CAPÍTULO 3 TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA 3 Introdução A função identidade em R n é a função que a cada elemento de R n associa o próprio elemento ie I d : R n R n X x x n I d X X x x n A função identidade é trivialmente uma função linear e é representada na forma matricial pela matriz identidade n n denotada por I n Dadas duas funções F : A R n B R m e G : B R m A R n dizemos que F e G são funções inversas uma da outra se e G F X X X A F GY Y Y B Ou seja F e G são funções inversas uma da outra se F G I da e G F I db onde I da é a função identidade restrita ao conjunto A ie I d : A R n A R n e I db é a função identidade restrita ao conjunto B ie I d : B R m B R m Observe que o domínio de F é a imagem de G e que a imagem de F é o domínio de G É usual denotarmos G por F e neste caso temos que F Y X Y B F X Y X A Exemplo 3: Abaixo temos exemplos conhecidos de funções da reta na reta e suas inversas 3
Cálculo B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise 08-33 { f x x x 0 f y y y 0 { f 4 x sen x π x π f4 y arcsen y y { { f x e x x R f y ln y y > 0 f3 x x 3 x R f3 y 3 y y R e { f5 x cos x 0 x π f5 y arccos y y Lembre-se que uma função F é inversível em sua imagem se e somente se F é injetora Ou seja F é inversível em sua imagem se e só se F X F X X X Dada a função linear injetora L : R n R m é fácil verificar que sua inversa L também é linear Isto é dado que LX Y e LX Y ao calcular L ay + by onde a e b são reais quaisquer temos que L ay + by al Y + bl Y De fato L ay + by L alx + blx L LaX + bx ax + bx al Y + bl Y onde a igualdade em * se deve ao fato de L ser linear e a igualdade em ** se deve ao fato de L e L serem inversas uma da outra Observe que se n é menor do que m a imagem da função linear injetora L : R n R m é um subespaço próprio de R m E neste caso L não está definida em todo R m estando apenas definida na imagem de L Por outro lado se m n a inversa está definida em todo R n Além disso se L : R n R n é uma função linear inversível representada pela matriz A ie LX AX onde é uma multiplicação matricial a inversa de L L : R n R n é a função linear inversível representada pela matriz A ie L X A X onde A é a inversa da matriz A Considere agora a função afim T : R n R n definida por T X LX X 0 + Y 0 A X X 0 + Y 0 onde L : R n R n é uma função linear É fácil ver que T é injetora se e só se L é injetora De fato dados X X R n T X T X LX X 0 + Y 0 LX X 0 + Y 0 LX X 0 LX X 0 LX LX 0 LX LX 0 LX LX Além disso observe que se L é uma função linear inversível representada pela matriz A ie LX AX onde é uma multiplicação entre matrizes a função afim T
Cálculo B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise 08-34 T X LX X 0 + Y 0 A X X 0 + Y 0 também é inversível e se T X Y a inversa de T é dada por T Y L Y Y 0 + X 0 A Y Y 0 + X 0 Podemos verificar que a expressão dada acima é de fato a expressão correta para T substituindo Y por T X e verificando que encontramos X De fato T Y T T X L T X Y 0 + X 0 L LX X 0 + Y 0 Y 0 + X 0 L LX X 0 + X 0 X X 0 + X 0 X Os cálculos acima utilizando matrizes são expressos da forma abaixo T Y T T X A T X Y 0 + X 0 A AX X 0 + Y 0 Y 0 + X 0 A AX X 0 + X 0 X X 0 + X 0 X Com isto temos uma fórmula que permite calcular a inversa de uma função afim inversível dada por que é T X LX X 0 + Y 0 A X X 0 + Y 0 T Y L Y Y 0 + X 0 A Y Y 0 + X 0 Exemplo 3: Considere a função T : R 3 R 3 definida por 0 x T x y z 0 3 y + + 3 4 0 3 z 5 a Mostre que T é inversível b Se T x y z u v w determine T u v w Solução: T X A X X 0 + Y 0 onde 0 x A 0 3 X y X 0 4 0 3 z 0 e Y 0 3 5
Cálculo B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise 08-35 Desta forma como T é uma função afim temos que T é inversível se e somente se a função linear L dada por 0 x Lx y z 0 3 y 4 0 3 z é inversível Por sua vez L é inversível se e somente se a matriz A é inversível Como determinante de A é diferente de zero deta temos que L é inversível e sua inversa é dada por L u v w A u v w / / / /3 /3 /3 u v w Abaixo temos o cálculo de A 0 0 0 0 3 0 0 l l l 4 0 3 0 0 l 3 l 3 l l 3 l 3 /3 l l +3l 3 l l 3l 3 l l / 0 3 0 0 3 0 0 4 0 3 0 0 0 3 0 0 3 0 0 0 0 3 0 3 0 0 3 0 0 0 0 /3 /3 /3 0 3 0 0 0 0 0 /3 /3 /3 0 0 0 0 0 0 /3 /3 /3 0 0 / / / 0 0 0 0 /3 /3 /3 Neste caso como T é dada por T Y L Y Y 0 + X 0 A Y Y 0 + X 0 segue que T u v w / / / /3 /3 /3 u v + 3 w 5 + 0
Cálculo B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise 08-36 Nosso objetivo na próxima seção é enunciar o Teorema da Função Inversa Dada uma função vetorial de várias variáveis F : DomF R n ImF R n sob certas condições o Teorema da Função Inversa é capaz de garantir que F possui uma inversa e ainda fornece propriedades desta inversa Mas especificamente o teorema trata do caso em que F é diferenciável e fornece resultados apenas locais Para compreender melhor o teorema acompanhe a seguinte linha de raciocínio: lembre-se que se F é diferenciável no ponto X 0 ela pode ser aproximada numa vizinhança deste ponto por uma transformação afim T Portanto uma pergunta natural que surge é: será que se a transformação afim T for inversível também poderemos garantir que numa vizinhança do ponto X 0 a função F também é inversível? uma vez que nesta vizinhança as duas funções se parecem Além disso podemos nos questionar também: e se for verdade que a função F é realmente inversível numa vizinhança do ponto X 0 será que podemos garantir que sua inversa também é diferenciável no ponto X 0? E podemos ir até mais além: será que se a inversa da função F for diferenciável em X 0 sua melhor aproximação afim numa vizinhança deste ponto será a inversa de T? Ou seja será que a matriz que representa a derivada da inversa de F em X 0 no caso dela existir é a inversa da matriz que representa a derivada de F em X 0? A menos dos detalhes estas perguntas possuem respostas afirmativas e constituem o Teorema da Função Inversa que conforme dito está enunciado na próxima seção 3 Teorema da Função Inversa TEOREMA 3 Teorema da Função Inversa: Seja F : DomF R n R n uma função de classe C em um aberto A DomF que contém ponto X 0 Se DF X 0 é inversível então existe um aberto N A contendo X 0 tal que quando restrita a N F possui uma inversa de classe C Além disso o conjunto imagem F N é aberto e mais ainda DF Y 0 DF X 0 onde Y 0 F X 0 Isto é a diferencial da função inversa de F em Y 0 é a inversa da diferencial de F em X 0 Observe que o Teorema da Função Inversa só garante a existência da inversa de F caso as condições sejam satisfeita numa vizinhança do ponto X 0 Ele é um teorema de existência local e não global O similar que vimos em Cálculo A pedia derivada diferente de zero em todo intervalo Por isso podíamos garantir a existência da inversa na imagem deste intervalo sob consideração O Teorema da Função Inversa visto em Cálculo A para efeito de recordação encontra-se enunciado na Seção 34
Cálculo B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise 08-37 Note que Teorema da Função Inversa fornece condições suficientes F de classe C e DF X 0 é inversível para garantir a existência de uma inversa na vizinhança do ponto X 0 Isto não quer dizer que é necessário que DF X 0 seja inversível para que exista uma inversa De fato voltando a funções reais é sabido que a função F x x 3 tem derivada nula na origem portanto não inversível mas é F possui inversa numa vizinhança do ponto x 0 De fato ela possui inversa em toda reta 33 Exemplos Exemplo 33: Considere a função F : R R definida por F x y x 3 xy x + y a Mostre que F é inversível numa vizinhança do ponto b Verifique que F 0 c Determine DF 0 Solução: a Observe que F x y f x y f x y é de classe C em R uma vez que suas funções coordenadas f e f são polinomiais Além disso como f f x y temos que DF x y f x f y DF 3x y 4xy 4 que é uma matriz inversível pois detdf 3 0 Desta forma pelo Teorema da Função Inversa temos que existe um aberto N contendo o ponto tal que quando restrita a N a função F possui uma inversa de classe C b É fácil ver que F 0 c Também do Teorema da Função Inversa temos que DF 0 DF /3 4/3 /3 /3 Abaixo temos o cálculo de DF 4 0 l l 0 3 l /3 0 /3 /3 l l 0 0 0 l l 0 /3 /3 l l 0 /3 4/3 0 /3 4/3 0 /3 /3
Cálculo B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise 08-38 Exemplo 33: Considere a função F : R R definida por F x y x 3 + xy + y x + y a Mostre que F é inversível numa vizinhança do ponto b Sabendo que F 4 determine DF 4 c Determine a função afim que melhor aproxima a função F numa vizinhança do ponto d Determine a função afim que melhor aproxima a inversa da função F numa vizinhança do ponto 4 Solução: a Observe que F x y f x y f x y é de classe C em R uma vez que suas funções coordenadas f e f são polinomiais Além disso como temos que DF x y f x f x f y f y DF 3x + y x + y x 5 4 que é uma matriz inversível pois detdf 3 0 Desta forma pelo Teorema da Função Inversa temos que existe um aberto N contendo o ponto tal que quando restrita a N a função F possui uma inversa de classe C b É fácil ver que F + + + 4 Além disso do Teorema da Função Inversa temos que DF 4 DF /3 4/3 /3 5/3 Abaixo temos o cálculo de DF 5 4 0 0 l 4l l l 3 0 4 0 0 /3 4/3 0 /3 5/3 l / 3 0 /3 4/3 0 l l
Cálculo B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise 08-39 c Sabemos que função afim que melhor aproxima a a função F numa vizinhança do ponto é dada por x 4 T x y DF + y 5 4 x 4 + y 5x 5 + 4y 4 4 + x + y 5x + 4y 5 x + y d Sabemos que função afim que melhor aproxima a inversa da função F numa vizinhança do ponto 4 é dada por u 4 T u v T u v DF 4 + v Como DF 4 DF /3 4/3 /3 5/3 temos que a função afim que melhor aproxima a inversa da função F numa vizinhança do ponto 4 é dada por /3 4/3 u 4 T u v + /3 5/3 v u/3 + 4/3 + 4v/3 8/3 + u/3 8/3 5v/3 + 0/3 u/3 + 4v/3 /3 u/3 5v/3 + 5/3 Exemplo 333: Seja F u v u + u v + 0v u + v 3 a Mostre que F é inversível numa vizinhança do ponto b Calcule um valor aproximado para F 8 Solução: a Observe que F u v f u v f u v é de classe C em R uma vez que suas funções coordenadas f e f são polinomiais Além disso como f f u v DF u v f u f v u + uv u + 0 3v
Cálculo B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise 08-40 temos que DF 4 3 que é uma matriz inversível pois detdf 0 Desta forma pelo Teorema da Função Inversa temos que existe um aberto N contendo o ponto tal que quando restrita a N a função F possui uma inversa de classe C b É fácil ver que F + 0 + Além disso sabemos que função afim que melhor aproxima a inversa da função F numa vizinhança do ponto é dada por x T x y T x y DF + y onde T é a transformação afim que melhor aproxima F numa vizinhança do ponto Para determinar DF utilizamos o Teorema da Função Inversa que diz que DF DF Abaixo temos o cálculo de DF 4 0 3 0 l 4l l 0 4 3 0 0 4 0 3 3 4 l +3l l l 0 4 0 3 0 3 0 4 Portanto a função afim que melhor aproxima a inversa da função F numa vizinhança do ponto é dada por 3 x T x y + 4 y 3x y + x + 4y + de modo que um valor aproximado para F 8 é dado por T 8 Isto é 38 + F 8 T 8 8 + 4 + 3 0 0 + 0 + 40 + 06 + 0 + 04 + 07 6 l
Cálculo B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise 08-4 Exemplo 334: Considere a função fu v u 3 v v 6u 3uv u + v Seja g : R 4 R uma função de classe C e seja F a função definida por F g f Sabe-se que g 6 5 3 e que g 6 5 é uma das matrizes a seguir: 3 ou 3 a Verifique que F possui uma inversa de classe C numa vizinhança do ponto Justifique bem b Denote por F a inversa de F numa vizinhança do ponto Determine a função afim que melhor aproxima F numa vizinhança do ponto F Solução: a Em primeiro lugar observe que g é uma função de classe C por hipótese o que significa que g é diferenciável Da mesma forma temos que f é de classe C pois suas funções coordenadas são polinomiais o que significa que f também é diferenciável Sendo assim como f e g são diferenciáveis temos que F g f é diferenciável e além disso podemos aplicar a regra da cadeia para obter DF No Exemplo 4 obtivemos que DF Dg f Df 5 0 Além de F g f ser diferenciável F também é de classe C pois f e g são de classe C Desta forma como F é de classe C e DF é uma matriz inversível pois detdf 0 temos pelo Teorema da Função Inversa temos que existe um aberto N contendo o ponto tal que quando restrita a N a função F possui uma inversa de classe C b É fácil ver que F g f g 6 5 3 conforme calculado no Exemplo 4 Além disso sabemos que função afim que melhor aproxima a inversa da função F numa vizinhança do ponto F 3 é dada por x T x y F F + DF F y 3 + DF x x y R y 3 Abaixo temos o cálculo de DF 5 0 l +5l 0 5 0 0 0 0 l / 0 / 5/ 0 0
Cálculo B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise 08-4 Portanto a função afim que melhor aproxima a inversa da função F numa vizinhança do ponto F 3 é dada por / 5/ x T x y + 0 y 3 /x 5/y 3 + y 3 x/ + 5y/ + 5/ + y 3 x/ 5y/ + 9/ x y R y 34 Recordação de Cálculo Vamos a seguir fazer uma recordação do Teorema da Função Inversa visto em Cálculo não só para efeito de comparação como também para ilustração uma vez que para funções da reta na reta o entendimento fica mais fácil TEOREMA 34: Teorema da Função Inversa - Funções da Reta na Reta Visto em Cálculo A Seja f : Domf R uma função diferenciável e seja I Domf um intervalo aberto Se f c 0 para todo c I então f é inversível na imagem de I cuja notação é fi sua inversa f : fi Domf é diferenciável e para todo y fi f y f f y Não demonstramos este teorema em Cálculo A mas fizemos algumas considerações que mostram que o que ele afirma é de uma certa forma natural De fato ao impedirmos a derivada da função f de se anular estamos obrigando f a ser injetora pois a única forma de uma função diferenciável perder a injetividade é possuir um gráfico que tenha em algum ponto uma reta tangente horizontal que é sinônimo de derivada nula neste ponto mas isto está excluído por hipótese Tendo assim garantido a existência da inversa pela reflexão do gráfico de f em torno da reta y x construímos o gráfico da função inversa Observe agora que por f ser diferenciável todos os pontos de seu gráfico possuem reta tangente Inclusive por não possuir derivada nula nenhuma reta tangente é horizontal Voltando agora ao gráfico da função inversa verificamos que ele por ser uma reflexão do gráfico de f em torno da reta y x também possuirá reta tangente em todos os pontos Além disso sabemos que o único caso em que existe reta tangente mas não existe derivada é quando a reta tangente é vertical Entretanto a reta tangente da gráfico da função inversa só poderia ser vertical se o gráfico da função
Cálculo B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise 08-43 f fosse horizontal em algum ponto o que foi excluído por hipótese Deste modo podemos concluir que a inversa é diferenciável O similar ao Teorema da Função Inversa na forma que estamos vendo agora obviamente também pode ser restrito a funções de uma variável e neste caso ele também só garante a existência da inversa localmente E neste caso para demonstrar a existência da inversa utilizamos o Teorema do Valor Médio Vamos enunciar abaixo o Teorema da Função Inversa na forma local para funções da reta na reta TEOREMA 33 Teorema da Função Inversa - Existência Local - Funções da Reta na Reta: Seja f : Domf R R uma função de classe C em um intervalo aberto J Domf que contém ponto x 0 Se f x 0 0 então existe um intervalo aberto I J contendo x 0 tal que quando restrita a I f possui uma inversa de classe C Além disso o conjunto imagem fi é aberto e mais ainda f y 0 f x 0 onde y 0 fx 0 Isto é a derivada da função inversa em y 0 é a inversa da derivada de f em x 0 Observe que sendo f uma função de classe C sua derivada é contínua; portanto como f x 0 0 pela continuidade de f segue que em um intervalo aberto contendo x 0 podemos garantir que f não se anula Agora é só repetir o raciocínio feito acima para este intervalo Atenção isto não é uma demonstração Este raciocínio tem o intuito de nos convencer do quanto o teorema é razoável e de estabelecer uma linha para a demonstração Por exemplo conforme já foi dito para demonstrar a existência da inversa utilizamos o Teorema do Valor Médio