COMO ENSINEI MATEMÁTICA

COMO ENSINEI MATEMÁTICA

Mário Maturo Coutinho COMO ENSINEI MATEMÁTICA.ª edição

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AGRADECIMENTOS À Deus À minha família Aos mestres da matemática do C.E.Visconde de Cairu

APRESENTAÇÃO O objetivo deste livro é simples. Quero passar para os jovens professores, os meus 40 anos em sala de aula. De 1970 a 2010, trabalhei com centenas de turmas dos mais variados níveis social, econômico e intelectual. Em nenhuma delas, tive problemas. Até os alunos mais fracos gostavam das minhas aulas. Confessavam, entretanto, que as notas, muitas vezes baixas, eram consequência da falta de exercícios em casa, falta de esforço, etc. Quando sabiam que, uma vez aprovados, não seriam meus alunos na série superior, já sentiam saudades antes do tempo. Em primeiro lugar, não complico a guerra. Chamo a matemática de você e não de vossa excelência. Em segundo lugar, começo cada assunto pelos exemplos mais bobos monstrado naquele momento. Continuo com minhas aulas particulares. O que eu vejo em alguns cadernos francamente me assusta. Este não é um livro de muitos exercícios. É um bate papo com o professor. Em cada capítulo, coloco como eu acho que se deve começar o assunto, seguido dos primeiros e principais exemplos.

8 COMO ENSINEI MATEMÁTICA Mário Maturo Coutinho Uma vez resolvidos, o professor tem a liberdade de avançar como qui- Como é um bate papo entre colegas, usei uma linguagem bem informal. Não tive a preocupação dos rigores matemáticos. Por exemplo: a) Dois segmentos congruentes, são chamados aqui de iguais e pronto. b) Não diferenciei a notação de segmento da notação de sua medida. Outro ponto importante é, quando eu chamo atenção onde o aluno vai errar ou onde ele vai questionar. Acrescentei, inclusive alguns diálogos Tive a preocupação e a ética de apenas escrever sobre o que mais trabalhei e que posso assim falar de cadeira. Por isso, não estranhem a falta O livro aborda os principais tópicos do 7º ao 9º ano. Na próxima edição, falarei sobre o ensino médio, onde aparecerão as funções do 1º e 2º graus bem como as relações trigonométricas nos triângulos retângulos, as- Ensino Médio. Boa leitura e boas aulas.

SUMÁRIO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS... 11 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS... 19 EQUAÇÃO DO 1º GRAU... 23 PROBLEMAS DE 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA... 31 INEQUAÇÃO DE 1º GRAU... 35 RAZÕES E PROPORÇÕES... 39 REGRA DE TRÊS... 47 PORCENTAGEM... 53 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS... 61 PRODUTOS NOTÁVEIS... 73 FATORAÇÃO ALGÉBRICA... 77 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU... 85 PROBLEMAS DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS... 99 CÁLCULO DE RADICAIS... 105 EQUAÇÃO DO 2º GRAU... 123 DISCUSSÃO DAS RAÍZES... 135

10 COMO ENSINEI MATEMÁTICA Mário Maturo Coutinho RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES... 139 EQUAÇÃO BIQUADRADA... 145 EQUAÇÃO IRRACIONAL... 149 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU... 155 PROBLEMAS DO 2º GRAU... 159 GEOMETRIA PLANA - INTRODUÇÃO... 163 ÂNGULOS... 169 PARALELAS CORTADAS POR TRANSVERSAL... 183 POLÍGONOS - PRIMEIRAS DEFINIÇÕES... 189 TRIÂNGULOS... 195 QUADRILÁTEROS... 207 ÂNGULOS DE POLÍGONOS... 219 CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO... 227 SEGMENTOS PROPORCIONAIS... 241 TRIÂNGULOS SEMELHANTES... 245 RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS... 253 RELAÇÕES MÉTRICAS NOS CÍRCULOS... 265 ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS... 275

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 1- NÚMERO NEGATIVO A grande motivação no primeiro dia de aula para os alunos do 7º ano é Digam de cara: Hoje vocês conhecerão números menores que zero Certamente, isso causará um espanto; pois, até então, eles conheciam apenas os números naturais e os racionais positivos. Somente a partir dos exemplos do dia a dia é que eles irão entender. Os exemplos mais simples são: A partir daí, mostramos que, diante da necessidade de se lidar com tais situações, o homem precisou criar novos números para resolver esse tipo de situação. Cria-se então os números negativos. Os naturais, maiores que zero, serão os positivos, o zero, neutro e assim forma-se um novo conjunto: o conjunto dos números inteiros.

12 COMO ENSINEI MATEMÁTICA Mário Maturo Coutinho 2 A RETA NUMÉRICA Não apaguem a reta. Deixem-na num canto do quadro e comecem a desenvolver exercícios de comparação entre números inteiros, usando os símbolos de < e > menor que e maior que 7 0-6 Nos exemplos 1 e 2 temos, respectivamente, dois números positivos e dois números negativos; que o positivo é de menor valor absoluto; No exemplo 4, há um número positivo e um número negativo, sendo que o positivo é de maior valor absoluto; número negativo, no entanto, aqui o número negativo é aquele que aparece primeiro;

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 13 No exemplo 6, assim como no exemplo 4, há um número positivo e um número negativo, no entanto, o número negativo é aquele que aparece primeiro; Nos exemplos 6 e 7, temos a comparação do zero com negativos. É muito importante esse cuidado com a ordem dos exemplos. Caso contrário, atropela o raciocínio do aluno. 3- SIMÉTRICOS (OU OPOSTOS) sendo os simétricos extremidades de um diâmetro. Para complementar o assunto, levem para a aula,, já pronta, uma folha de papel transparente com uma reta numérica. Dobrem o papel no ponto zero e mostre cada número caindo sobre seu simétrico. Agora poderão oferecer diversos exemplos sobre comparação de inteiros. O mais interessante é,principalmente para os meninos, o problema do saldo de gols.citemos um exemplo: onato empatados e o desempate será pelo saldo de gols. Observações:

14 COMO ENSINEI MATEMÁTICA Mário Maturo Coutinho Times Gols pró Gols contra Saldo A 10 10 B 15 12 C 8 13 D 7 3 E 9 11 Quando forem corrigir, tracem uma reta no canto do quadro e escrevam os nomes dos times com seus respectivos saldos de gols. Para responder o problema, basta ler da direita para a esquerda. 4- ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Esse momento é crucial: quem entender bem essa aula estará bem encaminhado para o resto do ano. Não estou exagerando. Pela quantidade de ex-alunos meus em séries superiores, que não sa- plos a e b dos exemplos c e d e perguntem se eles seriam capazes de enun-

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 15 ciar uma regra. Após um breve tiroteio,e com a sua ajuda, teremos a bem popular regrinha dos sinais : Sinais Diferentes - Subtrai-se e dá o sinal do maior Observação: Nesta ocasião, é oportuno se falar sobre valor absoluto. Porém, não se Não apague a regrinha cos para cortar. Porém, façam também sem cortar. Sempre ensinei a eliminar os parênteses. Joguem direto para a turma os exemplos e a regrinha abaixo: permanece com o seu sinal; muda de sinal. Poderá haver um certo questionamento sobre, principalmente, o exemplo d. No entanto, será fácil de explicar, pois a noção de simétrico já foi vista.

16 COMO ENSINEI MATEMÁTICA Mário Maturo Coutinho Tirem então os parênteses,aplicando a regrinha acima. Depois, apliquem a regra dos sinais vista anteriormente: Apliquem bastante exercícios, incluindo dois números dentro de um 1º modo 2º modo 5- MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO Essas duas operações são mais fáceis para o aluno, pois a regra dos sinais é mais imediata. Para começar, relembrem o que é multiplicação. É fácil concluir então que : Como a multiplicação é comutativa então:

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 17 Usem a noção de simétrico para mostrar que: A regrinha dos sinais da multiplicação está pronta. Observação: O aluno gosta tanto da ideia de menos com menos dá mais que, ao voltar para a adição, acaba errando. Daí, ser muito comum o aluno respon- Na divisão, não há problema. A regra é semelhante. Basta fazer exercícios, incluindo pequenas expressões que envolvam todas as operações já vistas. 6- POTENCIAÇÃO Antes de iniciar este assunto, é preciso recuperar o que fora estudado no 6º ano, porque grande parte dos alunos ainda não domina, não sabe o que é potenciação, sendo muito comum darem respostas como: 2 4 Assim sendo, é necessário uma revisão de potenciação de números na- 2 4

18 COMO ENSINEI MATEMÁTICA Mário Maturo Coutinho Para explicar a regra dos sinais da potenciação, resolvam com a turma estes quatro exemplos: 4 4 Peçam agora à turma para deduzir uma regrinha. Depois de um pequeno tiroteio, alguém vai dizer algo como: Quando o expoente for ímpar,o resultado é negativo. Diante de tal raciocínio, retomem o exemplo b, e questione: era ímpar, mas deu positivo. Logo, irão concluir que, além disso, a base tem que ser negativa. par ou ímpar par ímpar Observação: A regra pode ser complementada com uma explicação simples: Terminem o capítulo com expressões, lembrando da ordem de resolução.