8º ANO TEOREMA DE PITÁGORAS. Nuno Marreiros. O que é um Teorema? Quem foi Pitágoras?

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1 TEOREMA DE PITÁGORAS 8º ANO Nuno Marreiros O que é um Teorema? Quem foi Pitágoras? 1

2 O que é um Teorema? Os Gregos trouxeram até nós o conceito de teorema. Um teorema é uma afirmação matemática cuja demonstração tem de ser feita. A demonstração de um teorema é uma justificação rigorosa da veracidade do teorema, de tal modo que não pode ser posta em causa por ninguém que siga as regras da lógica e aceite um conjunto de afirmações definidos à partida como sendo a base do sistema lógico. Quem foi Pitágoras? Pitágoras (? ? a.c.) nasceu antes das guerras médicas, na ilha de Samos, uma ilha que fica entre a Grécia e a atual Turquia. 2

3 Quem foi Pitágoras? Um grego - o nome não engana ninguém. Um matemático - óbvio, caso contrário não faria teoremas. Um génio - claro, senão quem se preocuparia com ele e seus teoremas 25 séculos após sua morte? Um astrónomo - bem, vá lá, astronomia e matemática sempre andaram juntas. Mas Pitágoras foi mais que isso: conhecia também música, moral, filosofia, geografia e medicina. Quem foi Pitágoras? Pitágoras não deixou obras escritas. O que se sabe da sua biografia e das suas ideias é uma mistura de lenda e história real. A lenda começa antes mesmo de Pitágoras nascer: por volta de 569 a.c., a sacerdotisa do deus Apolo disse a um casal que vivia na ilha de Samos, no mar Egeu: Tereis um filho de grande beleza e extraordinária inteligência; será um dos homens mais sábios de todos os tempos. No mesmo ano, o casal teve um filho. Era Pitágoras. 3

4 Quem foi Pitágoras? Lenda ou não lenda, a inteligência do jovem Pitágoras assombrava os doutores das melhores escolas de Samos: não conseguiam responder às perguntas do moço de 16 anos. Nessas condições, só havia uma coisa a fazer: despachá-lo a Mileto, para que estudasse com Tales - o maior sábio da época, provavelmente o primeiro grego a se dedicar cientificamente aos números. Quem foi Pitágoras? Já em adulto, Pitágoras resolveu ampliar os seus interesses. Fundou a sua própria escola, onde passou a ensinar aritmética, geometria, música e astronomia. E, alternando essas disciplinas, com aulas de religião e moral. Mais que uma escola, Pitágoras conseguira criar uma comunidade religiosa, filosófica e política. 4

5 Pitágoras Pitágoras 5

6 Teorema de Pitágoras É célebre o teorema que leva o seu nome (TEOREMA DE PITÁGORAS) e que os estudantes de todo o mundo fazem questão em saber, mesmo os mais preguiçosos. Gerações após gerações continuarão recitando: A caminho de Siracusa, Dizia Pitágoras aos seus netos O quadrado da hipotenusa É igual à soma dos quadrados dos catetos Teorema de Pitágoras O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. c² = a² + b² 6

7 A corda dos 12 nós Na Antiguidade os Egípcios, para medir distâncias e marcar ângulos retos, usavam a corda de nós. Era uma corda formada por doze nós, todos a igual distância uns dos outros. O 12º nó era o da junção das pontas da corda. A corda bem esticada formava um triângulo retângulo. Ternos Pitagóricos Os Ternos Pitagóricos são quaisquer três números inteiros e positivos (naturais) a, b e c tais que verificam o Teorema de Pitágoras a 2 + b 2 = c 2 O triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5, já era conhecido pelos egípcios. A propriedade = 5 2 verifica-se, logo, a este conjunto de números (3, 4 e 5) chamamos terno pitagórico. O terno pitagórico (3, 4 e 5) chama-se primitivo pois a partir dele podem surgir outros ternos pitagóricos. Há uma infinidade de ternos pitagóricos. 7

8 Ternos Pitagóricos e Semelhança de Triângulos Os triângulos apresentados são semelhantes pelo critério de semelhança AA (todos têm o ângulo reto em comum e os segmentos de reta que formam as hipotenusas são paralelas). 8

9 Uma aplicação do (Reciproco do) Teorema de Pitágoras Atendendo aos dados da figura, a prateleira da secretária estará perpendicular ao móvel? Para que a prateleira da secretária esteja perpendicular ao móvel será necessário formar um ângulo reto, ou seja, verificar o Teorema de Pitágoras. Será que = 25 2? Como conclui-se que a prateleira não está perpendicular ao móvel. Página Exercícios b. c c. d

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