Lista 01: Introdução à Probabilidade

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA-AERONÁUTICA MB-210: Probabilidade e Estatística Lista 01: Introdução à Probabilidade Prof. Denise Beatriz Ferrari denise@ita.br 2 o Sem/2013 1. Um modelo simplificado para o sistema de tipagem sangüínea em seres humanos corresponde a quatro tipos sangüíneos: A, B, AB e O. Existem dois antígenos (anti-a e anti-b) que reagem diferentemente em cada indivíduo, dependendo do tipo sangüíneo da pessoa. O antígeno anti-a reage com os sangues do tipo A e AB, mas não com B ou O. Já o antígeno anti-b reage com os sangues do tipo B e AB, mas não com os sangues tipo A ou O. Suponha que o sangue de uma pessoa tenha sido colhido e testado com os dois antígenos. Seja A o evento em que o sangue reage com anti-a e B, o evento em que o sangue reage com anti-b. Classifique o tipo de sangue do paciente utilizando os eventos A e B e seus complementos. 2. Construa o diagrama de Venn ilustrando as possíveis interseções e uniões para os eventos a seguir, relativos ao espaço amostral que consiste em todos os automóveis montados no Brasil: QP: quatro portas; TS: teto solar; DH : direção hidráulica 3. O que há de errado nas seguintes afirmativas? (a) As probabilidades de que um vendedor de automóveis venderá 0, 1, 2 ou 3 carros em um dia qualquer de fevereiro são, respectivamente, 0,19, 0,38, 0,29 e 0,15. (b) A probabilidade de chover amanhã é 0,40 e de não chover amanhã é 0,52. (c) As probabilidades de uma impressora cometer 0, 1, 2, 3, ou 4 ou mais erros ao ajustar um documento são, respectivamente, 0,19, 0,34, -0,25, 0,43 e 0,29. 4. Uma caixa contém 500 envelopes dos quais 75 contém $100 em dinheiro, 150 contém $25 e 275 contém $10. Um envelope pode ser comprado por $25. Qual o espaço amostral para as diferentes quantias de dinheiro? Determine as probabilidades dos pontos amostrais e calcule a probabilidade de que o primeiro envelope comprado contenha uma soma de dinheiro inferior a $100. 5. Dado um certo componente eletrônico,, seja A o evento em que o componente falha em um determinado teste e B, o evento em que o componente não falha, mas apresenta mal-funcionamento. O evento A ocorre com probabilidade 0,20 e o evento B ocorre com probabilidade 0,35. (a) Qual a probabilidade de que o componente não falhe? (b) Qual a probabilidade de que o componente funcione perfeitamente? (c) Qual a probabilidade de que o componente falhe ou apresente mal-funcionamento? 1

6. Em muitas aplicações industriais é comum o emprego de máquinas para o preenchimento de caixas. Exemplos de aplicações são o enchimento de caixas de sabão em pó ou de cereais matinais. Tais máquinas não operam perfeitamente e uma de três situações pode ocorrer: A = preenchimento segundo a especificação; B = preenchimento abaixo do nível especificado, ou C = preenchimento acima do nível especificado. A fim de evitar a insatisfação do consumidor, a situação B é aquela que mais se deseja evitar. Seja P [B] = 0,001 e P [A] = 0,990. (a) Determine P [C]. (b) Qual a probabilidade de que o preenchimento não ocorra abaixo do nível especificado? (c) Qual a probabilidade de que o preenchimento ocorra fora do nível especificado? 7. A utilização de métodos estatísticos é muito importante para o controle da qualidade industrial. Uma variável cujo controle é normalmente de grande importância é o peso do produto, que deve estar de acordo com determinadas especificações. O produto é rejeitado caso seja mais pesado ou mais leve do que o especificado. Dados históricos sugerem que a probabilidade de que o produto atenda aos requisitos de peso corresponde a 0,95, enquanto 0,002 corresponde à probabilidade de que o produto seja mais leve do que o especificado. Para cada embalagem do produto, são investidos $20,00 em produção e o preço ao consumidor é $25,00. (a) Qual a probabilidade de que um pacote retirado ao acaso da linha de produção tenha peso maior que o especificado? (b) Para cada 10.000 unidades vendidas, qual o lucro obtido pelo fabricante se todos os pacotes estiverem de acordo com o peso especificado? (c) Considere que todos os produtos rejeitados sejam destruídos. De quanto será a redução no lucro do fabricante em 10.000 unidades do produto devido a erros de especificação? 8. Um sistema elétrico consiste de quatro componentes, conforme ilustrado na figura abaixo. Os componentes funcionam independentemente e o sistema não apresenta falha se A e B funcionarem e se pelo menos um dentre C ou D funcionarem. A confiabilidade (probabilidade de apresentar funcionamento perfeito) de cada componente é dada no diagrama. Determine as probabilidades de: (a) o sistema funcionar corretamente; (b) o componente C falhar, dado que o sistema como um todo funciona. A 0,9 B 0,9 C 0,8 D 0,8 9. A probabilidade de um médico diagnosticar corretamente uma determinada doença é 0,7. Se o médico errar o diagnóstico, a probabilidade de que o paciente mova um processo contra ele é 0,9. Qual a probabilidade de que o médico erre o diagnóstico e seja processado? 10. Em uma certa região do país, a probabilidade de selecionar um adulto com idade superior a 40 anos portador de câncer é 0,05. A probabilidade um médico diagnosticar corretamente a existência da doença em um paciente portador de câncer é 0,78 e a probabilidade de diagnosticar incorretamente como portador da doença um paciente saudável igual a 0,06. 2

(a) Qual a probabilidade de que um paciente seja diagnosticado como portador da doença? (b) Qual a probabilidade de que um paciente diagnosticado como portador da doença esteja realmente doente? 11. A poluição dos rios brasileiros têm sido um motivo de preocupação há muitos anos. Considere os seguintes eventos: A ={ o rio está poluído } B ={ uma amostra de água detecta a presença de poluentes } C ={ a pesca é permitida } Considere P [A] = 0,3, P [B A] = 0,75, P [B A C ] = 0,20, P [C A B] = 0,20, P [C A C B] = 0,15, P [C A B C ] = 0,80 e P [C A C B C ] = 0,90. Determine: (a) P [A B C]. (b) P [B C C]. (c) P [C]. (d) Qual a probabilidade de que o rio esteja poluído, dado que a pesca é permitida e uma amostra de suas águas não detectou a presença de poluentes? 12. Romeu Montecchio pretende se encontrar com Julieta Capuleto, embora saiba que se os pais da moça descobrirem seus planos, estará em sérios apuros. Romeu sabe ainda que a probabilidade de os Capuletos saírem de casa em uma noite qualquer é de 60%. Julieta só fica sabendo dos planos dos pais, ao certo, às 18h e, então, às 18h15 ela tem uma única chance de gritar uma mensagem em código a Romeu, que espera próximo à sua varanda. O problema é que Julieta acordou resfriada e está com a voz rouca, de modo que Romeu tem dificuldade para entender a mensagem. Antes de mais nada, Romeu deverá decidir qual das duas mensagens A e B Julieta empregará para exprimir Meus pais vão sair e Meus pais vão ficar. Responda às seguintes perguntas considerando a notação A = Julieta grita a mensagem A B = Julieta grita a mensagem B a = Romeu entende A b = Romeu entende B os dois códigos Código I { A = Meus pais vão sair B = Meus pais vão ficar { A = Meus pais vão ficar Código II B = Meus pais vão sair e, sabendo que P [a A] = 2/3; P [b A] = 1/3; P [b B] = 3/4; P [a B] = 1/4. (a) Qual dos dois códigos minimiza a probabilidade de erro de transmissão? (b) Considerando que Romeu atribui os valores a seguir às conseqüências de suas decisões, qual dos dois códigos maximiza o valor esperado? Capuletos saem Capuletos ficam Romeu visita Julieta +30 30 Romeu não visita Julieta 5 0 (c) Romeu conjectura que talvez fosse mais fácil presentear sua namorada com um telefone celular, a fim de obter a informação perfeita (IP). Qual seria o valor do telefone celular, isto é, qual o valor de se obter a informação perfeita (VEIP)? Forneça uma interpretação para o valor encontrado. Nota: VEIP = E[X IP] E[X] 3

13. Três prisioneiros (A, B e C) sentenciados à pena de morte são mantidos em celas isoladas enquanto aguardam a execução. Um dia, os prisioneiros são informados pelo carcereiro que apenas um deles, escolhido através de um sorteio, será executado, enquanto que os outros serão perdoados. O carcereiro sabe qual prisioneiro será executado, mas não tem permissão para revelar esta informação. O prisioneiro A pede ao carcereiro que revele em segredo o nome de um dos seus colegas que será liberto, argumentando que não haverá problema se ele tiver acesso a esta informação, pois ele já sabe que pelo menos um dos colegas não será executado. O carcereiro se recusa a dar qualquer informação, acreditando que se A souber qual dos colegas será solto, sua própria probabilidade de ser executado aumentaria. O raciocínio do carcereiro está correto? Discuta e forneça uma resposta detalhada utilizando argumentos probabilísticos. 14. Tristão e Isolda marcaram um encontro. Cada um deles chegará ao local combinado com um atraso de 0 a 1h, sendo todos os pares de atrasos equiprováveis. O primeiro a chegar espera durante 15 min antes de ir embora, caso o outro não chegue até então. Qual a probabilidade de Tristão e Isolda se encontrarem? 15. Se uma aeronave estiver presente em uma determinada área, terá sua presença corretamente detectada por um radar com probabilidade 0,99. Se não houver nenhuma aeronave, o radar acusa erroneamente a presença de uma aeronave com probabilidade 0,10. Se a probabilidade de haver uma aeronave na área coberta pelo radar for de 0,05, qual a probabilidade de: (a) um alarme falso (indicação errônea da presença de aeronave); (b) falha de detecção (o radar não registra a presença da aeronave quando, de fato, ela está presente); (c) a aernoave estar presente, dado que o radar detectou sua presença? 16. Uma rede é constituída de quatro terminais e quatro ligações, como mostra o diagrama na figura abaixo. Portanto, existem dois caminhos conectando cada par de terminais. Um terminal transmite informação a outro terminal enviando a informação em ambas as direções, independentemente. A transmissão é considerada bem sucedida se a informação é recebida através de qualquer um dos caminhos (ou dos dois simultaneamente). Cada ligação falha, independentemente das outras, com probabilidade 0,1. (a) Qual a probabilidade de que a informação transmitida pelo terminal A ao terminal B será bem sucedida? (b) Qual a probabilidade de que a informação transmitida de um certo terminal a outro será bem sucedida? (c) De quantas maneiras os quatro terminais podem ser arranjados na rede, suponde que duas redes sejam idênticas quando cada terminal tem os mesmos vizinhos em ambas as redes? 17. Dentre os 100 passageiros que desembarcam em um determinado aeroporto, 80 chegaram ao seu destino, enquanto os outros encontram-se em trânsito. Dentre os que chegaram ao destino final, 70% fizeram vôos domésticos. Dos passageiros em trânsito, 40% são viajantes domésticos. A probabilidade de que um dado passageiro esteja viajando a trabalho é de 10%, independentemente de 4

sua origem. Um passageiro é selecionado aleatoriamente. Qual a probabilidade de que o passageiro: (a) esteja chegando em seu destino final ou tenha feito um vôo internacional? (b) esteja viajando a trabalho ou tenha feito um vôo doméstico? 18. Dois tipos de exames de DNA foram desenvolvidos para auxiliar a polícia a descobrir os responsáveis por certos crimes. Os testes comparam duas amostras: uma coletada da vítima e outra do suspeito. Para o teste A, a probabilidade de identificar corretamente o criminoso vale 99,5%. Em 1,5% dos casos, o teste A resulta em falsos-positivos (i.e., o o suspeito é considerado culpado, quando na realidade ele é inocente). Para o teste B, tais probabilidades valem, respectivamente, 99,7% e 2%. Os testes são condicionalmente independentes com relação ao eventos C (o suspeito é o criminoso procurado) e C c. Um suspeito foi apanhado e os investigadores têm 80% de certeza de que ele seja o culpado. (a) Dado que o resultado do teste A deu negativo, qual a probabilidade de que o suspeito seja o criminoso procurado? (b) Dado que os dois testes deram positivo, qual a probabilidade de que o suspeito seja realmente culpado? (c) Se o suspeito for realmente o criminoso procurado, qual a probabilidade de que um teste dê resultado negativo e o outro, positivo? (d) Considere agora que 10 suspeitos tenham sido apanhados, dentre eles o culpado. probabilidade de que o teste A dê resultado positivo apenas para o culpado? Nota: Os testes dão resultados independentes para cada indivíduo. Qual a 19. Três crianças pequenas tentam apanhar suas botas em uma sapateira. Cada criança seleciona duas botas ao acaso. Não há nenhuma outra bota na sapateira e as crianças não conseguem distinguir os lados direito e esquerdo. (a) Qual a probabilidade de que todas as crianças consigam apanhar o seu par de botas? (b) Qual a probabilidade de que cada criança consiga apanhar um par de botas (não necessariamente o seu)? (c) Qual a probabilidade de que pelo menos uma das crianças consiga apanhar o seu par de botas corretamente? (d) Considere agora que dois dos pares de botas são vermelhos e um par é amarelo. Suponha que as crianças tenham selecionado as botas das cores corretas e as tenham calçado. Qual a probabilidade de que todas as três crianças tenham calçado suas botas corretamente? 20. Todos os domingos, um pescador visita um de três possíveis locais próximos de sua casa: ele vai ao mar com probabilidade 1/2; ao rio, com probabilidade 1/4; ou, ao lago, com probabilidade 1/4. Se vai ao mar, tem 80% de chance de pescar um peixe. As chances sucesso na pescaria são 40% e 60%, para o rio e para o lago, respectivamente. (a) Qual a probabilidade de que pesque um peixe, em um dado domingo? (b) Calcule a probabilidade de que tenha sucesso em pelo menos dois de três domingos consecutivos. (c) Se, num certo domingo, ele não pescar nada, que local mais provavelmente ele visitou? (d) Um amigo, que também pesca aos domingos, vai aos mesmos locais com iguais probabilidades. Qual a probabilidade de que os dois pescadores se encontrem pelo menos uma vez, nos dois próximos finais de semana? 5

21. Dois amigos, viajando em um trem com dois outros amigos, descobrem que todos os quatro fazem aniversário em três dias sucessivos, sendo dois no mesmo dia. Surpresos, fazem as contas e chegam à conclusão de que a ocorrência de um evento tão raro assim é de 1 para 1.350.000. Verifique se esta afirmação está correta. 22. Independência condicional (a) Dê um exemplo de eventos A, B e C tais que A e B não sejam independentes, mas sejam condicionalmente independentes, dado C. (b) Dê um exemplo de eventos A, B e C tais que A e B sejam independentes, mas não sejam condicionalmente independentes, dado C. 23. Um certo avião com quatro turbinas precisa de três ou mais turbinas funcionando para garantir a segurança de vôo. Um outro avião tem duas turbinas e precisa de apenas uma turbina funcionando para voar em segurança. Considere que as turbinas sejam independentes e cada uma tem uma probabilidade p de funcionar corretamente durante um vôo. (a) Qual avião é mais seguro e em que condições? (b) (Simulação) Se a confiabilidade de cada turbina for 0,99, simule a confiabilidade do primeiro avião. Para isso, realize a simulação 1000 vezes e calcule o percentual de pousos forçados. 6