PROJETO DE HÉLICES PELO MÉTODO DE ADKINS PARA UMA AERONAVE EM ESCALA REDUZIDA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROJETO DE HÉLICES PELO MÉTODO DE ADKINS PARA UMA AERONAVE EM ESCALA REDUZIDA HENRIQUE OLIVEIRA GALVÃO NATAL- RN, 2018

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROJETO DE HÉLICES PELO MÉTODO DE ADKINS PARA UMA AERONAVE EM ESCALA REDUZIDA HENRIQUE OLIVEIRA GALVÃO Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos para a obtenção do título de Engenheiro Mecânico, orientado pelo Prof. Dr. Sandi Itamar Schafer de Souza. NATAL - RN 2018

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROJETO DE HÉLICES PELO MÉTODO DE ADKINS PARA UMA AERONAVE EM ESCALA REDUZIDA HENRIQUE OLIVEIRA GALVÃO Banca Examinadora do Trabalho de Conclusão de Curso Prof. Dr. Sandi Itamar Schafer de Souza Universidade Federal do Rio Grande do Norte - Orientador Prof. Dr. Raimundo Carlos Silvério Freire Júnior Universidade Federal do Rio Grande do Norte - Avaliador Interno Prof. Dr. Gabriel Ivan Medina Tapia Universidade Federal do Rio Grande do Norte - Avaliador Interno NATAL, 28 de novembro de 2018.

i Dedicatória desse curso. Dedico este trabalho aos meus pais e amigos que me ajudaram ao longo

ii Agradecimentos Este trabalho não poderia ser concluído sem a ajuda de diversas pessoas dentre as quais presto minha homenagem a equipe de aerodesign Car-kará.

iii Galvão, H. O. Projeto de hélices pelo método de Adkins para uma aeronave em escala reduzida. 2018. 48 p. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Mecânica) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal- RN, 2018. Resumo Esse trabalho é um estudo de aerodinâmica aplicada, com enfoque no desenvolvimento e análise de hélices utilizado a metodologia de Adkins como principal fonte bibliográfica. Foi desenvolvido dois códigos um de design e outro de análise, o primeiro fornece a geometria e alguns dados de desempenho, enquanto o segundo avalia de forma mais abrangente a performance da hélice projetada, ou de uma hélice qualquer caso seja fornecido os dados de construção. Houve colaboração da equipe do Car-kará Aerodesign, através de transferência de conhecimentos e dados, como rotações, potências, velocidades de decolagem e dimensões utilizados com mais frequência em seus projetos. Em posse dessas estimativas foi estudado a influência de parâmetros para desenvolvimento de modelos de hélices, por fim, a melhor proposta de hélice foi projetada em um software CAD. Concluiu-se que em projetos de hélices com perfis diferentes, ocorrem problemas de construção, na maioria das vezes, com soluções que possivelmente diminuiam a precisão dos resultados calculados. Apesar disso, é um excelente método para comparar diferentes projetos de hélice. Palavras-chave: aerodinâmica, hélice, método de Adkins

iv Galvão, H. O. Design of propellers by Adkins method for a reduced scale aircraft. 2018. 48 p. Conclusion work project (Graduate in Mechanical Engineering) - Federal University of Rio Grande do Norte, Natal-RN, 2018. Abstract. This work is an applied aerodynamic study, focusing on the development and analysis of propellers, using the Adkins methodology as the main bibliographic source. Two codes have been developed for design and analysis, the first one provides the geometry and some performance data, while the second one evaluates widely the performance of the projected propeller or any propeller if the construction data is provided. There was a collaboration with the Car-kará Aerodesign team, through exchanging knowledge and data, such as rotational speed, powers, take-off and freight rates used more frequently in their projects. Acting in collaboration with the Car-kará Aerodesign team, data of rotations, powers, take-off speeds and geometry often chosen on their projects. Handing those estimates, a study related parameters and results on developing propeller models. Finally, the best propeller proposal was designed in CAD software. It was achieved that designing propellers with different profiles, usually leads to construction problems, with solutions that possibly decrease the accuracy of the calculated results. Although it is a excellent way to compare different projects. Keywords: aerodynamics, propeller, method of Adkins

v Lista de Ilustrações Figura 1.1 Aeronave ATR 72-600 1 Figura 1.2 Envelope de voo 2 Figura 1.3 Partes de uma hélice 3 Figura 1.4 Hélices de passo fixo 3 Figura 1.5 Mecanismo de hélice de passo variável 4 Figura 2.1 Exemplo de desempenho de hélice 7 Figura 2.2 Perfil de velocidade 8 Figura 2.3 Anel de integração 9 Figura 2.4 Análise unidimensional 10 Figura 2.5 Formação da esteira em helicoide 12 Figura 2.6 Fluxo entre placas semi-infinitas 12 Figura 2.7 Variação do fator de Prandtl 13 Figura 2.8 Formação de esteira 14 Figura 2.9 Componentes de velocidade da esteira 14 Figura 2.10 Decomposição do carregamento no perfil 16 Figura 2.11 Estudo da acuracidade em função de a 22 Figura 3.1 Fluxograma de design 25 Figura 3.2 Fluxograma de análise 27 Figura 5.1 Comparativo entre desenho de hélices 30 Figura 5.2 Relação sustentação-arrasto em perfil Clark Y 31 Figura 5.3 Variação do ângulo de ataque ao longo da hélice 32 Figura 5.4 Divisão da pá 32 Figura 5.5 Alteração do ângulo de ataque 33 Figura 5.6 Comparativo entre projetos I 34

vi Figura 5.7 Divisão da nova pá 34 Figura 5.8 Nova variação do ângulo de ataque 35 Figura 5.9 Comparativo entre projetos II 35 Figura 5.10 Estudo da geometria da hélice 36 Figura 5.11 Hélice resultante, vistas inferior e frontal. 36 Figura 5.12 Hélice resultante, vista lateral. 37 Figura 5.13 Curva potência e empuxo 37 Figura 7.1 Integração de função por simpson convencional e 3/8 43

vii Lista de Tabelas Tabela 1 Verificação do empuxo 28 Tabela 2 Verificação de dados 29 Tabela 3 Verificação dos fatores de interferência 39 Tabela 4 - Dados do projeto (Perfil Clark Y) 38

viii Lista de símbolos a = fator de interferência axial a' = fator de interferência rotacional B = número de pás C d = coeficiente de arrasto C l = coeficiente de sustentação C p = coeficiente de potência C t = coeficiente de empuxo C x = coeficiente de torque C y = coeficiente de empuxo c = corda da hélice D = arrasto por unidade de raio F = fator de Prandlt f = fator de espaçamento do vórtice G = distribuição da circulação radial I 1, I 2 = fator de integração de empuxo J 1, J 2 = fator de integração de potência J = razão de avanço L = sustentação por unidade de raio n = rotação da hélice P = potência consumida pela hélice P c = coeficiente de potência para potência p = pressão ( Pa ) Q = torque R = raio total da hélice r = raio em um ponto da hélice T = empuxo T c = coeficiente de empuxo para design V 0 = velocidade de incidência no rotor

ix v = velocidade aparente da vórtex = viscosidade cinemática (Pa.s) W = velocidade relativa W t = componente tangencial da velocidade no perfil W n = componente normal da velocidade no perfil x = razão de velocidade α = ângulo de ataque β = ângulo de twist Γ = circulação ε = razão de arrasto-sustentação ζ = razão de velocidade aparente η = eficiência λ = razão de velocidade de ponta ξ = razão de raio ρ = densidade do fluido σ = solidez ϕ = ângulo de hélice ϕ t = ângulo de hélice na ponta Ω = velocidade angular do rotor

x Sumário Dedicatória... i Agradecimentos... ii Resumo... iii Abstract... iv Lista de Ilustrações... v Lista de Tabelas... vii Lista de símbolos...viii Sumário... x 1 Introdução... 1 2 Referencial Técnico... 6 2.1 Aerodinâmica da Hélice... 7 2.2 Aerofólio... 8 2.3 Equações de quantidade de movimento... 9 2.4 Circulação... 13 2.5 Fator de interferência... 16 2.6 Condição de Betz... 17 2.7 Equações de carregamento... 18 2.8 Geometria da Lâmina... 19 2.9 Método de análise... 20 3 Metodologia... 23 3.1 Desenvolvimento dos códigos... 23 3.2 Algoritmo de Design... 23 3.3 Fluxograma de design... 25 3.4 Algoritmo de análise... 25 3.5 Fluxograma de análise... 27 3.6 Verificação dos códigos... 27

xi 4 Resultados e Discussões... 28 4.1 Projeto de hélice... 28 4.2 Verificação do código... 28 4.3 Projeto... 29 5 Conclusões... 39 6 Referências... 40 7 Anexos... 42 ANEXO A Regra 3/8 de Simpson... 42 ANEXO B Código de design... 43 ANEXO C Código de análise... 46

1 1 Introdução Durante décadas a utilização de hélices era a única forma de propulsão de aeronaves, porém com o surgimento de outros sistemas mais potentes, as aeronaves foram substituindo os sistemas de propulsão a hélice por turbofans, motores a jato, entre outros, apesar disso, existem ramos da aviação em que a utilização de turboélices são inquestionáveis, como em aeronaves de pequeno porte e alguns tipos de aviões militares. Aeronaves a jato são excelentes para grandes distâncias, mas para deslocamentos regionais, aviões movidos a hélice apresentam grande vantagem, pois apresenta menor consumo de combustível, requer pouco investimento na infraestrutura de aeroportos e opera em pistas de tamanho reduzidas, pode-se usar como exemplo desse tipo de aeronave o C-130 Hercules de uso militar e o ATR 72 de uso comercial, visto na Fig. 1.1. Figura 1.1 Aeronave ATR 72-600 Fonte: atraircraft.com (2018)

2 Em embarcações marítimas, esse sistema permanece sendo utilizado na maiorias das aplicações. Além disso, nos últimos anos, houve um crescimento na utilização de drones em diversas funções, que em grande parte utiliza propulsores a hélice, portanto essa tecnologia continua bastante presente nos projetos de engenharia. O estudo do desempenho da hélice é fundamental no projeto de aeronaves, a tração produzida pela hélice limita o envelope de voo, ou seja, definirá os limites máximos e mínimos de velocidade de voo da aeronave, conforme a Fig. 1.2. Também utiliza-se o empuxo, para definir outras condições de projeto, como a escolha da empenagem e o tamanho mínimo de pista para decolagem e pouso, tendo sua teoria tratado em Miranda (2009). Figura 1.2 Envelope de voo Fonte: Miranda (2009) A geometria de uma hélice básica, consiste em uma região da pá que incide o fluido, chamada de bordo de ataque e outra por onde o fluido sai, chamada de bordo de fuga. Uma de suas extremidade é chamada de ponta e a outra de cubo, conforme a Fig. 1.3.

3 Figura 1.3 Partes de uma hélice Fonte: Barros (2018), modificado As hélices podem ser divididas em de passo fixo e de passo variável, também conhecida por hélice de velocidade constante, as de passo fixo são mais limitadas, pois operam na maior parte do tempo fora de seu ponto ótimo de sustentação-arrasto. Pode-se encontrar esse tipo de hélice em aviões antigos, por ter surgido primeiro, a exemplo da Fig. 1.4. Figura 1.4 - Hélices de passo fixo Fonte: Hitchens (2015)

4 As hélices de passo variável, utiliza de um mecanismo capaz de alterar a angulação das pás, melhorando seu rendimento e por isso consegue operar em velocidades maiores. Um desses mecanismos é visto na Fig. 1.5. Figura 1.5 Mecanismo de hélice de passo variável Fonte: Barros (2018) OBJETIVOS Deseja-se obter uma hélice para aeronaves de escala reduzida de competição (aerodesign), para que se alcance esse objetivo, deve-se concluir as seguintes etapas: Desenvolver as equações de aerodinâmica em uma rotina que faça a geometria e analise seu desempenho. Avaliar diferentes desenhos de hélice, estudando a interferência dos parâmetros nas condições de projeto. Escolher o modelo a ser construído segundo as necessidades de projeto envolvidas Modelar a geometria em um software CAD

5 ESTRUTURA DO TRABALHO Inicialmente é feito a fundamentação teórica, desenvolvendo todos os conceitos, argumentando sobre aplicação de correções e valores empíricos. Em seguida é discutido a metodologia, propondo melhores métodos de como atingir os objetivos do trabalho, somente então inicia-se a realizar cálculos, propor soluções e avaliando resultados do projeto. Por fim temos as conclusões, unindo cada etapa do trabalho desenvolvido, em uma argumentação lógica.

6 2 Referencial Técnico Remetem a Arquimedes e Leonardo da Vinci como os primeiros a teorizar o funcionamento de hélices, no qual o conceito de parafuso de Arquimedes ficou muito famoso e bastante utilizado no século XIX, ele entendia que a hélice funcionava como um parafuso jogando fluido para trás, provocando o deslocamento. Enquanto isso Leonardo da Vinci propõe um formato de pá semelhante aos usados em coolers. Em 1681 Hooke apresentou a Real Sociedade de Londres seu projeto de moinho de vento, que apresentava uma geometria simples de placas planas, após dois anos, foi realizada modificações nesse projeto, sendo aplicado no funcionamento de propulsores de navios. A partir de meados do séc. XVIII surgiram grandes contribuições no estudo de hélices, com destaque à premiação de Bernoulli pela Académie des Sciences de Paris, que competia com grandes nomes como d Alembert e Euler. Os modelos matemáticos começaram a surgir a partir de meados do séc XIX, com a aplicação da teoria de quantidade de movimento por Rankine e o método de elementos de pá de W. Froude, fornecendo embasamento necessário para a criação dos diversos modelos matemáticos do séc. XX. Existem diversas formas de abordar um projeto de hélice, havendo vários algoritmos, teorias e argumentos que podem ser unificados para a produção de uma hélice. Portanto a escolha da abordagem vai influenciar nos resultados, havendo metodologias que produzem resultados analíticos mais acurados ou geometrias mais eficientes. Capitao (2017), tenta fazer um comparativo entre as metodologias de Adkins e Liebeck (1994), Larrabee (1979) e Drela (2006), apresentado suas particularidades e resultados obtidos, facilitando na decisão da metodologia a ser aplicada. Além desse trabalho, as anotações da palestra de Gall (2018), as notas de aula de Barros (2018) e o artigo de Wald (2006) foram decisivos na introdução das diferentes metodologias e posteriormente na seleção da metodologia de Adkins para construção dos códigos.

7 2.1 Aerodinâmica da Hélice Para se projetar uma hélice é necessário relacionar diversos conceitos da mecânica dos fluidos em um algoritmo, havendo duas abordagens, design e análise. Adkins e Liebeck (1994) desenvolve uma metodologia para design, no qual o autor tem como objetivo produzir os valores de construção, corda e ângulo de twist, otimizados para um ponto na curva de potência, ou seja, ele projeta a hélice para um determinado valor de razão de avanço,, tendo como ponto de partida um valor de potência consumida ou de empuxo desejado nesse ponto. A fim de obter o restante dos dados da curva de potência, o autor elaborou seu método de análise, que utiliza dos dados de construção obtidos no design para submetê-los a variação da razão de avanço, construindo as curvas de potência e empuxo. Podemos ver uma de suas análises na Fig. 2.1, no qual ele graficou as curvas de coeficiente de empuxo e potência, e, assim como a eficiência dessa hélice,, em função da razão de avanço, J. Figura 2.1 - Exemplo de desempenho de hélice Fonte: Adkins e Liebeck (1994) Outros métodos foram desenvolvidos anteriormente, com destaque em Larrabee e Theodorsen (1948), porém, o seu trabalho foi o primeiro a apresentar concordância entre resultados das duas abordagens.

8 2.2 Aerofólio Um aerofólio submetido a um fluido em movimento apresenta três ângulos principais, ângulo de ataque ( α), ângulo de twist ( β) e ângulo de hélice ( ϕ). O ângulo de ataque ( α) é a inclinação do perfil em relação à velocidade relativa W no bordo de ataque. Portanto é fundamental sua obtenção para calcular os coeficientes de sustentação e arrasto, C l e C d. O ângulo de twist ( β) é importante para a construção da lâmina, pois relaciona a posição do perfil com o plano de rotação. Para decompor as forças aplicadas no aerofólio, utiliza-se o ângulo de hélice ( ϕ), que relaciona a velocidade relativa W com o plano de rotação. Pode-se verificar na Fig. 2.2 a representação desses ângulos e as componentes de velocidade. Figura 2.2 - Perfil de velocidade Fonte: Adkins e Liebeck (1994), modificado seguintes relações: A partir do triângulo de velocidade apresentado pode-se encontrar as (1) (2) (3) No qual é a velocidade do fluido, tangencial ao plano de rotação, Ω é a rotação da hélice em rad/s. Os fatores de interferência axial e tangencial, e, corrigem o cálculo da velocidade e serão discutidos posteriormente.

9 2.3 Equações de quantidade de movimento Considerando um disco fino, permeável, sem interferência axial no fluxo, sem perda por atrito ou vorticidades na esteira e de raio R, podemos deduzir o empuxo produzido pela hélice, através da equação de quantidade de movimento (4) No qual dm é uma partícula infinitesimal de massa, a uma velocidade atravessando um anel de raio dr, da figura abaixo. (5) Figura 2.3 Anel de integração Fonte: Autor A variação de velocidade ΔV, entre os pontos anteriores e posteriores do disco ideal proposto é obtida através de análise unidimensional do fluxo, apresentada em Fig. 2.4.

10 Figura 2.4 - Análise unidimensional Fonte: Carlton (2012), modificado obtemos : Realizando análise por Bernoulli, após o disco, nos pontos B e C, ( ) (6) De mesma forma, anterior ao disco, nos pontos A e B, temos: ( ) (7) disco. Combinando as duas equações, obtemos a variação de pressão no

11 ( ) (8) Igualando a eq. 4, obtida por análise em uma dimensão do fluxo, com, obtemos uma relação da velocidade, localizada longe do disco, com a velocidade, que representa a velocidade incidente no rotor. ( ) (9) Como, temos: (10) Também podemos definir a velocidade no rotor, com a velocidade incidente e um fator de interferência. relacionando-a (11) Igualando das equações anteriores, temos: (12) Portanto a variação de velocidade ao longo do fluxo é dado por: (13) Adquirido os termos da eq. 4, poderia-se obter o empuxo, mas devido a consideração de disco ideal, deve ser aplicada o fator de perda de carga de Prandtl. Existem fatores de perda de carga mais precisos, elaborados por Goldstein (1929) e por Lock (1932), porém Prandtl oferece uma solução mais simples, além de ser adotado por Adkins e pelo seu predecessor Larrabee (1979). Prandtl percebeu que o fluxo entre as esteiras helicoidais, se moviam em uma fração F da velocidade da esteira (Larrabee, 1979). Essa esteira em

12 formato helicoidal pode ser representada pela Fig. 3.5 e a variação de velocidade pela Fig. 2.6. Figura 2.5 Formação da esteira em helicoide Autor: Wald (2006) Figura 2.6 Fluxo entre placas semi-infinitas Autor: Wald (2006) Através de um modelo análogo, no qual, considera várias placas semi-infinitas se movimentando a uma velocidade v, em que o fluxo escapa pela extremidade da placa formando vórtices, segundo a Fig. 2.7. Assim, Prandtl obteve as seguintes equações: (14)

13 (15) Percebe-se que F varia ao longo da pá, em função da razão do raio,, que se anula na ponta e maximiza no cubo da lâmina, conforme a Fig. 2.7. O fator de espaçamento do vórtice f tem esse nome devido a sua relação com a distância entre as placas, representada no eixo x da Fig. 2.7, e a distância da extremidade ao longo da placa, denominada s. Figura 2.7 - Variação do fator de Prandtl Fonte: Larrabee (1978) A utilização de ao invés de, que é o ângulo de hélice na ponta da pá, na eq. 15, foi recomendação de Glauert (1935), seguida por Adkins na composição de seus métodos. Por fim, podemos expressar o empuxo por unidade de comprimento a partir das equações 4, 5, 13 e 14. (16) Aplicando Bernoulli de maneira semelhante a deduzida neste tópico para o empuxo, deve-se chegar a expressão de torque, que terá sua importância nas expressões de potência: (17) 2.4 Circulação A movimentação de hélice ao redor de seu eixo produz vórtices e a medida em que o avião se desloca, essa esteira forma um helicóide com a mesma inclinação do ângulo de hélice, como mostrado na Fig. 12. Um elemento de vórtice se desloca ao longo do fluxo, perpendicularmente ao helicoide, com

14 velocidade W n, permitindo calcular suas componentes em função do ângulo de hélice. Ignorando o deslocamento dessa partícula e focando apenas no helicoide, percebemos ele se movimentando na longitudinal com uma velocidade aparente v, de acordo com a Fig. 2.8, apresentando efeito semelhante a um parafuso girando, que mesmo sem sofrer deslocamento, aparenta que a rosca se move ao longo de seu eixo. Figura 2.8 - Formação de esteira Fonte: Larrabee (1978), modificado Utilizando a Fig. 2.9 pode-se decompor a vetor velocidade W n do elemento de fluido mencionado e relacioná-lo com a velocidade aparente v, obtendo as seguintes equações: (18) (19) Figura 2.9 - Componentes de velocidade da esteira Fonte: Adkins (1994), modificado

15 Adkins utiliza a razão de velocidade aparente, =, como termo principal no seu método iterativo de design, portanto as equações se tornam: (20) (21) A inserção da condição de Betz (1919), de perda mínima de quantidade de movimento, é adotada por Adkins, requerendo que a superfície formada pelos vórtices apresente uma superfície regular de um parafuso. Essa condição ignora a expansão e distorção da esteira, além de definir a expressão constante ao longo da lâmina. Posteriormente a Betz, Theodorsen (1948) percebeu que a expansão da esteira, representada na Fig. 2.6, tinha pouca influência na condição de Betz. A sustentação por unidade de comprimento atuando em um corpo bidimensional, causado por um fluido invíscido, pode ser expresso pelo Teorema de Kutta-Joukowski: (22) Sendo a circulação na esteira, no anel correspondente (23) Substituindo por uma componente mais usual, temos: (24) Reajustando a equação 24, obtemos a constante de Goldstein (1929), que funciona como o carregamento elíptico de asa em hélices, ou seja, é responsável pela distribuição da sustentação ao longo da hélice. (25) No qual B é o número de pás e x é a razão de velocidade

16 (26) 2.5 Fator de interferência As equações de empuxo e torque no elemento da lâmina podem ser descritas em função da sustentação e arrasto no aerofólio, conforme a Fig. 2.10. Figura 2.10 - Decomposição do carregamento no perfil Fonte: Adkins (1994), modificado Portanto: (27) (28) No qual é a razão arrasto-sustentação no elemento,. Igualando o empuxo e torque proveniente da equação de quantidade de movimento, eqs.16 e 17, com a obtida pela decomposição da sustentação e arrasto, eqs 27 e 28, resultando nos fatores de interferência, necessário para determinar a velocidade sobre o perfil. (29) (30)

17 Inserindo a sustentação pelo Teorema de Kutta-Joukowski, com as eqs. 22 e 24, e após alguns ajustes, obtemos o fator de interferência axial e radial. (31) (32) 2.6 Condição de Betz No procedimento de análise de Adkins, os fatores de interferência é essencial no cálculo do ϕ, porém para o procedimento de design do mesmo autor, utiliza-se a condição de perda mínima de momentum, chegando a um valor de ϕ que respeite a já mencionada relação. Isso pode ser demonstrado ao igualar a razão arrasto-sustentação entre os fatores de interferência axial e radial. ( ) ( ) (33) Após ajustes: (34) Inserindo a relação trigonométrica, onde está definido na eq. 26, que com alguns ajustes fica: (35) Obtemos a relação de Betz, que para se manter verdadeira, é considerado constante ao longo da hélice. Além disso pode-se obter o ângulo de twist, a partir do ϕ obtido. ( ) (36)

18 2.7 Equações de carregamento Para o procedimento de design de Adkins é necessário especificar a potência aplicada à hélice ou o empuxo desejado, para uma determinada razão de avanço. Para tal usa-se os seguintes coeficientes de potência e empuxo na dedução das eq. 39 e 40, além de serem inseridos como valor nas eq. 45 e 47. (37) (38) Inserindo as equações de empuxo e torque, provenientes da sustentação e arrasto no perfil, das eqs. 25 e 26, obtemos os coeficientes de empuxo e potência por unidade de raio, que para simplificar o cálculo foi segmentada nos fatores de integração de empuxo e potência das eqs. 38 a 41. No qual: (39) (40) ) (41) (42) ) (43) (44) As equações anteriores (eq. 41 44) podem ser facilmente integradas numericamente ao longo da pá, variando de a, sendo, obtendo o desempenho da hélice em uma razão de avanço, conforme explicado no início do capítulo. Nesse trabalho, foi utilizado o método de integração simpson 3/8 (Anexo A), pela sua capacidade de gerar resultados precisos, sem precisar acumular muitos dados. Se for especificado o empuxo, teremos a seguinte razão de velocidade aparente e coeficiente de potência:

19 ( ) ( ) (45) (46) No caso de obter-se a potência, teremos outra fórmula para razão de velocidade aparente e obtemos o coeficiente de empuxo: ( ) ( ) (47) (48) 2.8 Geometria da Lâmina Para uma seção da hélice, a uma distância r do eixo e com corda c, temos que o coeficiente de sustentação pode ser relacionado com o Teorema de Kutta-Joukowski, da eq. 22. (49) Após alguns ajustes e a inserção da eq. 24, temos: (50) dividido pela viscosidade cinemática, encontra-se o Reynolds no elemento, permitindo aprimorar o cálculo dos coeficiente de sustentação e arrasto do perfil escolhido. Adkins recomenda a escolha de ângulos de ataque que minimizem ε, a fim de maximizar a eficiência da hélice. Encontrando o valor da velocidade relativa, pela eq., obtém-se o valor da corda com a eq. 50.

20 2.9 Método de análise Parte dos conceitos aplicados neste método, já foi tratado, restando apenas algumas explicações e deduções. Os fatores de interferências são obtidos de forma parecida, só que ao invés de utilizar as equações de circulação para sustentação, aplica-se a equação de coeficiente de sustentação, podendo ser descrito em componentes tangenciais e normais, e. (51) (52) No qual: (53) (54) Igualando o empuxos e o torques das equações equações 16 e 17, obtemos: 27 e 28 com (55) (56) No qual: (57) (58) A solidez, que representa a proporção de circunferência construída por disponível no rotor, é expressa por :

21 (59) Para análise, os coeficientes de potência, empuxo e eficiência são: (60) (61) (62) Tratando de forma diferencial as constantes acima, com as eq de T e P, obtemos: (63) [ ] (64) Percebe-se a semelhança entre o trabalho de Adkins com o método de elemento de pá clássico, no qual, Adkins corrige dois problemas no trabalho de Glauert, a inserção do fator de Prandtl, sugerido em Larrabee; a outra alteração é ao invés de substituir por, na equação 14, insere-se a relação, para que os valores sejam iguais aos de design, nas mesmas condições de especificação. Dados empíricos mostram que os valores de e calculados perdem precisão, portanto Adkins utiliza o argumento de Viterna e Janetzke (1982), limitando os fatores em 0,7, como mostra a Fig. 2.11. Ele também indica o trabalho de Wilson e Lissaman (1974), como alternativa, realizando relações empíricas para resolver a questão.

22 Figura 2.11 - Estudo da acuracidade em função de a Fonte: Viterna e Janetzke (1982), modificado

23 3 Metodologia 3.1 Desenvolvimento dos códigos Foi desenvolvido os códigos na plataforma scilab (ver anexos B e C), segundo os algoritmos a serem apresentados, esse software foi escolhido por apresentar uma linguagem de programação fácil, com possibilidade de gerar gráficos, para uma avaliação preliminar. O método de integração utilizado foi o de Simpson 3/8, que permite a obtenção de valores precisos, sem precisar guardar muitos valores na memória. A descrição deste método está no Anexo A. Os valores das constantes de sustentação e arrasto é calculado usando uma interpolação obtida pelo software CurveExpert, com os dados de aerofólio do site airfoiltools.com, que armazena os resultados do xfoil, programa bastante utilizado na simulação de perfis aerodinâmicos. 3.2 Algoritmo de Design 1. Faça uma escolha de valor inicial para a razão de velocidade aparente, ζ, podendo ser zero. 2. Calcule: a. O Fator de Prandtl com as equações 14 e 15. b. O ângulo de hélice com equação 36. ( ) c. O coeficiente de Goldstein, G equação 25. d. O número de Reynolds..

24 3. Calcule o coeficiente de arrasto e sustentação, escolhendo o ângulo de ataque, que minimize a razão arrasto-sustentação. 4. Calcule a e a, pelas equações 31 e 32, obtendo a velocidade absoluta na equação 2. 5. Calcule a corda e ângulo de twist pelas equações 50 e 3. 6. Integre numericamente I e J, pelas equações 41-44 e encontre ζ pela equação 45 ou 47. 7. Compare o valor inicial de ζ com o novo e faça iterar o algoritmo até a convergência de ζ. 8. Calcule os coeficientes de potência, empuxo e em seguida a potência ou empuxo, pelas equações 46, 48, 37 e 38.

25 3.3 Fluxograma de design A Fig. 4.1 apresenta o fluxograma para a execução da abordagem de design de Adkins. Figura 3.1 Fluxograma de design Fonte: autor 3.4 Algoritmo de análise 1. Escolha um valor inicial para ângulo de hélice. A expressão pode ser usado para tal. 2. O valor de β foi obtido usando o método de design e ϕ pelo algoritmo, pode-se calcular o ângulo de ataque com.

3. Calcule os coeficientes de sustentação e arrasto, e, para em seguida calcular os coeficientes de empuxo e torque, e, pelas eqs 53 e 54. 26 4. Encontre o fator de Prandtl, pela equação 14. 5. Calcule os fatores de interferência, pelas eqs. 55 e 56, que podem ser usados para obter W, pela eq. 2, e por consequência Reynolds. 7. Calcule o novo ângulo de hélice, pela eq. 1: convergência. 8. Insira o ângulo de hélice de forma amortecida para facilitar a 9. Retorne ao ponto 2 até convergir um valor de 10. Integre os coeficientes de potência e empuxo, pelas eqs. 63 e 64. 11. Calcule a potência, empuxo e eficiência, pelas equações 60 a 61.

27 3.5 Fluxograma de análise A Fig. 4.2 apresenta um fluxograma para a execução da abordagem de análise de Adkins. Figura 3.2 Fluxograma de análise Fonte: autor 3.6 Verificação dos códigos Elaborado o código é necessário verificar se o mesmo reproduz valores já conhecidos, para isso utiliza-se os dados fornecidos por Adkins e compara-se as variações entre os resultados obtidos pelo autor com os calculados a partir dos mesmos dados iniciais dentro do possível.

28 4 Resultados e Discussões 4.1 Projeto de hélice Tomando como base um motor de potência máxima 3hp, de aproximadamente 2237 W, funcionando a rotação máxima de 14.200 rpm, foi submetido a avaliação algumas variações de geometria e desenhos preliminares de hélice. Escolhido a melhor opção foi feito um modelo em 3d no software Creo Parametrics, a fim de realizar considerações sobre a construção do protótipo. 4.2 Verificação do código Como pode ser observado na tab. 1, teve uma leve variação entre o valor teórico e o calculado, menos que 1%, isso pode ser explicado por dois motivos, Adkins não informa o método de integração aplicado e o outro é inconsistências no método de aplicação dos coeficientes de sustentação, ele afirma um valor para C l, mas utiliza valores de ângulo de ataque variando ao longo da hélice. Pode-se perceber que, em relação aos valores calculados, os dois métodos desenvolvidos retornam valores iguais. Tabela 1 Verificação do empuxo T_adkins T_design T_análise 923,5 N 932,8 N 932,9 N Na tab. 2, percebe-se pouca variação nos valores da corda, na ordem de poucos milímetros, o ângulo de hélice também apresentou baixa variação, dentro do previsto, com valores entre os método de design e análise iguais. Em relação ao ângulo de twist houve valores que se distanciaram dos dados da literatura, mas como β = ϕ + α, e ϕ apresentou valores próximos, o responsável dessa variação é o ângulo de ataque que é inserido manualmente no programa.

29 Tabela 2 - Verificação de dados R c (Adkins) c β (Adkins) β ϕ (Adkins) ϕ analise (Adkins) ϕ ϕ design 0,1524 0,104 0,102 58,3125 58,9992 54,8118 54,8116 55,4992 55,4958 0,2730 0,140 0,139 41,8645 42,5758 38,3637 38,3638 39,0758 39,0730 0,3937 0,130 0,129 32,2669 32,8846 28,7661 28,7661 29,3846 29,3828 0,5143 0,109 0,108 22,2978 26,8169 22,7927 22,7927 23,3169 23,3152 0,6350 0,085 0,085 18,7978 22,7451 18,7971 18,7971 19,2451 19,2444 0,7556 0,058 0,058 15,9619 19,8503 15,9619 15,9619 16,3503 16,3496 Os valores obtidos da tab. 3 podem parecer que estão muito distantes da literatura, porém esses valores estão sempre associados as seguintes relações e, tornando a maior variação muito pequena em frente a velocidade de 49 m/s e rotação de 2400 rpm. Mesmo desconsiderando a velocidade, a diferença continua baixa, no máximo 1,6%. Tabela 3 Verificação dos fatores de interferência R a (Adkins) a_analise (Adkins) a_design a_analise a' (Adkins) a'_analise (Adkins) a'_design a'_analise 0,1524 0,0348 0,0348 0,0421 0,0421 0,0633 0,0633 0,0805 0,0805 0,2730 0,0644 0,0644 0,0797 0,0797 0,0365 0,0365 0,0474 0,0474 0,3937 0,0804 0,0804 0,1007 0,1007 0,0219 0,0219 0,0289 0,0289 0,5143 0,089 0,089 0,1120 0,1120 0,0142 0,0142 0,0189 0,0189 0,6350 0,0938 0,0938 0,1185 0,1185 0,0098 0,0098 0,0132 0,0132 0,7556 0,0968 0,0968 0,1224 0,1224 0,0072 0,0072 0,0097 0,0097 4.3 Projeto O primeiro valor a ser escolhido é a velocidade no qual a aeronave será projetada. Em um determinada velocidade A, o projeto que utilizar esse ponto terá melhor desempenho em A, que se projetado em outras velocidades. Portanto é uma escolha bem particular para cada projeto, o objetivo deste projeto é para uma hélice usada em aeronaves de escala reduzida de competição, que carregando muito peso e apresentam velocidades baixas.

T(N) 30 O segundo valor a ser estudado é o diâmetro do rotor, portanto foi avaliado o desempenho de rotores de três diâmetros diferentes, em duas velocidades 16m/s e 18m/s, todos com 2 lâminas e perfil Clark Y. A Fig.5.1 mostra esse comparativo em função de curvas de empuxo, produzida pelo código de análise. Figura 5.1 Comparativo entre desenho de hélices 110 100 90 80 70 60 50 40 30 R10cm V16m/s R10cm V18m/s R15cm V16m/s R15cm V18m/s R22.2cm V16m/s R22.2cm V18m/s 20 0 5 10 V(m/s) 15 20 25 Fonte: Autor Estima-se que um protótipo de competição decole a uma velocidade de 14m/s, portanto seria natural escolher esse ponto crítico, para o projeto, tornando-o otimizado para essa velocidade, porém um dos problemas da metodologia de Adkins é a imprecisão para baixa razões de avanço, principalmente quando apresenta alto carregamento, por isso foi escolhido realizar os cálculos em 16m/s e 18m/s, conforme a Fig. 5.1. Foi escolhido a hélice de 16, ou seja a de 22.2 cm, devido a sua alta força de empuxo em baixas velocidades, que é de muita importância para mover aeronaves muito pesadas em uma pista de decolagem limitada. O resultado da hélice de 10 cm é característico em hélice com alta porcentagem de stall na lâmina, que somente consegue ganhar sustentação a partir uma certa velocidade. Em relação a escolha da velocidade, fica evidente que o projeto de 16m/s é superior ao de 18m/s em todos os casos.

Cl/Cd 31 Os projetos feitos até agora foi utilizado um perfil Clark Y, para ângulo de ataque que maximize a relação C l /C d. Busca-se em seguida entender a influência da escolha do ângulo de ataque na velocidade projetada, no desempenho da hélice em em sua geometria. A Fig. 5.3 mostra um gráfico da distribuição do ângulo de ataque ao longo da hélice, no qual cada curva representa esses valores em diferentes velocidades incidentes no rotor, estudando assim a influência da velocidade de voo nos valores de ângulo de ataque. Percebe-se que em baixas velocidades a hélice fica no máximo com 45% em stall. Com o aumento da velocidade as seções se aproximam do ângulo de ataque ótimo, produzindo melhor relação de sustentação-arrasto, até que se passe da velocidade de projeto, V=16m/s, no qual essa relação volta a diminuir conforme a fig 5.2. Figura 5.2 Relação sustentação-arrasto em perfil Clark Y 80 70 60 50 40 30 20 10 0-10 -20-10 -5 0 5 10 15 20 α( ) Fonte: Autor

α ( ) 32 Figura 5.3 Variação do ângulo de ataque ao longo da hélice 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 r/r STALL V0=2m/s V0=4m/s V0=6m/s V0=8m/s V0=10m/s V0=12m/s V0=14m/s V0=16m/s V0=18m/s V0=20m/s V0=22m/s V0=24m/s Fonte: Autor Em seguida foi desenvolvido algumas alternativas de escolha de perfis e ângulo de ataque. A escolha dos ângulos de ataque, teve o intuito de verificar se era possível melhorar os valores de empuxo, portanto modificar valores de α, a fim de aproximar as curvas para a região que apresenta altos valores de C l /C d do perfil. Nesse sentido a escolha de um perfil deve ser baseada no intervalo de ângulo de ataque em que ele operará, no seu valor de C l /C d e se sua geometria permite sua construção na hélice. A primeira modificação foi dividir a pá em três partes, cortando-a em 30% e em 60% do raio, aumentando o α próximo ao cubo e diminuindo na ponta, conforme a Fig. 5.4. Figura 5.4 Divisão da pá Fonte: Autor

α( ) 33 Foi verificado na Fig. 5.5, que a curva de 18m/s se aproxima do seu ponto ótimo no cubo e que as curvas de baixa velocidade obtiveram melhores valores na ponta, conforme o esperado. Figura 5.5 Alteração do ângulo de ataque 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 r/r V0=2m/s V0=4m/s V=6m/s V0=8m/s V0=10m/s V0=12m/s V0=14m/s V0=16m/s V0=18m/s V0=20m/s V0=22m/s P. ótimo STALL Fonte: Autor A melhora do desempenho pode ser verificado na Fig.5.6, principalmente em baixas e médias velocidades, com leve piora a partir de 15m/s.

T(N) 34 120 Figura 5.6 Comparativo entre projetos I 110 100 90 80 Novo Anterior 70 60 0 5 10 15 20 25 v(m/s) Fonte: Autor Outras tentativas foram feitas, com perfis Onera, NACA, Eppler e Selig, um desses estudos feitos descrito nas Figs. 5.7 e 5.8, sendo dividido em seções, em 30%, 50% e 80% da hélice, cada qual com um perfil diferente. Os resultados foram insatisfatórios, por serem inferiores ao resultado anteriores, conforme a fig. 23. Figura 5.7 Divisão da nova pá Fonte: Autor O objetivo da escolha desses valores era melhorar os valores de empuxo e média velocidade, portanto a Fig. 5.8 mostra exatamente isso, tentar

T(N) α( ) 35 puxar as curvas de médias velocidades para a região ótima da relação sustentação-arrasto, em cada seção. Figura 5.8 Nova variação do ângulo de ataque 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0.1 0.3 0.5 r/r 0.7 0.9 Fonte: Autor V0=2m/s V0=4m/s V0=6m/s V0=8m/s V0=10m/s V0=12m/s V0=14m/s V0=16m/s V0=18m/s O comparativo entre esses três desenhos pode ser verificado na Fig. 5.9 sendo escolhido o modelo de perfil Clark Y com modificações de ângulo de ataque, para realizar o desenho. 120 Figura 5.9 Comparativo entre projetos II 110 100 90 80 Novo Clark Y modificado Clark Y 70 60 0 5 10 v(m/s) 15 20 25 Fonte: Autor Escolhido o desenho mais eficiente, procurou-se realizar o desenho e percebeu-se que as modificações no ângulo de ataque produziram irregularidades em demasia nos valores de corda, mostrado na Fig. 5.10.

C(mm) 36 Figura 5.10 Estudo da geometria da hélice 60 40 20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 r(mm) Fonte: Autor Como não foi possível unir essas geometrias o perfil a ser modelado em é o Clark Y, com 202 mm de raio, projetado à velocidade de 16m/s. O resultado de seu desenho pode ser visto nas Figs. 5.11 e 5.12. Figura 5.11 Hélice resultante, vistas inferior e frontal. Fonte: Autor

T(N) P(W) 37 Figura 5.12 Hélice resultante, vista lateral. Fonte: Autor As curvas de potência e empuxo fornecidas pela análise da geometria dessa hélice é dada na Fig. 5.13. Figura 5.13 Curva potência e empuxo 120 100 2500 2000 T P 80 1500 60 40 1000 20 500 0 0 5 10 15 20 25 v(m/s) 0

38 Fonte: Autor Os dados de construção estão na Tab. 4, junto com dados de análise na velocidade de projeto. Tabela 4 - Dados do projeto (Perfil Clark Y) r/r r(mm) c(mm) β( ) ϕ( ) a a' Re 0.05 10.12 31.32 65.68 60.93 0.16 0.31 47,172.97 0.12 24.90 46.80 40.91 36.16 0.45 0.14 130,251.83 0.20 39.68 38.65 29.38 24.63 0.57 0.07 165,091.54 0.27 54.47 30.97 23.22 18.47 0.62 0.04 179,723.46 0.34 69.25 25.43 19.47 14.72 0.64 0.03 186,836.16 0.42 84.03 21.43 16.97 12.22 0.66 0.02 190,690.76 0.49 98.82 18.45 15.18 10.43 0.67 0.01 192,857.31 0.56 113.60 16.14 13.85 9.10 0.67 0.01 193,890.79 0.63 128.38 14.28 12.82 8.07 0.68 0.01 193,771.85 0.71 143.17 12.68 11.99 7.24 0.68 0.01 191,849.13 0.78 157.95 11.17 11.32 6.57 0.68 0.01 186,324.35 0.85 172.73 9.48 10.76 6.01 0.68 0.01 172,852.69 0.93 187.52 7.08 10.29 5.54 0.68 0.00 140,215.99 1.00 202.30 0.00 10.29 5.14 0.68 0.00 -

39 5 Conclusões Após diversas análises usando o código elaborado nesse trabalho, pôde-se perceber as limitações e qualidades do método de Adkins. A primeira desvantagem é a imprecisão entre a abordagem de design e análise, em baixas razões de avanço, quando a hélice apresenta alto carregamento, ou seja, Tc > 1. Isso pode ser contornado projetando uma hélice para uma velocidade maior. O segundo problema é uma desvantagem comum a qualquer método interativo que seccione a hélice em elementos, que é a dificuldade de unir perfis diferentes em geometria e em ângulo de twist. A fim de solucionar isso, existem alguns trabalhos que interpolam perfis, suavizando irregularidades e garantido um valor mais acurado, pois o software calcula a partir dessa geometria obtida. A maior vantagem desse método é a rapidez com que se pode propor propor projetos, avaliá-los e aperfeiçoá-los, basta ter um banco de dados dos perfis usados, que se pode realizar dezenas de análises, mudando perfil, diâmetro, velocidade de projeto, ângulo de ataque entre outros. Em relação aos resultados obtidos, é perceptível a dificuldade de obter uma melhora significativa apenas alterando perfil e ângulo de ataque no projeto, sendo que na maioria das vezes sacrifica-se muito do desempenho em uma velocidade para melhorar pouco em outra e por isso foi escolhido um desenho sem muitas alterações. Portanto caso não seja introduzido na rotina desenvolvida algum método de interpolação de perfis, não é recomendável misturar perfis em uma mesma hélice

40 6 Referências CAPITAO PATRAO, A. Implementation of Blade Element Momentum/Vortex Methods for the Design of Aero Engine Propellers. Research report-department of Mechanics and Maritime Sciences 2017: 06, Chalmers University of Technology, Gothenburg, 2017. ADKINS, Charles N.; LIEBECK, Robert H. Design of optimum propellers. Journal of Propulsion and Power, v. 10, n. 5, p. 676-682, 1994. LARRABEE, E. Eugene. Design of propellers for motorsoarers. 1979. LARRABEE, E. Eugene. Practical design of minimum induced loss propellers. SAE Technical Paper, 1979. LARRABEE, E. Eugene. Design of propellers for motorsoarers. 1979. DRELA, Mark. QPROP formulation. Massachusetts Inst. of Technology Aeronautics and Astronautics, Cambridge, MA, 2006. VITERNA, Larry A.; JANETZKE, David C. Theoretical and experimental power from large horizontal-axis wind turbines. 1982. THEODORSEN, Theodore. Theory of propellers. McGraw-Hill Book Company, 1948. WALL, David. Optimum propeller design for electric UAVs. 2012. Tese de Doutorado. GOLDSTEIN, Sydney. On the vortex theory of screw propellers. Proc. R. Soc. Lond. A, v. 123, n. 792, p. 440-465, 1929. LOCK, Christopher Noel Hunter. Application of Goldstein's Airscrew Theory to Design. HM Stationery Office, 1932. LOCK, Christopher Noel Hunter. An application of Prandtl theory to an airscrew. HM Stationery Office, 1933. GLAUERT, H. Airplane Propellers, Aerodynamic Theory, edited by WF Durand, J. 1935. BETZ, A. with appendix by Prandtl. L.," Screw propellers with Minimum Energy Loss," Göttingen Reports, p. 193-213, 1919. WILSON, Robert E.; LISSAMAN, Peter BS. Applied aerodynamics of wind power machines. NASA STI/Recon Technical Report N, v. 75, 1974. VITERNA, Larry A.; JANETZKE, David C. Theoretical and experimental power from large horizontal-axis wind turbines. 1982.

MIRANDA, L. Fundamentos da Engenharia Aeronáutica: Aplicações ao Projeto SAE AeroDesign. 2009. Gall, David J. propellerdesignworkshop.com, 29 out. 2018. Disponível em: <http://propellerdesignworkshop.com/archives/2010-archive/ > Barros, J. E. M. www.mautone.eng.br. 29 out. 2018. Disponível em: <http://www.mautone.eng.br/lectures_notes.htm> CARLTON, John. Marine propellers and propulsion. Butterworth-Heinemann, 2012. 41 HITCHENS, Frank. Propeller aerodynamics: the history, aerodynamics & operation of aircraft propellers. Andrews UK Limited, 2015. CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos numéricos para engenharia. McGraw-Hill, 2008. WALD, Quentin R. The aerodynamics of propellers. Progress in Aerospace Sciences, v. 42, n. 2, p. 85-128, 2006.

42 7 Anexos ANEXO A Regra 3/8 de Simpson Seja f(x) uma função qualquer, a que se quer integrar em x, de, conforme a eq. abaixo. até Representando por um polinômio de Lagrange de ordem quatro, pode-se ajustar a curva em quatro pontos e integrá-la: [ ] No qual h é o intervalo entre cada ponto Figura 7.1 Integração de função por simpson convencional e 3/8 Fonte: Chapra e Canale (2008)

43 ANEXO B Código de design function [J1, J2, I1, I2, c, betta, Re, fi, F, a, a1]=f1(radratio, B, lambda, R, velratio, v) // cálculo realizado em uma seção ro = 1.221; mi = 17.2*10^(-6); r = radratio*r; x = radratio/lambda; fit = atan((1+velratio /2)*lambda); fi = atan((1+velratio /2)*lambda/radratio); f = B/2*(1-r /R)/sin(fit);//2 F = 2/%pi*acos(exp(-f ));//2 G = F *x *cos(fi )*sin(fi ); alphag=4.75 [cl,cd] = perfil_clark_y_re200k(alphag) alpha = alphag*%pi/180; e = cd /cl ;//4 cy = cl *cos(fi ) - cd *sin(fi ); cx = cl *sin(fi ) + cd *cos(fi ); Wc = 4*%pi*lambda*G*v*R*velratio/(cL*B); Re = Wc*ro/mi; a = velratio/2*cos(fi)^2*(1-e*tan(fi)); a1 = velratio/(2*x)*cos(fi)*sin(fi)*(1 + e/tan(fi)); if(a1>0.7) a1=0.7; end if(a<-1.0) a=0.7; elseif(a>0.7) a=0.7; end W = v*(1+a)/sin(fi); c = Wc/W; betta = alpha +fi ; J1 =4*radratio *G *(1+e/tan(fi) ); J2 =J1/2*(1-e/tan(fi))*cos(fi)^2; I1 =4*radratio *G *(1-e *tan(fi)); I2 =lambda*(i1/(2*radratio))*(1+e/tan(fi))*sin(fi)*cos(fi); sigma = B*c/(%pi*2*r); endfunction function [J1, J2, I1, I2, cf, bettaf, Ref, fif, Ff, aaf, a1f]=simpson380(a0, bf, n, B, lambda, R, velratio, v)//método de integ. n=n/3; h=(bf-a0)/n; J1 = 0; J2 = 0; I1 = 0; I2 = 0; for i = 1:n a = a0+h*(i-1);

44 b = a0+h*(i); [J1a,J2a,I1a,I2a, c1, betta1, Re1,fi,F,aa,a1] = f1(a,b, lambda, R, velratio,v); [J1b,J2b,I1b,I2b, c, betta, Re] = f1((2*a+b)/3,b, lambda, R, velratio,v); [J1c,J2c,I1c,I2c, c, betta, Re] = f1((a+2*b)/3,b, lambda, R, velratio,v); [J1d,J2d,I1d,I2d, c, betta, Re] = f1(b,b, lambda, R, velratio,v); J1 = J1 + (3/8)*((b-a)/3)*(J1a + 3*J1b + 3*J1c + J1d); J2 = J2 + (3/8)*((b-a)/3)*(J2a + 3*J2b + 3*J2c + J2d); I1 = I1 + (3/8)*((b-a)/3)*(I1a + 3*I1b + 3*I1c + I1d); I2 = I2 + (3/8)*((b-a)/3)*(I2a + 3*I2b + 3*I2c + I2d); if(i==1) cf = c1; bettaf = betta1; Ref = Re1; fif =fi; aaf = aa; a1f = a1; Ff = F; end end endfunction function [passo, Pc, Tc, T, velratio, bettar, lambda, radratio, r, c, B, v, n, omega, fi, F, a, a1, rpm, Re]=Design() rpm = 14200; B = 2; omega = rpm*%pi/30; n = 14; R = 0.2023; [ r, radratio, P, rpm,ro] = inicializar(r,n); velratio = 0; inter = 0; y = 0; velaux = 0; rps = rpm/60; v = 16; lambda = v/(omega*r); Pc = 2*P/(ro*v^3*%pi*R^2); y=0; while(y<>n)// laço de convergência I1tot = 0; I2tot = 0; J1tot = 0; J2tot = 0; if(inter>50) disp(inter); break end for(i=1:n-1)// obtenção dos fatores de integração e dados da geometria

45 [J1(i), J2(i), I1(i), I2(i), c(i), betta(i), Re(i),fi(i),F(i),a(i),a1(i)] = simpson380(radratio(i), radratio(i+1), 6, B, lambda, R, velratio,v); end I1tot = I1tot + I1(i); I2tot = I2tot + I2(i); J1tot = J1tot + J1(i); J2tot = J2tot + J2(i); bettar(i) = betta(i); velratio = J1tot /(2*J2tot )*(sqrt(1+4*pc *J2tot /J1tot ^2) -1); Tc = I1tot *velratio - I2tot *velratio^2; inter = inter +1 if((abs((velaux-velratio)/velratio)<0.001)) y=n; end velaux = velratio; end [ J1(n), J2(n), I1(n), I2(n), c(n), betta(n), Re(n),fi(n),F(n),a(n),a1(n)] = f1(radratio(n),b,lambda,r,velratio,v) [ Jn, Jn, In, In, cn, betta75] = f1(0.75,b,lambda,r,velratio,v) passo = 0.75*%pi*R*2*tan(betta75)*39.3701;//pol bettar(n)=bettar(n-1); T = Tc*(ro*v^2*%pi*R^2)/2; endfunction

46 ANEXO C Código de análise function [cttot, cptot, rendimento, j, T, P, F, fi, alpha, a, a1, solidez, w, Re, ct, cp]=analysis_projeto(radratio, r, B, v, n, rpm, v_design, velratio) R = r(n); omega = rpm*%pi/30; rps = rpm/60; lambda = v/(omega*r); j=v/(rps*2*r(n)); ro = 1.221; cttot=0; cptot=0; for i=1:n-1 //Nesse caso a convergencia foi realizado no cálculo da seção, dentro da função f3() [ct(i),cp(i),c(i),betta(i),re(i),fi(i),a(i),a1(i),f(i),w(i),solidez(i),alpha(i)] = simpson38( radratio(i), radratio(i+1), 6, omega,b,r,v,v_design,velratio) cttot = ct(i) + cttot; cptot = cp(i) + cptot; end alpha(n)=alpha(n-1); ct(n)=0; cp(n)=0 rendimento = cttot*j/cptot; T = cttot*(ro*rps^2*(2*r(n))^4); P = cptot*(ro*rps^3*(2*r(n))^5); endfunction function [ct, cp, cf, bettaf, Ref, fif, aaf, a1f, Ff, wf, solidezf, alphaf]=simpson38(a0, bf, n, omega, B, R, v, v_design, velratio) n=n/3; h=(bf-a0)/n; ct = 0; cp = 0; for i = 1:n a = a0+h*(i-1); b = a0+h*(i); [cta,cpa,f,fi,alpha,bettar,aa,a1,solidez,w,c,re] = f3(a,omega,b,r,v,v_design,velratio) [ctb,cpb] = f3((2*a+b)/3,omega,b,r,v,v_design,velratio) [ctc,cpc] = f3((a+2*b)/3,omega,b,r,v,v_design,velratio) [ctd,cpd] = f3(b,omega,b,r,v,v_design,velratio) ct = ct + (3/8)*((b-a)/3)*(cTa + 3*cTb + 3*cTc + ctd); cp = cp + (3/8)*((b-a)/3)*(cPa + 3*cPb + 3*cPc + cpd); if(i==1) cf = c; bettaf = bettar; Ref = Re; fif =fi; aaf = aa; a1f = a1;

47 Ff = F; wf=w; solidezf=solidez; alphaf=alpha; end end endfunction function [ct, cp, F, fi, alpha, bettar, a, a1, solidez, w, c, Re]=f3(radratio, omega, B, R, v, v_design, velratio)//calculo em uma seção ro = 1.221; mi = 17.2*10^(-6); passo = 0.9; ro = 1.221; [c, bettar] = f2(radratio,b,omega, R, velratio,v_design); calculo da geometria usando abordagem de design inte=1; chave = 0; r = radratio*r; solidez= B*c/(2*%pi*r); while(chave <> 1) if(inte==1) x = omega*r/v fi = atan(1/x); end fit=atan(tan(fi)*radratio); if(inte > 1000) break; //condição de parada end alpha= real(bettar-fi); alphag = alpha*180/%pi; [cl,cd] = perfil_clark_y_re200k(alphag) Cy= cl*cos(fi)-cd*sin(fi); Cx= cl*sin(fi)+cd*cos(fi); f= B/2*(1-radratio)/sin(fit); F= (2/%pi)*acos(exp(-f)); k= Cy/(4*sin(fi)^2); k1= Cx/(4*cos(fi)*sin(fi)); a= solidez*k/(f-solidez*k); a1= solidez*k1/(f+solidez*k1); if(a1>0.7) a1=0.7; end if(a<-1.0) a=0.7; elseif(a>0.7) a=0.7; end fi_novo=atan((v*(1+a))/(omega*r*(1-a1))); if(isnan(fi_novo)==%t) pfi_novo = 0.0 ; end