Eletrônica Reatância Capacitiva Módulo II
FILTROS ATIVOS E PASSIVOS (REATÂNCIA CAPACITIVA) Objetivos Após completar o estudo desta apostila o aluno deverá estar apto a Distinguir os tipos básicos de filtros eletrônicos Reconhecer os filtros passivos Aplicar os filtros passivos passa baixa Aplicar os filtros passivos passa alta Aplicar os filtros passivos passa banda Conhecer o conceito de ressonância Reconhecer os filtros ativos Aplicar os filtros ativos passa baixa Aplicar os filtro ativos passa alta Aplicar os filtros ativos passa banda Conhecer o fator Q e sua importância Distinguir a ordem dos filtros
. Elementos básicos para o estudo dos filtros. Introdução Os filtros eletrônicos são usados em muitos tipos de aplicações que envolvem uma seleção de certas freqüências. Podem ser usados nas telecomunicações, na eletrônica médica, nas indústrias em sistemas automatizados e em aplicações de equipamentos de consumo. Podem ser passivos ou ativos e podem permitir a passagem somente de baixas freqüências, somente de altas freqüências ou uma faixa ou banda de freqüência conforme as necessidades da aplicação.. Sinais de corrente alternada Quando estudamos um circuito de corrente alternada muitas vezes o fazemos com uma freqüência fixa, porém no mundo real os sinais cobrem uma ampla faixa de freqüências. Por exemplo, o som que podemos ouvir cobre uma faixa de 0 Hz até 0.000 Hz e podem ir para faixas mais altas que não são audíveis para os humanos. Por essa razão nós necessitamos conhecer como as várias combinações de freqüências afetam um sinal. Algumas vezes temos circuitos que apresentam sinais esquisitos cujos efeitos não são desejados ou os sons aparecem distorcidos de alguma maneira. Em certos circuitos podemos desejar que certas freqüências passem enquanto outras não são desejadas e devem ser bloqueadas. Nesses casos devemos aplicar filtros e assim estes circuitos de filtragem são comuns em muitos circuitos. Como exemplo podemos citar um filtro de passa baixa que permite a passagem de ondas de baixa freqüência, mas atenua ou impede a passagem de ondas de alta freqüência. Nos circuitos de controle de processos industriais e nas comunicações é comum o problema de filtragem de sinais e para isso podem ser aplicados filtros passivos e ativos como vamos estudar nesta lição. Para isto vamos fazer uma recordação sucinta de dois pontos: radianos e decibéis..3 Radianos Esta é uma unidade de medição de ângulos muito usada na eletrônica para: expressar a freqüência em radianos por segundo (ou outra unidade de tempo), em lugar de indicar em ciclos por segundo. Normalmente usamos a letra f para designar a freqüência em hertz que é a unidade que designa a freqüência em ciclos por segundo, assim chamada para homenagear o físico alemão Heinrich Rudolf Hertz que muito contribuiu para o estudo do eltromagnetismo, e para representar radianos por segundo vamos empregar a letra grega φ (fi).
R R CEDAC CURSO A DISTÂNCIA Para compreender o quê é radiano vamos considerar um círculo de raio R que vemos na Figura. abaixo. Figura. R A distância que marcamos na circunferência (R) é igual ao raio do círculo R e o ângulo que ela abrange marcamos com o ângulo φ (letra grega fi). Como o comprimento deste arco de círculo é igual ao raio este ângulo toma o nome de radiano. Sabemos que o comprimento da circunferência de um círculo é dado pela equação; C R (F) onde a letra grega (pi) vale 3,45965. Sabemos também que o círculo tem 360º no total e podemos então escrever a seguinte equação: 360 ou 360 360 x3,45965 360 6,83853 0 57,9578 Temos assim o valor de um radiano em graus. Onde usamos os radianos? Na designação das freqüências em radianos or segundo, como dissemos acima e outros cálculos geométricos..4 Decibel Em muitas situações de cálculo de circuitos eletrônicos onde temos perdas ou ganhos de sinal devido a diferenças entre o valor do sinal de entrada e de saída, recorremos ao uso de decibéis. O nome desta unidade foi escolhido para homenagear Alexander Graham Bell, um professor escocês inventor do telefone. Nos circuitos eletrônicos que operam dom sinais de corrente alternada temos geralmente um sinal de potência de entrada e um sinal de saída dessa potência. Por exemplo, um amplificador têm uma potência de saída mais alta que o sinal de entrada da potência, já em um atenuador o sinal de saída tem uma potência mais fraca que o de entrada. Os valores absolutos dos sinais de potência de entrada e de saída têm muito valor, porém a relação entre eles também é muito importante. Mas devemos ter em mente que os valores relativos dos ganhos ou perdas assim como seus valores relativos variam bastante assim nós usamos logaritmos para facilitar os cálculos. Adiante vamos fazer uma recordação sobre os logarítmos. 3
A unidade primária que descreve a relação de potência de um sinal usando os logaritmos é o bel que se calcula pela fórmula seguinte: bel log 0 P entrada P saída (F) Onde P é a potência de referência do sinal. Podemos também usar a intensidade do som trocando na equação acima P por I. Mas esta unidade é muito grande para uso normal sendo mais conveniente usar em unidades de valor menor como um décimo de decibel que toma o nome de decibel e vale 0, bel. Mas o aumento de 0, decibel no som de um alto-falante é quase inaudível, mas o decibel é usado por razões práticas e esta unidade é expressa em db. No uso dos filtros para formar o espetro de freqüências de sinais tais como nos sistemas de controle e de comunicações, a banda de transição de um filtro passivo de primeira ordem (que você verá nesta apostila) é muito longa, e assim se emprega para este caso os filtros ativos. A taxa de transição e a largura da banda de transição depende da ordem do filtro e assim para o filtro de primeira ordem é adotada a taxa padrão de 0 db/década ou 6 db/oitava. O quê é isso? Década é um aumento ou diminuição de 0 vezes ou fator de 0 da escala de freqüência, por exemplo, para 0Hz ou para 0Hz. Assim 50 para 500 é uma década e 50 para 5000 são duas décadas (50 para 500 e 500 para 5000 Hz. Uma oitava é o fator de duplicar ou dividir por, a escala de freqüência, por exemplo, para ou 0 para 40. Assim para 8 são duas oitavas: para 4 e 4 para 8 Hz. Dessa maneira nos cálculos das freqüências são usadas escalas logarítmicas. Vamos ver mais sobre isto quando estudarmos a ordem dos filtros..5 Logaritmos Falamos muito sobre logaritmos, mas o quê é logaritmo? Vamos ver brevemente o que isto significa. Consideremos a expressão: 0 =00. Você deve lê-la assim: dois elevado ao quadrado é igual a 00. Mas podemos escrever assim: log 0 (00)=. Esta expressão significa exatamente a mesma coisa, mas você pode lê-la assim: o logaritmo base 0 de cem é. O logaritmo base 0 de 000 é 3 pois: 0 3 =000 e log 0 (000)=3. Um logaritmo pode ser um número inteiro ou uma fração decimal assim podemos escrever: log 0 (5)=0,6989 e 0 0,6989 =5. Podemos ver que um logaritmo tem duas partes: uma parte inteira e uma parte fracionária. A parte inteira é chamada de característica e a parte fracionária é chamada e mantissa. Somente para informação de nossos estudantes existem também os logaritmos naturais que são os de base de um número transcendental de valor aproximado,7888 que é usado em computação e cálculos técnicos. Com logaritmos podemos fazer multiplicações como somas de logaritmos e divisões como subtrações. Isto facilita muito as operações com números muito 4
Vc Ve Vs C CEDAC CURSO A DISTÂNCIA grandes. Hoje em dia a aplicação de logaritmos é rara devido ao uso das calculadoras eletrônicas que facilitam muito os cálculos.. Reatância capacitiva Vimos na lição sobre Capacitores uma definição e a equação para cálculo das reatâncias capacitivas dos capacitores. Se quiser poderá refrescar a memória estudando aquele texto antes de iniciar o estudo dos filtros. 3. Filtros passivos Os filtros passivos são circuitos desenhados para trabalhar com as freqüências de um circuito seja modificando suas formas, rejeitar ou deixar passar freqüências desejadas ou indesejadas. Os filtros passivos são normalmente usados para baixas freqüências de até 00 khz. Estes filtros são compostos de um resistor e um capacitor sendo um circuito RC. Já para freqüências mais altas que 00 khz são usados os filtros RLC que têm um indutor no circuito. Os filtros podem ser passivos ou ativos. Nesta parte estudaremos os filtros passivos e depois estudaremos os filtros ativos. Os filtros passivos são formados usualmente de uma rede simples RC ou RLC interligados de diferentes formas. O filtro passivo de ª Ordem pode ser feito usando um resistor e um capacitor ligado de maneira a deixar passar ondas de alta freqüência ou de baixa freqüência. A função do filtro é deixar passar sem alteração a freqüência desejada e rejeitar as ondas não desejadas. Como no filtro passivo existem dois componentes passivos, o sinal produzido é atenuado, ou seja, o sinal de saída tem uma amplitude menor do que o sinal de entrada ou, dito de outra forma, o ganho deste tipo de filtro é menor do que. Veremos no estudo dos filtros ativos como melhorar esta relação. 3.. Filtros passa baixa (FPB) O filtro passa baixa é um filtro passivo simples composto de um resistor e um capacitor (RC). É composto por feito um único resistor e único capacitor que são ligados em série como mostrado na Figura 3. abaixo. Vemos pela análise desse circuito que o sinal de entrada á aplicado a um resistor em série com um capacitor e o sinal de saída é retirado somente nos terminais do capacitor. Este filtro é chamado de filtro de ª Ordem, pois tem somente um componente reativo no circuito: o capacitor. R Vr Figura 3. Como vimos no estudo da apostila Capacitores no capítulo 5, a reatância de um capacitor é inversamente proporcional à freqüência de operação enquanto que em um resistor que estudamos na lição sobre Resistores, sua resistência continua 5
inalterada com a freqüência. Com baixas freqüências a reatância capacitiva Xc do capacitor será muito grande comparada com a resistência do resistor, pois com freqüências muito baixas ele pode ser julgado como um isolador perfeito, e assim a voltagem através do capacitor C será muito grande quando comparada com a voltagem através do resistor R. Em altas freqüências acontece o contrário: o capacitor deixa passar a tensão com facilidade assim Vc será muito pequena se comparada com Vr do resistor. Podemos ver que o circuito desenhado acima se parece com um divisor de tensão como o estudado na apostila sobre Resistores capítulo, Divisores de tensão. Usando o que aprendemos ali, podemos calcular a voltagem de saída do filtro para qualquer freqüência dada. Por exemplo, no circuito acima seja R= 5kΩ, C= 60nF e Ve= V e usando a fórmula para a reatância capacitiva que aprendemos na apostila sobre Capacitores para duas freqüências: de 60 Hz e de 5000 Hz temos: Para uma freqüência de 60 Hz: X c fc 60 60 0 9 4409 V s V e X X c c R 4409 4409 5000 0,78V Para uma freqüência de 5000 Hz: X c fc 5000 60 76.84 Fica claro que quando a freqüência aumenta de 60 para 5000 Hz a voltagem de saída diminui. Se fizermos um gráfico da voltagem contra a freqüência de entrada a curva de resposta da freqüência do filtro de passa baixa passivo pode ser vista como na Figura 3. abaixo. 0 X c 76,84 Vs Ve 0. 4V X R 76,84 5000 c 9 Figura 3. 6
A figura acima mostra a freqüência de resposta do filtro que é aproximadamente plana nas baixas freqüências e cai acentuadamente depois de passar pelo ponto de corte f c. Isto se deve como explicamos a que o capacitor bloqueia a corrente devido a sua alta reatância. Após esse ponto a resposta do circuito diminui com uma inclinação de -0 db/década e os sinais acima desta freqüência se tornam muito atenuados até que com freqüências muito altas a reatância do capacitor fica tão pequena que dá um efeito de curto circuito nos terminais de saída resultando em uma saída 0. Para este tipo de filtro as ondas de baixa freqüência antes do ponto de corte passam sem alteração e as freqüências acima do ponto de corte são atenuadas. A zona antes do ponto de corte é chamada e zona de freqüência de resposta e a zona depois do ponto de corte é chamada de zona de bloqueio ou de corte. Esta freqüência de corte é definida como o ponto da freqüência onde a reatância capacitiva e a resistência do resistor são iguais ou seja: R=X c e neste caso é igual a 5000Ω. Ao ocorrer isto o sinal de saída é atenuado em 70,7% do valor do sinal de entrada ou -3 db do sinal de entrada. Apesar de que R=X c o sinal de saída não é metade do sinal de entrada devido a ser a soma vetorial das duas resistências e portanto 0,707 do sinal de entrada. Como o filtro tem um capacitor o ângulo de fase φ do sinal de saída fica atrasado em fase em relação do sinal de entrada em -45º. Isto se deve ao tempo gasto pela carga do capacitor, pois o sinal de entrada se modifica devido á corrente alternada resultando em uma voltagem de saída atrasada em relação ao sinal de entrada. Quanto mais alta a freqüência de entrada aplicada ao filtro mais o capacitor atrasa e o circuito fica mais fora de fase. Esta freqüência de corte pode ser calculada pela equação seguinte, onde usaremos os dados para o circuito que calculamos acima. O desvio de fase φ é calculado pela fórmula: 3. Constante de tempo f c 530, 5Hz 9 RC x5000x60x0 arctan frc Vimos que a freqüência de corte dos filtros é o produto da resistência R e da capacitância C instaladas no circuito a certa freqüência e que alterando quaisquer destes dois componentes o ponto de corte poderá ser aumentado ou diminuído. Sabemos também que o desvio de fase do circuito está atrasado com o sinal de entrada pelo tempo necessário para carregar o capacitor conforme muda o sinal da corrente alternada. Esta combinação de R e C produz um efeito de carga e descarga do capacitor que é conhecido como constante de tempo como vimos no estudo dos capacitores. A constante de tempo é dada pela fórmula: RC f c A voltagem de saída V s depende da constante de tempo e da freqüência do sinal de entrada e com um sinal de CA senoidal o circuito se comporta como um filtro de passa baixa de ª ordem. 7
Mas se o sinal de entrada for mudado para uma onda quadrada no lugar de uma onda senoidal, a resposta do circuito muda bastante e o circuito se torna no que é conhecido como circuito integrador. Esta é apenas uma informação para o estudante, pois não é do escopo desta aula o estudo dos integradores. Exercícios. Um capacitor tem sua reatância modificada com a freqüência. a. Correto b. Ela permanece inalterada c. Com freqüência baixa é menor d. Com freqüência alta é maior. Um filtro passa baixa de ª.ordem é: a. Composto de resistores b. Passivo c. Composto de um resistor e um capacitor d. Alta freqüência 3. No filtro passa baixa de ª.ordem o capacitor está em paralelo com o resistor a. Afirmação correta b. Afirmação incerta c. Afirmação dúbia d. Estão em série 4. Um filtro passa baixa deixa passar uma faixa de ondas de baixa freqüência a. Afirmação correta b. Somente passam ondas de média freqüência c. Somente passam ondas de baixo calão d. Não sei 8
Ve R Vr Vs CEDAC CURSO A DISTÂNCIA 3.3. Filtro passivo passa alta RC Um filtro passivo passa alta (FPA) é exatamente o oposto de um FPB que vimos acima. Este filtro é composto pelos mesmos componentes, porém eles são instalados de forma diferente como vemos na Figura 3.3 abaixo. C Vc Figura 3.3 Este filtro é desenhado para atenuar ou rejeitar todas as baixas freqüências e deixar passar somente os sinais de alta freqüência acima do ponto de corte fc. Neste circuito a reatância do capacitor é muito alta para as baixas freqüências e dessa forma ele age como um circuito aberto e bloqueia todos os sinais de entrada até que a freqüência de corte fc tenha sido atingida. Acima desta freqüência a reatância do capacitor que está mais carregado foi bastante reduzida para agir agora como um curto circuito que permite a passagem dos sinais de entrada diretamente para a saída do circuito como mostramos na Figura 3.4. Figura 3.4 A curva de resposta mostrada na Figura 3.4 acima é exatamente o oposto da curva do filtro de passa baixa como dissemos acima. Neste gráfico o sinal é atenuado a baixas freqüências e o sinal de saída aumenta em 0 db/década até que a freqüência de corte seja atingida onde R=Xc. 9
Nesta freqüência o valor do sinal de saída é de 70,7% do sinal de entrada. O ângulo de fase do sinal está adiantado da fase do sinal de entrada e é igual a 45º na freqüência fc. A freqüência de corte neste filtro é calculada da mesma maneira que usamos para o filtro de passa baixa, mas a equação para o desvio de fase é modificada para o ângulo positivo como mostramos abaixo. fc RC (F4) e desvio de fase : arctan frc Exemplo. Calcular a freqüência do ponto de corte para um filtro passa alta que tem um capacitor de 60 pf ligado em série com um resistor de 300kΩ. O ponto é dado pela fórmula: f c 884Hz RC 3,4 300000 60 Mas se o sinal de entrada for mudado para uma onda quadrada no lugar de uma onda senoidal, a resposta do circuito muda bastante e o circuito se torna no que é conhecido como circuito diferenciador. Esta é apenas uma informação, pois o estudo deste componente está fora do âmbito desta lição. Exercícios 5. Calcular a freqüência de corte de filtro passa alta que tem um capacitor em série com 50 pf e um resistor com 50kΩ. a. 73, Hz b. 73 Hz c.,73 Hz d.,37 Hz 6. Calcular o ponto de corte de um filtro passa baixa que tem um capacitor de 30 pf e um resistor de 3000Ω. a.,768 Hz b. 768 Hz c. 7,68 Hz d. 76,80 Hz 7. Qual a constante de tempo do filtro do exercício 5? a.,5x0-5 b. 0,99x0-5 c.,39x0-5 d.,5x0-5 8. Qual a constante de tempo do filtro do exercício 6? a. 5,65x0-7 b. 5.65 c. 5.65-7 d. 0.565 0
3.4. Filtro passivo passa banda Como vimos acima a freqüência de corte de um filtro passivo pode ser controlada com grande precisão por meio de um resistor e um capacitor não polarizado. Mas algumas vezes é necessário permitir a passagem de uma certa faixa de freqüências que não se inicia em 0 ciclos ou não termine em freqüência muito alta. Para isto deve-se construir um filtro passa banda ou passa faixa de ondas que se constitui de dois filtros: um passa alta e um passa baixa ligados em série. Este filtro toma o nome de filtro passa banda. Diferentemente do filtro passa baixa que deixa somente passar ondas de baixa freqüência ou do filtro passa alta que deixa passar somente altas freqüências, este filtro tem dois pontos de corte, um para baixas freqüências e outro para altas freqüências. Estas freqüências estão 3 db abaixo ou acima do centro ou do pico de ressonância e atenua ou impede as freqüência fora desta faixa. fase. Na Figura 3.5 abaixo vemos as curvas de resposta de freqüência e de desvio de Figura 3.5 Podemos definir a largura da banda como sendo a diferença entre a freqüência de corte no ponto inferior e a freqüência de corte no ponto superior. Na figura acima vemos a curva característica de resposta de freqüência e as características da curva de passagem das ondas. Vemos que o sinal é atenuado nas baixas freqüências e a saída aumenta a +0 db/década até que a freqüência atinge o ponto mais baixo de corte fcpa. Nesta freqüência a saída de voltagem é de 70,7% do sinal de entrada. O sinal de saída continua em seu máximo ganho até atingir o ponto de corte mais alto fcpb onde a saída diminui a uma taxa de -0 db/década atenuando quaisquer sinais de altas freqüências. O ganho de saída máximo é o ponto da média geométrica dos dois valores de - 3dB que estão entre os pontos de corte mais alto e mais baixo. Este ponto é chamado de freqüência do centro ou pico de ressonância e tem um valor fr. A média geométrica é dada pela fórmula: fr fc fc sup erior inf erior. Este filtro é um filtro de segunda ordem por ter dois componentes reativos, ou seja, dois capacitores, e assim o ângulo de fase será o dobro do que vimos no filtro
passa banda de um resistor e um capacitor ou filtro de primeira ordem. No filtro de ª.ordem o ângulo de fase é de 90 e no passa banda ele é de 80. Mas você deve notar pela curva de desvio de fase que o ângulo de fase está adiantado em 90 até o centro ou freqüência de ressonância e que ele está atrasado em 90 depois do centro conforme a freqüência vai aumentando. Os pontos de corte da freqüência inferior e da freqüência superior para o filtro passa banda são dados pela mesma fórmula dos filtros passa alta e passa baixa: f c RC Na Figura 3.6 vemos o esquema deste filtro. Figura 3.6 Exemplo Um filtro passa banda deve ser desenhado para passar uma banda com freqüência inferior de khz e superior de 40 khz. Assumindo que temos dois resistores de 6,5 kω, calcular os capacitores. Para o filtro superior de 40000 Hz: C f R c 3,4 40000 6500 Para o filtro inferior de 000 Hz: C 4, 8nF 3,4 000 6500,4pF
3.6. Freqüência de ressonância O ponto de ganho máximo chamado de freqüência média ou pico de ressonância é a média geométrica e está situado entre os pontos de corte alto e baixo. O valor é dado pela média geométrica e não pela media aritmética dos valores máximo e mínimo e é calculado pela fórmula: fr fcs fci ou fr fcs fci, (F5) Onde fr é a média geométrica, fcs é a freqüência superior e fci é a freqüência inferior. Exercícios Para nosso exemplo acima será: f r 000 40000 80000000 8, 944kHz. 8. Calcular os capacitores para um filtro passa banda, sendo sua freqüência inferior de khz e superior de 5 khz. Existem dois resistores de 9, kω. Qual os valores corretos na ordem: inferior e superior? a. 3,33pF e 4,6 nf b. 33,4pF e 4,6 nf c. 334pF e 4,6 nf d. 0,334pF e 0,46 nf 9. Calcular a freqüência de ressonância para esse filtro. a. 70,7 khz b. 707 MHz c. 7,07 khz d. 707 khz 3
R3 Vs Vc Ve C CEDAC CURSO A DISTÂNCIA 4. Filtros ativos Acabamos de estudar os filtros passivos e vimos que os filtros passivos passa baixa e passa alta são de primeira ordem pois são feitos de somente um resistor e um capacitor não polarizado ligados como em uma divisor de tensão ou seja em série. Notamos que uma das desvantagens desse filtro é que a amplitude do sinal de saída é sempre menor do que, ou seja, o ganho é sempre menor do que. No caso de existirem no circuito mais que um estágio ou filtros de múltiplo estágio, esta perda de sinal ou atenuação do sinal pode ser muito grande e severa para esse circuito. Mas podemos controlar ou mesmo restaurar esta perda de sinal usando os filtros ativos. Os filtros ativos têm componentes ativos em sua estrutura por isso o nome de filtros ativos. Estes componentes ativos podem ser amplificadores operacionais (opamps) ou transistores e usam sua energia de fontes externas para aumentar ou amplificar o sinal de saída. Os opamps são usados também para produzir um sinal de saída mais seletivo tornando a faixa de saída mais estreita ou mais larga dependendo do resultado final que se deseja e por essa razão são normalmente usados nesta aplicação. Os opamps podem ter uma alta impedância de entrada e baixa impedância de saída com um ganho de voltagem que resulta da combinação de resistores em seu laço de retroalimentação (feedback em inglês). Os filtros passivos de passa alta RC têm freqüência de resposta de alta freqüência infinita e o filtro ativo é diferente em que tem uma limitada freqüência de resposta ao ganho/largura de banda ou ganho de laço aberto que depende do opamp que está sendo usado. Os filtros ativos são em geral de desenho mais fácil que os passivos e possuem uma boa característica de desempenho, boa precisão com um desvio agudo e baixo ruído quando produzido com um desenho apropriado. Os estudamos os amplificadores operacionais em uma apostila no módulo V deste curso. 4. Filtro ativo passa baixa O filtro ativo mais comum e mais fácil de se compreender é o filtro ativo passa baixa cujo princípio de operação é exatamente o mesmo do filtro RC que vimos para o filtro passivo passa baixa com a diferença de usar um opamp para o controle do ganho e da amplificação. A forma mais simples de filtro ativo passa baixa é ligando um amplificador operacional não inversor como vemos na Figura 4. abaixo. Idêntico ao passa baixo passivo R Vr Opamp + A - R Figura 4. 4
Este filtro ativo passa baixa de ª ordem leva o nome de filtro Butterworth e como vemos na figura consiste de um filtro passivo ligado a um amplificador operacional não inversor. A freqüência de resposta deste circuito será a mesma do filtro RC passivo, porém a amplitude do sinal de saída será aumentada pelo ganho de voltagem da banda de passagem do amplificador que para um amplificador não inversor é dada por Af R / R3 Para um circuito amplificador não inversor o ganho do filtro em voltagem é geralmente expresso em decibéis e é uma função do resistor de retroalimentação R, sendo o valor do ganho de voltagem dado pela fórmula abaixo onde Af é o ganho da banda de passagem do filtro dada pela fórmula acima, f a freqüência do sinal de saída em Hz e fc a freqüência de corte em Hz: Gv V 0log V s e A f f f c sendo Af dado por : A f R R 3 EXEMPLO Projetar um circuito de filtro passa baixa ativo que tenha um ganho de 0 em baixas freqüências e um ponto de corte de 70 Hz com uma impedância de entrada de kω. Temos um resistor de,5kω que podemos usar na posição R 3. e vamos calcular Resposta: O ganho de voltagem é dado pela equação acima da qual tiramos R : R A f ) R (0 ),5 9,5 3, 5k ( 3 A freqüência de corte é dada pela F4 de donde tiramos C: C f R c 3,4 70000 O esquemático fica assim: 000 7,8 pf 5
Se a impedância externa ligada com a saída do circuito se modifica, esta modificação afetará o canto de saída da curva de freqüência do filtro, seja em série ou em paralelo. Uma forma de se evitar isto é de colocar o capacitor em paralelo com o resistor R como vemos na Figura 4.. Figura 4. O valor deste capacitor ficará um pouco diferente do calculado até agora e é dado pela fórmula: Fc CR As aplicações para este filtro são em amplificadores de áudio e sistemas de microfones e outras aplicações técnicas que necessitem uma banda de baixa freqüência. 4. Filtro ativo passa alta A operação básica de um filtro ativo passa alta é igual ao mesmo circuito de filtro passivo RC exceto que para este tipo de circuito está instalado no circuito um opamp para amplificação e ganho do sinal. Como no caso do filtro ativo passa baixa a maneira mais simples é de instalar um opamp inversor ou não inversor no circuito. O filtro passa alta passivo tem uma freqüência de resposta muito alta quase infinita, já o filtro ativo passa banda tem uma faixa limitada pela característica do opamp sendo empregado. Você verá na apostila sobre os amplificadores operacionais que a máxima freqüência de resposta de um opamp é limitada. Um filtro ativo de passa alta atenua as baixas freqüências e deixa passar as altas freqüências. Ele consiste de um filtro passivo de passa alta seguido de um opamp. A resposta de freqüência é idêntica ao do filtro passivo, mas a amplitude do sinal é aumentada pelo ganho do amplificador e a banda de passagem dada pelo amplificador não inversor é dada pela fórmula: Af=+R/R3. Este é um filtro ativo de ª ordem. Na Figura 4.3 abaixo você vê o esquemático deste filtro. 6
R3 Vs Ve R Vr CEDAC CURSO A DISTÂNCIA Idêntico ao passa alta passivo C Vc Opamp + A - R Figura 4.3 Vemos na figura acima o circuito de um filtro passa alta ativo. Este filtro passa alta é de primeira ordem e como vemos possui um filtro passa alta passivo e um opamp. A freqüência de resposta é a mesma do filtro passa alta passivo, mas, como dissemos, existe um ganho no sinal de saída que depende do opamp. Para um circuito amplificador não inversor o ganho de voltagem deste filtro é expresso geralmente em decibéis e é função do valor do resistor de retroalimentação R dividido pelo valor do resistor de entrada R3 e é dado pela fórmula: Gv 0 log Vs Ve Af f fc f fc Nessa fórmula Af é o ganho da banda de passagem do filtro dada por: R / R3, f é a freqüência do sinal de saída em Hz e fc á a freqüência de corte em Hz. Para um filtro de primeira ordem a curva de resposta do filtro aumenta por 0 db/década até o ponto da freqüência de corte que é sempre de -3 db abaixo do valor de ganho máximo. Como vimos nos circuitos anteriores a freqüência de corte fc em pode ser achada usando a mesma fórmula: fc RC Nesta equação fc é dado em hertzes. O desvio de fase do sinal de saída é o mesmo que o dado para o filtro passivo RC e está adiantado em relação ao sinal de entrada e é dado pela fórmula: tan frc A curva da freqüência de resposta é vista na Figura 4.4 abaixo. 7
Figura 4.4 Este circuito pode também ser usado como um diferenciador como no caso do passa alta passivo, mas a discussão deste tipo de filtro é feita nos curso de tecnólogo. 4.3. Filtro ativo passa banda Vimos no estudo do filtro passivo passa banda que a principal característica de um filtro passa banda é deixar passar certa banda de ondas sem praticamente nenhuma atenuação. Para um filtro passa baixa esta banda começa em 0 Hz e continua até certa freqüência de corte especificada. Para o filtro passa alta a faixa começa em -3dB de freqüência de corte e continua até o infinito ou até o ganho do laço aberto de um filtro ativo Mas no filtro passa banda existe uma banda ou faixa de passagem e somente os sinais dentro dessa faixa ou banda podem passar sem atenuação. Isto significa que existe um ponto mínimo e um ponto máximo de corte, sendo que as freqüências antes e depois destes pontos são impedidas de passar. O filtro passa banda ativo assim como o filtro passa banda passivo se compõe de um filtro passa baixa, um filtro passa alta e, no caso do filtro ativo, um opamp de amplificação como vemos na Figura 4.5 abaixo. Dessa forma as freqüências baixas e altas são atenuadas ou impedidas de passar e as ondas dentro de uma faixa de ondas são permitidas de passar. Figura 4.5 8
Os pontos de corte de freqüência alta como o de baixa freqüência são calculados da mesma forma que fizemos para os filtros de passa baixa e passa alta de primeira ordem.o opamp define o ganho total do circuito. A curva da freqüência de resposta é mostrada na Figura 4.6 abaixo. Figura 4.6 O ganho de voltagem é dado pela fórmula: Gv R R 4 e freqüência de corte inferior : Fci C R e superior :Fcs C R 4 O filtro passa banda ativo pode também ser feito usando um opamp inversor modificando o arranjo dos resistores e capacitores. Exemplo Calcular as faixas de corte um filtro passa banda com C=0nF, C=0nF, R=5kΩ e R4=00 kω. fcs 3, 8kHz 9 0 5000 fci 79, 57Hz 9 0 00000 5. Freqüência de ressonância A forma real da curva de resposta da freqüência de um filtro passa banda dependerá sempre das características do circuito de filtro. Podemos considerar a curva mostrada acima como uma curva ideal de resposta. Um filtro de segunda ordem por conter dois capacitores que são componentes reativos no mesmo circuito deverão ter uma freqüência de ressonância Fre no centro da freqüência Fc. Esta freqüência central é calculada como a média geométrica entre os pontos de corte da freqüência baixa e o ponto de corte da freqüência alta sendo a freqüência de ressonância dada pela fórmula abaixo onde f re é a freqüência central, f l a freqüência mínima e f a a freqüência superior. 9
fre f f f a Exemplo Qual é a freqüência de ressonância para um filtro passa banda que tem uma freqüência inferior de 300 Hz e superior de 700Hz? Usando a fórmula acima temos: Fre 300 700 458Hz 6. O fator Q O fator Q é chamado de fator da qualidade do circuito. Ele é a medida da seletividade ou não seletividade do filtro de passa banda em relação a uma faixa de freqüências. Quanto mais baixo for o valor do fator Q a banda ou faixa de passagem do filtro é mais larga e como conseqüência o filtro é menos seletivo. Pelo contrário, quanto mais alto o valor de Q mais alta é a seletividade do filtro. O fator da qualidade Q é representado pela letra grega α (alfa) e é conhecido como frequência de pico alfa, representado pela fórmula: Q Como o fator Q de um filtro passa banda de segunda ordem se relaciona com a resposta mais aguda do filtro ao redor do centro da faixa da freqüência de ressonância f re ele pode também ser tomado como um fator de amortecimento ou coeficiente de amortecimento, porque quanto maior for o amortecimento de um filtro, mais plana é a sua curva de resposta e quanto menor for o fator de amortecimento mais aguda, como conseqüência, é a curva de resposta. A relação de amortecimento é representado pela letra grega ξ (xi) e fórmula abaixo: O fator Q de um filtro passa banda é a relação entre a freqüência de ressonância fre e a largura da banda Lb, ou diferença entre o ponto de corte superior e o ponto d corte inferior: Q Frequência de ressonanci a Largura da banda fre Lb Exemplo Em nosso exemplo acima onde fre= 458Hz e a largura da banda Lb= 700-300=400Hz, temos: Q 400 458 0,87 0
7. Ordem do filtro A ordem do filtro exprime a complexidade do mesmo e se define pelo número de componentes reativos que ele possui em seu circuito tais como capacitores e indutores. Também a taxa de rolagem ou curva que existe quando a freqüência cai, ou seja, a largura da banda de transição depende do número da ordem do filtro e o filtro de primeira ordem que vimos até agora tem uma taxa de queda de 0 db/década ou 6 db/oitava. Os filtros que vimos até aqui são aplicáveis para circuitos de amplificadores de áudio e sistemas de alto-falantes, mas para as aplicações em sistemas de comunicação e controle as formas e larguras de bandas dos filtros de primeira ordem são muito largas e são necessários filtros de ordens mais altas. Assim um filtro de ordem n terá uma taxa de rolagem ou faixa de transição de 0n db/década ou 6n db/oitava e,por exemplo, um filtro de segunda ordem tem uma taxa de queda de 40 db/década ou db/oitava, um de quarta ordem terá 80 db/década ou 4 db/oitava, etc. Os filtros de alta ordem são usualmente desenhados por meio de cascatas de filtros de primeira e segunda ordem, por exemplo dois de segunda ordem para produzir um filtro de quarta ordem. Podemos dizer que não existe limite técnico para o número de ordem de um filtro, mas conforme aumenta a ordem de um filtro seu custo assim como seu tamanho aumentam e sua precisão diminui. Lembramos que a escala das freqüências usadas para os filtros é logarítmica: crescem por fatores de :, 4, 8, etc. Exercícios 0. Calcular a freqüência máxima e mínima de um filtro passa banda que tem os seguintes componentes: C= 60nF, C= 80nF, R= 300kΩ e R4= 500KΩ. a. 3Hz/4Hz b.,84hz/3,97hz c.,84khz/3,7 khz d.,9khz/3,97mhz. Qual é a largura da faixa de um filtro cujos pontos de corte são 350kHz e 650 khz? a. 500 khz b. 50 khz c. 300 khz d. 00 khz. Um filtro passa banda deixa passar somente uma banda pequena de freqüências. A afirmação é: a. Falsa b. Meio certa c. Mais ou menos d. Correta
3.. Um filtro tem uma frequência de ressonância baixa de 300 khz e alta de 650 khz. Qual é sua freqüência central? a. 44, Khz b. 475 khz c. 35 khz d. 44 khz 4. O que significa ordem de um filtro? a. Quer dizer a colocação no circuito: primeiro, segundo, etc. b. Quer dizer sua colocação em concurso c. Indica o número de componentes passivos dos filtros. d. Indica o número de componentes reativos do sistema
Respostas dos exercícios. a. c 3. d 4. a 5. a 6. b 7. d 8. a 9. c 0. a. c. d 3. d 4. d 3