Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle

Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 1 / 69

Roteiro 1 Modelo Não-Linear Modelo Não-Linear Monovariável Modelo Não-Linear Bivariável Variáveis Desvio Modelo Não-Linear Multivariável 2 Linearização e Modelo Linear Invariante no Tempo 3 Graus de Liberdade para Controle 4 Exemplos Tanque de Nível Linear e Não-Linear Tanques de Nível Sem Interação Tanques de Nível Com Interação 5 Atividades Complementares Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 2 / 69

Espaço de Estados ("State Space Representation" Linearização é o procedimento pelo qual aproximam-se sistemas não-lineares por lineares. É largamente utilizada na investigação da dinâmica de processos e no projeto de sistemas de controle, pois: permite desenvolver soluções analíticas. Soluções analíticas indenpendem dos valores dos parâmetros e variáveis de entrada. Soluções numéricas de sistemas não-lineares fornecem somente o comportamento dos sistemas para valores específicos das entradas e parâmetros ferramentas para o projeto e análise de sistemas de controle são em sua maioria limitadas a processos lineares Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 3 / 69

Espaço de Estados continuação Seja a equação não-linear dx = f (x Expandindo a função não-linear f (x em uma série de Taylor, em torno do ponto x 0 f (x = f (x 0 + df (x x 0 + 1 dx x 0 2! + 1 n! d n f dx n x 0 (x x 0 n d 2 f dx 2 (x x 0 2 + x 0 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 4 / 69

Espaço de Estados linearização Desprezando os termos de ordem superior a 1, obtém-se f (x = f (x 0 + df (x x 0 dx x 0 onde a aproximação é satisfatória quando x é próximo de x 0. Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 5 / 69

Espaço de Estados linearização (continuação N Interpretação Geométrica B N B N B N @ B @ N N N N B N N A aproximação é exata somente em x 0. Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 6 / 69

Espaço de Estados linearização (continuação Considere o sistema dinâmico dx 1 dx 2 = f 1 (x 1, x 2 = f 2 (x 1, x 2 Expandindo em série de Taylor e desprezando os termos de ordem superior a 1, tem-se para o ponto de linearização(x 10, x 20 f 1 (x 1, x 2 = f 1 (x 10, x 20 + f 1 (x 1 x 10 + x 1 x 10,x 20 f 1 (x 2 x 20 = dx 1 x 2 x 10,x 20 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 7 / 69

Espaço de Estados linearização (continuação f 2 (x 1, x 2 = f 2 (x 10, x 20 + f 2 (x 1 x 10 + x 1 x 10,x 20 f 2 (x 2 x 20 = dx 2 x 2 x 10,x 20 As equações anteriores (eqs. diferenciais lineares constituem o modelo aproximado (linearizado do sistema não-linear original. Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 8 / 69

Espaço de Estados variáveis desvio No estado estacionário 0 = f 1 (x 1s, x 2s 0 = f 2 (x 1s, x 2s Realizando a linearização em torno do estado estacionário (x 1s, x 2s, tem-se =0(EE f 1 (x 1, x 2 = d(x 1 x 1s { }} { = f 1 (x 1s, x 2s + f 1 x 1 x 1s,x 2s (x 1 x 1s + f 1 x 2 x 1s,x 2s (x 2 x 2s Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 9 / 69

Espaço de Estados variáveis desvio (continuação =0(EE f 2 (x 1, x 2 = d(x 2 x 2s { }} { = f 2 (x 1s, x 2s + f 2 x 1 x 1s,x 2s (x 1 x 1s + f 2 x 2 x 1s,x 2s (x 2 x 2s Define-se, então, as seguintes variáveis desvio (desvio em relação ao estado estacionário s x 1 = x 1 x 1s e x 2 = x 2 x 2s Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 10 / 69

Espaço de Estados linearização e variáveis desvio Deste modo, o modelo linearizado pode ser escrito em termos das variáveis desvio anteriores e na forma de espaço de estados d x 1 d x 2 = a 11 x 1 + a 12 x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 ou na forma matricial equivalente ( ( ( x = 1 a11 a = 12 x1 x 2 a 21 a x = A x 22 x2 ( d x1 d x 2 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 11 / 69

Espaço de Estados linearização e variáveis desvio (continuação onde a 11 = f 1 a 12 = f 1 x 1 x 1s,x 2s x 2 a 21 = f 2 a 22 = f 2 x 1 x 1s,x 2s x 2 x 1s,x 2s x 1s,x 2s Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 12 / 69

Espaço de Estados Modelos matemáticos dinâmicos podem ser representados por conjuntos de equações diferenciais ordinárias de 1 a ordem: ẋ 1 = dx 1 ẋ 2 = dx 2 ẋ n = dx n dx = f 1 (x 1,, x n, u 1,, u m, t, x 1 (0 = x 10 = f 2 (x 1,, x n, u 1,, u m, t, x 2 (0 = x 20. = f n (x 1,, x n, u 1,, u m, t, x n (0 = x n0 ou = f(x, u,t, x(0 = x 0 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 13 / 69

Espaço de Estados continuação onde x = (x 1, x 2,, x n T : vetor de estado ("state vector" u = (u 1, u 2,, u m T : vetor de entrada ("input vector" f = (f 1, f 2,, f n T : funções não-lineares Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 14 / 69

Espaço de Estados continuação Existem situações onde não se está interessado diretamente no vetor de estado, mas sim em seu efeito sobre o vetor de saída, y: y 1 = h 1 (x 1,, x n, u 1,, u m y 2 = h 2 (x 1,, x n, u 1,, u m. y p = h p (x 1,, x n, u 1,, u m ou y = h(x, u Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 15 / 69

Espaço de Estados: "Linear Time Invariant - LTI" A linearização é útil na investigação do comportamento do sistema não-linear nas vizinhanças de pontos de operação estacionária, onde diversos processos contínuos operam de fato. Aplicando-se expansão em série de Taylor em ẋ i = f i (x 1,, x n, u 1,, u m ẋ i = =0(EE { }} { f i (x s, u s + f i (x 1 x 1s + + f i x 1 x n s f i u 1 s (u 1 u 1s + + f i u m (x n x ns + s (u m u ms + R s Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 16 / 69

Espaço de Estados: LTI continuação e desprezando os termos de ordem superior a 1 ẋ i = f i (x 1 x 1s + + f i (x n x ns + x 1 s x n s f i (u 1 u 1s + + f i (u m u ms u 1 u m s Definindo as variáveis desvio x = x x s e ū = u u s, pode-se escrever a eq. linearizada x i = f i x 1 + + f i x n + f i ū 1 + + f i x 1 s x n s u 1 s u m s } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } a i1 a in b i1 b im s u m Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 17 / 69

Espaço de Estados: LTI continuação x i = a i1 x 1 + + a in x n + b i1 ū 1 + + b im u m onde as constantes a ij e b ij são calculadas de a ij = f i x j s e b ij = f i u j s Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 18 / 69

Espaço de Estados: LTI continuação Após a linearização, obtém-se um conjunto de equações lineares com coeficientes constantes: x 1 = a 11 x 1 + + a 1n x n + b 11 ū 1 + + b 1m u m, x 1 (0 = 0 x 2 = a 21 x 1 + + a 2n x n + b 21 ū 1 + + b 2m u m, x 2 (0 = 0. x n = a n1 x 1 + + a nn x n + b n1 ū 1 + + b nm u m, x n (0 = 0 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 19 / 69

Espaço de Estados: LTI continuação As equações não-lineares das medidas podem também ser linearizadas de forma semelhante: ȳ 1 = c 11 x 1 + + c 1n x n + d 11 ū 1 + + d 1m u m ȳ 2 = c 21 x 1 + + c 2n x n + d 21 ū 1 + + d 2m u m. ȳ p = c p1 x 1 + + c pn x n + d p1 ū 1 + + d pm u m onde ȳ = y y s e c ij = h i x j s e d ij = h i u j s Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 20 / 69

Espaço de Estados: LTI continuação Em notação vetorial { x = A x + Bū, x 0 = 0 ȳ = C x + Dū LTI Os elementos das matrizes A, B, C e D são invariantes no tempo. Na grande maioria dos casos D = 0: não existe uma conexão direta de u em y. Ela ocorre através dos estados x. Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 21 / 69

6 Espaço de Estados: LTI estudo de caso Tanque de Aquecimento com Agitação vetores Estudo de Caso x = (h, T T : vetor de estado u = (Fi1, Ti1, Fi2, Ti2, Fst, Tst T : vetor de entrada y = (h, T T : vetor de saída f = (f 1, f 2 T : funções não-lineares: estados h = (h 1, h 2 T : funções não-lineares: saídas. E 6 E 6 I J 3 D 8 = F H. I J + @ A I = @. E 6 E. 6 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 22 / 69

Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação equações de estado dh dt = k h A = 1 A + Fi1 A + Fi2 A = f 1 Fi1 + Fi2 + afstb ρc p h T + 1 A Fi1Ti1 h + 1 Fi2Ti2 + 1 afst b Tst A h A ρc p h = f 2 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 23 / 69

Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação equações de saída y 1 = x 1 = h(h 1 e y 2 = x 2 = T (h 2 modelo LTI { ẋ = Ax + Bu, x0 = 0 y = Cx + Du Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 24 / 69

Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação A(2 2 a 11 = f 1 = 1 h s 2 k A a 12 = f 1 h s T s = 0 a 21 = f 2 = 1 [( Fi1 s + Fi2 s + afstb s T s h s A ρc p ] Fi1 s Ti1 s Fi2 s Ti2 s afstb s 1 Tst s ρc p hs 2 = 0 (BE no EE a 22 = f 2 = 1 Fi1 s + Fi2 s + afstb s ρc p T s A h s Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 25 / 69

Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação B(2 6 b 11 = f 1 Fi1 = 1 s A b 12 = f 1 Ti1 = 0 s b 13 = f 1 Fi2 = 1 s A b 14 = f 1 Ti2 = 0 s b 15 = f 1 Fst = 0 b 16 = f 1 s Tst = 0 s b 21 = f 2 Fi1 = 1 s Ah s (Ti1 s T s b 22 = f 2 Ti1 b 23 = f 2 Fi2 = 1 s Ah s (Ti2 s T s b 24 = f 2 Ti2 b 25 = f b 1 2 s Fst Ah sρc p (Tst s T s b 26 = f 2 Tst s = abfst = Fi1s s Ah s = Fi2s s Ah s = afstb s s Ah sρc p Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 26 / 69

Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação C(2 2 c 11 = h 1 h c 21 = h 2 h = 1 c 12 = h 1 s T = 0 s = 0 c 22 = h 2 s T s = 1 C = ( 10 = I 01 D(2 6 D = 0 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 27 / 69

Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação Aplicando os valores dos parâmetros e variáveis no estado estacionário h s = 1m e T s = 104, 5 o C parâmetros: k = 2 10 1 m 5/2 /min a = 3, 556 10 3 kcal/min 2/3.m. o C b = 1/3 ρ = 1 10 3 kg/m 3 C p = 1 kcal/kg. o C A = 1 m 2 especificações: Fi1 s = 1 10 1 m 3 /min Ti1 s = 18 o C Fi2 s = 1 10 1 m 3 /min Ti2 s = 20 o C Fst s = 3 10 2 m 3 /min Tst s = 120 o C Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 28 / 69

Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação obtém-se as seguintes matrizes do sistema ( 0, 10 0 A = 0 1, 30 B = ( 1, 00 0 1, 00 0 0 0 86, 52 0, 10 84, 52 0, 10 190, 04 1, 10 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 29 / 69

Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação O modelo LTI fica, então, igual a ḣ «««0, 10 0 h = + Ṫ 0 1, 30 T {z } {z } {z } ẋ A x 0 1 Fi1 «Ti1 1, 00 0 1, 00 0 0 0 Fi2 86, 52 0, 10 84, 52 0, 10 190, 04 1, 10 {z } BTi2, x 0 = 0 C @ FstA B Tst {z } u «««h 1 0 h = T 0 1 T {z } {z } {z } y C x Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 30 / 69

Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação Comparando os comportamentos dos modelos não-linear e linearizado h (m 1.15 1.1 1.05 1 degrau nl+ degrau l+ degrau nl degrau l Degrau em Fi1 (± 10% 0.95 0.9 0 10 20 30 40 50 60 t (min T ( o C 105.5 105 104.5 degrau nl+ degrau l+ degrau nl degrau l 104 103.5 0 10 20 30 40 50 60 t (min Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 31 / 69

Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação h (m 1.1 1.05 1 Degrau em Fst (± 50% degrau nl+ degrau l+ degrau nl degrau l 0.95 0 1 2 3 4 5 6 7 t (min T ( o C 107 106 105 104 103 degrau nl+ degrau l+ degrau nl degrau l Observa-se o efeito das não-linearidades, especialmente para perturbações com amplitudes elevadas. Isto é, quando se afasta muito do ponto de linearização. 102 101 0 1 2 3 4 5 6 7 t (min Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 32 / 69

Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação 6 6? = > D D Diagrama de Fluxo de Sinal O diagrama de fluxo de sinal facilita a visualização das relações envolvidas em sistemas multivariáveis:. I J > # 6 E. E 6 I J > $ > > " > 6 E >!. E >!? = Figura: Diagrama fluxo de sinais da representação linear do sistema Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 33 / 69

Graus de Liberdade para Controle O controle desejado de um processo químico será alcançado quando um número suficiente de variáveis forem especificadas para reduzir o número de graus de liberdade a zero: f = V E Um processo cuidadosamente modelado apresentará f > 0. Nestes casos, o sistema ficará completamente especificado quando f equações adicionais forem introduzidas ao modelo, seja pelo: Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 34 / 69

Graus de Liberdade para Controle continuação Meio Externo especificando os valores das perturbações, adiciona-se uma equação de especificação para cada uma d i = constante Sistema de Controle a presença de uma malha de controle introduz uma equação adicional entre y i e m j P: m j = K cij (y isp y i Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 35 / 69

Graus de Liberdade para Controle continuação Portanto, não se deve especificar mais objetivos de controle do que é possível para determinado processo, do contrário o sistema ficará superespecificado (f < 0; isto é, sem graus de liberdade suficientes para atender aos objetivos de controle. com isso, o número de graus de liberdade para o controle indica a dimensão do problema de controle a ser enfrentado. Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 36 / 69

Graus de Liberdade para Controle estudo de caso Tanque de Aquecimento com Agitação número de graus de liberdade inicial V: Fi1, Ti1, Fi2, Ti2, Fst, Tst, h, T = 8 E: f 1, f 2 = 2 ( f = 6 6 graus de liberdade devem ser especificados para que f 0. Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 37 / 69

Graus de Liberdade para Controle estudo de caso (continuação reduzir o número de graus de liberdade 1 meio externo: especificar perturbações especificando Fi1 = constante, Ti1 = constante, Ti2 = constante, Tst = constante f = 6 4 = 2 2 sistema de controle: especificar malhas malha #1 Fi2 = f (h por realimentação malha #2 Fst = f (T por realimentação f = 2 2 = 0 possibilidades de diferentes configurações de controle 2! = 2 1 = 2 (apenas com as variáveis manipuladas escolhidas acima! Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 38 / 69

Modelos Não-Linear e Linear Exemplo Verifique o efeito do ponto de linearização na resposta de um tanque de nível de seção reta uniforme de área A = 0, 3 m 2, ao qual é adaptado uma resistência ao fluxo. Suponha que a vazão volumétrica F, através da resistência, se relaciona com a altura de líquido h pela relação F = 8 h. Uma vazão volumétrica F o de líquido e massa específica constante ρ alimenta o tanque. Considere, para efeito de análise, os níveis médios de operação de h s = 1 e 3 m de altura de líquido. Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 39 / 69

Modelos Não-Linear e Linear D D Exemplo (continuação.. Figura: Tanque de nível Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 40 / 69

Modelos Não-Linear e Linear Solução Modelo Não-Linear: equação de estado (espaço de estado Balanço de Massa Global dh = F o A k h A, h(0 = h s Modelo Linear: LTI linearizando o termo F = k h k h = k h s + Substituindo na equação não-linear { k h s + dh = F o A 1 A k 2 h s (h h s k } 2 (h h s h s Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 41 / 69

Modelos Não-Linear e Linear continuação Modelo Linear: LTI linearizando o termo F = k h Definindo as variáveis-desvio h = h h s e F o = F o F os d h = F o + F os A 1 A { k h s + k } 2 h h s Como Fo s A k h s A = 0 (estado estacionário d h = F o A k 2A h s h + =0(EE hs { }} { F os A k A d h = F o A k 2A h, h(0 = 0 h s Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 42 / 69

Modelos Não-Linear e Linear continuação Comparando os Comportamentos Dinâmicos dos Modelos Não-Linear e Linear Resolvem-se as seguintes equações diferenciais não-linear: dh linear: d h = F o A k h A, h(0 = h s k 2A h, h(0 = 0 h s = F o A para duas condições estacionárias distintas: 1 h s = 1 m F os = F s = 8 m 3 /min 2 h s = 3 m F os = F s = 13, 86 m 3 /min Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 43 / 69

Modelos Não-Linear e Linear continuação Espaço de Estados (CP1 Figura: www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 Degrau em torno h s = 1 m DEQ/UFSCar 44 / 69 Comparando os Comportamentos Dinâmicos dos Modelos Não-Linear e Linear Condições estacionárias 1 h s = 1 m F os = F s = 8 m 3 /min 1.45 Degrau Unitário em Fo: op. 1 h (m 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 não linear linear op. 1 linear op. 2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (min

Modelos Não-Linear e Linear continuação Espaço de Estados (CP1 Figura: www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 Degrau em torno h s = 3 m DEQ/UFSCar 45 / 69 Comparando os Comportamentos Dinâmicos dos Modelos Não-Linear e Linear Condições estacionárias 2 h s = 3 m F os = F s = 13, 86 m 3 /min 3.5 Degrau Unitário em Fo: op. 2 3.45 3.4 3.35 3.3 h (m 3.25 3.2 3.15 3.1 3.05 não linear linear op.1 linear op.2 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (min

Modelos Não-Linear e Linear continuação Observe que o modelo linear representa bem a resposta do tanque de nível (não-linear somente quando a linearização é realizada em torno do ponto de operação escolhido. Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 46 / 69

Modelo LTI e Sistemas Sem Interação Exemplo Determine as equações de estado, o modelo LTI (linear e o número de graus de liberdade para controle para o sistema representado por dois tanques sem interação, onde F 1 = K 1 h1 e F 2 = K 2 h2. Apresente uma configuração de controle por realimentação para o mesmo. Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 47 / 69

Modelo LTI e Sistemas Sem Interação D. Exemplo (continuação. E D. 6 = G K A.! 6 = G K A Figura: Tanques de nível sem interação Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 48 / 69

Modelo LTI e Sistemas Sem Interação Solução Balanço de Massa Global: tanque 1 dm 1 d(ρa 1 h 1 dh 1 ρa 1 dh 1 = ρf i ρf 1, com m 1 = ρv 1 = ρa 1 h 1 = ρf i ρf 1 = ρf i ρf 1 = F i A 1 F 1 A 1 Balanço de Massa Global: tanque 2 dh 2 = F 1 A 2 + F 3 A 2 F 2 A 2 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 49 / 69

Modelo LTI e Sistemas Sem Interação continuação Equações Auxiliares: fenômenos de transporte tanque #1: F 1 = K 1 h1 tanque #2: F 2 = K 2 h2 Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado dh 1 dh 2 = F i F 1 = F i K 1 A 1 A 1 A 1 = F 1 A 2 + F 3 A 2 F 2 h1 A 1 h1, h 1 (0 = h 1s = K 1 + F 3 K 2 A 2 A 2 A 2 h2 A 2, h 2 (0 = h 2s Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 50 / 69

Modelo LTI e Sistemas Sem Interação continuação Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado ẋ = dx = f(x, u, x 0 (0 = x s y = h(x, u onde f = [f 1 f 2 ] T, x = [h 1 h 2 ] T, u = [F i F 3 ] T, y = [h 1 h 2 ] T e dh 2 dh 1 = F i K 1 h1 f 1 = F i K 1 h1 A 1 A 1 A 1 h1 h2 h1 = K 1 + F 3 K 2 f 2 = K 1 + F 3 K 2 A 2 A 2 A 2 A 2 A 2 A 1 h2 A 2 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 51 / 69

Modelo LTI e Sistemas Sem Interação continuação Modelo Linear: LTI ẋ = dx = Ax + Bu, x 0 (0 = 0 y = Cx onde x, u e y são variáveis-desvio e a ij = f i x j ij = f i s u j s e c ij = h i x j s. Assim, A(2 2: a 11 = f 1 = 1 K 1 h 1/2 h 1 s 2 A 1s e a 12 = f 1 = 0 1 h 2 s a 21 = f 2 = 1 K 1 h 1/2 h 1 s 2 A 1s e a 22 = f 2 = 1 K 2 h 1/2 2 h 2 s 2 A 2s 2 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 52 / 69

Modelo LTI e Sistemas Sem Interação continuação B(2 2: C(2 2: C = I b 11 = f 1 F i b 21 = f 2 F i a 11 = 1 e b 12 = f 1 s A 1 F 3 = 0 e b 22 = f 2 F 3 Desta forma, ( dh 1 = 1 ( K 1 h 1/2 1 2 A 1s h 1 + F i, h 1 (0 = 0 } {{ 1 A } } {{ 1 } dh 2 = ( 1 K 1 h 1/2 2 A 1s } 2 {{ } a 21 s ( h 1 + b 11 K 2 1 h 1/2 2 A 2s } {{ 2 } a 22 s ( 1 h 2 + = 0 s = 1 A 2 A 2 } {{ } b 22 F 3, h 2 (0 = 0 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 53 / 69

> D =? D Modelo LTI e Sistemas Sem Interação continuação. E D >? D = =.! Figura: Diagrama fluxo de sinais da representação linear do sistema Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 54 / 69

Modelo LTI e Sistemas Sem Interação Graus de Liberdade para Controle balanço de informação: f = V E V: F i, F 3, h 1, h 2 = 4 E: f 1, f 2 = 2 (- f = 2 2 graus de liberdade devem ser especificados para que f 0 reduzir o número de graus de liberdade 1 meio externo: especificar perturbações especificando F i = constante f = 2 1 = 1 2 sistema de controle: especificar malhas malha #1 F 3 = f (h 2 por realimentação f = 1 1 = 0 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 55 / 69

Modelo LTI e Sistemas Sem Interação continuação D.. E D 6 = G K A..! 6 = G K A + Figura: Sistema de controle por realimentação Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 56 / 69

Modelo LTI e Sistemas Com Interação Exemplo Determine as equações de estado, o modelo LTI (linear e o número de graus de liberdade para controle para o sistema representado por dois tanques com interação, onde F 1 = K 1 h1 h 2 e F 2 = K 2 h2. Apresente uma configuração de controle por realimentação para o mesmo. Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 57 / 69

Modelo LTI e Sistemas Com Interação Exemplo (continuação. E.!. D D. 6 = G K A 6 = G K A Figura: Tanques de nível com interação Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 58 / 69

Modelo LTI e Sistemas Com Interação Solução Balanço de Massa Global: tanque 1 dm 1 d(ρa 1 h 1 dh 1 ρa 1 dh 1 = ρf i ρf 1, com m 1 = ρv 1 = ρa 1 h 1 = ρf i ρf 1 = ρf i ρf 1 = F i A 1 F 1 A 1 Balanço de Massa Global: tanque 2 dh 2 = F 1 A 2 + F 3 A 2 F 2 A 2 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 59 / 69

Modelo LTI e Sistemas Com Interação continuação Equações Auxiliares: fenômenos de transporte tanque #1: F 1 = K 1 h1 h 2 tanque #2: F 2 = K 2 h2 Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado dh 1 dh 2 = F i F 1 = F i K 1 h1 h 2, h 1 (0 = h 1s A 1 A 1 A 1 A 1 = F 1 + F 3 F 2 = K 1 h1 h 2 + F 3 K 2 h2, A 2 A 2 A 2 A 2 A 2 A 2 h 2 (0 = h 2s Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 60 / 69

Modelo LTI e Sistemas Com Interação continuação Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado ẋ = dx = f(x, u, x 0 (0 = x s y = h(x, u onde f = [f 1 f 2 ] T, x = [h 1 h 2 ] T, u = [F i F 3 ] T, y = [h 1 h 2 ] T e dh 2 dh 1 = F i K 1 h1 h 2 f 1 = F i A 1 A 1 = K 1 h1 h 2 + F 3 K 2 h2 f 2 = K 1 h1 h 2 A 2 A 2 A 2 K 2 h2 A 2 K 1 h1 h 2 A 1 A 1 A 2 + F 3 A 2 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 61 / 69

Modelo LTI e Sistemas Com Interação continuação Modelo Linear: LTI ẋ = dx = Ax + Bu, x 0 (0 = 0 y = Cx onde x, u e y são variáveis-desvio e a ij = f i x, b j ij = f i s u j s e c ij = h i x j s. Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 62 / 69

Modelo LTI e Sistemas Com Interação continuação Assim, A(2 2: a 11 = f 1 = 1 K 1 (h 1s h 2s 1/2 h 1 s 2 A 1 a 12 = f 1 = 1 K 1 (h 1s h 2s 1/2 h 2 s 2 A 1 a 21 = f 2 = 1 K 1 (h 1s h 2s 1/2 h 1 s 2 A 2 a 22 = f 2 = 1 K 1 (h 1s h 2s 1 K 2 h 1/2 h 2 s 2 A 2 2 A 2s 2 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 63 / 69

Modelo LTI e Sistemas Com Interação continuação B(2 2: C(2 2: C = I b 11 = f 1 F i b 21 = f 2 F i = 1 e b 12 = f 1 s A 1 F 3 = 0 e b 22 = f 2 F 3 s s = 0 s = 1 A 2 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 64 / 69

Modelo LTI e Sistemas Com Interação continuação Desta forma, dh 1 dh 2 = = [ 1 ] [ ] K 1 (h 1s h 2s 1/2 1 K 1 h 1 + (h 1s h 2s 1/2 h 2 + 2 A 1 2 A 1 } {{ } } {{ } a 11 a 12 ( 1 F i, h 1 (0 = 0 A 1 } {{ } b 11 K 1 [ ] 1 (h 1s h 2s 1/2 h 1 + 2 A 2 } {{ } a 21 [ 1 K 1 (h 1s h 2s 1/2 1 ] K 2 h 1/2 2s 2 A 2 2 A 2 } {{ } a 22 h 2 (0 = 0 ( 1 h 2 + A 2 } {{ } b 22 F 3, Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 65 / 69

Modelo LTI e Sistemas Com Interação continuação > D =? D. E D >? D = = =.! Figura: Diagrama fluxo de sinais da representação linear do sistema Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 66 / 69

Modelo LTI e Sistemas Com Interação Graus de Liberdade para Controle balanço de informação: f = V E V: F i, F 3, h 1, h 2 = 4 E: f 1, f 2 = 2 (- f = 2 2 graus de liberdade devem ser especificados para que f 0 reduzir o número de graus de liberdade 1 meio externo: especificar perturbações especificando F i = constante f = 2 1 = 1 2 sistema de controle: especificar malhas malha #1 F 3 = f (h 2 por realimentação f = 1 1 = 0 Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 67 / 69

Modelo LTI e Sistemas Com Interação continuação. E.!. D D. + 6 = G K A 6 = G K A Figura: Sistema de controle por realimentação Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 68 / 69

Leitura I Leitura Complementar Próxima aula: apostila do Prof. Wu a, capítulos 9 e 10 (volume I. livro do Stephanopoulos b, capítulos 9 e 10. livro do Seborg et al. c, capítulos 4 e 5. a Kwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB. Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, 2002. b Stephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory and Practice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, 1984. c Seborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Process Dynamics and Control. 1 st Edition, John Wiley, New York, USA, 1989. Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 69 / 69