NOTAS DE AULA: LÓGICA, INDUÇÃO E INICIAÇÃO MATEMÁTICA

NOTAS DE AULA: LÓGICA, INDUÇÃO E INICIAÇÃO MATEMÁTICA André Luiz Galdino Notas de Aula: Lógica, Indução e Iniciação Matemática 3

SUMÁRIO 3 1 Noções de Análise Combinatória 4 11 Princípio da Regra da Soma e da Regra do Produto 4 12 Fatorial 12 13 Arranjos Simples e com Repetição 16 14 Permutações Simples e com Repetição 24 15 Combinações Simples 33 16 Coe ciente Binomial e Binômio de Newton 38 2 Noções de Lógica Matemática 54 21 Cálculo Proposicional 55 22 Tabelas Verdade 67 23 Contingência, Tautologia e Contra-Tautologia 75 24 Implicação e Equivalência Tautológica 78 3 Enunciados, Demonstrações e Paradoxos 82 31 De nições, Teoremas e Demonstrações 82 32 Tipos de Demonstrações 89 33 Paradoxos, So smas e Falácias 96 4 Indução Matemática e Princípio da Casa dos Pombos 103 41 Princípio da Boa Ordenação 103 42 Princípio da Indução Matemática 107 43 Princípio da Indução Completa 114 44 Princípio da Casa dos Pombos 121

1 Noções de Análise Combinatória Desde pequenos, aprendemos a contar E é impossível imaginar uma vida sem contar, agrupar, escolher e assim por diante Neste sentindo, a análise combinatória vem nos fornecer técnicas para que possamos realizar contagens com eficiência, brevidade e precisão De forma geral, a análise combinatória é fundamentada em dois princípios básicos: o Princípio da Regra da Soma e o Princípio da Regra do Produto Além disso, suas principais ferramentas são o Arranjo, a Permutação e a Combinação 11 Princípio da Regra da Soma e da Regra do Produto Definição 11 O Princípio da Regra da Soma nos diz que, se um evento E 1 pode ocorrer de m 1 maneiras, um segundo evento E 2 pode ocorrer de m 2 maneiras, e assim sucessivamente até o n-ésimo evento E n que pode ocorrer de m n maneiras e, além disso, os eventos E 1, E 2,,E n não podem ocorrer simultaneamente, ou seja, são eventos disjuntos, então o número total de ocorrências será dado pela soma: m 1 + m 2 + m 3 + + m n Exemplo 12 Em uma sacola existem 7 bolas brancas e 5 bolas pretas Em um jogo de sorteio, qual o número máximo de pessoas participantes, sendo que cada pessoa deve pegar apenas uma bola da sacola? Solução Como cada pessoa pode pegar apenas uma bola da sacola, então 7 pessoas devem pegar uma bola branca cada e 5 pessoas devem pegar uma bola preta cada Uma vez que pegar uma bola branca ou pegar uma bola preta são eventos disjuntos, pelo Princípio da Regra da Soma, temos que o número máximo de pessoas é dado por 7 + 5 = 12 Exemplo 13 [Gentil et al 1996] Três companhias de ônibus e 2 companhias de aviação cobrem o percurso entre as cidades A e B De quantos modos diferentes podemos viajar entre essas duas cidades? Solução A forma que escolhermos de viajar, ônibus ou avião, independe uma da outra Isto é, viajar de ônibus ou avião é uma opção, não interferindo uma escolha na outra, como mostra a Figura 11 Então, para irmos de A até B, podemos optar por: 3 maneiras diferentes, se formos de ônibus, ou 2 maneiras diferentes, se formos de avião Logo, pelo Princípio da Regra da Soma, o total de possibilidades existentes para ir de A até B é 3+2 = 5 4

ônibus 1 Avião 1 A B A B ônibus 2 ônibus 3 Avião 2 Figura 11: Formas de viajar entre as cidades A e B Definição 14 O Princípio da Regra do Produto, também conhecido como Princípio Fundamental da Contagem, nos diz que, se um evento ocorre em n situações independentes e sucessivas, tendo a primeira situação ocorrendo de m 1 maneiras, a segunda situação ocorrendo de m 2 maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação ocorrendo de m n maneiras, temos que o número total de ocorrências será dado pelo produto: m 1 m 2 m 3 m n Exemplo 15 Suponhamos que temos quatro caixas de diferentes cores: Verde, Laranja, Azul e Branca De quantas maneiras diferentes podemos empilhar tais caixas sobre uma mesa? Solução Na escolha da primeira caixa a ser colocada sobre a mesa há 4 possibilidades: Verde, Laranja, Azul e Branca Uma vez escolhida a primeira caixa, digamos a Azul, na escolha da segunda caixa, a ser colocada sobre a primeira, temos 3 possibilidades: Verde, Laranja e Branca Se a segunda caixa escolhida é a Verde, na escolha da próxima caixa temos 2 possibilidades: Laranja e Branca Se escolhemos a terceira caixa como sendo a Branca, para a quarta caixa, sem dúvida, haverá apenas 1 possibilidade: Laranja Tabela 11: Possibilidades de empilhar as 4 caixas 4 a caixa 1 possibilidade 3 a caixa 2 possibilidades 2 a caixa 3 possibilidades 1 a caixa 4 possibilidades Então, temos 4 possibilidades para a 1 a caixa, 3 possibilidades para a 2 a caixa, 2 possibilidades para a 3 a caixa e 1 possibilidade para a 4 a caixa, como mostra a Tabela 11 Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de possibilidades, maneiras diferentes de se empilhar as caixas sobre a mesa, é 4 3 2 1 = 24 (veja Figura 12) 5

1 a caixa 1 a caixa 2 a caixa 2 a caixa 2 a caixa 2 a caixa 2 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa mesa 2 a caixa 2 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 1 a caixa 1 a caixa 2 a caixa 2 a caixa 2 a caixa 2 a caixa 2 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa Figura 12: Árvore de possibilidades para empilhar as 4 caixas 6

Exemplo 16 [Gentil et al 1996] Se uma pessoa tem 4 calças diferentes e 3 camisas diferentes, de quantas formas ela pode se vestir? Solução Observando a árvore de possibilidades, Figura 13, vemos que na escolha da calça temos 4 possibilidades e, para cada calça escolhida, temos na escolha da camisa 3 possibilidades Então, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de possibilidades é 4 3 = 12 Portanto, a pessoa possui 12 formas diferentes de se vestir camisa 1 calça 1 camisa 2 camisa 3 camisa 1 pessoa calça 2 calça 3 camisa 2 camisa 3 camisa 1 camisa 2 camisa 3 calça 4 camisa 1 camisa 2 camisa 3 Figura 13: Árvore de possibilidades para a escolha das calças e camisas Exemplo 17 [Gentil et al 1996] Para irmos da cidade A até a cidade C, obrigatoriamente passamos pela cidade B Três companhias de ônibus cobrem o percurso entre A e B, e duas companhias de aviação ligam B e C De quantos modos diferentes é possível viajar de A até C? Solução Para irmos de A até B temos 3 possibilidades diferentes de ônibus, e para irmos de B até C temos 2 possibilidades diferentes de avião, como mostra a Figura 14a Observe ainda que para cada escolha de ônibus, para ir de A até B, temos 2 opções de escolha de avião para ir de B até C, como mostra a Figura 14b 7

Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de possibilidades existentes, modos diferentes que podemos viajar de A até C, é 3 2 = 6 ônibus 1 avião 1 A B C ônibus 2 ônibus 3 avião 2 (a) Opções de viajar de A até C viajar ônibus 1 ônibus 2 ônibus 3 (b) Árvore de possibilidades avião 1 avião 2 avião 1 avião 2 avião 1 avião 2 Figura 14: Opções e árvore de possibilidades de viajar entre as cidades A, B e C Exemplo 18 [Veia 2009] Suponha que você deseja ir da cidade A para a cidade D, e tenha as opções observadas na Figura 15 De quantas maneiras possíveis você poderá fazer a sua viagem escolhendo apenas um dos caminhos? B A D C Figura 15: Formas de viajar entre as cidades A, B, C e D 8

Solução Veja as seguintes opções para ir de A para D: 1 a Opção: Ir de A para D passando por B A B D Figura 16: Formas de viajar de A para D passando por B Neste caso, temos que ir de A para B e depois de B para D Como mostra a Figura 16 há apenas 1 possibilidade para ir de A para B e apenas 1 possibilidade para ir de B para A Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 1 1 = 1possibilidade de irmos de A até D passando por B 2 a Opção: Ir de A para D direto A D Figura 17: Formas de viajar de A para D direto Aqui, sem dúvida, temos apenas 2 possibilidades para irmos de A para D direto 3 a Opção: Ir de A para D passando por C A C D Figura 18: Formas de viajar de A para D passando por B Por fim, como mostra a Figura 18, temos 2 possibilidades para ir de A para C e 1 possibilidade para ir de C para D O que dá 2 1=2 possibilidades, segundo o Princípio Fundamental da Contagem Ou seja, temos 2 possibilidades para ir de A até D passando por C É fácil ver que nenhuma das 3 opções apresentadas interferem uma na outra, ou seja, aplicando o Princípio da Regra da Soma, o total de possibilidades que temos para ir de A até D é 1+2+2=5 Note, que no Exemplo 18 usamos tanto o Princípio Fundamental da Contagem quanto o Princípio da Regra da Soma 9

Exercícios Propostos 1 [Gentil et al 1996] Quantos automóveis podem ser licenciados no sistema em que cada placa é formada por 2 letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)? 2 Um comprador deseja comprar um veículo de uma concessionária A concessionária tem 23 carros e 14 caminhões em estoque Quantas possíveis escolhas o comprador pode ter? 3 [Gentil et al 1996] O centro cívico de uma escola realiza eleições para preenchimento das vagas de sua diretoria Para presidente, apresentam-se 5 candidatos; para vicepresidente, 8 candidatos; e para secretário, 6 candidatos Quantas chapas podemos formar? 4 (UFBA) Existem 5 ruas ligando os supermercados S 1 e S 2 e 3 ruas ligando os supermercados S 2 e S 3 Quantos trajetos diferentes existem para ir de S 1 a S 3, passando por S 2? 5 Existem oito professores do sexo masculino e cinco professores do sexo feminino para a disciplina de matemática discreta em uma universidade De quantas formas um estudante pode escolher um professor? 6 (PUC/BA) Pretende-se pintar as quatro faixas horizontais de uma bandeira usando-se no máximo quatro cores: azul, branca, verde e amarela Se duas faixas consecutivas não podem ser pintadas de uma mesma cor, então determine o número de bandeiras distintas que poderão ser pintadas 7 Quantos são os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5? 8 Eu possuo 4 pares de tênis e 10 pares de meias De quantas maneiras poderei me calçar utilizando um par de meias e um de tênis? 10

9 Considerando os mesmos últimos 4 dígitos do seu telefone, quantos números de quatro dígitos sem repetições de dígitos existem? 10 [Escola 2014] Na criação da senha de uma conta bancária, o cliente é informado que deve ser feita uma combinação de seis números sem repetição Os números utilizados devem ser os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Determine o número possível de senhas que podem ser criadas 11 [Escola 2014] Em uma empresa de informática, o código de acesso dos funcionários deve ser criado utilizando três letras e quatro números, sem repetição Sabendo que o código pode ser criado utilizando três letras entre 26, e quatro números entre 10 algarismos, determine o possível número de códigos que podem ser criados 12 [Escola 2014] Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos? 13 (FUVEST - 2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, istoé, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3 De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? 14 [Martins 2014] Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento? 11

12 Fatorial Definição 19 Considerando n um número natural diferente de zero e maior que 1, definimos como fatorial de n, e denotamos por n!, oproduto dado por: n! =n (n 1) (n 2) (n 3) 3 2 1 Quando conveniente, e não oferecer dúvidas, omitiremos o símbolo de multiplicação na expressão acima Note que na Definição 19 não consideramos n =0enemn =1 No entanto, sem prejuízo podemos definir 0! = 1 e 1! = 1 Além disso, a Definição 19 restringe o fatorial apenas aos números naturais, ou seja, se tivermos algo como (n 5)! temos, obrigatoriamente, uma condição de existência a ser satisfeita que é n 5 Ø 0, ou seja, n Ø 5 Exemplo 110 Calcule o fatorial de 4, 5, 6 e 7 Solução 1) 4! = 4 3 2 1 = 24 2) 5! = 5 4 3 2 1 = 120 3) 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720 4) 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040 Exemplo 111 Calcule 6! 4! e 9! 11! Solução 1) 6! 4! = 6 5 4 3 2 1 =6 5 = 30 4 3 2 1 2) 9! 11! = 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 1 11 10 = 1 110 Observe que o uso da Definição 19 pode se tornar um tanto quanto inconveniente, dependendo do número natural em questão Por exemplo, se queremos calcular 200! No entanto, para facilitar alguns cálculos podemos nos valer de uma simples propriedade, que é a simplificação de fatoriais A saber: n! =n (n 1)! 12

Exemplo 112 Calcule 8!, 9!, 11! e 7! Solução 9! 7! 8! 10! 1) 8! = 8 (8 1)! = 8 7! = 8 5040 = 40320 2) 9! = 9 8! = 9 40320 = 362880 3) 11! 7! 4) = 11 10 9 8 7! 7! = 11 10 9 8 = 7920 9! 7! 8! 10! = 9! 7! 8 7! 10 9! = 1 8 10 = 1 80 Exemplo 113 Simplifique a expressão Solução (n + 1)! (n 1)! = (n + 1)!, onde n Ø 1 (n 1)! (n + 1) (n +1 1) (n +1 2)! (n 1)! = (n + 1) n (n 1)! (n 1)! = n(n + 1) Exemplo 114 Determine o valor de n tal que (n + 2)! = 20 n! Solução A ideia principal desse tipo de problema é eliminar o fatorial Vejamos: (n + 2)! = 20 n! (n + 2) (n +2 1) (n +2 2)! = 20 n! (n + 2) (n + 1) n! = 20 n! (n + 2) (n + 1) = 20 Observe que a última equação obtida não contém fatorial Mais ainda, tal equação é na verdade uma equação do 2 o grau De fato, (n + 2) (n + 1) = 20 n 2 +3n + 2 = 20 n 2 +3n 18 = 0 Sendo assim, usando a Fórmula de Baskara podemos encontrar as raízes da última equação, as quais são n 1 = 6 e n 2 =3 Consequentemente, as possíveis soluções do problema são n = 6 ou n =3 Mas como não existe fatorial de números negativos, veja Definição 19, eliminamos a possibilidade n = 6 Portanto, a solução do problema é n =3 13

Exemplo 115 [Gentil et al 1996] Dada a expressão 1 (n 4)! + 1 (n 3)!, com n Ø 4, efetuar as operações indicadas, simplificando o resultado Solução Como se trata de uma adição de frações de denominadores diferentes, devemos reduzir a expressão ao mesmo denominador Sendo assim, sabendo que (n 3)! = (n 3)(n 4)!, temos: 1 (n 4)! + 1 (n 3)! = (n 3)! + (n 4)! (n 3)! (n 4)! = (n 3) (n 4)! + (n 4)! (n 3)! (n 4)! = (n 3) (n 4)! + (n 4)! (n 3)! (n 4)! = (n 3) + 1 (n 3)! = n 2 (n 3)! Exemplo 116 [Gentil et al 1996] Exprimir, por meio de fatoriais, a expressão (x + 3)(x + 2) Solução Lembrando que podemos expressar o número 1 como sendo a divisão de dois números iguais e diferentes de zero temos: (x + 3)(x + 2) = (x + 3)(x + 2) 1 = (x + 3)(x + 2) (x + 1) x (x 1) 2 1 (x + 1) x (x 1) 2 1 = = (x + 3)(x + 2) (x + 1) x (x 1) 2 1 (x + 1) x (x 1) 2 1 (x + 3)! (x + 1)! 14

Exercícios Propostos 1 [Gentil et al 1996] Calcule o valor de: (a) (13 6)! (b) (3 + 2 4 5)! 8! 5! (c) 6! 9! (d) 3! + 4! 2 4 5! (e) 5! 3 4 ( 2+3 2+3)! 10! 7! (f) 2 5! 12! 2 [Gentil et al 1996] Classifique as sentenças abaixo em verdadeiras ou falsas: (a) 10! + 10! = 2 10! (b) 7! 7! = 1 (c) (5 4)! = 5! 4! (d) 6 5! = 6! 3 [Gentil et al 1996] Simplifique as expressões: (a) (b) (c) (d) (n 3)! (n 5)! (n + 2)! n! (n + 3)! (n 2)! n! (n 1)! (n + 1)! (n + 3)! (n + 2)! (n + 4)! (e) (f) (n + 4)! (n 2 +7n + 12) n! (n 2)! (n + 1)! + (n 3)! (n 2)! (g) (3n)! n! 4 [Gentil et al 1996] Resolva as seguintes equações: (a) (b) 8 (x + 3)! (x + 4)! =2 x! 20 x! = (x 4)! (x 2)! (c) (d) x! (x + 1)! + (x 2)! x! (x + 2)! (x + 1)! = 2 (x 6)! (x 7)! 5 Exprima (x + 8)(x + 7)(x + 6) por meio de fatoriais 15

13 Arranjos Simples e com Repetição Definição 117 Seja A um conjunto com n elementos distintos e p um número natural, tal que n Ø p Arranjo simples é o número de maneiras distintas que podemos escolher p elementos distintos do conjunto A, onde a ordenação desses elementos forma agrupamentos distintos Denotamos o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p por A n,p Sendo A um conjunto com n elementos distintos, podemos escolher p elementos distintos do conjunto A da seguinte forma: Tabela 12: Arranjo simples 1 o elemento 2 o elemento 3 o elemento 4 o elemento p o elemento Temos n possibilidades, pois não escolhemos nenhum elemento ainda Temos n 1 possibilidades, pois já escolhemos um elemento anteriormente Temos n 2 possibilidades, pois já escolhemos dois elementos anteriormente Temos n 3 possibilidades, pois já escolhemos três elementos anteriormente Temos n (p 1) possibilidades, pois já escolhemos p 1 elementos anteriormente Consequentemente, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de possibilidades que temos, isto é, o total de arranjo simples é: A n,p = n(n 1)(n 2) (n (p 1)) = n(n 1) (n p + 1) (n p)(n p 1) 2 1 (n p)(n p 1) 2 1 = = n(n 1) (n p + 1)(n p)(n p 1) 2 1 (n p)(n p 1) 2 1 n! (n p)! 16

Exemplo 118 [Gentil et al 1996] Com os algarismos 4, 6, 8 e 9, quantos números possíveis de 2 algarismos distintos podemos formar? Solução O problema se resume em agrupar os quatro algarismos dados de dois em dois Como os dois algarismos devem ser distintos, temos que a troca de posição dos algarismos em cada grupo de dois implica o aparecimento de números diferentes, por exemplo, 68 = 86 Logo, estamos lidando com um problema de arranjo simples e temos que arranjar 4 elementos tomados 2 a 2: A 4,2 = 4! (4 2)! = 4! 2! = 24 2 = 12 Portanto, é possível formar 12 números distintos de 2 algarismos distintos com os algarismos 4, 6, 8 e 9 Exemplo 119 [Escola 2014] Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro Eles serão escolhidos através do voto individual dos membros do conselho da empresa Vamos determinar de quantas maneiras distintas essa escolha pode ser feita Solução Na verdade, o que temos é um problema de arranjo simples, onde queremos agrupar 15 pessoas tomadas 2 a 2 Ou seja, A 15,2 = 15! (15 2)! = 15! 15 14 13! = 13! 13! = 15 14 = 210 Portanto, os cargos poderão ser ocupados de 210 maneiras distintas Exemplo 120 [Escola 2014] Um número de telefone é formado por 8 algarismos Determine quantos números de telefone podemos formar com algarismos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 8 Solução Onúmero2 deve ser fixado na 1 a posição e o número 8 na última Restaram, portanto, 6 posições e 8 algarismos, pois eles precisam ser diferentes Considerando que a ordem dos algarismos diferencie dois números de telefone, vamos arranjar 8 algarismos tomados 6 a 6 A 8,6 = 8! (8 6)! = 8 7 6 5 4 3 2! 2! =8 7 6 5 4 3 = 20160 Portanto, podemos formar 20160 números de telefones com algarismos distintos e que comecem com 2 e terminem com 8 Exemplo 121 [Escola 2014] Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9 Determine o número de possibilidades existentes num sorteio, cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos 17

Solução O problema consiste em arranjar 10 algarismos tomados 6 a 6: A 10,6 = 10! 10 9 8 7 6 5 4! = (10 6)! 4! = 10 9 8 7 6 5 = 151200 Portanto, o sorteio terá 151200 possibilidades de sequência de 6 algarismos Exemplo 122 [Escola 2014] Uma família é composta por seis pessoas (pai, mãe e quatro filhos) que nasceram em meses diferentes do ano Calcule as sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros dessa família Solução Sabemos que 1 ano é composto de 12 meses, então devemos determinar o número de sequências através do arranjo de 12 meses, tomados 6 a 6 Sendo assim, A 12,6 = 12! 12 11 10 9 8 7 6! = (12 6)! 6! = 12 11 10 9 8 7 = 665280 Portanto, podemos formar 665280 sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros dessa família Exemplo 123 [Noé 2014] Um campeonato de futsal será decidido em um quadrangular final envolvendo as seguintes seleções: Brasil, Itália, Espanha e Argentina De quantas maneiras distintas o pódio poderá ser formado Solução O pódio deverá contar com três seleções, 1 o, 2 o e 3 o lugares De modo que 4 seleções disputam o 1 o lugar, 3 seleções disputam o 2 o lugar e 2 seleções disputam o 3 o lugar Assim, devemos arranjar 4 times tomados 3 a 3, ou seja, A 4,3 = 4! (4 3)! = 4 3 2 1! 1! =4 3 2 = 24 Portanto, o pódio deverá ser formado por 24 maneiras distintas Exemplo 124 [Noé 2014] Para ocupar os cargos de presidente e vicepresidente da Câmara Federal, candidataram-se dez deputados federais De quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Solução Temos dez candidatos para ocuparem duas vagas, dessa forma, temos o seguinte arranjo simples A 10,2, dado por: A 10,2 = 10! 10 9 8! = (10 2)! 8! = 10 9 = 90 Portanto, a escolha pode ser realizada de 90 maneiras distintas 18

Exemplo 125 (UFOP) No meio da invasão tecnológica que toma conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque Ela lembra que a senha é formada por quatro dígitos distintos, sendo o primeiro 5 e o 6 aparece em alguma outra posição Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque? Solução O problema nos informa que o primeiro dígito é o número 5, e onúmero6 estará em algum dos outros três dígitos Sendo assim, para os outros dois dígitos temos que escolher entre os números 0, 1, 2, 3, 4, 7, 8 e 9 Ou seja, devemos escolher dois dígitos distintos entre oito números e, consequentemente, teremos A 8,2 possibilidades de escolha para os outros dois dígitos restantes No entanto, podemos ter os seguintes casos: 1 o Caso: Neste caso vamos assumir que o 6 é o segundo dígito: 4 o dígito 2 o dígito 3 o dígito 4 o dígito 5 6 8 possibilidades 7 possibilidades 2 o Caso: Aqui assumimos que o 6 é o terceiro dígito: 1 o dígito 2 o dígito 3 o dígito 4 o dígito 5 8 possibilidades 6 7 possibilidades 3 o Caso: Por fim vamos assumir que o 6 é o quarto dígito: 1 o dígito 2 o dígito 3 o dígito 4 o dígito 5 8 possibilidades 7 possibilidades 6 Observe que em cada um dos casos anteriores, teremos A 8,2 possibilidades de escolha para os dois dígitos restantes Consequentemente, teremos a resposta somando as possibilidades de cada caso, ou seja: A 8,2 + A 8,2 + A 8,2 =3 A 8,2 Portanto, o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir é: 8! 3 A 8,2 =3 (8 2)! = 8 7 6! 6! =3 8 7 = 168 19

Definição 126 Seja A um conjunto com n elementos distintos e p um número natural, tal que n Ø p Arranjo com repetição éonúmero de maneiras distintas que podemos escolher p elementos, que podem se repetir, do conjunto A Denotamos o número de arranjo com repetição por AR n,p Sendo A um conjunto com n elementos distintos, podemos escolher p elementos do conjunto A, que podem se repetir, da seguinte forma: Tabela 13: Arranjo com repetição 1 o elemento Temos n possibilidades 2 o elemento Temos n possibilidades (os elementos podem se repetir) 3 o elemento Temos n possibilidades (os elementos podem se repetir) 4 o elemento Temos n possibilidades (os elementos podem se repetir) p o elemento Temos n possibilidades (os elementos podem se repetir) Consequentemente, pelo Princípio Fundamental da Contagem, Definição 14, o total de possibilidades que temos, isto é, o total de arranjo com repetição é: AR n,p = n n n = n p p vezes Exemplo 127 Qual o total de placas de carro que podem ser construídas com 3 letras do alfabeto brasileiro? Solução O alfabeto brasileiro é composto por 26 letras E para formar as placas com 3 letras podemos repeti-las, ou seja, temos 26 possibilidades de escolha para a primeira letra, 26 possibilidades de escolha para a segunda letra e, finalmente, 26 possibilidades de escolha para a terceira letra Sendo assim, há aqui um problema de arranjo com repetição, onde devemos arranjar 26 letras tomadas 3 a 3 Então temos: AR 26,3 = 26 3 = 17576 Portanto, podemos formar 17576 placas de carro com 3 letras do alfabeto brasileiro Exemplo 128 Qual o total de placas de carro que podem ser construídas com 4 dígitos? 20

Solução Sabemos que há apenas 10 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e que para formar as placas com 4 dígitos podemos repetir dígitos, ou seja, temos 10 possibilidades de escolha para o primeiro, para o segundo, para o terceiro e para o quarto digito Sendo assim, temos aqui um problema de arranjo com repetição, onde devemos arranjar 10 dígitos tomados 4 a 4 Então temos: AR 10,4 = 10 4 = 10000 Portanto, podemos formar 10000 placas de carro com 4 dígitos Exemplo 129 Qual o total de placas de carro que podem ser construídas com 3 letras do alfabeto brasileiro e 4 dígitos? Solução Como vimos no Exemplo 127, temos AR 26,3 maneiras diferentes para formar placas com apenas 3 letras e podendo repeti-las Além disso, o Exemplo 128 nos mostra que existem AR 10,4 maneiras diferentes para formar placas com apenas 4 dígitos e podendo repetilos Consequentemente, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos AR 26,3 AR 10,4 maneiras diferentes para formar placas com 3 letras e 4 dígitos AR 26,3 AR 10,4 = 26 3 10 4 = 175760000 Portanto, existem 175760000 maneiras diferentes de formar placas de carro com 3 letras do alfabeto brasileiro e 4 dígitos Exemplo 130 [Silva 2013] Quatro amigos dirigem-se a uma pastelaria para comprarem, cada um, um bolo Nessa pastelaria existem 7 bolos diferentes à escolha De quantas maneiras diferentes pode ser feita a escolha dos bolos? Solução Cada amigo poderá escolher entre os 7 bolos disponíveis Além disso, nada impede que mais de um amigo escolha o mesmo bolo Por isso, devemos aplicar o arranjo com repetição de 7 elementos tomados 4 a 4: AR 7,4 =7 4 = 2401 Logo, os quatro amigos podem escolher os bolos de 2401 maneiras diferentes 21

Exercícios Propostos 1 [Gentil et al 1996, Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr 1994] Calcule: (a) A 7,4 (b) (A 5,2 ) 2 (c) A n,n (d) A 5,2 + A 6,1 A 5,3 A 10,2 A 7,3 (e) A m+1,m (f) 2 A 9,1 (g) A n,0 (h) A 6,2 + A 4,3 A 5,2 A 9,2 + A 8,1 2 [Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr 1994] Quantos números pares de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem repeti-los? 3 [Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr 1994] Determine o valor de x tal que: (a) A x,3 =4 A x,2 (b) A x,6 + A x,5 A x,4 =9 (c) A x,2 =9 A x,1 (d) A x,2 = 12 4 [Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr 1994] Determine o valor de n tal que: A n,2 + A n 1,2 + A n 2,2 = 20 5 [Didática 2014] Qual o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PADRINHO? 6 [Didática 2014] Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados? 7 Usando os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9 quantos números de 4 dígitos podem ser formados de modo que pelo menos 2 algarismos sejam iguais? 22

8 [Silva 2013] Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno? 9 [Silva 2013] Em um torneio internacional de natação participaram cinco atletas europeus, dois americanos e um brasileiro (a) De quantos modos distintos poderão ser distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze? (b) Em quantos resultados só aparecem atletas europeus nas três primeiras posições? (c) Em quantos resultados o atleta brasileiro recebe medalha? (d) Supondo que o atleta brasileiro não recebeu medalha, determine o número de resultados em que há mais atletas europeus do que americanos no pódio? 10 [Silva 2013] Numa reunião de 7 pessoas há 9 cadeiras Determine de quantos modos distintos as 7 pessoas podem sentar-se nas 9 cadeiras 11 [Gentil et al 1996] Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os 5 primeiros números naturais diferentes de zero? 12 [Gentil et al 1996] De quantas formas podemos responder a 40 questões de um simulado com 5 alternativas diferentes para cada questão? 13 [Gentil et al 1996] Com os algarismos 2, 3 e 4, quantos números com 3 algarismos distintos podemos formar? 14 [Gentil et al 1996] Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 1 a 9? 23

14 Permutações Simples e com Repetição Permutação de n elementos distintos nada mais é do que todo agrupamento formado pelos n elementos, sendo um agrupamento distinto de outro quando em cada um dos dois houver, pelo menos, dois dos n elementos em ordens diferentes Definição 131 Definimos como permutação simples de n elementos todo arranjo simples de n elementos, tomados n a n Assim, denotando a permutação simples de n elementos por P n temos: ou seja, P n = A n,n = n! (n n)! = n! 0! = n!, P n = n! Note que, segundo a Definição 131, a ordem numa permutação é importante, além de que numa permutação simples de n elementos distintos não é permitido repetir os elementos Exemplo 132 [Veia 2009] Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra POR? Solução Um anagrama de uma palavra corresponde a qualquer permutação das letras dessa palavra, de modo a formar ou não outras palavras Ou seja, um anagrama da palavra POR é qualquer permutação que podemos construir com as letras P, O e R Logo, de acordo com a Tabela 14, podemos formar 6 anagramas com a palavra POR Tabela 14: Anagramas da palavra POR Fixando P na 1 a posição POR PRO Fixando O na 1 a posição ORP OPR Fixando R na 1 a posição ROP RPO Como as letras da palavra POR são distintas, o que há na Tabela 14 é uma permutação simples das 3 letras P, O e R Sendo assim, poderíamos responder a pergunta Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra POR? simplesmente calculando a permutação simples de 3 elementos, ou seja, P 3 = 3! = 6 24

Exemplo 133 [Veia 2009] De quantas maneiras diferentes podemos dispor um conjunto de 4 objetos distintos? Solução Temos aqui um caso de permutação simples, pois, desejamos permutar 4 objetos distintos Isto é: P 4 = 4! = 24 Logo, podemos organizar os 4 objetos de 24 maneiras distintas Exemplo 134 [Veia 2009] Considere a palavra PARTO a) Quantos anagramas podemos formar com essa palavra? Solução Uma vez que a palavra PARTO possui 5 letras, podemos formar P 5 anagramas distintos, ou seja, P 5 = 5! = 120 b) Quantos anagramas começam com uma consoante e terminam com uma vogal? Solução Na palavra PARTO temos 3 consoantes (P, R, T) e 2 vogais (A, O) Assim, 3 possibilidades para começar com uma consoante e duas possibilidades para terminar com uma vogal Então, para cada consoante e cada vogal escolhidas para a 1 a e última possibilidades, as 3 letras restantes permutam-se entre si Veja Tabela 15 Tabela 15: Anagramas começando com uma consoante e terminando com uma vogal 1 a (consoante) 2 a 3 a 4 a 5 a (vogal) 3 possibilidades permutação simples de 3 letras 2 possibilidades 3 P 3 2 Portanto, o total de anagramas começando com uma consoante e terminando com uma vogal é 36, pois, 3 P 3 2=3 3! 2=3 6 2 = 36 c) Quantos anagramas podemos formar com as consoantes aparecendo juntas? Solução Observe que devemos permutar as duas vogais com as três consoantes juntas, ou seja, devemos permutar 3 elementos distintos A saber, 2 elementos que são as vogais mais 1 elemento que é as três consoantes juntas (veja Tabela 16) Além disso, as três consoantes 25

também devem ser permutadas entre si, isto é, devemos permutar estes 3 elementos separadamente Portanto, o total de anagramas com as consoantes aparecendo juntas é dado por: P 3 P 3 = 3! 3! = 6 6 = 36 Tabela 16: Exemplo de anagramas com as consoantes aparecendo juntas 1 vogal PRT 1 vogal TPR 1 vogal 1 vogal 1 vogal 1 vogal RTP Exemplo 135 [Didática 2014] Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM? Solução Como a palavra ORDEM possui 5 letras distintas, devemos calcular o número de permutações simples de 5 elementos distintos Temos então: P 5 = 5! = 120 Portanto, o número de anagramas que podemos formar a partir da palavra ORDEM é igual 120 Exemplo 136 [Didática 2014] Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas De quantas maneiras elas podem estar posicionadas nesta fila? Solução O problema apresentado é facilmente resolvido com permutação simples das 3 pessoas, então: P 3 = 3! = 6 Logo, as três pessoas podem estar posicionadas de seis maneiras diferentes na fila Exemplo 137 [Escola 2014] De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais? Solução Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos Portanto, o número de posições possíveis é P 5 = 5! = 120 26

Definição 138 Definimos como permutação com elementos repetidos todo agrupamento que podemos formar com um certo número de elementos, onde um ou mais elementos se repetem, e a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos Suponhamos que temos n elementos, dentre os quais um primeiro elemento se repete n 1 vezes, um segundo elemento se repete n 2 vezes, um terceiro elemento se repete n 3 vezes, e assim até um m-ésimo elemento que se repete n m vezes, com n 1 + n 2 + n 3 + + n m Æ n Se queremos determinar quantas permutações podemos construir com esses n elementos, não basta simplesmente calcular P n, uma vez que alguns elementos se repetem, e elementos repetidos não geram novas possibilidades de agrupamentos, pois, os elementos são iguais Por exemplo, considere os elementos {x, x, y} Como temos 3 elementos podemos fazer P 3 permutações entre eles Porém, como x se repete 2 vezes, o número de permutações que podemos realizar entre eles é dado por P 2, e estas permutações estão entre todas as P 3 permutações possíveis Uma vez que o elemento x se repete 2 vezes, e ao permutá-los entre si não alteramos o agrupamento, como mostra a Tabela 17, é necessário excluir tais permutações do total P 3 possível de permutações Sendo assim, o total de permutações diferentes possíveis com os elementos {x, x, y}, como mostra a Tabela 17, é dado por: P 2 3 = P 3 P 2 = 3! 2! =3, onde P3 2 denota a permutação de 3 elementos com um dos elementos repetindo 2 vezes Tabela 17: O elemento x se repete 2 vezes x y x x permuta com x x y x y x x x permuta com x y x x x x y x permuta com x x x y 27

De um modo geral, se temos n elementos dentre os quais um primeiro elemento se repete n 1 vezes, um segundo elemento se repete n 2 vezes, um terceiro elemento se repete n 3 vezes, e assim por diante, um m-ésimo elemento se repete n m vezes, com n 1 + n 2 + n 3 + + n m Æ n, então o total de permutação com elementos repetidos é dado por: P n1,n2,n3,,nm n! n = n 1! n 2! n 3! n m! Exemplo 139 Calcule quantos anagramas podemos construir com a palavra CATALANA Solução Na palavra CATALANA temos 8 letras e a letra A se repete 4 vezes, dessa maneira, temos que calcular os anagramas de forma a desconsiderar aqueles em que a letra A permuta com ela mesma, ou seja, P 4 8 = 8! 4! = 8 7 6 5 4! 4! =8 7 6 5 = 1680 Portanto, é possível construir 1680 anagramas com a palavra CATA- LANA Exemplo 140 Calcule quantos anagramas podemos construir com a palavra MATEMÁTICA Solução Na palavra MATEMÁTICA temos 10 letras, das quais 2 são M, 2 letras são T e 3 são A Logo, é necessário calcular os anagramas de forma a desconsiderar aqueles em que as letras M, T e A permutam com elas mesmas, ou seja, P 2,2,3 10! 10 9 8 7 6 5 4 3! 8 = = 2! 2! 3! 4 3! = 151200 Portanto, podemos construir 151200 anagramas com a palavra MATE- MÁTICA Exemplo 141 [Escola 2014] Ao preencher um cartão da loteria esportiva, André optou pelas seguintes marcações: 4 opções na coluna um, 6 opções na coluna do meio e 3 opções na coluna dois De quantas maneiras distintas André poderá marcar o cartão? Solução O cartão da loteria esportiva possui 13 linhas e três colunas (veja Figura 19): a coluna um, a coluna do meio e a coluna dois Sendo assim, na coluna um haverá 4 linhas repetidas, na coluna do meio haverá 6 linhas repetidas e na coluna dois haverá 3 linhas repetidas, ou seja, P 4,6,3 13! 13 12 11 10 9 8 7 6! 13 = = 4! 6! 3! 4! 6! 3! = 60060 Portanto, o cartão poderá ser marcado de 60060 maneiras diferentes 28

Figura 19: Loteria Esportiva Exemplo 142 [Escola 2014] Em um torneio de futsal, um time obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas, nas 15 partidas disputadas De quantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido? Solução Como em 15 partidas disputadas as vitórias se repetiram 8 vezes, os empates 5 vezes e as derrotas se repetiram 2 vezes, tem-se que: P 8,5,2 15! 15 14 13 12 11 10 9 8! 15 = = 8! 5! 2! 8! 5! 2! = 135135 Logo, os resultados podem ser dispostos de 135135 maneiras distintas Exemplo 143 [Escola 2014] Em uma prova composta de 20 questões envolvendo V ou F, de quantas maneiras distintas teremos doze respostas V e oito respostas F? Solução Como as respostas V e F repetem 12 vezes e 8 vezes, respectivamente, em 20 questões envolvendo V ou F, temos: P 12,8 20 = 20! 20 19 18 17 16 15 14 13 12! = 12! 8! 12! 8! = 125970 Assim, podemos ter 125970 maneiras distintas de respostas envolvendo doze questões V e oito F 29

Exercícios Propostos 1 [Didática 2014] Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da palavra CURIÓ? 2 [Escola 2014] De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres: (a) em qualquer ordem; (b) iniciando com homem e terminando com mulher 3 [Escola 2014] Os resultados do último sorteio da Mega-Sena foram os números 04, 10, 26, 37, 47 e 57 De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência de resultados? 4 [Escola 2014] Na palavra NORTE, quantos anagramas podem ser formados? Quantos começam com vogal? 5 (UFPEL) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as questões a seguir (a) Quantos anagramas podem ser formados de modo que as vogais estejam sempre juntas? (b) Quantos anagramas podem ser formados com as letras UF juntas? (c) Quantos anagramas podem ser formados com as letras PEL juntas e nessa ordem? 6 (Vunesp-SP) Considere todos os números formados por seis algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 (a) Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1 (b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 512346 e que número ocupa a 242 a posição 30

6 [Escola 2014] Um engenheiro de software deseja criar um programa que teste todas as possibilidades de senha de um sistema de uma empresa A informação que este engenheiro tem é a de que esta senha precisa respeitar a seguinte sequência: quatro letras distintas seguidas por dois algarismos distintos Sendo assim, responda: (a) Quantas são as possíveis senhas de acesso? (b) Quantas senhas apresentam simultaneamente apenas consoantes e algarismos maiores que 5? 7 [Escola 2014] Um banco adquire um cofre com um sistema de segurança digital, cuja senha para sua abertura é de 6 dígitos Sabendo que estes dígitos podem ser letras ou números distintos, responda: (a) Quantas possíveis senhas podem ser formadas? (b) Quantas senhas podem ser formadas tendo três vogais nos primeiros dígitos? 8 [Escola 2014] Os produtos de uma empresa são armazenados no banco de dados com um código de 4 letras maiúsculas seguidas por 5 algarismos Esse sistema será modificado para permitir letras maiúsculas e minúsculas Após essa modificação, o número atual de códigos será multiplicado por: (a) 2 (b) 3 (c) 6 (d) 10 (e) 18 (f) 16 9 [Didática 2014] Quantos são os anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra ERVILHAS, sendo que eles comecem com a letra E e terminem com uma vogal? 31

10 [Didática 2014] Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR? 11 [Didática 2014] Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde Pretendo colocá-las em um tubo acrílico translúcido e incolor, onde elas ficarão umas sobre as outras na vertical De quantas maneiras distintas eu poderei formar esta coluna de bolas? 12 [Silva 2012] A palavra MADEIRA possui sete letras, sendo duas letras A e cinco letras distintas: M, D, E, I, R Quantos anagramas podemos formar com essa palavra? 13 [Silva 2012] Determine os anagramas da palavra MO- RANGO 14 [Silva 2012] Quantos números de 6 algarismos podemos escrever utilizando os algarismos 2, 2, 3, 3, 3 e 4? 15 [Silva 2012] Quantos são os anagramas da palavra CONS- TITUINTE que começam por OSEC? 16 [Silva 2012]Quantos são os números ímpares de 5 algarismos que podemos escrever utilizando os algarismos 4, 4, 5, 5, e 6? 17 [Silva 2012](FATEC-SP) Uma pessoa dispõe de 4 discos diferentes de MPB, 4 discos diferentes de rock e 2 discos diferentes de música clássica O número de modos distintos como essa pessoa pode organizá-los em uma estante, de tal forma que discos do mesmo gênero estejam sempre juntos e os de rock sempre na mesma ordem, é: (a) 144 (b) 1152 (c) 48 (d) 50 (e) 288 18 [Silva 2012] Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MACACO? 32

15 Combinações Simples Vimos, na Seção 13, que os arranjos são agrupamentos caracterizados pela natureza e pela ordem dos elementos escolhidos Diferentemente dos arranjos, quando queremos fazer uma combinação nos preocupamos apenas com a natureza dos elementos escolhidos, ou seja, a ordem em que os elementos estão dispostos não é importante Definição 144 Seja A um conjunto com n elementos distintos e p um número natural, tal que n Ø p Combinação simples éonúmero de maneiras distintas que podemos escolher p elementos distintos do conjunto A, de tal forma que apenas a natureza dos elementos determina agrupamentos distintos Denotamos o número de combinações simples de n elementos tomados p a p por C n,p Considere o conjunto A = {a 1,a 2,a 3,,a n }, com n Ø 3 Semperda de generalidade, tomemos o arranjo (a 1,a 2,a 3 ) Como nos arranjos a ordem dos elementos no agrupamento interfere, se permutarmos os 3 elementos a 1, a 2, a 3 obteremos novos arranjos, como mostra a Figura 110 (a 3,a 2,a 1 ) (a 3,a 1,a 2 ) arranjos (a 2,a 3,a 1 ) (a 2,a 1,a 3 ) (a 1,a 3,a 2 ) (a 1,a 2,a 3 ) Figura 110: Permutações dos elementos a 1, a 2, a 3 geram novos arranjos De acordo com a Definição 144, na combinação simples a ordem dos elementos no agrupamento não interfere, isto é, do ponto de vista das combinações todos os arranjos apresentados na Figura 110 representam apenas uma única combinação simples que é {a 1,a 2,a 3 }, pois são os mesmos elementos dispostos em diferentes posições Em outras palavras, como as combinações simples são arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos, é natural que haja muito mais arranjos que combinações, e esses arranjos excedentes são aqueles gerados pelas permutações dos elementos envolvidos, já que a ordem é importante 33

Portanto, dado o conjunto A = {a 1,a 2,a 3,,a n } com n elementos distintos e p um número natural, tal que n Ø p, para calcular o total de combinações simples C n,p,den elementos tomados p a p, basta calcular o total de arranjos simples A n,p e eliminar todos os arranjos gerados pelas permutações dos p elementos escolhidos, isto é, P p Logo, C n,p = A n,p P p = n! (n p)! p! = n! p!(n p)! Exemplo 145 [Didática 2014] Com 12 bolas de cores distintas, posso separá-las de quantos modos diferentes em saquinhos, se o fizer colocando 4 bolas em cada saco? Solução Como a ordem das bolas não causa distinção entre os agrupamentos, este é um caso de combinação simples Vamos então calcular C 12,4 : C 12,4 = 12! 12 11 10 9 8! = 4!(12 4)! 4! 8! = 11880 24 Portanto, posso separá-las de 495 modos diferentes = 495 Exemplo 146 [Didática 2014] Um fabricante de sorvetes possui a disposição 7 variedades de frutas tropicais do nordeste brasileiro e pretende misturá-las duas a duas na fabricação de sorvetes Quantos serão os tipos de sorvete disponíveis? Solução Os sorvetes de umbu com siriguela e de siriguela com umbu, na verdade tratam-se de um mesmo tipo de sorvete, não havendo distinção apenas pela ordem da escolha das frutas utilizadas Temos um caso de combinação simples que será resolvido através do cálculo de C 7,2 : C 7,2 = 7! 2!(7 2)! = 7 6 5! 2! 5! Logo, serão disponíveis 21 sabores diferentes = 42 2 = 21 Exemplo 147 [Didática 2014] As 14 crianças de uma família serão separadas em grupos de 5, para que elas arrecadem prendas para a quermesse da fazenda onde vivem De quantas maneiras as crianças poderão ser agrupadas? Solução Identificamos neste exemplo um caso de combinação simples, pois a ordem das crianças é irrelevante, não causando distinção entre os agrupamentos com elementos distintos Vamos calcular C 14,5 : C 14,5 = 14! 14 13 12 11 10 9! = 5!(14 5)! 5! 9! = 240240 120 = 2002 34

Assim, as crianças poderão ser agrupadas de 2002 maneiras diferentes Exemplo 148 [Escola 2014] Uma importante aplicação de combinação simples é nas loterias, megassena, quina entre outras Por exemplo, a megassena consiste em uma cartela de 60 números dentre os quais devemos acertar 6 (prêmio principal), portanto quantas cartelas devemos marcar com diferentes números de forma a garantir que acertaremos os 6 números? Solução Temos aqui um problema de combinação onde n = 60 e p =6, ou seja, devemos combinar 60 números tomados 6 a 6 C 60,6 = 60! 60 59 58 57 56 55 54! = 6!(60 6)! 6! 54! = 50063860 Logo, é necessário preencher 50063860 cartelas da megassena com 6 números, para cobrir todas as possibilidades de preencher tal cartela e garantir que você ganhará sempre Exemplo 149 [Escola 2014] Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos O coordenador do curso quer formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país Quantas possíveis equipes podem ser formadas? Solução O número de possíveis grupos pode ser dado por: C 30,3 = 30! 30 29 28 27! = 3!(30 3)! 3! 27! = 4060 Consequentemente, poderão ser formadas 4060 equipes Exemplo 150 [Veia 2009] Uma prova consta de 6 questões, das quais o aluno deve resolver 3 De quantas formas ele poderá escolher as 3 questões? Solução Quer-se agrupar 3 elementos, dentre os 6 existentes Perceba que a ordem em que os elementos aparecerão não será importante C 6,3 = 6! 3!(6 3)! = 6 5 4 3! 3! 3! = 20 Logo, um aluno pode escolher suas 3 questões de 20 maneiras diferentes 35

Exercícios Propostos 1 [Veia 2009] De quantos modos distintos Amiroaldo pode escolher quatro entre as nove camisetas regata que possui para levar em uma viagem para Mosqueiro 2 [Veia 2009] Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma equipe Dois deles precisam representar a equipe em uma apresentação Quais e quantas são as possibilidades? 3 [Veia 2009] No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um baralho de 40 cartas (são excluídas as cartas 8, 9, 10) De quantas maneiras diferentes um jogador pode receber suas 3 cartas? 4 [Matematiques 2011] Um indivíduo possui 25 livros diferentes De quantas formas distintas ele poderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros? 5 [Matematiques 2011] Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas? 6 [Matematiques 2011] Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas? 7 [Matematiques 2011] Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto? 8 [Matematiques 2011] Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens? 9 [Matematiques 2011] Quantos triângulos podem ser traçados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos? 10 [Matematiques 2011] Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, devemos formar comissões com 3 professores e 2 alunos Quantas são as possibilidades? 36

11 [Matematiques 2011] Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores Quantas comissões terão somente 1 professor? 12 [Matematiques 2011] Num plano existem 4 pontos, sendo que 3 deles são não colineares Qual é o número possível de retas que passam por esses pontos? 13 [educa 2010] Num jornal de grande circulação, foi oferecido para o leitor as assinaturas das revistas: Carinho, Superticioso, Bomjogador, Fatos, Notícias, Falabem Tendo já certeza que assinará a revista Fatos, e querendo optar por mais duas assinaturas distintas, o leitor terá: (a) 10 maneiras de escolher as duas revistas que faltam (b) 30 maneiras de escolher as duas revistas que faltam (c) 84 maneiras de escolher as duas revitas que faltam (d) 200 maneiras de escolher as duas revistas que faltam (e) 720 maneiras de escolher as duas revistas que faltam 14 [Gentil et al 1996] Simplifique C m,4 + C m,3 C m,2 15 (FGV-SP) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas contendo no mínimo 1 diretor? 16 [Gentil et al 1996] A diretoria de uma firma é constituída de 7 diretores brasileiros e 4 japoneses Quantas comissões de 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formados? 17 [Gentil et al 1996] Calcule C 8,2, C 10,2 e C m+3,2 18 [Gentil et al 1996] Resolver a equação 5C x,3 = C x+2,4 19 [Gentil et al 1996] Quantas comissões com 4 elementos podemos formar numa classe de 20 alunos? 37

16 Coeficiente Binomial e Binômio de Newton Definição 151 Sejam n e p dois números naturais, com n Ø p O coeficiente 3 4 binomial, também chamado de número binomial e denotado n por, é dado por: p 3 4 n = p n! p!(n p)! 3 4 n Como mostra a Definição 151, o coeficiente binomial (lê-se: p de n escolha p) nada mais é do que a combinação simples C n,p de n elementos tomados p a p 3 4 3 4 3 4 3 4 5 3 8 6 Exemplo 152 Calcule,, e 3 1 7 6 Solução Vejamos: 3 4 5 5! 1 = 3 3!(5 3)! = 5 4 3! 3! 2! 2 3 4 = 20 2 = 10 3 4 3 3! = 1 1!(3 1)! = 3 2! 1! 2! = 3 1 =3 3 4 8 8! = 7 7!(8 7)! = 8 7! 7! 1! = 8 1 =8 3 4 6 6! = 6 6!(6 6)! = 6! 6! 0! = 1 1 =1 Exemplo 153 Verifique que Solução De fato, 3 4 n 1 = 0 2 3 n! 0!(n 0)! = 3 4 n =1, 0 n! 1 n! = 1 1 =1 3 4 n = n e 1 3 4 n n! = n n!(n n)! = n! n! 0! = n! n! 1 = 1 1 =1 3 4 n = 1 n! 1!(n 1)! = n (n 1)! 1 (n 1)! = n 1 = n 3 4 n =1 n 38

Exemplo 154 Verifique que se p + q = n então Solução Sabemos que 3 4 n n! = p p!(n p)! e 3 4 n = p 3 4 n n! = q q!(n q)! 3 4 n q Se p + q = n então p = n q Sendo assim, vem que: 3 4 3 4 3 4 n n n! = = p n q (n q)!( n n + q))! = n! n q!(n q)! = q 3 4 3 4 n n Portanto, se p + q = n, então =, e dizemos que os coeficientes binomiais e são complementares 3 4 3 4 p q n n p q 3 4 3 4 5 5 Exemplo 155 Calcule e 3 2 3 4 5 Solução Pelo Exemplo 152, item 1, temos que = 10 Como 3 3 4 3 4 5 5 2+3 = 5, vem pelo Exemplo 154 que os binomiais e são 3 4 3 4 2 3 5 5 complementares, ou seja, = = 10 2 3 Exemplo 156 Verifique a propriedade a seguir, a qual é conhecida como Relação de Stiefel, istoé: 3 4 3 4 3 4 n n n +1 + = p p +1 p +1 Solução Por definição, sabemos que 3 4 3 4 n n! n n! = e = p p!(n p)! p +1 (p + 1)!(n p 1)! Além disso, observe que 3 4 n +1 = p +1 (n + 1)! (p + 1)!((n + 1) (p + 1))! = = (n + 1)! (p + 1)!(n + 1 p 1)! (n + 1)! (p + 1)!(n p)! 39

Consequentemente obtemos, 3 4 3 4 n n n! + = p p +1 p!(n p)! + n! (p + 1)!(n p 1)! = = = = = n!(p + 1) + n!(n p) (p + 1)!(n p)! n!(p +1+n p) (p + 1)!(n p)! (n + 1)n! (p + 1)!(n p)! (n + 1)! (p + 1)!(n p)! 3 4 n +1 p +1 Portanto, vale a Relação de Stiefel 3 4 3 4 3 4 n n n +1 + = p p +1 p +1 Exemplo 157 Calcule 3 4 7 + 6 3 4 7 7 Solução Observe que 7=6+1 Logo, pela Relação de Stiefel, apresentada no Exemplo 156, e pelo item 3 do Exemplo 152, temos que: 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 7 7 7 7 7+1 8 + = + = = = 8 6 7 6 6+1 6+1 7 Exemplo 158 (FCMSC-SP) Determine o valor de n tal que 3 4 3 4 n n + =5n (n 2) 3 4 Solução Pela Relação de Stiefel sabemos que 3 4 3 4 3 4 n n n +1 + = 3 4 4 40

Logo, temos que: 3 4 n + 3 3 4 n 4 3 4 n +1 4 = 5n (n 2) = 5n (n 2) (n + 1)! 4!((n + 1) 4)! = 5n (n 2) (n + 1)! 4!(n 3)! = 5n (n 2) (n + 1) n (n 1) (n 2) (n 3)! 4! (n 3)! (n + 1) n (n 1) (n 2) 24 = 5n (n 2) = 5n (n 2) (n + 1) n (n 1) (n 2) = 24 5 n (n 2) (n + 1) (n 1) = 120 n 2 1 = 120 n 2 = 121 n = ±11 Assim, as possíveis soluções para o problema em questão são n = 11 ou 3 4n = 11 No entanto, lembremos que n é um número natural e que n somente esta definido para n Ø p Consequentemente, os coeficientes binomiais e somente estão definidos, respectivamente, p 3 4 3 4 n n 3 4 para n Ø 3 e n Ø 4, ou seja, inevitavelmente n Ø 4 Portanto, a solução do problema é n = 11 41

3 4 n = 28 2 3 4 n nos impõe que n Ø 2, eque 2 Exemplo 159 (MACK-SP) Determine o valor de n tal que Solução Primeiramente, observe que 3 4 n = 2 Dai vem que: n! 2!(n 2)! = n (n 1) (n 2)! 2! (n = 2)! n (n 1) = 2 28 n 2 n = 56 n 2 n 56 = 0 n (n 1) 2 = 28 Como n 2 n 56 = 0 é uma equação do segundo grau, nos valendo da fórmula de Bhaskara obtemos que n =8ou n = 7 Uma vez que n é natural e n Ø 2, temos que o valor de n procurado é n =8 Exemplo 3 4 2x 4 x 3 160 [Gentil et al 1996] Determinar x para que exista Solução De acordo com a Definição 151, o coeficiente binomial 3 4 n p somente existirá se n e3p são números 4 naturais e n Ø p 2x 4 Consequentemente, somente existirá se 2x 4 e x 3 são x 3 números naturais e 2x 4 Ø x 3, ou seja, 1) 2x 4 Ø 0 x Ø 2 2) x 3 Ø 0 x Ø 3 3) 2x 4 Ø x 3 x Ø 1 Sendo assim, temos obrigatoriamente que x deve satisfazer as seguintes condições: x Ø 2, x Ø 3 e x Ø 1 Observe que se tomamos x Ø 3, então todas 3 as três 4 condições são 2x 4 satisfeitas simultaneamente Portanto, para que exista, x deve x 3 satisfazer a condição x Ø 3 42

1 [Gentil et al 1996] Resolva as seguintes equações: 3 4 3 4 15 15 (a) = n +2 2n +1 3 4 n (b) =5 1 3 4 3 4 n n (c) + =2 0 1 3 4 3 4 x x (d) + = 15 1 2 3 4 3 4 n 1 n 1 (e) + =6 1 2 3 4 3 4 12 12 (f) = n +1 3n +3 3 4 3 4 3 4 7 7 8 (g) + = 2 3 x 2 [Gentil et al 1996] Calcule os seguintes números binomiais: 3 4 3 4 7 7 (a) + 5 6 3 4 3 4 8 8 (b) 5 8 3 4 3 4 3 4 7 7 7 (c) + + 0 1 2 3 4 3 4 3 4 n n n (d) + + 1 2 n 3 4 n +2 3 (FCC) Qual o valor de n! para que a sentença = 10 n seja verdadeira? 43

O triângulo apresentado na Figura 111 é conhecido como Triângulo de Pascal (ou Triângulo de Tartaglia) Essencialmente, 3 4 o Triângulo de n Pascal é composto de coeficientes binomiais, onde n representa as p linhas e p representa as colunas do triângulo, iniciando a contagem a partir do zero A saber, n =0representa a primeira linha (linha 0), n =1representa a segunda linha (linha 1), e assim por diante, bem como, p =0representa a primeira coluna (coluna 0), p =1representa a segunda coluna (coluna 1), e assim por diante Dessa forma vemos, na Figura 111, que na sexta linha temos todos os coeficientes binomiais com n =5, e que na quarta coluna todos os coeficientes binomiais possuem p = 3 3 4 n p n =0 n =1 n =2 n =3 n =4 n =5 p =0 p =1 p =2 p =3 p =4 p =5 3 4 0 0 3 4 3 4 1 1 0 1 3 4 3 4 3 4 2 2 2 0 1 2 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 3 3 0 1 2 3 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5 p = k n = k 3 4 k 3 4 k 3 4 k 3 4 k 3 4 k 3 4 k 0 1 2 3 4 5 3 4 k k Figura 111: Fragmento do Triângulo de Pascal Como podemos ver na Figura 111, em um Triângulo de Pascal as linhas possuem uma quantidade finita de elementos, que é igual ao número n da linha mais 1 Por exemplo, a quarta linha, que é a de número 44

n =3, possui 4 elementos No entanto, o número de linhas é infinito, o que nos leva a concluir que a quantidade de elementos por coluna é infinita Portanto, a Figura 111 representa apenas um fragmento do verdadeiro Triângulo de Pascal 3 4 n p n =0 n =1 p =0 p =1 3 4 0 0 3 4 3 4 1 1 + 0 1 p =2 p =3 p =4 p =5 p = k n =2 n =3 n =4 = 3 4 3 4 3 4 2 2 2 0 1 2 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 3 3 0 1 2 3 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 4 4 4 4 + 0 1 2 3 4 n =5 = 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 0 1 2 3 4 5 n = k 3 4 k 3 4 k 3 4 k 3 4 k 3 4 k 3 4 k 0 1 2 3 4 5 3 4 k k Figura 112: Relação de Stiefel Analisando a Figura 112 vemos 3facilmente 4 que se verifica a Relação n de Stiefel, a saber: cada binomial da linha n é igual à soma de p dois binomiais da linha (n 1), que é: a soma daquele binomial que está na coluna p com aquele binomial que está na coluna (p 1) da mesma linha (n 1) De outra forma: 3 4 3 4 3 4 n n n +1 + = p p +1 p +1 45

Podemos representar o fragmento do Triângulo de Pascal, apresentado na Figura 111, substituindo os coeficientes binomiais por seus respectivos valores numéricos, ou seja, podemos calcular os coeficientes binomiais apresentados na Figura 111 um a um o que, por um motivo ou outro, pode se tornar muito trabalhoso No entanto, observe que todas as linhas começam e terminam com o número 3 41, pois, cada 3 4 linha n n começa e termina com os coeficientes binomiais =1e =1, 0 n respectivamente, como mostra a Figura 113 3 4 0 0 3 4 3 4 1 1 0 1 3 4 3 4 3 4 2 2 2 0 1 2 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 3 3 0 1 2 3 = 1 1 1 1 X 1 1 Y Z 1 Figura 113: Fragmento do Triângulo de Pascal - Valores numéricos Resta então preencher aqueles lugares, no interior do triângulo, onde estão X, Y e Z Para isto, observe que em um Triângulo de Pascal vale a Relação de Stiefel, como vimos na Figura 112, ou seja, 3 4 0 0 3 4 3 4 1 1 + 0 1 1 1 + 1 = 3 4 3 4 3 4 2 2 2 + + 0 1 2 = = 3 4 3 3 4 3 3 4 3 3 4 3 0 1 2 3 = = 1 + 2 + 1 = = 1 3 3 1 Figura 114: Construindo o Triângulo de Pascal através da Relação de Stiefel 46

Dessa forma, seguindo o raciocínio apresentado na Figura 114, podemos construir um Triângulo de Pascal da seguinte forma: 1 1 + 1 1 + 2 + 1 1 + 3 + 3 + 1 1 + 4 + 6 + 4 + 1 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 Figura 115: Construindo o Triângulo de Pascal através da Relação de Stiefel Portanto, o Triângulo de Pascal em termos numéricos é dado por: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Figura 116: Fragmento do Triângulo de Pascal em termos numéricos 47

Na Figura 117 vemos que o Triângulo de Pascal satisfaz a seguinte propriedade: a soma de todos os números da linha n é igual a 2 n linha 0 1 = 1 = 2 0 linha 1 1 + 1 = 2 = 2 1 linha 2 1 + 2 + 1 = 4 = 2 2 linha 3 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2 3 linha 4 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2 4 linha 5 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2 5 linha 6 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 2 6 Exemplo 161 Calcule Figura 117: A soma dos elementos da linha n é 2 n 3 4 12 + 0 3 4 12 + 1 3 4 12 + + 2 3 4 12 12 Solução Observando a Figura 111 vemos que os coeficientes binomiais dados acima, formam a linha 12 do Triângulo de Pascal Portanto, pela propriedade apresentada na Figura 117, 3 4 3 4 3 4 3 4 12 12 12 12 + + + + =2 12 = 4096 0 1 2 8 48

Exercícios Propostos 1 Calcule 3 4 15 + 0 3 4 15 + 1 3 4 15 + + 2 3 4 15 15 2 Verifique as seguintes propriedades do Triângulo de Pascal: (a) Na Figura 116, a partir da segunda linha, dois números eqüidistantes dos extremos são iguais Em outras palavras, veja Figura 111, dois binomiais eqüidistantes dos extremos são complementares 3 n p 4 = 3 n n p 4 (b) Veja na Figura 116 que asomadosk primeiros números da coluna p é igual ao número localizado na próxima linha e na próxima coluna Em termos de coeficientes binomiais, como mostra a Figura 111, 3 p p 4 3 p +1 + p 4 + 3 p +2 p 4 + + 3 k p 4 = 3 k +1 p +1 4 (c) Como mostra a Figura 116, asomadosk primeiros números de uma diagonal, é igual ao número localizado abaixo da última parcela Neste sentindo, na Figura 111, temos que: 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 n n +1 n +2 k k +1 + + + + = 0 1 2 k n k n 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 5 1 2 3 4 3 Calcule + + e + + + 3 3 3 0 1 2 3 49

4 Utilizando as propriedades que já foram apresentadas, preencha corretamente os espaços com os números que faltam em algumas linhas do fragmento do Triângulo de Pascal a seguir 1 5 10 5 1 1 6 15 20 6 1 1 7 35 35 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 36 84 84 36 1 1 10 120 252 120 10 1 1 55 330 330 55 1 1 1 5 (CAp - UERJ) A seguir estão apresentadas duas linhas consecutivas do Triângulo de Pascal Determine os valores de a, b, c, d, e 1 7 21 b 35 21 e 1 1 8 a 56 c d 28 8 1 6 (CAp - UERJ) De certa linha do Triângulo de Pascal, sabese que a soma dos dois primeiros termos é igual a 21 (a) Qual o terceiro termo dessa linha? (b) Qual o maior termo dessa linha? (c) Qual o penúltimo termo dessa linha? (d) Qual a soma de todos os termos dessa linha? 50

Definição 162 Definimos como Binômio de Newton todo binômio da forma (x + a) n,sendox e a números reais e n um número natural Observe os seguintes desenvolvimentos do binômio de Newton para n =0, n =1, n =2, n =3e n =4: (x + a) 0 = 1 (x + a) 1 = x + a (x + a) 2 = (x + a) (x + a) = x 2 +2xa + a 2 (x + a) 3 = (x + a) (x + a) 2 = x 3 +3x 2 a +3xa 2 + a 3 (x + a) 4 = (x + a) (x + a) 3 = x 4 +4x 3 a +6x 2 a 2 +4xa 3 + a 4 Note que podemos rescrever os desenvolvimentos do binômio de Newton anteriores como segue, ressaltando os coeficientes de x e a Observe ainda que os coeficientes do desenvolvimento de cada um dos binómios de Newton representam uma linha do Triângulo de Pascal A saber, comparando com a Figura 116, os coeficientes do desenvolvimento de (x+a) 0 representa a linha n =0, os de (x+a) 1 representa a linha n =1, os de (x + a) 2 representa a linha n =2e, sucessivamente, os de (x + a) k representa a linha n = k Portanto, os referidos coeficientes formam o Triângulo de Pascal, tal como apresentado na Figura 116 Note também que em cada desenvolvimento de (x + a) n, as potências de x decrescem de n até 0 e as potências de a crescem de 0 até n n =0 (x + a) 0 = 1 n =1 (x + a) 1 = 1 x + 1 a n =2 (x + a) 2 = 1 x 2 + 2 xa + 1 a 2 n =3 (x + a) 3 = 1 x 3 + 3 x 2 a + 3 xa 2 + 1 a 3 n =4 (x + a) 4 = 1 x 4 + 4 x 3 a + 6 x 2 a 2 + 4 xa 3 + 1 a 4 Assim, de um modo geral e com base no Triângulo de Pascal, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton (x + a) k, cujos coeficientes são aqueles que aparecem na linha n = k do triângulo, tal como apresentado na Figura 111, da seguinte maneira: (x + a) k = 3 k 0 4 x k a 0 + 3 k 1 4 x k 1 a 1 + 3 k 2 4 x k 2 a 2 + + 3 4 k x 0 a k k Vale ressaltar ainda que o desenvolvimento de (x + a) k possui k +1 termos e que a soma dos expoentes de x e a é igual a k em qualquer termo do desenvolvimento 51

Exemplo 163 Desenvolva o binómio (x + 3) 4 Solução Observe que no binómio (x + 3) 4 temos k =4e a =3 Logo pela fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton temos: 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 4 4 4 4 (x+3) 4 = x 4 3 0 + x 4 1 3 1 + x 4 2 3 2 + x 4 3 3 3 + x 0 3 4 0 1 2 3 4 Donde obtemos após uma reorganização dos termos e algumas simplificações o que segue: 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 4 4 4 4 (x + 3) 4 = x 4 + 3x 3 + 9x 2 + 27x + 81 0 1 2 3 4 Como os coeficientes dos termos do desenvolvimento do binómio (x + 3) 4 são dados pela linha n =4do Triângulo de Pascal (veja Figura 116) temos, após as devidas simplificações, que: (x + 3) 4 = x 4 + 12x 3 + 54x 2 + 108x + 81 Exemplo 164 Expandir o binómio (x 1) 3 Solução Uma vez que (x 1) 3 =(x +( 1)) 3 vem que k =3e a = 1, ou seja, os coeficientes dos termos do desenvolvimento do binómio são dados pela linha n =3do Triângulo de Pascal Sendo assim, observando a linha 3 do triângulo apresentando na Figura 116 vem que: (x 1) 3 = 1 x 3 ( 1) 0 + 3 x 3 1 ( 1) 1 + 3 x 3 2 ( 1) 2 + 1 x 0 ( 1) 3 Como ( 1) m é igual a 1 se m é par, e igual a 1 se m é ímpar obtemos após as devidas simplificações que: (x 1) 3 = x 3 3x 2 +3x 1 Exemplo 165 Expandir o binómio (2x + 3) 5 Solução Os coeficientes dos termos do desenvolvimento deste binómio são dados pela linha n =5do Triângulo de Pascal Portanto, (2x + 3) 5 = 1 (2x) 5 +5 (2x) 4 3 + 10 (2x) 3 3 2 + + 10 (2x) 2 3 3 +5 (2x)3 4 +1 3 5 = 32x 5 +5 (16x 4 )3 + 10 (8x 3 )9 + + 10 4(x 2 )27 + 5 (2x)81 + 243 = 32x 5 + 240x 4 + 720x 3 + 1080x 2 + 810x + 243 52

1 Utilizando o desenvolvimento do binômio de Newton, expandir os seguintes binómios: (a) (x 2) 6 (b) (x + y) 3 (c) (x y) 4 (d) (4 Ô 2) 2 (e) (2x + 1) 5 (f) (x 1 2 )3 (g) (2x 3) 5 (h) (a b) 6 (i) (x 2 + 1) 5 (j) (1 + Ô 3) 4 (k) (2x 3y) 4 (l) (x + 2 3 y)4 2 (CESGRANRIO) O coeficiente de x 4 no polinômio P (x) = (x + 2) 6 é: (a) 64 (b) 60 (c) 12 (d) 4 (e) 24 3 [Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr 1994] Determine o valor de + 3 4 Ô3+ 6 3 4 1 Ô3 6 1 3 3 4 (Mack-SP) Um dos termos do desenvolvimento de (x +3a) 5 é 360x 3 Sabendo-se que a não depende de x, o valor de a é: (a) ±1 (b) ±2 (c) ±3 (d) ±4 (e) ±5 5 [Gentil et al 1996] Ache o coeficiente numérico de x 2 no desenvolvimento de (1 2x) 6 6 [Gentil et al 1996] Determine o valor de a para que o coeficiente de x 4 no desenvolvimento de (x + a) 7 seja igual a 280 53

2 Noções de Lógica Matemática Da mesma forma que um feirante pode fazer inúmeras e variadas contas de porcentagem, sem ao menos ter tido contato com a definição formal e propriedades do que venha ser porcentagem, as vezes usamos um conceito (palavra) sem ao menos saber de onde, o porque e como ele surgiu Por exemplo, quem nunca ouviu uma frase do tipo: Isso não tem lógica! Será que, na maioria das vezes, quem pronuncia a referida frase sabe o que significa lógica num sentindo geral ou específico da palavra? Então, fica a pergunta: o que significa lógica? Se for realizada uma pequena pesquisa num dicionário você poderá encontrar algo como: Lógica: 1 Modo de raciocinar tal como de fato se exerce: Lógica natural 2FilosEstudo que tem por objeto determinar quais as operações que são válidas e quais as que não o são: [] L matemática: o mesmo que lógica simbólica L simbólica: ciência do desenvolvimento e representação de princípios lógicos mediante símbolos, a de constituir um cânone exato de dedução, baseado em ideias primitivas, postulados e regras de formação e transformação; também chamada lógica matemática (Dicionário Michaelis) No século IV ac Aristóteles sistematizou o estudo das condições em que podemos afirmar que um dado raciocínio é correto como Lógica Em outras palavras, a ógica constituiu-se como uma ciência autônoma para estudar o pensamento humano e distinguir inferências e argumentos certos e errados No entanto, ao longo da história muitas são as definições dadas à palavra lógica Uns definem a lógica como sendo a Ciência das leis do pensamento Porém, outros acreditam que uma definição mais adequada é: A lógica é uma ciência do raciocínio De um modo geral, vamos assumir como definição de lógica a ciência que estuda as formas ou estruturas do pensamento Dentre as muitas contribuições de Aristóteles para a criação e o desenvolvimento da lógica, como a conhecemos hoje, citamos a criação de termos fundamentais para analisar a lógica do discurso A saber, Válido, Não Válido, Contraditório, Universal, Particular Porém, aquela lógica aristotélica possuía limitações as quais impediam o avanço da ciência, como por exemplo, baseava-se no uso da linguagem natural e, isto por sua vez, levava a confusões que envolvia o sentido das palavras Com o intuito de transpor tais limitações Gott- 54

fried Wilhelm Leibniz (1646 1716) apresentou uma nova lógica baseada no princípio de notação universal e artificial, bem como num cálculo de signos E a partir daí, com as diversas contribuições de estudiosos tal como Gottlob Frege,Giuseppe Peano, Bertrand Russel e George Boole a lógica foi se transformando até se tornar uma álgebra/cálculo com uma nova linguagem simbólica, chamada lógica matemática Em outras palavras, a lógica tornou-se o que de fato vemos hoje, um sistema completo de símbolos e regras de combinação desses símbolos para obter conclusões válidas 21 Cálculo Proposicional O objetivo da lógica proposicional é modelar o raciocínio, tendo como base frases declarativas, as quais chamamos de proposições De outra forma, a lógica proposicional estuda como raciocinar com afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas Ou ainda, como construir a partir de um certo conjunto de hipóteses, verdadeiras num determinado contexto, uma demonstração (prova) de que uma determinada conclusão é verdadeira no mesmo contexto Sendo um dos exemplos mais simples de lógica formal, a lógica proposicional considera apenas a forma das proposições eseelas são verdadeiras ou falsas Porém, contém praticamente todos os conceitos importantes necessários para o estudo de outras lógicas complexas Neste sentido, um cálculo proposicional consiste em: (1) um conjunto de símbolos primitivos, definidos como fórmulas atômicas, proposições atômicas, ou variáveis; (2) um conjunto de operadores, interpretados como operadores lógicos ou conectivos lógicos Sendo assim, iniciamos por apresentar o conceito de proposição, que é usado num sentido técnico Definição 21 Por uma proposição queremos dizer uma declaração que é verdadeira ou falsa, mas não ambos Definição 22 O valor verdade, ou valor lógico, de uma proposição é o estado que indica se a proposição é verdadeira ou falsa Sendo assim o valor verdade será: Verdadeiro (V), quando se trata de uma proposição verdadeira ou Falso (F), quando se trata de uma proposição falsa De fato, o importante não é o valor verdade, V ou F, que as proposições possam assumir num determinado contexto interpretativo, mas a possibilidade de que em princípio seja possível atribuir um valor verdade a elas, e que seja possível raciocinar com tais proposições Em outras palavras, não é necessário que saibamos se a proposição é verda- 55

deira ou falsa, a única exigência é que ela deve ser definitivamente uma coisa ou outra Sendo assim, assumimos os seguintes princípios: Princípio da Não-Contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades (valores lógicos), isto é, é verdadeira (V) ou falsa (F), não podendo ter outro valor Exemplo 23 Cada uma das seguintes frases é uma proposição: 1) Goiânia é uma cidade no estado de Goiás 2) 3 + 4 é 5 3) A lua e feita de caramelo 4) Não há vida inteligente em Saturno 5) Está nevando 6) -1 é raíz da equação x 2 x +1=0 7) As pirâmides do Egito são feitas de gelo 8) Tinha um mosquito na Arca de Noé 9) Todo gato é um felino Claramente, (a) e (i) são verdadeiras, enquanto (b), (c), (f) e (g) são falsas Podemos ter dúvidas quanto ao status (verdadeiro ou falso) de (d) e (h) A veracidade ou falsidade da sentença (e) depende do local e das condições meteorológicas no instante em que essa declaração é feita Exemplo 24 As frases seguintes não são proposições, porque não faz sentido questionar se alguma delas é verdadeira ou falsa 1) Vamos a praia! 2) Tudo bem com você? 3) Que horas são? 4) Bom dia! É fácil notar que as proposições, geralmente, expressam a descrição de uma realidade e que representa uma informação enunciada por uma oração e, portanto, pode ser expressa de maneiras diferentes Por exemplo: Gabriela é maior que Letícia ou Letícia é menor que Gabriela 56

Exercícios Propostos Determine se cada uma das seguintes sentenças é uma proposição 1 Em 7 de junho de 1442 nevou em algum lugar no Rio Grande do Sul 2 Aristóteles tinha pés chatos 3 O socialismo está errado 4 O homem mais rico do mundo é o Sr Astrônio, de Terra Roxa 5 O filme fogo contra fogo é bom 6 x 2 = 1 7 Joana e Pedro são pessoas boas 8 Eu estou usando facebook 9 Quanto vale este carro? 10 Saia da grama 11 (x + y) 2 = x 2 + y 2 12 Use sempre cinto de segurança 13 Beethoven escreveu algumas das músicas de Chopin 14 Não minta! 15 Existe vida inteligente na lua 16 Ela não é ciumenta 17 Dentre as proposições dadas anteriormente, indique aquelas que você acha que devem ser verdadeiras (V) ou falsas (F), e aquelas cujo status pode ser difícil determinar 57

Definição 25 As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto Exemplo 26 Fique atento à estrutura das seguintes proposições universais 1) Todos os homens são mentirosos Esta proposição é universal afirmativa 2) Toda regra é certa Esta proposição é universal afirmativa 3) Nenhum homem é mentiroso Esta proposição é universal negativa 4) Nenhuma bola é quadrada Esta proposição é universal negativa Na Definição 25 incluímos o caso, universal, em que o sujeito é unitário 5) A vaca berra 6) O filho tem mãe 7) Açucar é doce 8) Peixe nada Definição 27 As proposições existenciais são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto Exemplo 28 Fique atento à estrutura das seguintes proposições existenciais 1) Alguns homens são mentirosos Esta proposição é existencial afirmativa 2) Alguns homens não são mentirosos Esta proposição é existencial negativa 3) Alguns alunos não são estudiosos Esta proposição é existencial negativa 4) Alguns professores são bons educadores Esta proposição é existencial negativa Uma pergunta natural que surge aqui é: Quantos elementos são necessários para caracterizar alguns? Em matemática e, consequentemente, em lógica alguns significa pelo menos um 58

Exercícios Propostos Verifique quais das seguintes são proposições universais, existenciais, afirmativas ou negativas 1 Todos os homens de bigode são preguiçosos 2 Nenhum pedreiro é eletricista 3 Alguns peixes respiram ar 4 Algum estudante tem uma camisa azul 5 Todo ser humano é mortal 6 Todos os quadrados tem quatro lados 7 Alguns números reais são racionais 8 Nenhum cachorro mia 9 Todo número entre 0 e 1 é menor que 1 10 Alguns homens são criminosos 11 Nenhuma mulher é ciumenta 12 Todos os dias são ensolarados 13 Nenhuma mulher deve apanhar de um homem 14 Nenhum homem deve bater em uma mulher 15 Todas as crianças estão brincando 16 Algumas palavras ferem 17 Todas as provas de matemática são difíceis 18 Todo advogado é cruel 59

Como vimos anteriormente, proposição é simplesmente um enunciado verbal que pode ser verdadeiro ou falso Além disso, uma proposição pode ser simples ou composta Definição 29 Uma proposição simples é toda sentença que contém apenas uma única frase afirmativa Exemplo 210 Todas as proposições que vimos até o momento são simples Ademais temos: 1) O gato é pequeno 2) O cachorro é bravo 3) x 2 =1 4) O carro é vermelho 5) Esse exemplo é sobre lógica 6) y =0 Definição 211 Uma proposição composta é toda sentença formada por duas ou mais proposições A pergunta que surge naturalmente é: Tudo bem! Entendi a definição, mas como vou construir proposições compostas? A resposta a essa pergunta é simples Para construir proposições compostas usamos as palavras e, ou, Se, então e se, e somente se, chamadas conectivos Sabemos ainda que existem palavras que modificam o sentido de uma frase Por exemplo, a palavra não Quando usamos a palavra não o resultado é a negação da frase original Por exemplo, se temos a frase: A terra é um planeta Com a palavra não teremos a negação desta frase, que é, A terra não é um planeta Exemplo 212 Considerando as proposições simples dadas no Exemplo 210, dentre outras, podemos construir as seguintes proposições compostas: 1) O gato é pequeno e o cachorro é bravo 2) O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo 3) Se esse exemplo é sobre lógica, então meu carro é vermelho e o gato não é pequeno 4) Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo 5) O gato é pequeno se, e somente se, o cachorro não é bravo 60

6) Se x 2 =1, então x =1ou x = 1 7) y =0se, e somente se, y =0 8) Se você está com fome, então coma um sanduíche 9) Se você não está entendendo, então deve se esforçar mais 10) Você não tem nada a dizer ou está mentindo 11) Eu queria um bolo e algo menos calórico Exemplo 213 Observe as seguintes proposições compostas e extraia delas as proposições simples 1) A lua é quadrada ou a neve é branca (a) A lua é quadrada (simples) (b) A neve é branca (simples) 2) Se o inferno ficar frio então eu me caso com você (a) O inferno fica frio (simples) (b) Eu me caso com você (simples) 3) Se o meu carro pifar e o meu amigo for a festa, então eu fico em casa (a) O meu carro pifa (simples) (b) Meu amigo vai a festa (simples) (c) Eu fico em casa (simples) 4) Aplico a prova se, e somente se, os alunos aparecerem e estivem todos de branco (a) Aplico a prova (simples) (b) Os alunos aparecem (simples) (c) Todos estão de branco (simples) 5) Eu vou casar ou comprar uma bicicleta (a) Eu vou casar (simples) (b) Eu vou comprar uma bicicleta (simples) 6) Vou viajar se, e somente se, o meu gato latir (a) Vou viajar (simples) (b) Meu gato late (simples) 61

Exercícios Propostos Extraia das proposições compostas dadas, as proposições simples Na seqüência, com essas mesmas proposições simples, construa novas proposições compostas, diferentes das já dadas 1 3 é maior que 1 se, e somente se, 1 for menor que 3 2 Se Maria for ao cinema, então João fica em casa e Letícia joga video game 3 fi é um número irracional e a raiz quadrada de 4 é 2 4 Trabalho durante o jogo ou vou dormir 5 O gato é pequeno e o cachorro é bravo 6 O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo 7 Se esse exemplo é sobre lógica, então meu carro é vermelho e o gato não é pequeno 8 Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo 9 O gato é pequeno se, e somente se, o cachorro não é bravo 10 Se x 2 =1, então x =1ou x = 1 11 y =0se, e somente se, y =0 12 Não é verdade que não esta chovendo 13 Se eu estudar, então passo em lógica ou ficarei chateado 14 Se eu ganhar na mega-sena ou receber uma herança milionária, então fico milionário 15 Se você está com fome, então coma um sanduíche 16 Se você não está entendendo, então deve se esforçar mais 17 Você não tem nada a dizer ou está mentindo 18 Eu queria um bolo e algo menos calórico 62

Na lógica proposicional não trabalhamos realmente com frases, mas sim com variáveis proposicionais que representam as proposições Sendo assim, a menos que digamos o contrário, usaremos letras minúsculas, tais como p, q, r, para representar proposições simples, e letras maiúsculas P, Q, R, para representar proposições compostas Por exemplo, p: A lua é quadrada (simples) Q: Se o meu carro não funcionar, então vou ficar em casa (composta) Da mesma forma que usamos letras maiúsculas e minúsculas para representar uma proposição, usamos alguns símbolos especiais, chamados de conectivos lógicos ou operadores lógicos, para representar os conectivos e, ou, não, Se, então e se, e somente se, os quais são apresentados na sequência Definição 214 O conectivo não é representado pelo símbolo Sendo assim, a negação de uma proposição p é a proposição p (lêse: não p) Exemplo 215 Observe que o conectivo lógico age apenas sobre uma única proposição p: A terra é um planeta p: Aterranão é um planeta Definição 216 O conectivo e é representado pelo símbolo Com o conectivo lógico obtemos a partir de duas proposições p e q, uma nova proposição p q (lê-se: p e q) chamada conjunção Exemplo 217 Observe que ao contrário do conectivo lógico, o conectivo lógico age sobre duas proposições p: A terra é uma estrela q: O gato é um animal p q: Aterraéumaestrelae o gato é um animal Definição 218 O conectivo ou é representado pelo símbolo Com o conectivo lógico obtemos a partir de duas proposições p e q, uma nova proposição p q (lê-se: p ou q) chamada disjunção Exemplo 219 Observe que, assim como o conectivo, o conectivo age sobre duas proposições p: A terra é uma estrela 63

q: O gato é um animal p q: Aterraéumaestrelaou o gato é um animal Definição 220 O conectivo se, então é representado pelo símbolo æ, Com o conectivo lógico æ obtemos a partir de duas proposições p e q, uma nova proposição p æ q (lê-se: Se p, então q) chamada implicação ou condicional Exemplo 221 Observe que este conectivo também age sobre duas proposições p: A terra é uma estrela q: O gato é um animal p æ q: Se a terra é uma estrela, então o gato é um animal Definição 222 O conectivo se, e somente se é representado pelo símbolo Com o conectivo lógico obtemos a partir de duas proposições p e q, uma nova proposição p q (lê-se: p se, e somente se, q) chamada dupla implicação ou bicondicional Exemplo 223 Observe que este conectivo também age sobre duas proposições p: A terra é uma estrela q: O gato é um animal p q: Aterraéumaestrelase, e somente se, o gato é um animal Além das variáveis proposicionais e dos conectivos lógicos, usamos um símbolo auxiliar, a saber os parênteses ( ), para evitar ambiguidades e delimitar o alcance de cada conectivo Considere a proposição: p q r Sem uma regra definida, podemos colocar os parênteses nesta proposição de duas formas diferentes Vejamos: (p q) r ou p (q r) Note que estas duas proposições são distintas e que a colocação de parênteses, sem uma regra de uso definida, delimita o alcance de cada conectivo, porém, pode não eliminar a ambiguidade Sendo assim, para uma melhor organização e evitar ambiguidades, os parênteses serão usados seguindo a seguinte ordem dos conectivos: æ 64

Temos ainda a possibilidade de haver mais de uma ocorrência, consecutivas, do mesmo conectivo, e neste caso adotaremos a convenção pela direita, ou seja, se temos a proposição p æ q æ r æ t æ h colocamos primeiro os parênteses no último conectivo æ a direita, depois no penúltimo e assim por diante, ou seja, a proposição acima deve ser entendida como (p æ (q æ (r æ (t æ h)))) Exemplo 224 Se temos a proposição p q r æ p æ q colocamos os parênteses obedecendo a order dos conectivos apresentada anteriormente e, dessa forma, obtemos: (((p q) ( r)) æ (p æ ( q))) Exemplo 225 Escreva as seguintes proposições em linguagem simbólica, colocando apropriadamente os parênteses 1) Se o cachorro latir e o gato miar, então a lua é uma estrela Sendo p: o cachorro late, q: o gato mia e r: a lua é uma estrela, vem que: (p q) æ r 2) O cachorro late e se o gato miar, então a lua é uma estrela Sendo p, q e r representando as proposições como no item anterior, vem que: p (q æ r) 3) Se o cachorro não late ou o gato mia, então a lua não é uma estrela Sendo p, q e r como antes, vem que: (( p) q) æ ( r) 4) O cachorro late ou o gato mia se, e somente se, a lua é uma estrela Em linguagem proposicional temos: (p q) r 65

Exercícios Propostos 1 Coloque apropriadamente os parênteses nas proposições a seguir (a) p q q r (b) p q æ h æ r æ s (c) g f q h r s (d) p æ r q æ r (e) q p æ q (f) p q p (g) p æ q r (h) p q æ r 2 Escreva em linguagem simbólica as seguintes proposições (a) 3 é maior que 1 se, e somente se, 1 for menor que 3 (b) Se Maria for ao cinema, então João fica em casa e Letícia joga video game (c) fi é um número irracional e a raiz quadrada de 4 é 2 (d) Não é verdade que não esta chovendo (e) Se eu estudar, então passo em lógica ou ficarei chateado (f) Se eu ganhar na mega-sena ou receber uma herança, então fico milionário (g) Se não sei dirigir, então não tenho CNH (h) O gato é pequeno e o cachorro é bravo (i) O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo (j) Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo (k) Se x 2 =1, então x =1ou x = 1 (l) y =0se, e somente se, y =0 66

22 Tabelas Verdade A Tabela Verdade é um instrumento eficiente usado em lógica para determinar se uma expressão é verdadeira ou falsa, válida ou invalida Definição 226 Por subproposições entendemos o conjunto formado por todas as proposições que ocorrem na proposição P, observando a precedência entre os conectivos Exemplo 227 Determine o conjunto de subproposições da proposição ((p q) æ r) Solução Na proposição dada temos que o conectivo precede o conectivo æ, que por sua vez precede o conectivo Ou seja, para determinar os possíveis valores verdade de ((p q) æ r) antes precisamos determinar os possíveis valores verdade de (p q) æ r E para determinar os possíveis valores verdade de (p q) æ r, primeiro precisamos determinar os possíveis valores verdade de p q No entanto, antes de tudo, é necessário apresentar os possíveis valores verdade de p, q e r Portanto, concluímos que a proposição ((p q) æ r) possui o seguinte conjunto de subproposições: {p, q, r, p q, (p q) æ r, ((p q) æ r)} Definição 228 Tabela Verdade é o conjunto de todas as possibilidades combinatórias entre valores verdade de diversas variáveis lógicas, as quais se encontram em apenas duas situações, verdadeiro (V) ou Falso (F), e um conjunto de conectivos lógicos A Definição 228 nós diz que a Tabela Verdade de uma proposição P determina quais são os possíveis valores verdade da proposição P, considerando os possíveis valores verdade das subproposições contidas na proposição P Neste sentido, a Tabela Verdade de uma proposição P é formada por linhas e colunas, onde o número de linhas é determinado pelo número de proposições simples contidas na proposição P, e o número de colunas é determinado pelo número de subproposições da proposição P Em outras palavras, a Tabela Verdade da proposição P consiste: 1 De uma linha em que estão contidas todas as proposições simples e demais subproposições da proposição P Por exemplo, suponha que a proposição P seja ((p q) æ r) Como vimos no Exemplo 227, o conjunto de subproposições desta proposição é: {p, q, r, p q, (p q) æ r, ((p q) æ r)} 67

Tabela 21: Primeira linha da Tabela Verdade p q r p q (p q) æ r ((p q) æ r) Consequentemente, como a proposição dada possui 6 subproposições, a sua Tabela Verdade possui 6 colunas e a primeira linha desta tabela é dada por: 2 De L linhas em que estão todos os possíveis valores verdade, V ou F, que as proposições simples contidas em P possam assumir O número destas linhas é L = 2 n, sendo n onúmerode proposições simples contidas em P No exemplo acima, a fórmula ((p q) æ r) contém 3 proposições simples p, q e r e, portanto, a Tabela Verdade dessa proposição vai conter L =2 3 =8linhas, que representam as possibilidades combinatórias entre os valores verdade de p, q e r A saber: Tabela 22: Possibilidades combinatórias entre os valores verdade de p, q e r p q r p q (p q) æ r ((p q) æ r) V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Observe que na Tabela Verdade 22 existem algumas colunas não preenchidas Tais colunas serão preenchidas de acordo com a Tabela Verdade do principal conectivo lógico envolvido em cada uma das co- 68

lunas Por exemplo, na quarta coluna o principal conectivo lógico é a conjunção, cujos valores verdade dependem dos valores verdade das proposições simples p e q Agora na quinta coluna, o principal conectivo lógico é a implicação æ, pois este é precedido pelo conectivo lógico Note ainda que os possíveis valores verdade desta coluna dependem dos possíveis valores verdade da proposição simples r e dos possíveis valores verdade da proposição p q, os quais neste momento já foram determinados na quarta coluna Finalmente, na última coluna o principal conectivo lógico é a negação, pois este é precedido pelos conectivos lógicos e æ, e os valores verdade desta última coluna depende unicamente dos valores verdade de (p q) æ r, os quais, neste momento, já foram determinados na quinta coluna Na seqüência apresentaremos as definições das Tabelas Verdade de cada um dos conectivos lógicos apresentados anteriormente Fique atento às referidas definições e as estude com calma, pois, elas formam a base para a construção da Tabela Verdade de qualquer proposição composta Definição 229 A proposição p é a negação da proposição p, de maneira que se p é verdadeira então p é falsa, e vice-versa Tabela 23: Tabela Verdade da Negação p V F p F V Definição 230 A conjunção p q será verdadeira somente quando as duas proposições p e q forem verdadeiras Tabela 24: Tabela Verdade da Conjunção p q p q F F F V F F F V F V V V 69

Definição 231 A disjunção p q será verdadeira quando pelo menos uma das proposições p e q for verdadeira, isto é, ela só será falsa quando as duas proposições p e q forem falsas Tabela 25: Tabela Verdade da Disjunção p q p q V V V V F V F V V F F F Definição 232 A implicação p æ q será falsa somente quando a proposição p for verdadeira e a proposição q for falsa Tabela 26: Tabela Verdade da Implicação p q p æ q V V V V F F F V V F F V Definição 233 A dupla implicação p q será verdadeira se as proposições p e q tiverem o mesmo valor verdade, isto é, ou ambas verdadeiras, ou ambas falsas Exemplo 234 Determine os possíveis valores verdade das proposições a seguir, ou seja, construa sua Tabela Verdade 1 (p q) æ r Temos que a proposição em questão possui três proposições simples, p, q e r, e o seu conjunto de subproposições é {p, q, r, p q, (p q) æ r} 70

Tabela 27: Tabela Verdade da Dupla Implicação p q p q V V V V F F F V F F F V Logo, a Tabela Verdade da proposição possui 5 colunas e 2 3 =8 linhas, a saber: Tabela 28: Tabela Verdade da proposição (p q) æ r p q r p q (p q) æ r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Observe que na quarta coluna da Tabela 28 o principal conectivo lógico é a conjunção, cujos valores verdade dependem dos valores verdade das proposições simples p e q Assim, a quarta coluna da tabela é construída com base na Tabela Verdade da conjunção (Definição 230), observando a primeira e a segunda coluna da mesma tabela Na quinta coluna o principal conectivo lógico é a implicação æ, pois este é precedido pelo conectivo lógico Esta quinta coluna da tabela é construída com base na Tabela Verdade da implicação (Definição 232), observando a 71

Tabela 29: Tabela Verdade da proposição (p q) æ r p q r p q (p q) æ r V V V V V V V F V F V F V F V V F F F V F V V F V F V F F V F F V F V F F F F V quarta e a terceira coluna, pois os possíveis valores verdade desta coluna dependem dos possíveis valores verdade da proposição simples r e dos possíveis valores verdade da proposição p q 2 q æ p Neste caso a proposição possui duas proposições simples, p e q, e o seu conjunto de subproposições é {p, q, p, q, q æ p} Portanto, a Tabela Verdade da proposição possui 5 colunas e 2 2 =4 linhas, a saber: Tabela 210: Tabela Verdade da proposição q æ p p q q p q æ p V V F F V V F V F F F V F V V F F V V V 72

Nesta tabela, o principal conectivo na terceira e na quarta coluna é a negação, portanto, são construídas com base na Tabela Verdade da negação (Definição 229), observando a segunda e a primeira coluna, respectivamente Já na última coluna, o principal conectivo é æ, e é construída com base na Tabela Verdade da implicação (Definição 232), observando a terceira e a quarta coluna 3 p q A proposição possui o seguinte conjunto de subproposições: {p, q, p, p q} Portanto, sua Tabela Verdade é dada por: Tabela 211: Tabela Verdade da proposição p q p q p p q V V F V V F F F F V V V F F V V Note que a terceira e a quarta coluna da tabela são construídas com base nas Tabela Verdade da negação e disjunção (Definições 229 e 231), respectivamente 73

Exercícios Propostos Quando achar necessário coloque apropriadamente os parênteses e construa as Tabelas Verdade das seguintes proposições: 1 (p æ r) (q æ r) 2 p (p æ q) 3 q (p æ q) 4 (p q) ( p) 5 p æ (q r) 6 p (p æ q) æ q 7 q (p æ q) æ p 8 (p æ q) (q æ r) æ (p æ r) 9 (p q) p æ q 10 p q æ p 11 p æ p q 12 (p æ (q r)) q æ p æ r 13 (p æ r) (q æ r) æ (p q) æ r 14 (p q) (p æ q) (q æ p) 15 p (q r) (p q) (p r) 16 p æ (q r) (p æ q) (p æ r) 17 p (q r) (p q) (p r) 18 p æ (q r) (p æ q) (p æ r) 74

23 Contingência, Tautologia e Contra-Tautologia Definição 235 Dizemos que uma proposição composta é uma contingência quando seus possíveis valores verdade são verdadeiros e falsos, independentemente dos valores verdade das proposições simples que a compõe Ou seja, a última coluna da sua Tabela Verdade, a qual determina seus possíveis valores verdade, tem os valores verdade V e F Exemplo 236 As proposições compostas apresentadas no Exemplo 234 são todas uma contingência De fato, observe que a última coluna de cada uma das respectivas Tabelas Verdade tem os valores verdade V ef Definição 237 Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia quando seus possíveis valores verdade são sempre verdadeiros, independentemente dos valores verdade das proposições simples que a compõe Em outras palavras, a última coluna da sua Tabela Verdade, só tem o valor verdade V Exemplo 238 As proposições p p, p (p æ q) æ q, q (p æ q) æ p e (p q) æ p q são tautologias De fato, basta observar que a última coluna de cada uma das Tabelas Verdade das proposições, apresentadas a seguir, só tem o valor verdade V Tabela 212: Tabela Verdade da proposição p p p p p p V F V F V V Tabela 213: Tabela Verdade da proposição p (p æ q) æ q p q p æ q p (p æ q) p (p æ q) æ q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V 75

Tabela 214: Tabela Verdade da proposição q (p æ q) æ p p q p q p æ q q (p æ q) q (p æ q) æ p V V F F V F V V F F V F F V F V V F V F V F F V V V V V Tabela 215: Tabela Verdade da proposição (p q) æ p q p q p q p q (p q) p q (p q) æ p q V V F F V F F V V F F V F V V V F V V F F V V V F F V V F V V V 76

Definição 239 (Contra-Tautologia) Dizemos que uma proposição composta é uma contra-tautologia quando seus possíveis valores verdade são sempre falsos, independentemente dos valores verdade das proposições simples que a compõe Em outras palavras, a última coluna da sua Tabela Verdade, só tem o valor verdade F Exemplo 240 As proposições p p, (p q) p, (p q) (q p) são contra-tautologia De fato, observe que a última coluna de cada uma das respectivas Tabelas Verdade, a qual determina seus possíveis valores verdade, só tem o valor verdade F Tabela 216: Tabela Verdade da proposição p p p p p p V F F F V F Tabela 217: Tabela Verdade da proposição (p q) p p q p q (p q) (p q) p V V V F F V F V F F F V V F F F F F V F Tabela 218: Tabela Verdade da proposição (p q) (q p) p q p q q p (p q) (p q) (q p) V V V V F F V F F F V F F V F F V F F F F F V F 77

24 Implicação e Equivalência Tautológica Definição 241 A proposição P implica tautologicamente a proposição Q, e indicamos por P Q se, e somente se, a fórmula P æ Q éuma tautologia Exemplo 242 1 Dadas as proposições P : p (p æ q) e Q : q, vimos no Exemplo 238 que P æ Q é uma tautologia, ou seja, P Q Logo, P implica tautologicamente a proposição Q 2 No mesmo Exemplo 238 temos que q (p æ q) æ p é uma tautologia, o que nos leva a concluir que P implica tautologicamente a proposição Q, sendop : q (p æ q) e Q : p 3 Considere as proposições P :(p q) p e Q : q e verifiquemos se P Q Para isto basta verificar, com o uso da Tabela Verdade, se P æ Q é uma tautologia Veja Tabela 220 Definição 243 Duas proposições P e Q são tautologicamente equivalentes, e indicamos por P Q, se, e somente se, a proposição P Q é uma tautologia Exemplo 244 1 É fácil ver que as implicações p æ q e q æ p são equivalentes, ou seja, p æ q q æ p Certamente, construindo a sua Tabela Verdade vemos que a proposição p æ q q æ p é uma tautologia, como se vê na Tabela 221 2 Verifiquemos que proposição p æ q é equivalente a proposição p q Para isto basta verificar que a proposição p æ q p q é uma tautologia O que de fato acontece como mostra a Tabela Verdade a seguir Tabela 219: Tabela Verdade da proposição p æ q p q p q p p æ p p q p æ q p q V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V 78

Tabela 220: Tabela Verdade da proposição (p q) p æ q p q p q p p q (p q) p (p q) p æ q V V V F V F V V F V F V F V F V V V V V V F F F V F F V Tabela 221: Tabela Verdade da proposição p æ q q æ p p q p æ q q p q æ p p æ q q æ p V V V F F V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V 79

Exercícios Propostos 1 Verifique as seguintes implicações tautológicas: (a) Modus Ponens: p (p æ q) q (b) Modus Tollens: q (p æ q) p (c) Silogismo Hipotético: (p æ q) (q æ r) (p æ r) (d) Silogismo Disjuntivo: (p q) p q (e) Simplificação: p q p (f) Adição: p p q (g) Eliminação: (p æ (q r)) q p æ r (h) Prova por Casos: (p æ r) (q æ r) (p q) æ r (i) Negação: ( p) p (j) Contraposição: p æ q q æ p (k) Troca de Premissas: p æ (q æ r) q æ (p æ r) (l) Idempotente para :: p p p (m) Idempotente para : p p p (n) Associativa para : (p q) r p (q r) (o) Associativa para : (p q) r p (q r) (p) Lei de De Morgan: (p q) p q (q) Lei de De Morgan: (p q) p q (r) Definição Implicação: p æ q p q (s) Comutativa para : p q q p (t) Comutativa para : p q q p 80

2 Verifique as seguintes equivalências tautológicas: (a) Comutativa para : p q q p (b) Comutativa para : p q q p (c) Associativa para : (p q) r p (q r) (d) Associativa para : (p q) r p (q r) (e) Idempotente para : p p p (f) Idempotente para : p p p (g) Absorção: p (p r) p (h) Absorção: p (p r) p (i) Distributivas para : p (q r) (p q) (p r) (j) Distributivas para : p (q r) (p q) (p r) (k) Distributivas para æ: p æ (q r) (p æ q) (p æ r) (l) Distributivas para æ: p æ (q r) (p æ q) (p æ r) (m) Lei de De Morgan: (p q) p q (n) Lei de De Morgan: (p q) p q (o) Definição Implicação: p æ q p q (p) Definição Implicação: p æ q (p q) (q) Definição Bicondicional: p q (p æ q) (q æ p) (r) Definição Bicondicional: p q ( p q) ( q p) (s) Negação: ( p) p (t) Contraposição: p æ q q æ p (u) Troca de Premissas: p æ (q æ r) q æ (p æ r) (v) Exportação ( ) e Importação ( ): (p q) æ r p æ (q æ r) 81

3 Enunciados, Demonstrações e Paradoxos Vemos nos livros de matemática, bem como neste texto, que a linguagem matemática consiste de um sistema simbólico, com símbolos próprios que se relacionam entre si ou não A bem da verdade, se compararmos um livro, por exemplo, de literatura com um livro de matemática observamos de imediato uma certa estranheza entre esses dois, pois em um livro de matemática além de haver vários símbolos, estes geralmente carregam um significado de algum conceito ou propriedade No entanto, o aprendizado em matemática esta diretamente relacionado com o conhecimento e entendimento da linguagem destes símbolos que lhe é peculiar Certamente, não podemos desanimar se porventura encontramos dificuldades no entendimento da linguagem matemática, pois é sabido que tal aprendizado é gradual e depende do tempo, da experiência e dedicação de cada um Na linguagem matemática constantemente nos deparamos com termos, palavras, que não são muitos comuns no nosso dia a dia, como por exemplo, definição, axioma, postulado, conjectura, teorema, lema, proposição e corolário O entendimento ou não destes termos vez ou outra causam dúvidas ou até mesmo dificuldades na compreensão do que realmente significa um determinado enunciado em matemática 31 Definições, Teoremas e Demonstrações Uma Definição em matemática é um enunciado que descreve um conceito, ou seja, o significado de uma palavra ou frase ou objeto de uma maneira muito específica Por exemplo: Definição 31 Representamos o conjunto dos números naturais {0, 1, 2, 3,} por IN Definição 32 Representamos o conjunto dos números inteiros {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,} por ZZ Além disso, a palavra ou frase pode ser definida em termos de uma lista de propriedades necessárias que pode estar subentendida pela redação Segue alguns exemplos: Definição 33 Um número natural n é dito um número par, se existir um número natural k tal que n =2k Definição 34 Um número natural n é dito um número ímpar, se existir um número natural k tal que n =2k +1 82

Observe que as definições dos conceitos de número par e número ímpar dadas acima, respectivamente Definição 33 e Definição 34, possuem propriedades a serem satisfeitas Na verdade, de um modo geral a definição de um conceito em matemática tem propriedades que são requisitos absolutos a serem obedecidos É fácil ver que pela Definição 33 o número 6 é número par, pois, existe o número natural 3 tal que 6=2 3 Também, pela Definição 34 onúmero11 é número ímpar, pois, existe o número natural 5 tal que 11 = 2 5+1 Por outro lado, de acordo com as Definição 33 e Definição 34 o número 2 não é número par e nem um número ímpar, pois, uma propriedade que esta subentendida nas referidas definições é que o número n deve ser um número natural Como 2 é um número inteiro, ou seja, 2 não é um número natural, então as referidas definições não se aplicam Porém, podemos redefinir os conceitos de números pares e ímpares de maneira a contemplar todos os números inteiros e não somente os números naturais, vejamos: Definição 35 Um número inteiro n é dito um número par, se existir um número inteiro k tal que n =2k Definição 36 Um número inteiro n é dito um número ímpar, se existir um número inteiro k tal que n =2k +1 Como podemos verificar, pela Definição 36 o número 11 é ainda número ímpar, pois, existe o número inteiro 5 tal que 11 = 2 5+1 Não obstante, pela Definição 35 o número 6 ainda é número par, pois, existe onúmerointeiro3 tal que 6=2 3, bem como 2 agora também o é, pois, existe o número inteiro 1 tal que 2 =2 ( 1) Neste sentindo, se queremos apresentar um exemplo para um conceito definido, este deve ter todas as propriedades exigidas pela definição, e não apenas algumas Por outro lado, todo objeto matemático que satisfaz todas as propriedades requeridas pela definição, é um exemplo do conceito Ressaltamos ainda que cada afirmação correta sobre o conceito definido deve decorrer logicamente da sua definição Em outras palavras, em matemática, depois de estudar uma definição ou uma classe de objetos, podemos fazer especulações, afirmações, e verificar se as mesmas são verdadeiras ou não Porém, há afirmações admitidas sempre como verdadeiras, sem a necessidade de uma verificação ou mesmo justificativa, as quais chamamos de axioma ou postulado Em outras palavras, os axiomas são verdades inquestionáveis universalmente válidas e que em geral são usados como ponto de partida para a construção de uma teoria em matemática ou como base para uma argumentação Observe nos exemplos a seguir que as duas afirmações são verdades evidentes, óbvias, mas que ao rigor da palavra não pode ser verificada, pois são derivadas da intuição ou do conhecimento empírico 83

Axioma 37 (Axioma da Boa-Ordenação) Todo subconjunto não-vazio dos números naturais contém um menor elemento Postulado 38 (Postulado da Existência) Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos De um modo geral, como intuitivamente podemos perceber e já comentamos, dos axiomas juntamente com as definições dos conceitos em uma teoria matemática podemos derivar, após raciocínios lógicos, resultados ou afirmações Em geral uma afirmação pode depender de alguns fatores (variáveis) fazendo com que ela seja verdadeira em algumas situações e em outras não Quando as afirmações são verdadeiras, por meio de uma verificação ou justificativa, as denominamos Teorema ou Lema ou Proposição ou Corolário De fato, antes de se tornar um teorema, uma afirmação é colocada como uma Conjectura matemática, isto é, uma afirmação proposta como verdade, pois muitos matemáticos acham que deve ser verdadeira, mas que precisa ser verificada para ascender a um status de teorema Antes de apresentarmos um exemplo de conjectura, lembremos o que é um número primo Definição 39 Um número natural p é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores distintos: o número 1 e ele mesmo Como exemplo de números primos temos o 2, 3, 5, 7, 11 e assim por diante Já os números 4, 6, 8, 10, 12 e 14 são números pares, consequentemente são divisíveis por 2, e portanto de acordo com a Definição 39 não são números primos Porém, observe que: 4=2+2 6=3+3 8=3+5 10 = 5 + 5 12 = 5 + 7 14 = 7 + 7 Vemos claramente, nestes exemplos, que os referidos números pares são iguais a soma de dois números primos O leitor curioso pode ir verificando essa propriedade para cada um dos números pares, um a um, como já fizeram diversos matemáticos para milhares deles Esta simples observação levou à famosa Conjectura de Goldbach, proposta pelo matemático Christian Goldbach em 7 de junho de 1742, a saber: Conjectura 310 Todo número par maior que 3 é igual a soma de dois números primos Apesar desta conjectura ser muito simples, para que ela se torne um Teorema é preciso que alguém encontre uma justificativa que assegure 84

que qualquer um dos infinitos números pares pode ser escrito como soma de dois primos Felizmente esta conjectura não é mais uma dor de cabeça para os matemáticas, pois em 2013, depois de 271 anos que a conjectura foi proposta, o matemático peruano Harald Helfgott resolveu o referido problema, considerado um dos problemas matemáticos mais difíceis da história Para atender mentes curiosas seguem outros exemplos de conjecturas famosas: Conjectura 311 (Hipótese do Continuum) Não existe nenhum conjunto com mais elementos do que o conjunto dos números inteiros e menos elementos do que o conjunto dos números reais Conjectura 312 (Conjectura dos Primos Gêmeos) Existem infinitos números primos cuja diferença entre eles é 2 Conjectura 313 (Último Teorema de Fermat) Não existe nenhum conjunto de inteiros positivos x, y, z e n com n maior que 2 que satisfaça x n + y n = z n Conjectura 314 (Conjectura de Poincaré) Qualquer variedade tridimensional fechada e com grupo fundamental trivial é homeomorfa a uma esfera tridimensional Não obstante, não existe uma regra específica para denominar uma afirmação de Teorema, Lema ou Proposição, em geral uma afirmação que pode ser avaliada exclusivamente como verdadeira ou falsa é denominada: 1 Teorema se a afirmação é de caráter relevante, ou seja, ela possui uma maior importância dentro do contexto da teoria em questão Teorema 315 A soma de dois números ímpares é um número par Teorema 316 O produto de um número par por um número ímpar é um número par 2 Proposição se a afirmação é menos importante dentre outras afirmações Proposição 317 Se n œ ZZ, então 5n 2 +3n +7é ímpar Proposição 318 Se n é ímpar, então 3n +9é par 3 Lema se a afirmação é usada como ferramenta fundamental para provar uma outra afirmação Em outras palavras, um lema é uma afirmação que serve de base para provar um teorema ou uma proposição Geralmente um lema se apresenta imediatamente antes 85

de um teorema ou proposição para o qual ele é indispensável No entanto, isso não quer dizer que ele não poderá ser usado em outras situações Lema 319 A soma de um número par com um número ímpar é um número ímpar Proposição 320 Se n œ ZZ, então 5n 2 +3n +7é ímpar Proposição 321 Se n é ímpar, então 3n +9é par 4 Corolário se a afirmação é obtida como consequência direta e/ou imediata de um teorema ou proposição Geralmente um corolário se apresenta imediatamente depois de um teorema ou proposição Teorema 322 A soma de dois números pares é um número par Corolário 323 A diferença de dois números pares é um número par Teorema 324 O produto de dois números pares é um número par Corolário 325 Se n œ é par, então n 2 é par Teorema 326 O produto de um número ímpar por um número ímpar é um número ímpar Corolário 327 Se n œ é ímpar, então n 2 é ímpar De um modo geral, todo Teorema, Proposição, Lema e Corolário é composto de um enunciado que se divide em duas partes, Hipótese e Tese, e de uma Demonstração A Hipótese é o conjunto de condições (premissas) que admitimos como verdadeiras e a Tese (conclusão) é o que queremos concluir como verdadeiro e a Demonstração (prova) é o raciocínio que usamos para verificar a Tese Basicamente o enunciado de um Teorema, Proposição, Lema e Corolário é uma implicação tautológica (Hipótese Tese) ou uma equivalência tautológica (Hipótese Tese), ou seja, os enunciados são da forma: 1 Se Hipótese é verdade, então Tese é verdade Lema 328 Sejam x, y œ ZZ Sex y =0, então x =0ou y =0 2 Hipótese é verdade se, e somente se, Tese é verdade Teorema 329 x œ ZZ é par se, e somente se, o algarismo das unidades de x é par 86

Ressaltamos que nem sempre o enunciado de uma afirmação se apresenta com a Hipótese e a Tese separadas como apresentamos nos exemplos anteriores Por exemplo, no Teorema 316 temos: Hipótese: um número par x e um número ímpar y Tese: oprodutox y é um número par Portanto, fica evidente que é extremamente importante identificar em um enunciado a ser verificado a Hipótese e a Tese A Demonstração de um Teorema, Lema, Proposição ou Corolário começa com a Hipótese aceita como verdadeira e, através de um raciocínio lógico baseado nos axiomas, definições e/ou outras afirmações reconhecidamente verdadeiras, chega à Tese Além disso, uma vez apresentada e aceita a Demonstração de uma afirmação, esta não mais pode ser questionada, a menos que exista algum descrédito sobre algumas das argumentações usadas O início de uma demonstração é marcado com a palavra Demonstração Porém, há autores que marcam este início com a palavra Prova Agora para marcar o fim de uma demonstração, geralmente, os autores usam o símbolo imediatamente após terminar a demonstração Antes de iniciar uma demonstração é essencial identificar quem é a hipótese e quem é a tese, pois assim, sabemos de onde devemos partir e onde desejamos chegar, nos orientando no como chegar, que é a demonstração em si Vejamos: Teorema 330 A soma de dois números ímpares é um número par Hipótese: Dois números ímpares, digamos, n e m Tese: A soma desses dois números ímpares é um número par, ou seja, m + n é par Demonstração: Sejam n e m dois números ímpares Assim, pela Definição 36, existem números inteiros k 1 e k 2 tais que n =2k 1 +1 e m =2k 2 +1 Dessa forma, temos que a soma dos dois números ímpares n e m é dada por: n + m =(2k 1 + 1) + (2k 2 + 1) = 2k 1 +2k 2 + 2 = 2(k 1 + k 2 + 1) Como k 1, k 2 e 1 são números inteiros, então k 1 + k 2 +1é também um número inteiro Assim, se escrevemos k = k 1 + k 2 +1 87

podemos afirmar que k œ ZZ eque n + m =2k Portanto, concluímos pela Definição 35 que n + m é, de fato, um número par, o que conclui a demonstração do teorema No Teorema 331 a seguir temos como hipótese dois números pares e devemos concluir que o produto destes dois números é também um número par Teorema 331 O produto de dois números pares é um número par Demonstração: Sejam x e y dois números pares Assim, pela Definição 35, existem números inteiros k 1 e k 2 tais que x =2k 1 e y =2k 2 Dessa forma, temos que o produto dos dois números pares x e y é dado por: xy =(2k 1 )(2k 2 ) = 2(2k 1 k 2 ) Como k 1, k 2 e 2 são números inteiros, então 2k 1 k 2 é também um número inteiro Assim, se escrevemos podemos afirmar que k œ ZZ eque k =2k 1 k 2 xy =2k Portanto, concluímos pela Definição 35 que xy é, de fato, um número par, o que conclui a demonstração do teorema Corolário 332 Se n œ é par, então n 2 é par Demonstração: Se n é um número par temos, pelo Teorema 331, que oprodutoden por n é também um número par, ou seja, nn = n 2 éum número par, como queríamos demonstrar Teorema 333 O produto de um número ímpar por um número ímpar é um número ímpar 88

Demonstração: Suponha que x e y são ímpares, ou seja, pela Definição 36, existem números inteiros k 1 e k 2 tais que Logo temos: x =2k 1 +1 e y =2k 2 +1 xy =(2k 1 + 1)(2k 2 + 1) = 4k 1 k 2 +2k 1 +2k 2 + 1 = 2(2k 1 k 2 + k 1 + k 2 )+1 Então xy =2k +1, onde k éointeiro2k 1 k 2 + k 1 + k 2 Portanto, pela Definição 36, xy é ímpar Corolário 334 Se n œ é ímpar, então n 2 é ímpar Demonstração: Se n é um número ímpar temos, pelo Teorema 333, que o produto de n por n é também um número ímpar, ou seja, n 2 é ímpar 32 Tipos de Demonstrações Quando nos propomos a fazer uma demonstração, devemos procurar escrever de forma concisa, usando uma linguagem natural com sentenças completas, bem como, identificar cada objeto usado, com sua definição e possíveis propriedades Ressaltamos ainda, que é de extrema importância identificar o tipo da demonstração, por exemplo, Demonstração Direta, Demonstração por Casos, Demonstração por Contradição e Demonstração Contra-positiva Uma demonstração é dita ser direta quando assumimos a hipótese como verdadeira e, a partir dela, verificamos que a tese é verdadeira por meio de uma sequência de passos, cada um seguindo dos anteriores, através da combinação lógica dos axiomas, definições, simplificações ou outras afirmações verdadeiras já existentes Fazendo um paralelo com as noções de lógica matemática, sendo P a hipótese e Q a tese, cada passo advém de uma implicação Se P, então Q (P Q) ou de uma dupla implicação P se, e somente se, Q (P Q) Lembrando que para demonstrar uma dupla implicação P Q é necessário demonstrar que P Q e Q P Segue alguns exemplos de demonstração direta, além daquelas já apresentadas anteriormente Iniciamos por demonstrar o Teorema 316, o qual vemos claramente que não esta escrito explicitamente na forma Se P, então Q, mas é possível reescreve-lo sem perder o seu sentido, vejamos: Teorema 335 Se x é um número par e y é um número ímpar, então xy é um número par 89

Demonstração: Se x é par e y é ímpar, então, existem números inteiros k 1 e k 2 tais que Logo temos: x =2k 1 e y =2k 2 +1 xy =2k 1 (2k 2 + 1) = 4k 1 k 2 +2k 1 = 2(2k 1 k 2 + k 1 ) Então xy =2k, onde k éointeiro2k 1 k 2 + k 1 Portanto, xy é par Proposição 336 Um inteiro x é par se, e somente se, x +1é ímpar Demonstração: Se um inteiro x é par, então x + 1 é ímpar, e se x + 1 é impar, então x é par ( ) Se um inteiro x é par, então x+1 é ímpar De fato, se x é par, então x =2k para algum k œ ZZ e, consequentemente, x +1=2k +1, isto é, x +1é ímpar ( ) Se x +1é impar, então x é par De fato, se x é ímpar, então x = 2k+1 para algum k œ ZZ e, consequentemente, x =2k+1 1 =2k, isto é, x é par Portanto, concluímos a demonstração da proposição Em algumas situações a demonstração de uma afirmação pode exigir que a mesma seja dividida em casos Quando isto acontece temos o que chamamos de demonstração por casos Numa demonstração por casos deve-se dividir o que se deseja demonstrar em um número finito de casos, de forma a cobrir todas as possibilidades, e demonstrar a afirmação para cada caso No entanto, não se pode confundir a demonstração por casos com o fornecimento de um exemplo, pois, um exemplo não é uma demonstração Na verdade, não existe um limite para o número de casos que se pode ter, ou seja, pode haver dois casos, três casos ou até mesmo milhares de casos Por exemplo, a primeira demonstração do Teorema das Quatro Cores tinha 1936 casos A demonstração da proposição a seguir exige ser dividida em dois casos, a saber, o caso em que n é par e o caso em que o n ímpar Vejamos: Proposição 337 Se n œ ZZ, então 5n 2 +3n +7é ímpar Demonstração: Se n œ ZZ, então n é um número par ou n éumnúmero ímpar Logo, devemos considerar os dois casos possíveis a) Se n é par, pelo Corolário 332, n 2 é par Consequentemente, pelo Teorema 335, 5n 2 e 3n são pares Além disso, pelo Teorema 322, 5n 2 +3n é par Então, 5n 2 +3n +7 é a soma de dois pares e um ímpar, que é ímpar 90

b) Se n é par, pelo Corolário 332, n 2 é par Consequentemente, pelo Teorema 335, 5n 2 e 3n são pares Além disso, pelo Teorema 322, 5n 2 +3n é par Então, 5n 2 +3n +7 é a soma de dois pares e um ímpar, que é ímpar Portanto, independentemente se n é par ou ímpar, 5n 2 +3n+7 é ímpar Uma outra forma de demonstrar uma afirmação é usando a demonstração contra-positiva, a qual consiste em assumir o contrário do que se quer provar, ou seja, negar a tese e obter a negação da hipótese De outra forma, demonstrar que P Q é equivalente a demonstrar que Q P Vejamos um exemplo: Teorema 338 Seja n œ ZZ Sen 2 é par, então n é par Demonstração: Se n não for par, então, n será ímpar e consequentemente pelo Corolário 334 teremos que n 2 é ímpar, o que contradiz a hipótese do teorema de que n 2 é par Portanto, concluímos que n, obrigatoriamente, deve ser par A demonstração por contradição é similiar à demonstração contrapositiva, porém tem uma singela diferença Na demonstração por contradição assume-se como verdade a negação da tese e, em vez de obter a negação da hipótese, obtém-se a negação de algo que já se sabe ser verdadeiro ou um absurdo, por exemplo pode se obter que 0=1Observe o exemplo a seguir: Proposição 339 Sejam x, y, z e w números inteiros satisfazendo a seguinte propriedade: 1 x + 1 y + 1 z + 1 w =1 Mostre que pelo menos um deles é par Demonstração: Por contradição, suponha que todos os números x, y, z e w não são pares, ou seja, suponha que x, y, z e w são todos ímpares Observe que: 1 x + 1 y + 1 z + 1 w = 1 yzw + xzw + xyw + xyz xyzw = 1 yzw + xzw + xyw + xyz = xyzw 91

Sendo x, y, z e w números ímpares temos, pelo Teorema 333, que yz, xz, xy, zw e xyzw são números ímpares Consequentemente, pelo Teorema 335, vem que yzw, xzw, xyw e xyz são números pares Já o Teorema 322 nos garante que a soma yzw + xzw + xyw + xyz é um numero par Ora, então temos um absurdo, pois, sendo yzw + xzw + xyw + xyz = xyzw concluimos que um número par é igual a um número ímpar Note que este absurdo foi obtido a partir do momento que assumimos que todos os números x, y, z e w não são pares Portanto, pelo menos um desses números deve ser par, e assim terminamos a nossa demonstração Vale ressaltar que geralmente quando se inicia a prática da demonstração alguns erros são comuns, a saber: Demonstrar por meio de exemplos é um erro, pois, um exemplo não representa a totalidade dos casos, é apenas um exemplo em que a afirmação é verificada É necessário evitar o erro de usar a mesma notação, a mesma letra para representar objetos diferentes em uma mesma demonstração, para evitar confusões e interpretações errôneas Uma demonstração é construída passo a passo, onde cada passo deve ser justificado correto e o passo seguinte precisa seguir logicamente os passos que o precedem Caso contrário, erros podem surgir como consequência do uso de um passo que não segue logicamente aqueles que o precedem Portanto, é um erro afirmar uma verdade, ou dar um passo, durante uma demonstração sem uma justificativa plausível Jamais pode-se cometer o erro de usar a afirmação que se quer demonstrar na própria demonstração, ou seja, usar o que se quer demonstrar como uma verdade na própria demonstração da sua verdade Além dos erros apresentados, é necessário que se preste bastante atenção nas simplificações e cálculos aritméticos, verificando cuidadosamente cada um deles, uma vez que estes são os maiores causadores de erros, independentemente da experiência que se tenha 92

Exercícios Propostos 1 Classifique as demonstrações a seguir como: Demonstração Direta, Demonstração por Casos, Demonstração por Contradição e Demonstração Contra-positiva a) Se n é um inteiro, então n 2 Ø n Demonstração: Se n = 0, então 0 2 = 0 e, consequentemente, n 2 Ø 0 é verdadeiro Agora se n Ø 1, multiplicando os dois lados da inequação pelo inteiro positivo n, obtemos n n Ø 1 n Logo n 2 Ø n Por fim, se n Æ 1, então n 2 Ø 0 e, claramente, n 2 Ø n Portanto, concluímos a demonstração b) Se 3n +2é ímpar, então n é ímpar Demonstração: Vamos assumir que n é par Então, por definição, n =2k para algum inteiro k, e consequentemente, 3n + 2 = 3(2k)+2=6k + 2 = 2(3k + 1) Portanto, por definição, concluímos que 3n +2 é par Mas isto nega a hipótese de que 3n+2 é ímpar, portanto, n é ímpar 2 Demonstre de forma direta que: Se x é um número par e y é um número ímpar, então x + y é um número ímpar 3 [Direto 2014] Demonstre que se n éumnúmerointeiroe 3n +2é par, então n é par, usando uma demonstração por contra-positiva 93

Exercícios Propostos 4 Classifique as demonstrações a seguir como: Demonstração Direta, Demonstração por Casos, Demonstração por Contradição e Demonstração Contra-positiva (a) Prove que 2011 não é a soma de dois quadrados Demonstração: Se n é um número inteiro, então n = 2k ou n =2k +1para algum k œ ZZ Assim, n 2 =4k 2 ou n 2 = 4(k 2 + k)+1 Logo, o quadrado de qualquer inteiro quando dividido por 4 deixa resto 0 ou 1 Consequentemente, a soma de dois quadrados quando dividido por 4 deixa resto 0, 1 ou 2 Portanto, se 2011 = x 2 + y 2 com x, y œ ZZ, então o resto da divisão de 2011 por 4 seria 0, 1 ou 2 Porém, 2011 = 4 502 + 3, ou seja, na divisão por 4 onúmero 2011 deixa resto 3, o que é um absurdo (b) Se n e m são números pares, então n +m éumnúmero par Demonstração: Se n e m são pares, então, existem números inteiros k 1 e k 2 tais que n =2k 1 e m =2k 2 Portanto, n + m =2k 1 +2k 2 = 2(k 1 + k 2 ) Consequentemente, n + m é par 5 Demonstre por contradição que: Se o produto de 34 números inteiros é igual a 1, prove que a soma desses números não pode ser nula 6 [Matemáticos 2010] Demonstre por contra-positiva: a) Suponha que x œ ZZ Se7x +9é par, então x é ímpar b) Se x 2 6x +5é par, então x é ímpar 94

Exercícios Propostos 7 [Direto 2014] Demonstre que se n é um número inteiro positivo, então n é par se, e somente se, 7n +4for par 8 [Direto 2014] Demonstre que se n é um número inteiro positivo, então n é ímpar se, e somente se, 5n +6for ímpar 9 [Direto 2014] Mostre que se n éumnúmerointeiroen 3 +5 é ímpar, então n é par, usando uma demonstração por contrapositiva 10 [Direto 2014] Seja n um número inteiro Demonstre de forma direta que: a) se n +1é ímpar, então 3n +1é ímpar b) se 3n +1é ímpar, então 3n é par 11 [Direto 2014] Seja x um número inteiro Demonstre que: a) se 3x +2é par, então x +5é ímpar b) se x +5é ímpar, então 3x +2é par Que forma de demonstração você utilizou? 12 [Direto 2014] Demonstre que se m e n são números inteiros e mn é par, então m é par ou n é par Que forma de demonstração você utilizou? 13 Demonstre que: Se xy é ímpar, então x e y são ímpares Que forma de demonstração você utilizou? 14 [Direto 2014] Demonstre que se m + n e n + p são números inteiros pares, em que m, n e p são números inteiros, então m + p é par Que forma de demonstração você utilizou? 95

33 Paradoxos, Sofismas e Falácias Ao ler uma demonstração devemos procurar entende-la por completo, e para isto devemos quebra-la em pedaços Em outras palavras, devemos identificar onde e como as hipóteses foram usadas, e procurar entender cada passo nela utilizado, ou seja, se o passo dado vem de uma definição ou de uma simplificação ou de outros resultados utilizados Isto é importante, pois, uma sequência de passos, em uma demonstração, aparentemente lógica de afirmações aparentemente verdadeiras pode geram uma conclusão absurda Consequentemente, nestes casos, como uma afirmação verdadeira não pode implicar uma afirmação falsa, obviamente, deve haver algum passo falso no decorrer da demonstração Essas falhas na argumentação de uma demonstração são frequentemente chamadas de falácias e, em geral, é possível detectá-las Porém, quando uma falácia é construída com a intenção de enganar olhos menos atentos, esta é chamada de sofisma Em outras palavras, um sofisma é uma argumentação, sequência de passos, falsa que se apresenta com uma aparência de verdadeira, com a intenção de dissimular uma ilusão de verdade apresentando, aparentemente, uma coerência com as regras lógicas No contexto da matemática, quando se quer construir uma demonstração que na verdade é um sofisma, em geral, se usa a divisão por zero ou indevidamente a raiz quadrada Exemplo 340 Mostre que 2+2=3 Demonstração: Primeiramente observe que Donde vem: Ou melhor, (2 + 2 3)(2 2) = 0 (2 + 2)(2 2) 3(2 2) = 0 (2 + 2)(2 2) = 3(2 2) Por fim, cancelando o termo (2 2) concluímos a demonstração, ou seja, 2+2=3 Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 2+2 = 3 Então, onde está o erro? Apesar do uso correto das regras da aritmética nesta demonstração, o erro aparece exatamente no momento do cancelamento do termo (2 2) Isto porque, cancelar um termo que esta multiplicando outros termos significa dividir por este mesmo termo, ou seja, cancelar o termo (2 2) na igualdade acima significa dividir os dois lados da igualdade por (2 2), mas 2 2=0e não se pode dividir por 0 96

Exemplo 341 Mostre que 2+2=5 Demonstração: É fácil ver que a seguinte igualdade é verdadeira: Somando 81 4 16 36 = 25 45 dos dois lados da igualdade anterior vem que: 16 36 + 81 4 = 25 45 + 81 4 Agora fatorando as expressões na igualdade, usando o Trinômio do Quadrado Perfeito, obtemos: 3 4 3 44 2 3 9 = 5 2 3 44 2 9 2 Extraindo a raiz quadrada dos dois lados temos: 3 4 3 4 9 9 4 =5 2 2 Na sequência, somando o termo 9 dos dois lados da igualdade concluímos que 4=5 Como 4=2+2finalizamos a demonstração provando 2 que 2 + 2 = 54 Novamente esta demonstração é um sofisma, um absurdo Então, onde está o erro? Sabe-se que Ô x 2 = x Portanto, foi naquele momento em que se extraiu a raiz quadrada dos dois lados que houve o erro, pois, Û 3 3 44 2 3 9 4 = 9 --- 2-24- 4 = 4 4, 5 = 0, 5 =0, 5 Û 3 5 3 44 2 9 = 2 3 9 --- - 24-5 = 5 4, 5 = 0, 5 =0, 5 97

Sendo assim, o correto é: Û 3 3 44 2 9 4 = 2 3 9 --- - 24-4 = Û 3 5 3 9 --- - 24-5 3 44 2 9 2 0, 5 = 0, 5 0, 5 = 0, 5 Como já ressaltamos um sofisma é um raciocínio logicamente inválido, ou seja, uma sequência de passos numa demonstração que não conduz à verdade, mesmo que as hipóteses nas quais se apoia sejam todas verdadeiras Porém, como vimos antes, é possível em uma demonstração detectar e contornar uma sofisma Diferentemente de um sofisma, um paradoxo é um raciocínio onde se parte de enunciados não contraditórios, e se chega a conclusões contraditórias Na verdade, um paradoxo demonstra tanto a verdade como a falsidade de uma afirmação, ou seja, em um paradoxo não é possível determinar se a afirmação é falsa ou verdadeira Em termos simples, um paradoxo é o oposto do que alguém pensa ser a verdade Em um paradoxo, quando assumimos que certa afirmação é verdadeira, concluímos que ela é falsa Por outro lado, quando assumimos que ela é falsa, concluímos que ela é verdadeira Por exemplo, temos o famoso Paradoxo do Mentiroso, a saber: Exemplo 342 (Paradoxo do Mentiroso) Um homem diz que esta mentindo Ele diz a verdade ou mente? Se a afirmação eu estou mentindo é verdadeira, então eu estou dizendo a verdade, ou seja, não estou mentindo, consequentemente a afirmação é falsa Por outro lado, se a afirmação é falsa, então eu estou mentindo, ou seja, a afirmação é verdadeira Portanto, se a afirmação for verdadeira, ela é falsa, e se for falsa, é verdadeira Ou seja, ou a afirmação é ao mesmo tempo verdadeira e falsa, ou nem uma coisa nem outra Exemplo 343 (Frasco com auto-fluxo de Robert Boyle) A Figura 31 apresenta o paradoxo chamado Frasco com auto-fluxo de Robert Boyle 98

Observe, que o frasco, tal como apresentado na Figura 31, preenche a si próprio Porém tal efeito não se produz na realidade Figura 31: Frasco com auto-fluxo de Robert Boyle Um outro paradoxo famoso é o Paradoxo de Russell Este paradoxo foi descoberto por Bertrand Russell em 1901 e prova que a teoria de conjuntos de Cantor é contraditória Exemplo 344 (Paradoxo de Russell) Considere-se o conjunto M como sendo o conjunto de todos os conjuntos que não contêm a si próprios como membros Formalmente: A é elemento de M se, e somente se, A não é elemento de A SeráqueM contém a si mesmo? Se sim, M não é membro de M de acordo com a definição Por outro lado, supondo que M não contém a si mesmo, M tem de ser membro de M, de acordo com a definição de M Assim, as afirmações M émembro de M e M não é membro de M conduzem ambas a contradições Exemplo 345 (Paradoxo do Barbeiro) Há em Sevilha um barbeiro que somente faz a barba de todas as pessoas de Sevilha que não fazem a própria barba Sendo assim, o barbeiro faz ou não faz a sua própria barba? Observe que se o barbeiro não fizer a própria barba, ele deve fazer a própria barba Mas se ele faz a própria barba, ele não pode fazer a própria barba Assim, se ele faz a própria barba, ele não faz a própria barba Exemplo 346 (Paradoxo de Dom Quixote e Sancho Pança) Sancho Pança, o fiel escudeiro de Dom Quixote, torna-se governador de uma ilha com uma lei muito curiosa O guardião da ilha deveria perguntar a cada visitante o motivo da visita Se o visitante responder a verdade, tudo certo Mas caso mentisse, o visitante seria enforcado O problema é que num belo dia apareceu um visitante que respondeu que visitava a ilha para ser enforcado! E agora? O visitante deveria ou não ser enforcado? 99

Se não o enforcassem, ele teria mentido: portanto deveria ser enforcado Mas se o enforcassem ele teria falado a verdade e não deveria ser enforcado Na história de Cervantes, o governador é bonzinho e liberta o visitante Exemplo 347 (Paradoxo do Pinóquio) O boneco Pinóquio crescia o nariz sempre que o mesmo contava uma mentira Imagine o Pinóquio dizendo a frase: Meu nariz vai crescer agora Temos duas possibilidades: A primeira o nariz de Pinóquio não cresce Então ele disse uma mentira, portanto, o nariz deve crescer A segunda o nariz de Pinóquio cresce Então ele disse uma verdade, portanto, o nariz dele não tinha motivo para ter crescido Em ambos os casos, seria gerada uma contradição, pois, se o nariz cresce, ele não deveria ter crescido e, se não cresce, deveria ter crescido Exemplo 348 (Paradoxo do Relógio) Podemos concordar que o melhor de dois relógios é aquele que mais vezes indica a hora certa? Sim? Suponhamos, então, que nos é dada a escolha entre dois relógios, um dos quais atrasa um minuto por dia, enquanto o outro não funciona Qual dos dois devemos aceitar? Certamente a tendência é escolher aquele que atrasa um minuto por dia Mas, na verdade o certo é escolher aquele que não trabalha Por que, o relógio que atrasa um minuto por dia, e marca a hora certa terá de atrasar doze horas ou 720 minutos antes de marcar novamente a hora certa E, se ele atrasa apenas um minuto por dia, levará 720 dias para atrasar 720 minutos Em outras palavras, marcará a hora certa aproximadamente uma vez a cada dois anos Por outro lado, o relógio que está parado marca a hora certa duas vezes por dia Exemplo 349 (Paradoxo de Zênon) Zênon afirmava que, para ir de um ponto a outro, primeiro você tem de percorrer metade do caminho Para percorrer a outra metade do caminho, primeiro você deve percorrer metade da distância restante, ou seja, mais um quarto do caminho Para percorrer o resto do caminho, você deve percorrer metade da distância restante, ou seja mais um oitavo do caminho E assim por diante, dividindo os caminhos restantes até o infinito A pergunta é: Você chegará ao seu destino? Observe que por mais que você esteja perto do segundo ponto, você ainda tem que vencer metade da distância que falta e você ficará nessa situação, sempre Portanto, o movimento é impossível, já que nunca se pode chegar onde se está indo, mesmo que seja um palmo adiante 100

Exercícios Propostos 1 [Matemática 2013] Na demonstração de que 2+2 = 6 a seguir, encontre qual e onde está o erro 24 = 24 16 40 = 36 60 4 4 2 4 5 = 6 6 2 6 5 4 4 2 4 5+5 5 = 6 6 2 6 5+5 5 (4 5) 2 = (6 5) 2 4 5 = 6 5 4 = 6 2+2 = 6 2 [Matemática 2013] Na demonstração de que 2+1 = 4 a seguir, encontre qual e onde está o erro 0 = 0 3 3 = 4 4 3(1 1) = 4(1 1) 3 = 4 2+1 = 4 3 [Matemática 2013] Na demonstração de que 1+1 = 1 a seguir, encontre qual e onde está o erro Sendo a = b =1 vem que: a = b a a = b a a 2 = a b a 2 b 2 = a b b 2 (a + b)(a b) =b(a b) a + b = b 1+1=1 101

Exercícios Propostos 4 Um crocodilo rouba uma criança Quando a mãe reclama, o crocodilo faz a seguinte proposta: devolverei a sua criança se você adivinhar corretamente se eu a devolverei ou não A mãe responde: Você não vai devolver a minha criança O que o crocodilo deve fazer? 5 Se Deus é onipotente, ou seja, pode fazer tudo, pergunta-se: Ele pode criar uma pedra que ele não possa erguer? 6 Quais das seguintes são paradoxos? (a) É proibido proibir (b) Amanhã será segunda-feira (c) Tens uma missão: essa missão é não aceitar a missão Aceitas? (d) Não leias esta frase! (e) O cavalo branco de Napoleão é preto (f) Toda a regra tem uma excepção (g) Você é motorista de um ônibus Passa no primeiro ponto e pega 36 passageiros, passa no próximo ponto pega mais 50 edeixa31 pessoas na primeira parada e sobem mais 10 pessoas qual a idade do motorista? (h) Um queijo suíço tem buracos Quanto mais queijo, mais buracos e quantos mais buracos, menos queijo (i) Tudo o que é bom e barato, é raro, mas, tudo o que é raro tende a ser caro 7 Uma mulher entrou em uma joalheria, escolheu um anel no valor de mil reais, pagou e saiu Voltou na mesma loja no dia seguinte e perguntou se podia trocar o anel por outro O joalheiro disse que sim Ela escolheu um que valia dois mil reais, agradeceu ao joalheiro amavelmente e preparou-se para sair O joalheiro, naturalmente, exigiu mais mil reais Indignada, a jovem falou que já tinha pago Porque? 102

4 Indução Matemática e Princípio da Casa dos Pombos Na sequência são apresentadas ferramentas, princípios, que, apesar de simples, são extremamente eficientes na resolução de problemas e na demonstração de propriedades relativas aos números naturais A saber, Indução Matemática e Princípio da Casa dos Pombos O Princípio da Casa dos Pombos embora seja uma observação trivial, e a primeira vista parecer de pouca aplicabilidade, pode ser usado para demonstrar resultados extremamente inesperados Por exemplo: Em uma grande cidade com mais de 1 milhão de habitantes existem pessoas com o mesmo número de fios de cabelo? Já a Indução Matemática é uma poderosa ferramenta para demonstrar que uma sequência de proposições relativas aos números naturais, denotadas por P (1),P(2),,P(n), é verdadeira sem a necessidade de realizar a demonstração para cada uma delas De forma bem humorística, o matemático e filósofo inglês Bertrand Russel chamou a Indução Matemática de Indução Galinácea, mais ou menos, através da seguinte historinha: Havia uma galinha nova no quintal de uma velha senhora Diariamente, ao entardecer, a boa senhora levava milho às galinhas No primeiro dia, a galinha, desconfiada, esperou que a senhora se retirasse para se alimentar No segundo dia, a galinha, prudentemente, foi se alimentando enquanto a senhora se retirava No nonagésimo dia, a galinha, cheia de intimidade, já não fazia caso da velha senhora No centésimo dia, ao se aproximar a senhora, a galinha, por indução, foi ao encontro dela para reclamar o seu milho Qual não foi a sua surpresa quando a senhora pegou-a pelo pescoço com a intenção de pô-la na panela ([Hefez 2009], 2009, p 8) 41 Princípio da Boa Ordenação O conjunto dos números naturais é representado por IN e é composto por 1, 2, 3, 4, 5,, ou seja, IN = {1, 2, 3, 4, 5,} Note que, apesar de muitos livros fazê-lo ou até mesmo em outras circunstâncias deste texto, neste momento não estamos incluindo o número 0 no conjunto dos números naturais, isto porque há uma discussão sobre considerar o 0 como um número natural ou não Na verdade incluir ou não o número 103

0 no conjunto IN é uma questão de preferência pessoal ou, dependendo do caso, de convivência, se precisa dele ou não Quando falamos de números naturais, temos necessariamente de falar dos Axiomas de Peano os quais caracterizam o conjunto dos números naturais, a saber: A1: Onúmero1 é um número natural, ou seja, 1 œ IN A2: Se n œ IN, então n +1œ IN A3: Não existe n œ IN tal que n +1=1 A4: Se n, m œ IN e n +1=m +1, então n = m A5: Seja A µ INSe1 œ A e, para todo n œ A, tem-sen +1œ A, então A =IN Como é fácil deduzir, o axioma A1 nos diz que o conjunto IN não é vazio Já o axioma A2 nos diz que todo número natural dado tem um sucessor, que é o número que vem depois do número dado O axioma A3 nos diz que o número 1 não é sucessor de nenhum número, ou seja, não existe nenhum número que seja antecessor de 1, em outras palavras, não existe nenhum número que vem antes de 1 Equivalentemente, o axioma A4 nos diz que números naturais diferentes possuem sucessores diferentes Por fim, o axioma A5 nos diz que se um subconjunto dos números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um de seus elementos, então este conjunto contém todos os números naturais Denotamos por ZZ o conjunto dos números inteiros que é a união do conjunto dos números naturais, com o conjunto dos números negativos e o zero, ou seja, ZZ = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Além disso, denotamos por ZZ + o conjunto dos números inteiros não negativos, e ZZ o conjunto dos números inteiros não positivos, isto é, ZZ + = {0, 1, 2, 3,} e ZZ = {, 3, 2, 1, 0} Estamos admitindo que o leitor possui uma certa intimidade com as operações de soma e produto sobre os números naturais e inteiros, bem como, com suas principais propriedades Além disso, assumiremos também uma familiaridade com os significados e propriedades de >, <, Ø e Æ Antes de enunciarmos uma das propriedades fundamentais dos números naturais, que é o fato de que todo conjunto não vazio de números naturais possui um menor elemento, vamos ver a seguinte definição Definição 41 Dado o subconjunto A µ IN, dizemos que o número natural m é o menor elemento de A se m œ A e m Æ x, para todo x œ A Por exemplo, pelo axioma A3, 1 é o menor elemento de IN 104

Teorema 42 (Princípio da Boa Ordenação) Todo subconjunto não vazio A µ IN possui um menor elemento Demonstração: Temos dois casos a considerar: 1 œ A ou 1 /œ A Se 1 œ A, então o teorema já esta demonstrado pois 1 é o menor elemento de IN, e consequentemente, o menor elemento de A Por outro lado, suponhamos que 1 /œ A, e consideremos o seguinte conjunto I n = {p œ IN 1 Æ p Æ n} Seja também o conjunto X µ IN tal que X = {n œ IN I n µ IN A} Desse modo, X é o conjunto dos números naturais n tais que todos os elementos de A são maiores do que n Em outras palavras, dizer que n œ X significa afirmar que n/œ A, assim como, todos os números naturais menores do n Como estamos supondo que 1 /œ A, então 1 œ X No entanto, como A não é vazio, nem todos os números naturais pertencem a X, ou seja, temos X = IN Sendo assim, X satisfaz a primeira hipótese do axioma A5, porém, não satisfaz à conclusão, do mesmo axioma, de que X = IN Consequentemente, X não pode satisfazer a segunda hipótese do axioma A5, ou seja, existe algum n œ X tal que n +1 /œ X Isto significa que todos os números de 1 até n pertencem a IN A, mas n +1 œ A, isto é, todos os elementos de A são maiores do que n Como não há números naturais entre n e n+1, concluímos que n+1 é o menor elemento de A Vale a pena ressaltar que para demonstrar que uma afirmação P (n), associada a cada número natural n, é verdadeira usando o Princípio da Boa Ordenação é recomendado o seguinte roteiro: 1) Defina o conjunto C de contraexemplos para P (n), ou seja, C = {n œ IN P (n) é falsa} 2) Assuma por contradição que C não é vazio Assim, pelo Princípio da Boa Ordenação, C possui um menor elemento c 3) A partir daí deve-se chegar a uma contradição de alguma forma Geralmente, a contradição é alcançada encontrando um outro elemento a œ C tal que a<c, ou demonstrando que P (c) é verdadeira 4) Finalmente, conclua que C deve ser vazio, isto é, não existe contraexemplo para a afirmação P (n) 105

Exemplo 43 Mostre que para todo n œ IN, n(n + 1) 1+2+3+ + n = (41) 2 Solução Primeiramente consideremos o conjunto n(n + 1) C = {n œ IN 1+2+3+ + n = } 2 Agora suponhamos por contradição que C não é vazio Assim, pelo Princípio da Boa Ordenação, C possui um menor elemento c, ou seja, c é o menor natural para o qual a igualdade 41 é falsa, mas a igualdade 41 é verdadeira para todo n<c Como a igualdade 41 é verdadeira para n =1, temos que c>1 Uma vez que c 1 é um número natural e c 1 <c, vem que a igualdade 41 é verdadeira para c 1 Istoé, (c 1)((c 1) + 1) (c 1)c 1+2+3+ +(c 1) = = 2 2 Por fim, somando c de ambos os lados desta última igualdade obtemos, 1+2+3+ +(c 1) + c = (c 1)c 2 + c = c2 c +2c 2 c 2 + c c(c + 1) = = 2 2 Logo, a igualdade 41 é verdadeira para c, o que é uma contradição Portanto, o conjunto C é vazio e, consequentemente, a igualdade 41 é verdadeira para todo n œ IN Exemplo 44 Todo número natural pode ser fatorado com um produto de números primos Solução Um número primo é um número natural que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo Sendo assim, seja C o conjunto de todos os naturais maiores do que 1 que não podem ser escritos como um produto de números primos Suponhamos por contradição que C não é vazio Se C não é vazia, então ele possui um menor elemento c, pelo Princípio da Boa Ordenação O número c não pode ser um número primo, porque um número primo por si só é considerado como um produto de números primos e nenhum desses produtos estão em C Assim, c deve ser um produto de dois números naturais a e b, onde 1 <a,b<c Uma vez que a e b são menores do que c, sabemos que a, b /œ C Em outras palavras, a pode ser escrito como um produto de números primos p 1 p 2 p k e b como um produto de números primos q 1 q 2 q r Logo, c = p 1 p 2 p k q 1 q 2 q r, ou seja, c pode ser escrito como um produto de números primos, contrariando o fato de que c œ C Portanto, o conjunto C é vazio e, consequentemente, todo número natural pode ser fatorado com um produto de números primos 106

42 Princípio da Indução Matemática Como já foi dito, o Princípio da Indução Matemática é usado para demonstrar uma propriedade relativa aos números naturais e, como veremos mais adiante, consiste apenas de dois passos, que se provados verdadeiros são suficientes para concluir que a referida propriedade é verdadeira para todos os números naturais Com o intuito de apresentar antecipadamente por que os referidos dois passos são suficientes, vamos pensar no Efeito Dominó ou Efeito em Cascata que sugere a ideia de um efeito ser a causa de outro efeito gerando uma série de acontecimentos semelhantes ao primeiro O Efeito Dominó consiste na colocação de diversos dominós em pé numa fileira, de modo que ocorra os seguintes dois passos: (i) A primeira peça do dominó cai (ii) Se alguma peça do dominó cair, então a próxima peça também cai Se estes dois passos acontecerem, forem verdadeiros, então um derruba o outro e podemos concluir que todas as peças do dominó cairão De uma forma intuitiva, o Princípio da Indução Matemática é similar ao Efeito Dominó, como veremos a seguir Teorema 45 (Princípio da Indução Matemática) Seja a um inteiro não negativo e suponhamos que a cada número inteiro n Ø a esteja associada uma afirmação P (n) Se é possível demonstrar que: (i) P (a) é verdadeira (ii) Para todo k Ø a, sep (k) é verdadeira, então P (k + 1) também é verdadeira Então P (n) é verdadeira para todo n Ø a Demonstração: Primeiramente, consideremos o conjunto V de todos os inteiros não negativos k Ø a para os quais a afirmação P (k) é verdadeira, e o conjunto F de todos os inteiros não negativos k Ø a para os quais a afirmação P (k) é falsa, a saber: V = {k œ ZZ + F = {k œ ZZ + : k Ø a e P (k) é verdadeira}; : k Ø a e P (k) é falsa} Observe que V não é vazio, pois, a condição (i) nos diz que P (a) é verdadeira, ou seja, a œ V No entanto, a demonstração do teorema se dá verificando que V contém, não somente a, mas todos os inteiros não 107

negativos k Ø a Mas, isto é equivalente a verificar que o conjunto F é vazio Sendo assim, suponhamos por contradição que F não é vazio Pelo Princípio da Boa Ordenação existe um menor elemento m œ F, ou seja, P (m) é falso Note que não podemos ter m = a, pois, isto contradiz a condição (i) que nos diz que P (a) é verdadeira, assim m>a Além disso, m 1 /œ F pois, caso contrário, m 1 œ F e isto contradiz o fato de m ser o menor elemento de F, uma vez que m 1 < m Portanto, m 1 œ V, ou seja, P (m 1) é verdadeira Daí segue pela condição (ii) que P ((m 1) + 1) = P (m) também é verdadeira, mas isto é uma contradição, pois, m œ F e V e F são disjuntos Como esta contradição foi gerada a partir do fato de supor que F era não vazio, concluímos que F deve ser vazio, e concluímos a demonstração Geralmente, P (a) é chamado de Base de Indução, a suposição de que P (k) é verdadeira é chamada de Hipótese de Indução, e a verificação da implicação P (k) P (k + 1) é chamada de Passo Indutivo Ressaltamos que numa prova por indução não é assumido que P (k) é verdadeiro para todos os naturais, pelo contrário, é demonstrado que se for assumido que P (k) é verdadeiro, então P (k + 1) também é verdadeiro De um modo geral, o segredo de uma demonstração por indução é encontrar um maneira de relacionar o que queremos demonstrar, que é o Passo Indutivo P (k + 1), com o que estamos supondo verdadeiro, que é a Hipótese de Indução P (k) Exemplo 46 Mostre que para todo n œ IN, n(n + 1) 1+2+3+ + n = 2 Solução Primeiramente, é necessário verificar se a Base de Indução (BI) é verdadeira, ou seja, verificar se a igualdade é verdadeira para algum número natural n = a Se a base de indução for verdadeira, então assuma a Hipótese de Indução (HI) como verdadeira, isto é, assuma que a igualdade é verdadeira para n = k, e mostre o Passo Indutivo (PI), ou seja, que a igualdade é verdadeira para n = k +1 Ressaltamos que o uso da Hipótese de Indução será denotado por HI =, HI >, HI Æ e etc Como o exemplo pede para verificar a igualdade para todos os números naturais, devemos fazer a =1para verificar a Base de Indução BI - Para n =1a igualdade é verdadeira, pois, 1= 1 (1 + 1) 2 = 1 2 2 = 2 2 =1 HI - Agora vamos assumir que a igualdade é verdadeira para n = k, isto é, k(k + 1) 1+2+3+ + k = 2 108

PI - Verifiquemos se a igualdade é também verdadeira para n = k +1, ou seja, devemos demonstrar que 3 4 (k + 1)((k + 1) + 1) 1+2+3+ + k +(k + 1) = 2 Vejamos: 1+2+3+ + k +(k + 1) HI = k(k + 1) 2 +(k + 1) 3 4 k = (k + 1) 2 +1 3 4 k +2 = (k + 1) 2 = 3 (k + 1)((k + 1) + 1) 2 4 Portanto, a igualdade é verdadeira para n = k + 1 e, consequentemente, a igualdade é verdadeira para todo n œ IN Exemplo 47 Para todo número real x>0 e n œ IN, (1 + x) n Ø 1+x n Solução Observe que há duas variáveis na afirmação, a saber, n e x No entanto, é fácil determinar que devemos fazer a indução sobre n, pois, x é uma variável real Novamente o exemplo pede para verificar a desigualdade para todos os números naturais, ou seja, a Base de Indução deve ser verificada para a =1 BI - Para n =1temos: (1 + x) 1 =1+x =1+x 1 Ø 1+x 1 Portanto, a desigualdade é verdadeira para n =1 HI - Vamos supor que a desigualdade seja verdadeira para n = k, ou seja, (1 + x) k Ø 1+x k 109

PI - Agora, vamos verificar se a desigualdade é também verdadeira para n = k +1, ou seja, vamos verificar se (1 + x) k+1 Ø 1+x k+1 Temos então que: (1 + x) k+1 = (1+x) k (1 + x) HI Ø (1 + x k )(1 + x) = 1+x + x k + x k+1 Ø 1+x k+1 Portanto, a desigualdade é também verdadeira para n = k + 1 e, consequentemente, a desigualdade é verdadeira para todo n œ IN Exemplo 48 Para todo n œ IN, 1+q + q 2 + q n = 1 qn+1 1 q Solução De fato, BI - Para n =1temos: 1+q 1 =(1+q) 1 q (1 + q)(1 q) = = 1 q2 1 q 1 q 1 q = 1 q1+1 1 q Portanto, a igualdade é verdadeira para n =1 HI - Suponhamos que a igualdade seja verdadeira para n = k, istoé, 1+q + q 2 + q k = 1 qk+1 1 q PI - Agora, vamos verificar se a igualdade é também verdadeira para n = k +1, ou seja, devemos verificar se 1+q + q 2 + q k + q k+1 = 1 q(k+1)+1 1 q 110

Vejamos: 1+q + q 2 + q k + q k+1 HI = 1 qk+1 + q k+1 1 q = 1 qk+1 +(1 q)q k+1 1 q = 1 qk+1 + q k+1 q (k+1)+1 1 q = 1 q(k+1)+1 1 q Portanto, a igualdade é verdadeira para n = k + 1 e, consequentemente, a igualdade é verdadeira para todo n œ IN Exemplo 49 Para todo n œ IN, n 3 n é divisível por 3 Solução Dizemos que n 3 n é divisível por 3, sen 3 n éummúltiplo de 3, ou seja, se existe um número m tal que n 3 n =3 m Logo, devemos verificar se existe um número m tal que n 3 n =3 m, para todo número natural n BI - Para n =1temos que a afirmação é verdadeira, pois, 1 3 1=1 1=0=3 0 HI - Suponhamos que a afirmação seja verdadeira para n = k, istoé, existe um número m tal que k 3 k =3 m PI - Agora, vamos verificar se a igualdade é também verdadeira para n = k +1 Temos então que: (k + 1) 3 (k + 1) = (k + 1) 2 (k + 1) (k + 1) = k 3 +3k 2 +3k +1 k 1 = (k 3 k)+3 (k 2 + k) HI = 3 m +3 (k 2 + k) = 3 (m + k 2 + k) 111

Portanto, a igualdade é verdadeira para n = k + 1 e, consequentemente, n 3 n é divisível por 3 para todo n œ IN Exemplo 410 Verifique se para todo número natural n>2, 3n 2 n>23 Solução Observe que a desigualdade 3n 2 n>23 não é verdadeira para n =1, pois, 3 1 2 1=2< 23 Da mesma forma, a desigualdade não é verdadeira para n =2, pois, 3 2 2 2 = 10 < 23 Na realidade, o primeiro natural para o qual 3n 2 n > 23 é verdadeira é n = 3 Portanto, a Base de Indução deve ser verificada para a =3 BI - Para n =3temos que a afirmação é verdadeira, pois, 3 3 2 3=3 9 3 = 27 3 = 24 > 23 HI - Suponhamos que a afirmação seja verdadeira para n = k, istoé, 3k 2 k>23 PI - Agora, vamos verificar se a desigualdade é também verdadeira para n = k +1 Temos então que: 3(k + 1) 2 (k + 1) = 3(k 2 +2k + 1) k 1 = 3k 2 +6k +3 k 1 = (3k 2 k)+6k +2 HI > 23 + 6k +2 = 25 + 6k > 23 Portanto, a desigualdade é verdadeira para n = k + 1 e, consequentemente, a desigualdade é verdadeira para todo número natural n>2 Exemplo 411 Verifique se para todo n œ IN, 2+4+6+ +2n = n(n + 1) Solução sobre n Vamos verificar a veracidade da igualdade usando indução BI - Para n =1temos que a afirmação é verdadeira, pois, 2 1=2=1 (1 + 1) 112

HI - Suponhamos que a afirmação é verdadeira para n = k, istoé, 2+4+6+ +2k = k(k + 1) PI - Agora, vamos verificar se a igualdade é também verdadeira para n = k +1 Com efeito, 2+4+6+ +2k + 2(k + 1) HI = k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2) Portanto, a igualdade é verdadeira para n = k + 1 e, consequentemente, a igualdade é verdadeira para todo n œ IN Exemplo 412 Verifique se para todo inteiro n Ø 0, n(n + 2) 0+1+2+ + n = 2 Solução Como o exemplo pede para verificar a igualdade todo inteiro n Ø 0, devemos verificar a Base de Indução para n =0 BI - Para n =0a igualdade é verdadeira, pois, 0= 0 (0 + 2) 2 = 0 2 2 = 0 2 =0 HI - Agora vamos assumir que a igualdade é verdadeira para n = k, isto é, k(k + 2) 0+1+2+ + k = = k2 +2k 2 2 PI - Verifiquemos se a igualdade é também verdadeira para n = k +1, ou seja, devemos verificar se 0+1+2+ + k +(k + 1) = Vejamos: 1+2+3+ + k +(k + 1) (k + 1)(k + 3) 2 = k2 +4k +3 2 HI = k2 +2k +(k + 1) 2 = k2 +2k + 2(k + 1) 2 = k2 +4k +2 2 Portanto, a igualdade não é verdadeira para n = k +1, ou seja, não foi possível concluir a partir da Hipótese de Indução a conclusão Consequentemente, a igualdade não é verdadeira para todo inteiro n Ø 0 113

43 Princípio da Indução Completa Em algumas situações não conseguimos realizar a demonstração de uma afirmação, usando apenas o Princípio da Indução Matemática tal como apresentado no Teorema 45, mesmo sendo esta uma técnica de demonstração muito poderosa Exemplo 413 Demonstre que todo número natural n maior ou igual a dois é primo ou produto de primos Solução Lembremos que, por definição, os números primos são aqueles números naturais que têm apenas dois divisores diferentes, a saber: o 1 e ele mesmo Dessa forma, temos que o número 1 não é um número primo, pois, ele tem apenas um divisor que é ele mesmo Já o número 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto, por definição, 2 éumnúmero primo Usaremos o Princípio da Indução Matemática, Teorema 45, para demonstrar que a afirmação dada é verdadeira para n Ø 2 BI - Para n =2a afirmação é verdadeira, pois, 2 é um número primo HI - Suponhamos que a afirmação é verdadeira para n = k Istoé,k é primo ou é produto de primos PI - Verifiquemos se a afirmação é também verdadeira para n = k +1 Se k+1 for primo, então a afirmação é automaticamente verdadeira e não há nada a demonstrar Por outro lado, se k +1 não é primo, então ele possui um divisor natural y diferente de 1 e dele mesmo Em outras palavras, k +1 éummúltiploy, ou seja, existe um número natural x tal que k +1=x y Note que, tanto x quanto y não podem ser maiores do que k +1, pois caso contrário, o produto seria maior do que k +1 Muito menos podem ser x ou y iguais a k +1 De fato, por exemplo, se x = k +1então y =1, ou seja, k +1seria primo, pois ele só seria divisível por k +1 e 1, o que contradiz o fato de k +1 não ser primo Portanto, temos k +1=x y, onde 2 Æ x Æ k e 2 Æ y Æ k Se x = y = k, pela Hipótese de Indução, concluímos a demonstração No entanto, se x<kou y<k, nada podemos afirmar sobre x ou y, pois a única hipótese que temos é que k é primo ou produto de primos De onde concluímos que o Princípio da Indução Matemática apresentado no Teorema 45, não é suficiente para demonstrar a afirmação em questão 114

A impossibilidade do uso do Teorema 45 para demonstrar a afirmação do Exemplo 413, vem do fato de que no Teorema 45 não é assumido como hipótese que P (k) é verdadeiro para todos inteiros não negativos menores do que k, mas sim, somente que P (k) é verdadeiro para n = k Para contornar este problema, de forma que possamos demonstrar questões tal como aquela do Exemplo 413, apresentamos na sequência uma variação do Teorema 45, chamada de Princípio da Indução Completa Essencialmente, este novo princípio difere do anterior apenas na Hipótese de Indução Teorema 414 (Princípio da Indução Completa) Seja a um inteiro não negativo e suponhamos que a cada número inteiro n Ø a esteja associada uma afirmação P (n) Se é possível demonstrar que: (i ) P (a) é verdadeira (ii ) Para todo k Ø a, sep (r) é verdadeira para todo a Æ r Æ k, então P (k + 1) também é verdadeira Então P (n) é verdadeira para todo n Ø a Demonstração: Para demonstrar este teorema usaremos o Princípio da Indução Matemática, que é, o Teorema 45 De fato, para todo n Ø a, seja Q(n) a afirmação P (r) é verdadeira para todo a Æ r Æ n Usando o Teorema 45, e assumindo que as condições (i ) e (ii ) são verdadeiras, demonstraremos que Q(n) é verdadeira para todo n Ø a, o que significa que P (n) é verdadeira para todo n Ø a Vejamos: BI - Para n = a temos que Q(a) é verdadeira, pois, por (i ) P (a) é verdadeira HI - Suponhamos que a afirmação Q(k) é verdadeira para todo k Ø a Isto é, P (r) é verdadeira para todo a Æ r Æ k PI - Verifiquemos se a afirmação Q(k + 1) é também verdadeira, ou seja, verifiquemos se P (r) é verdadeira para todo a Æ r Æ k +1 Pela Hipótese de Indução, temos que P (r) é verdadeira para todo a Æ r Æ k, e por (ii ), temos que P (k + 1) é verdadeira Logo, P (r) é verdadeira para todo a Æ r Æ k +1, ou seja, Q(k + 1) é verdadeira Portanto, pelo Teorema 45, Q(n) é verdadeira para todo n Ø a Consequentemente, P (n) é verdadeira para todo n Ø a 115

Geralmente, o Princípio da Indução Completa é usado somente quando não podemos demonstrar uma afirmação facilmente utilizando o Princípio da Indução Matemática Vale ressaltar que em uma demonstração usando o Princípio da Indução Matemática, no Passo Indutivo temos que demonstrar que sempre que P (k) é verdadeira, então P (k + 1) também é verdadeira Diferentemente, numa demonstração usando o Princípio da Indução Completa, no Passo Indutivo temos que demonstrar que sempre que P (r) é verdadeira para todo r Æ k, então P (k + 1) também é verdadeira Em outras palavras, usando o Princípio da Indução Matemática assumimos unicamente que P (k) é verdadeira Enquanto que usando o Princípio da Indução Completa podemos assumir que P (a),p(a + 1),P(a + 2),,P(k 1),P(k) são verdadeiras Exemplo 415 Demonstre que todo número natural n maior ou igual a dois é primo ou produto de primos Solução Usaremos o Princípio da Indução Completa sobre n BI - Para n =2a afirmação é verdadeira, pois, 2 é um número primo HI - Suponhamos que para todo r, com 2 Æ r Æ k, a afirmação seja verdadeira, isto é, r é primo ou é produto de primos PI - Verifiquemos se a afirmação é também verdadeira para n = k +1 Se k+1 for primo, então a afirmação é automaticamente verdadeira e não há nada a demonstrar Por outro lado, se k +1 não é primo, então k +1=x y, onde 2 Æ x Æ k e 2 Æ y Æ k Dessa forma, observe que a Hipótese de Indução se aplica tanto a x quanto y, ou seja, x e y são primos ou produto de primos Logo, como k +1=x y, temos que k +1é produto de primos Portanto, pelo Teorema 414, temos que todo número natural n Ø 2 é primo ou produto de primos Exemplo 416 Demonstre que todo número natural n Ø 8 pode ser escrito como uma soma de números 3 e números 5 Solução Usaremos o Princípio da Indução Completa sobre n Evidentemente, como n Ø 8, a Base de Indução deve ser verificada para n =8 BI - Para n =8a afirmação é verdadeira, pois, 8=3+5 HI - Suponhamos que para todo r, com 8 Æ r Æ k, a afirmação seja verdadeira, isto é, r pode ser escrito como uma soma de números 3 e números 5 116

PI - Verifiquemos se a afirmação é também verdadeira para n = k +1, ou seja, queremos demostrar que k +1 pode ser representado como uma soma de números 3 e números 5 Não obstante, observe que a afirmação é verdadeira para 9 e 10 De fato, 9=3+3+3e 10 = 5 + 5 Sendo assim, sem perca de generalidade, podemos considerar k +1Ø 11 Donde obtemos: k +1Ø 11 k Ø 10 k Ø 8+2 k 2 Ø 8 Uma vez que k 2 Ø 8 e menor do que k, istoé, 8 Æ k 2 Æ k, podemos aplicar em k 2 a Hipótese de Indução, a saber, k 2 pode ser escrito como uma soma de números 3 e números 5 De outra maneira, k 2 = soma de números 3 e números 5 (k 2) + 3 = (soma de números 3 e números 5) +3 k +1 = soma de números 3 e números 5 Portanto, pelo Teorema 414, temos que todo número natural n Ø 8 pode ser escrito como uma soma de números 3 e números 5 Na verdade, os princípios da Boa Ordenação, da Indução Matemática e da Indução Completa, apresentados nos Teoremas 42, 45 e 414, são equivalentes, ou seja, se qualquer um deles for verdadeiro, então os outros também são Para visualizar a referida equivalência, observe que demonstramos que o Teorema 42 implica o Teorema 45, e que o Teorema 45 implica o Teorema 414, isto é, o Princípio da Boa Ordenação implica o Princípio da Indução Matemática, que por sua vez implica o Princípio da Indução Completa No entanto, para fechar a equivalência, é necessário demonstrar que o Principio da Boa Ordenação pode ser deduzido a partir do Princípio da Indução Completa, e isto é o que faremos a seguir Teorema 417 (Princípio da Boa Ordenação) Todo subconjunto não vazio A µ IN possui um menor elemento Demonstração: Suponhamos que existe um subconjunto não vazio B µ IN que não possui um menor elemento Usaremos o Princípio da Indução Completa para demonstrar que isto não pode acontecer Vejamos: BI - Desde que 1 é o menor elemento dentre todos números naturais, temos que 1 /œ B, caso contrário, B teria um menor elemento 117

HI - Suponhamos que para todo r, com 1 Æ r Æ k, a afirmação seja verdadeira, isto é, suponhamos que 1, 2, 3,k /œ B PI - Verifiquemos se a afirmação é também verdadeira para k +1, ou seja, verifiquemos se k +1 /œ B De fato, se k +1œ B, então k +1 seria o menos elemento de B, já que não existe nenhum número natural entre k e k +1 O que contradiz a nossa hipótese de que B não possui um menor elemento Logo, k +1 /œ B Então, pelo Teorema 414, todos os números naturais não pertencem a B, ou seja, B = ÿ, que é uma contradição Portanto, todo subconjunto não vazio A µ IN possui um menor elemento Finalizamos esta seção apresentando os pertinentes comentários e exemplos do Prof Elon Lages Lima retirados de [Lima 1998] A saber: Para habituar-se com o método de demonstração por indução é preciso praticá-lo muitas vezes, a fim de perder aquela vaga sensação de desonestidade que o principiante tem quando admite que o fato a ser provado é verdadeiro para n, antes de demonstrá-lo para n +1 Pratique também (com moderação) o exercício de descobrir o erro em paradoxos que resultam do uso inadequado do método de indução Vejamos dois desses sofismas: Exemplo 418 Todo número natural é pequeno Solução Ora, 1 certamente é pequeno E se n é pequeno, n + 1 não vai subitamente tornar-se grande, logo também é pequeno (O erro aqui consiste em que a noção número pequeno não é bem definida) O perigo de fazer generalizações apressadas relativamente a asserções sobre números naturais fica evidenciado com o seguinte exemplo: Exemplo 419 Considere o polinômio p(n) =n2 n+41 e a afirmação o valor de p(n) é sempre um primo para n =0, 1, 2, 3, Solução Embora isso seja verdadeiro para n =0, 1, 2,,40, temos que p(41) = 412 41 + 41 = 412 não é primo, logo a afirmação não é verdadeira Semelhantemente, a expressão q(n) =n 2 79n+1601 fornece primos para n =1, 2,,79, mas q(80) = 80 2 79 80 + 1601 = 1681 não é primo, pois é divisível por 41 A moral da história é: Só aceite que uma afirmação sobre os números naturais é realmente verdadeira para todos os naturais se isso houver de fato sido demonstrado! 118

Exercícios Propostos 1 Verifique se as seguintes são verdadeiras para todo n œ IN: a) n 2 Ø n b) n! >n 2, para n Ø 4 c) 2 n >n d) 2n Æ n 2, para n Ø 2 e) n! Ø 2 n 1 f) n 3 <n!, para n Ø 6 g) 1+2+2 2 +2 3 + +2 n =2 n+1 1 h) 2+2 2 +2 3 + +2 n =2 n+1 2 i) 1 2+2 3+3 4+ + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) 3 2 Verifique se para todo número natural n>5, 4n <2 n 3 Verifique se 2n +1< 2 n, para todo número natural n Ø 3 4 Verifique se para qualquer n œ IN, 2 n Ø n +1 5 Verifique se para todo n œ IN, 8 n 3 n é divisível por 5 6 [Oliveira e Fernández 2010] Demonstre que para qualquer n œ IN é válida a igualdade: 1+3+5+7+ +(2n 1) = n 2 119

Exercícios Propostos 7 Demonstre que 6 n 1 é divisível por 5 para todo número natural n 8 Verifique se para todo n œ IN a igualdade a seguir é verdadeira 1+4+7+ +(3n 2) = n(3n 1) 2 9 Demonstre que 23 n 1 é divisível por 11 para todo número natural n 10 Demonstre que para n Ø 1 tem-se 1 1! + 2 2! + 3 3! + + n n! =(n + 1)! 1 11 Demonstre que 2 n >n 2, para n Ø 5 12 Demonstre que 2n 3 > 3n 2 +3n +1para n Ø 3 13 [Oliveira e Fernández 2010] Mostre que para todo número n œ IN, n>3, vale que 2 n <n! 14 [Oliveira e Fernández 2010] Mostre que para qualquer n œ IN, n 3 +2n é sempre divisível por 3 15 Por que não podemos usar o Princípio da Indução Matemática no Exemplo 416? 16 Demonstre que todo número natural n Ø 12 pode ser escrito como uma soma de números 4 e números 5 (Sugestão: Note que a afirmação é verdadeira para 12, 13, 14 e 15) 17 Suponha que temos selos de 4 e 7 centavos Prove que é possível ter qualquer valor de postagem de 18 centavos ou mais usando somente esses selos 120

44 Princípio da Casa dos Pombos Como foi dito no início deste capítulo, o Princípio da Casa dos Pombos, também conhecido como Princípio das Gavetas de Dirichlet, é uma simples observação de contagem que possui várias aplicações em vários ramos da Matemática, e pode ser enunciado em sua versão mais simples da seguinte forma: Teorema 420 (Princípio da Casa dos Pombos) Se distribuímos n +1 pombos em n casas, então alguma das casas deverá conter pelo menos dois pombos Demonstração: A demonstração deste princípio decorre simplesmente de se fazer uma contagem dos pombos contidos em todas as casas depois de distribuídos De fato, suponhamos que em cada casa não há mais do que um pombo Então contando todos os pombos contidos nas n casas obtemos apenas n pombos Mas isto contradiz a hipótese de que foram distribuídos n +1 pombos nas n casas Portanto, alguma das casas deverá conter pelo menos dois pombos Para aplicarmos o Princípio das Casas de Pombos com sucesso é necessário, a partir dos dados do problema a ser resolvido, adotar a seguinte estratégia: Primeiramente, devemos identificar quais são as casas e quais são os pombos; na sequência devemos distribuir os pombos nas casas; e por fim determinar a relação existente entre ambos os pombos e casas Vejamos alguns exemplos simples de como aplicar o Princípio da Casa dos Pombos na resolução de problemas Exemplo 421 Em uma grande cidade com mais de 1 milhão de habitantes existem pessoas com o mesmo número de fios de cabelo? Solução Neste exemplo, as pessoas representam as casas e os cabelos representam os pombos Sendo assim, é sabido que em geral uma pessoa tem cerca de 150 mil fios de cabelo Portanto, é razoável supor que ninguém tem mais de 1000000 de fios de cabelo em sua cabeça Se há mais habitantes do que o número máximo de fios de cabelo, pelo Princípio da Casa dos Pombos, necessariamente pelo menos duas pessoas terão precisamente o mesmo número de fios de cabelo Exemplo 422 Uma criança precisa pegar meias para acabar de se vestir para ir à escola Como as janelas do quarto estão fechadas porque seu irmão ainda dorme, ela terá que pegá-las sem acender a luz Na gaveta há 26 meias misturadas: 10 meias pretas idênticas e 16 meias brancas idênticas Qual a quantidade mínima de meias que a criança terá que retirar para garantir ter retirado um par de meias da mesma cor? 121

Solução Aqui as cores representam as casas e as meias os pombos Note que a primeira meia retirada é branca ou preta A segunda pode ser da mesma cor da primeira ou não Obviamente se retirou da mesma cor anterior já formou um par, mas não podemos garantir que isto ocorreu Mas, com a retirada da 3 a meia, obrigatoriamente, terá retirado um par de meias da mesma cor, pois, existem apenas duas cores e foram retiradas 3 meias Portanto, pelo Princípio da Casa dos Pombos, a quantidade mínima de meias que a criança terá que retirar para obter um par da mesma cor é 3 Exemplo 423 Considerando um grupo com 13 pessoas, podemos afirmar que existem pelo menos 2 pessoas que aniversariam no mesmo mês? Solução Sendo as casas representadas pelos meses e os pombos representados pelas pessoas, a resposta à pergunta é sim Isto porque existem apenas 12 meses e o grupo é formado formado por 13 pessoas, ou seja, se distribuirmos as pessoas por meses teríamos, por exemplo, a primeira aniversariando em janeiro, a segunda em fevereiro, e assim por diante até completar 12 pessoas Mas, havendo 13 pessoas, pelo Princípio da Casa dos Pombos, certamente, pelo menos duas delas comemoram o aniversário num mesmo mês Na realidade, em qualquer grupo com mais de 12 pessoas podemos garantir que existem pelo menos 2 pessoas que aniversariam num mesmo mês é claro que poderemos ter todas as pessoas aniversariando num mesmo mês, assim como termos vários meses com mais de uma pessoa aniversariando, o que não contradizem a afirmação anterior Exemplo 424 Se as notas de uma prova valem de 1 a 10, semusode casa decimal, quantos alunos uma turma deve ter para que, no mínimo, 2 alunos tirem a mesma nota? Solução Nesse caso, os pombos são os alunos e as casas, as notas Como temos 10 casas, precisamos, pelo Princípio da Casa dos Pombos, de no mínimo 10 + 1 = 11 pombos Logo, com 11 ou mais alunos numa turma, poderemos garantir repetição de nota Exemplo 425 Quantas vezes devemos jogar um dado de 6 faces para se ter certeza que um mesmo número vai cair duas vezes? Solução Na pior das hipóteses, se jogarmos o dado 6 vezes, teremos os números, não necessariamente nesta ordem, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 Certamente se jogarmos o dado mais uma vez, obrigatoriamente, vai cair um número igual a outro já obtido, pois, temos apenas 6 possibilidades para as faces e jogamos o dado 7 vezes Portanto, pelo Princípio da Casa dos Pombos, se jogarmos o dado 6+1=7vezes, teremos um número que se repete mais do que uma vez 122

Exemplo 426 Admitindo que ser amigo seja uma relação simétrica, ou seja, se A é amigo de B, então B é amigo de A, será que existem duas pessoas no mundo que possuem o mesmo número de amigos? Solução Para resolvermos o problema, temos que o mundo possui um número finito de habitantes, portanto, chamemos esse número de n Observe que uma pessoa pode não ter amigos, pode ter 1 amigo, ou 2 amigos, e assim sucessivamente, até n 1 amigos, pois num mundo com n habitantes, uma pessoa só pode ser amiga de no máximo n 1 pessoas Considere o número de amigos como as casas, tal que na casa [0] está a pessoa que não possui amigos, na casa [1] está a pessoa que possui 1 amigo, e assim sucessivamente Dessa forma, teremos n casas, a saber, [0], [1], [2],,[n 1] Agora, observe que se uma pessoa ocupar a casa [0], nenhuma outra poderá ocupar a casa [n 1], pois, como a relação de amizade é simétrica, não pode existir uma pessoa que não possua amigos e outra que é amigo de todos e, vice-versa Logo, temos n 1 casas para serem ocupadas e, considerando o número de participantes como pombos, segue que temos n pombos Portanto, pelo Princípio da Casa dos Pombos, haverá uma casa com pelo menos dois pombos, o que mostra que há duas pessoas que possuem exatamente o mesmo número de amigos Exemplo 427 [Oliveira e Fernández 2010] Dados 8 números inteiros, mostre que existem dois deles cuja diferença é divisível por 7 Solução Considerando os 8 números como sendo os pombos e as casas como sendo os 7 possíveis restos na divisão por 7 Como temos 8= 7+1 números o Princípio da Casa dos Pombos nos diz que existem dois números dentre os 8 dados que têm o mesmo resto quando divididos por 7 Finalmente, observamos que se dois números deixam o mesmo resto na divisão por 7, então a diferença entre eles é divisível por 7 Exemplo 428 Um agricultor têm 4 caixas para guardar maçãs Ele quer que, pelo menos uma das caixas tenham, no mínimo, 3 maçãs Quantas maçãs ele deve ter para garantir isso? Solução Observe que se ele tiver apenas 1 ou 2 maças, obviamente, isto não garante que 1 caixa tenha 3 maçãs Se ele tiver 3 maçãs, estas podem estar numa mesma caixa, e assim, satisfazer a vontade do agricultor Mas, ele dependerá da sorte de ter as maçãs colocadas todos numa mesma caixa, ou seja, não há garantia de que isto ocorra Da mesma forma, se ele tiver 4, 5, 6 ou 7 maças, não podemos garantir o seu pedido Já com 8 maças, com uma pitada de sorte, poderíamos ter 2 maças em cada caixa, porém, isto não garante que teríamos 3 maças em cada caixa Agora, se tiver 9 maçãs observe que, por mais azar que tenha o agricultor, ao colocar 8 maçãs nas 4 caixas, cada caixa terá 2 123

maçãs Mas, quando colocar a 9 a maçã, com certeza ela estará em uma das caixa, a qual conterá 3 maçãs Portanto, 9 maçãs me dão a certeza de que pelo menos 1 das caixas terá 3 maçãs O Princípio da Casa dos Pombos, apresentado no Teorema 420, pode ser enunciado de uma forma mais geral, a saber: Teorema 429 (Princípio da Casa dos Pombos Generalizado) Se distribuímos nk +1 pombos em n casas, então alguma das casas deverá conter pelo menos k +1pombos Demonstração: Suponhamos que em cada casa não há mais do que k pombo Então contando todos os pombos contidos nas n casas obtemos apenas nk pombos Mas isto contradiz a hipótese de que foram distribuídos nk +1 pombos nas n casas Portanto, alguma das casas deverá conter pelo menos k +1pombos Exemplo 430 Uma prova de concurso possui 10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas cada Qual é o menor número de candidatos para o qual podemos garantir que pelo menos 3 deles preencheram o cartão resposta com exatamente as mesmas respostas para todas as questões? Solução Queremos garantir que em cada casa, que são os gabaritos, haja pelo menos 3 pombos, que são os candidatos Cada uma das 10 questões do concurso pode ser respondida de 5 maneiras diferentes Desta forma, pelo Princípio Fundamental da Contagem, há 5 10 maneiras diferentes de preenchermos o cartão resposta Facilmente podemos concluir que se o concurso tiver ate 5 10 2 candidatos, ainda não poderemos garantir que mais de dois candidatos terão gabaritos iguais Por outro lado, se tivermos 5 10 2+1 candidatos, teremos o número de casas maior que o dobro do número de pombos, o que garante, pelo Princípio da Casa dos Pombos Generalizado, que pelo menos 2+1=3candidatos preencheram o cartão resposta com exatamente as mesmas respostas para todas as questões Exemplo 431 Quantas pessoas devem estar, no mínimo, em um grupo, para que possamos garantir que ao menos 5 delas tenham nascido num mesmo mês Solução Como o ano tem 12 meses, se tivéssemos 4 pessoas nascidas em cada mês do ano, isto 12 4 = 48, a coincidência solicitada ainda não teria sido alcançada Com uma pessoa a mais, ou seja 12 4+1 = 49, pelo Princípio da Casa dos Pombos Generalizado, ao menos 4+1=5delas teriam de ter nascido no mesmo dia da semana Portanto, o número mínimo de pessoas nesse grupo deve ser 49 124

Exercícios Propostos 1 [Giacomo] Em uma floresta existem 106 jaqueiras É conhecido que cada uma dessas jaqueiras não produz anualmente mais do que 92 frutos Prove que existem 2 jaqueiras na floresta que têm a mesma quantidade de frutos 2 [Giacomo] Uma caixa contém 3 tipos de bolas (azuis, verdes, amarelas) Qual o número mínimo de bolas que devemos retirar da caixa para garantirmos que temos duas bolas da mesma cor? 3 Quantas pessoas, no mínimo, devem morar numa casa com 7 quartos para garantirmos que pelo menos duas dormem num mesmo quarto? 4 Prove que, dados 11 números inteiros quaisquer, a diferença entre dois deles será um múltiplo de 10 5 Numa festa de aniversário com 37 crianças, mostre que pelo menos 4 nasceram no mesmo mês 6 Uma urna contém 5 bolas pretas, 4 bolas vermelhas, 6 bolas amarelas, 7 bolas verdes e 9 bolas azuis Qual o menor número de bolas que devem ser retiradas (sem olhar) para que possamos ter certeza de termos tirado pelo menos 4 bolas de uma mesma cor? 7 Quantas cartas devem ser escolhidas de um baralho de 52 cartas para garantir que pelo menos três cartas do mesmo naipe sejam escolhidas? 8 É possível que, numa festa de aniversário com mais de 12 crianças, existem pelo menos 2 nascidas no mesmo dia da semana? 9 Quantas pessoas devem estar, no mínimo, em uma festa, para que possamos garantir que ao menos 3 delas tenham nascido num mesmo dia da semana? 125

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