra, r o raio de sua órbita e G a constante de gravitação universal, podemos escrever: (Lei da gravitação universal) Acontece que essa força gravitacional pode ser considerada única, tendo em vista serem desprezíveis as demais 53
e, assim, ela atuará como resultante centrípeta sobre o satélite. 01. (EEAR) Segundo Johannes Kepler (1571-1630), as órbitas descritas pelos planetas em torno do Sol são, sendo que este ocupa um dos desta figura geométrica. A) circulares - focos B) elípticas - vértices C) elípticas - focos D) circulares - vértices Observamos que a velocidade linear de translação do satélite só depende da massa M do planeta e do raio r de sua órbita já que G é a constante de gravitação universal. Assim, quanto mais baixa for a órbita, do satélite (menor r), maior deverá ser a velocidade linear v para que ele se mantenha em órbita. 02. (PUC-MG) Na figura, que representa esquematicamente o movimento de um planeta em torno do sol, a velocidade do planeta é maior em: PERÍODO (T) DE TRANSLAÇÃO Como a velocidade linear é constante, então: A) A B) B C) C D) D E) E 03. Na figura abaixo está representada a órbita de um planeta em torno do Sol. Os arcos AB e A B são percorridos em iguais intervalos de tempo. Qual a relação entre as áreas S e S? Da mesma forma, o período T de translação de um satélite só depende da massa M do planeta e do raio r de sua órbita. SATÉLITES GEO-ESTACIONÁRIOS São satélites utilizados para comunicação e necessitam estar sempre no mesmo ponto do céu, para o qual estão voltadas as antenas parabólicas de emissão e recepção de sinais de rádio, televisão e microondas (telefonia). Acontece que a Terra gira em torno de seu eixo, completando uma volta a cada 24 horas e, assim sendo, esses satélites devem girar no mesmo sentido de rotação da Terra e pelo mesmo período, ou seja, 24 horas. Eles estão localizados de tal modo que suas órbitas e a linha do equador estão no mesmo plano. T satélite = T Terra = 24 h 04. (MACKENZIE-SP) Dois satélites de um planeta têm períodos de revolução 32 dias e 256 dias, respectivamente. Se o raio da órbita do primeiro satélite vale 1 unidade então o raio da órbita do segundo será: A) 4 unidades B) 8 unidades. C) 16 unidades D) 64 unidades. E) 128 unidades. 05. A lei da gravitação Universal de Newton diz que: A) Os corpos se atraem na razão inversa de suas massas e na razão direta do quadrado de suas distâncias. 54
B) Os corpos se atraem na razão direta de suas massas e na razão inversa do quadrado de suas distâncias. C) Os corpos se atraem na razão direta de suas massas e no inverso de suas distâncias. D) Os corpos se atraem na razão inversa de suas massas e na razão direta de suas distâncias. E) Os corpos se atraem na razão direta do quadrado de suas massas e na razão inversa de suas distâncias. 06. (UFMA) Seja F a força de atração do Sol sobre um planeta. Se a massa do Sol se tornasse três vezes maior, a do planeta, cinco vezes maior, e a distância entre eles fosse reduzida à metade, a força de atração entre o Sol e o planeta passaria a ser: A) 3 F B) 15 F C) 7,5 F D) 60 F Podemos afirmar em relação ao satélite que: A) Sua energia cinética é maior quando está em B; B) Sua energia potencial é maior quando está em A; C) Sua energia mecânica total é maior quando está em B; D) sua energia mecânica total é maior quando está em A; E) Quando o satélite vai de A para B sua energia cinética inicialmente aumenta e em seguida diminui. 07. Sendo a massa da Terra oitenta vezes a massa da Lua, e a distância entre a Lua e a Terra igual a 60R, onde R é o raio da Terra, determine a que distância do centro da Terra localiza-se o ponto no qual é nulo o campo gravitacional resultante dos campos da Lua e da Terra. 01. Associe a primeira coluna de acordo com a segunda, e a seguir, marque a opção que contiver a ordem correta. 08. Sendo g 0 a intensidade do campo gravitacional na superfície da Terra, suposta esférica, de raio R, determine a que altitude situa-se o ponto no qual a intensidade do campo é a metade da intensidade do campo na superfície. A) 3-2 1 B) 1-3 - 2 C) 3-1 2 D) 2-3 - 1 02. (UNICAP-PE/89) Na figura abaixo, temse a trajetória de um planeta em torno do Sol. As áreas hachuriadas são iguais. ( ) Os planetas movem-se em círculos cujos centros giram em torno da Terra. ( ) O Sol está em repouso. Os planetas (inclusive a Terra) giram em torno dele em órbitas circulares. ( ) A Terra ocupa o centro do universo. O Sol, a Lua e as estrelas estão incrustados em esferas que giram em torno dela. 09. Julgue as afirmativas abaixo: I - II 0-0 Um satélite artificial deve ser colocado em órbita em regiões fora da atmosfera terrestre, para que a força de resistência do ar não interfira no movimento do satélite. 1-1 A força de atração da Terra sobre um satélite em órbita circular faz variar a direção do seu movimento. (A informação a seguir é para as proposições 2-2 e 3-3) Três satélites A, B e C estão em órbitas circulares, em torno da Terra. O raio da órbita de A é igual ao raio da órbita de B e menor que o raio da órbita de C. 2-2 A velocidade do satélite A é igual à velocidade do satélite B. 3-3 O período do satélite A é menor que o período do satélite C. 4-4 À distância de 5280Km da superfície da Terra, a aceleração da gravidade é igual à metade do seu valor no nível do mar. (R T = 6,37x10 6 m) 10. Um satélite da Terra está descrevendo uma órbita elíptica estável, como se mostra na figura abaixo: (A e B são pontos da trajetória) I - II 0-0 No afélio, a velocidade do planeta é maior do que no periélio. 1-1 O tempo gasto pelo planeta para ir de A até B é maior que para ir de D até E. 2-2 O movimento de D para A é retardado e o movimento de B para C é acelerado. 3-3 O período de revolução de qualquer planeta do sistema solar é proporcional à raiz quadrada do cubo de sua distância média ao Sol. 4-4 A velocidade angular de um satélite da Terra pode ser ajustada de modo que ele permaneça parado em relação a um ponto fixo na Terra. 03. (CESESP-PE) Ao ser argüido sobre movimento dos planetas, um aluno escreveu os seguintes enunciados para as leis de Kepler: I - Todos os planetas movem-se em órbitas elípticas, com o Sol ocupando sempre um dos seus focos (lei das órbitas). 55
II - Uma reta ligando qualquer planeta ao Sol "varre" áreas iguais em tempos iguais (lei das áreas). III - A razão R 2 /T 3, na qual R é a distância média entre o planeta e o Sol, e T, seu período de revolução em redor do Sol, é a mesma para todos os planetas (lei dos períodos). Dos enunciados acima: a) apenas o I está correto d) II e III estão corretos. b) apenas o II está correto e) todos estão corretos c) I e II estão corretos. 04. (CESCEM-SP) De acordo com uma das leis de Kepler, cada planeta completa ("varre") áreas iguais em tempos iguais em torno do Sol. Como as órbitas são elípticas e o Sol ocupa um dos focos, conclui-se: I - Quando o planeta está mais próximo do Sol, sua velocidade aumenta. II - Quando o planeta está mais distante do Sol, sua velocidade aumenta. III - A velocidade do planeta em sua órbita elíptica independe da sua posição relativa ao Sol. a) I está correta. b) II está correta. c) II e III estão corretas. 1. Modelo dos gregos (século III a.c.) 2. Sistema de Ptolomeu (século II d.c.) 3. Sistema de Copérnico (século XVI) d) Todas as proposições estão corretas. e) Nenhuma das respostas anteriores está correta. 05. (COVEST/93-F-3) Um satélite descreve uma órbita circular em torno da Terra com período T 1. O satélite, então, aciona os foguetes propulsores e passa a descrever uma outra órbita circular, com período T 2 e raio quatro vezes maior que o anterior. Calcule a relação T 2 /T 1. 06. Um planeta de massa M tem dois satélites de massas m 1 e m 2 = 2 m 1, em órbitas circulares de raios R 1 e R 2 = 3R 1. Sejam respectivamente, F 1 e F 2 as intensidades das forças gravitacionais que o planeta exerce F 1 sobre os satélites. Determine a razão. 07. (STA.CASA/SP) No gráfico está representado o módulo da força (F) de atração gravitacional entre um planeta esférico e homogêneo e um corpo, em função da distância (D) entre o centro de massa do corpo e a superfície do planeta. Qual é, em metros, o raio do planeta? A) 3000 B) 2500 C) 2000 D) 1500 E) 1000 F 2 08. (VUNESP/SP) Um planeta de massa m p possui dois satélites de massas m 1 e m 2, em órbitas circulares de raios r 1 e r 2 tal que r 2 = 3r 1. Se o planeta exerce sobre os satélites forças F 1 e F 2, tais que F 1 = 2F 2, obtenha a relação entre as massas dos satélites (m 2 /m 1 ) e a relação entre suas acelerações centrípetas (a 2 /a 1 ). 09. (SANTA CASA/SP) A razão entre os diâmetros dos planetas Marte e Terra é 1/2 e entre suas respectivas massas é 1/10. Sendo de 160 N o peso de um garoto na Terra, pode-se concluir que seu peso em Marte será: A) 160 N B) 80 N C) 60 N D) 32 N E) 64 N 10. (MACKENZIE/SP) Que alteração sofreria o módulo da aceleração da gravidade, se a massa da Terra fosse reduzida à metade e seu raio diminuído de 1/4 do seu valor real? 11. (F.M.ABC/SP) Admita que o raio da Terra é R = 6400 km. Um astronauta terá seu peso reduzido a 4/9 do peso que tem na superfície da Terra, quando o mesmo estiver a uma altitude de: A) 6400 km B) 12800 km C) 3200 km D) 1600 km E) 5000 km 12. (COVEST/03-F-3) Dois satélites artificiais A e B, em órbitas circulares em torno da Terra, têm raios orbitais satisfazendo a relação R A /R B = 1/4. Qual é a razão v A /v B entre as suas velocidades escalares orbitais? 13. (MED.ABC/SP) Se a Lua tivesse o triplo da massa que tem e sua órbita fosse a mesma, o seu período de revolução em torno da Terra seria: A) duplicado B) 1/3 do valor atual. C) 9 vezes o valor atual. D) 1/9 do valor atual. E) o mesmo valor atual. 14. (PUC-MG) Um satélite artificial está em órbita circular em torno da Terra, no plano do Equador, a uma certa distância d em relação ao centro do planeta. Em relação a esse satélite, é incorreto afirmar que: A) para fazê-lo alcançar uma órbita mais externa, é necessário, inicialmente, aumentar sua velocidade tangencial e, em seguida, reduzi-la. B) se a velocidade tangencial do satélite tem módulo constante, não existe aceleração atuando sobre ele. C) se o satélite é estacionário, seu período de translação é igual a 24 horas. D) sua velocidade tangencial tem um módulo que pode ser calculado pela relação v =, na qual g é a constante de gravitação universal e m, a massa da terra. E) a força centrípeta que o mantém em órbita é a força de atração gravitacional que a terra exerce sobre ele. 15. (PUC/MG) Um satélite da Terra está descrevendo uma órbita elíptica como se mostra. É correto afirmar que: 56
A) não há variação de energia cinética do satélite. B) não há variação de energia potencial do satélite. C) sua energia cinética é maior em a. D) sua energia potencial é maior em c. E) sua energia total é maior em b. 16. (COVEST/98-F-3) Uma estação espacial de massa igual a 20 toneladas descreve uma órbita de raio 6,0 x 10 7 m em torno da Terra. Após o lançamento de um satélite a massa da estação se reduz para 15 toneladas. Qual deve ser o raio da nova órbita da estação, em unidades de 10 6 m, se sua energia potencial gravitacional se mantiver a mesma de antes do lançamento do satélite? 17. (RUMO 2006) Considere que a Terra seja uma esfera perfeita e homogênea, de raio R. Seja g a aceleração da gravidade na superfície terrestre. Uma massa M encontra-se a uma distância D > 2R do centro da Terra. Nessa situação, caso se desprezem os movimentos da Terra, é verdadeiro afirmar que o módulo da energia potencial gravitacional do sistema formado pela Terra e pela massa M é igual a: A) MgD, em relação ao centro da Terra. B) MgD 2 /R em relação à superfície da Terra. C) MgR 2 /D, em relação ao infinito. D) MgD, em relação à superfície da Terra. E) MgR 2 /D, em relação ao centro da Terra. 18. Estima-se que, em alguns bilhões de anos, o raio médio da órbita da Lua está 50% maior do que é atualmente. Nessa época seu período que hoje é 27 dias, seria aproximadamente: A) 14,1 dias B) 18,2 dias. C) 27,3 dias D) 41 dias. E) 50 dias. GABARITO: 01. D 02. FFFVV 03. C 04. A 05. 08 06. 4,5 07. E 08. m 2 /m 1 = 4,5 ; a 2 /a 1 = 0,11 09. E 10. Passaria a ter 8/9 do seu valor atual 11. C 12. 02 13. E 14. B 15. C 16. 45 17. C 18. E 57