NOTAS DE AULA: LÓGICA, INDUÇÃO E INICIAÇÃO MATEMÁTICA

NOTAS DE AULA: LÓGICA, INDUÇÃO E INICIAÇÃO MATEMÁTICA André Luiz Galdino Notas de Aula: Lógica, Indução e Iniciação Matemática 3

SUMÁRIO 3 1 Noções de Análise Combinatória 4 11 Princípio da Regra da Soma e da Regra do Produto 4 12 Fatorial 12 13 Arranjos Simples e com Repetição 16 14 Permutações Simples e com Repetição 24 15 Combinações Simples 33 16 Coe ciente Binomial e Binômio de Newton 38 2 Noções de Lógica Matemática 54 21 Cálculo Proposicional 55 22 Tabelas Verdade 67 23 Contingência, Tautologia e Contra-Tautologia 75 24 Implicação e Equivalência Tautológica 78 3 Enunciados, Demonstrações e Paradoxos 82 31 De nições, Teoremas e Demonstrações 82 32 Tipos de Demonstrações 89 33 Paradoxos, So smas e Falácias 96 4 Indução Matemática e Princípio da Casa dos Pombos 103 41 Princípio da Boa Ordenação 103 42 Princípio da Indução Matemática 107 43 Princípio da Indução Completa 114 44 Princípio da Casa dos Pombos 121

1 Noções de Análise Combinatória Desde pequenos, aprendemos a contar E é impossível imaginar uma vida sem contar, agrupar, escolher e assim por diante Neste sentindo, a análise combinatória vem nos fornecer técnicas para que possamos realizar contagens com eficiência, brevidade e precisão De forma geral, a análise combinatória é fundamentada em dois princípios básicos: o Princípio da Regra da Soma e o Princípio da Regra do Produto Além disso, suas principais ferramentas são o Arranjo, a Permutação e a Combinação 11 Princípio da Regra da Soma e da Regra do Produto Definição 11 O Princípio da Regra da Soma nos diz que, se um evento E 1 pode ocorrer de m 1 maneiras, um segundo evento E 2 pode ocorrer de m 2 maneiras, e assim sucessivamente até o n-ésimo evento E n que pode ocorrer de m n maneiras e, além disso, os eventos E 1, E 2,,E n não podem ocorrer simultaneamente, ou seja, são eventos disjuntos, então o número total de ocorrências será dado pela soma: m 1 + m 2 + m 3 + + m n Exemplo 12 Em uma sacola existem 7 bolas brancas e 5 bolas pretas Em um jogo de sorteio, qual o número máximo de pessoas participantes, sendo que cada pessoa deve pegar apenas uma bola da sacola? Solução Como cada pessoa pode pegar apenas uma bola da sacola, então 7 pessoas devem pegar uma bola branca cada e 5 pessoas devem pegar uma bola preta cada Uma vez que pegar uma bola branca ou pegar uma bola preta são eventos disjuntos, pelo Princípio da Regra da Soma, temos que o número máximo de pessoas é dado por 7 + 5 = 12 Exemplo 13 [Gentil et al 1996] Três companhias de ônibus e 2 companhias de aviação cobrem o percurso entre as cidades A e B De quantos modos diferentes podemos viajar entre essas duas cidades? Solução A forma que escolhermos de viajar, ônibus ou avião, independe uma da outra Isto é, viajar de ônibus ou avião é uma opção, não interferindo uma escolha na outra, como mostra a Figura 11 Então, para irmos de A até B, podemos optar por: 3 maneiras diferentes, se formos de ônibus, ou 2 maneiras diferentes, se formos de avião Logo, pelo Princípio da Regra da Soma, o total de possibilidades existentes para ir de A até B é 3+2 = 5 4

ônibus 1 Avião 1 A B A B ônibus 2 ônibus 3 Avião 2 Figura 11: Formas de viajar entre as cidades A e B Definição 14 O Princípio da Regra do Produto, também conhecido como Princípio Fundamental da Contagem, nos diz que, se um evento ocorre em n situações independentes e sucessivas, tendo a primeira situação ocorrendo de m 1 maneiras, a segunda situação ocorrendo de m 2 maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação ocorrendo de m n maneiras, temos que o número total de ocorrências será dado pelo produto: m 1 m 2 m 3 m n Exemplo 15 Suponhamos que temos quatro caixas de diferentes cores: Verde, Laranja, Azul e Branca De quantas maneiras diferentes podemos empilhar tais caixas sobre uma mesa? Solução Na escolha da primeira caixa a ser colocada sobre a mesa há 4 possibilidades: Verde, Laranja, Azul e Branca Uma vez escolhida a primeira caixa, digamos a Azul, na escolha da segunda caixa, a ser colocada sobre a primeira, temos 3 possibilidades: Verde, Laranja e Branca Se a segunda caixa escolhida é a Verde, na escolha da próxima caixa temos 2 possibilidades: Laranja e Branca Se escolhemos a terceira caixa como sendo a Branca, para a quarta caixa, sem dúvida, haverá apenas 1 possibilidade: Laranja Tabela 11: Possibilidades de empilhar as 4 caixas 4 a caixa 1 possibilidade 3 a caixa 2 possibilidades 2 a caixa 3 possibilidades 1 a caixa 4 possibilidades Então, temos 4 possibilidades para a 1 a caixa, 3 possibilidades para a 2 a caixa, 2 possibilidades para a 3 a caixa e 1 possibilidade para a 4 a caixa, como mostra a Tabela 11 Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de possibilidades, maneiras diferentes de se empilhar as caixas sobre a mesa, é 4 3 2 1 = 24 (veja Figura 12) 5

1 a caixa 1 a caixa 2 a caixa 2 a caixa 2 a caixa 2 a caixa 2 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa mesa 2 a caixa 2 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 1 a caixa 1 a caixa 2 a caixa 2 a caixa 2 a caixa 2 a caixa 2 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa 3 a caixa 4 a caixa Figura 12: Árvore de possibilidades para empilhar as 4 caixas 6

Exemplo 16 [Gentil et al 1996] Se uma pessoa tem 4 calças diferentes e 3 camisas diferentes, de quantas formas ela pode se vestir? Solução Observando a árvore de possibilidades, Figura 13, vemos que na escolha da calça temos 4 possibilidades e, para cada calça escolhida, temos na escolha da camisa 3 possibilidades Então, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de possibilidades é 4 3 = 12 Portanto, a pessoa possui 12 formas diferentes de se vestir camisa 1 calça 1 camisa 2 camisa 3 camisa 1 pessoa calça 2 calça 3 camisa 2 camisa 3 camisa 1 camisa 2 camisa 3 calça 4 camisa 1 camisa 2 camisa 3 Figura 13: Árvore de possibilidades para a escolha das calças e camisas Exemplo 17 [Gentil et al 1996] Para irmos da cidade A até a cidade C, obrigatoriamente passamos pela cidade B Três companhias de ônibus cobrem o percurso entre A e B, e duas companhias de aviação ligam B e C De quantos modos diferentes é possível viajar de A até C? Solução Para irmos de A até B temos 3 possibilidades diferentes de ônibus, e para irmos de B até C temos 2 possibilidades diferentes de avião, como mostra a Figura 14a Observe ainda que para cada escolha de ônibus, para ir de A até B, temos 2 opções de escolha de avião para ir de B até C, como mostra a Figura 14b 7

Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de possibilidades existentes, modos diferentes que podemos viajar de A até C, é 3 2 = 6 ônibus 1 avião 1 A B C ônibus 2 ônibus 3 avião 2 (a) Opções de viajar de A até C viajar ônibus 1 ônibus 2 ônibus 3 (b) Árvore de possibilidades avião 1 avião 2 avião 1 avião 2 avião 1 avião 2 Figura 14: Opções e árvore de possibilidades de viajar entre as cidades A, B e C Exemplo 18 [Veia 2009] Suponha que você deseja ir da cidade A para a cidade D, e tenha as opções observadas na Figura 15 De quantas maneiras possíveis você poderá fazer a sua viagem escolhendo apenas um dos caminhos? B A D C Figura 15: Formas de viajar entre as cidades A, B, C e D 8

Solução Veja as seguintes opções para ir de A para D: 1 a Opção: Ir de A para D passando por B A B D Figura 16: Formas de viajar de A para D passando por B Neste caso, temos que ir de A para B e depois de B para D Como mostra a Figura 16 há apenas 1 possibilidade para ir de A para B e apenas 1 possibilidade para ir de B para A Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 1 1 = 1possibilidade de irmos de A até D passando por B 2 a Opção: Ir de A para D direto A D Figura 17: Formas de viajar de A para D direto Aqui, sem dúvida, temos apenas 2 possibilidades para irmos de A para D direto 3 a Opção: Ir de A para D passando por C A C D Figura 18: Formas de viajar de A para D passando por B Por fim, como mostra a Figura 18, temos 2 possibilidades para ir de A para C e 1 possibilidade para ir de C para D O que dá 2 1=2 possibilidades, segundo o Princípio Fundamental da Contagem Ou seja, temos 2 possibilidades para ir de A até D passando por C É fácil ver que nenhuma das 3 opções apresentadas interferem uma na outra, ou seja, aplicando o Princípio da Regra da Soma, o total de possibilidades que temos para ir de A até D é 1+2+2=5 Note, que no Exemplo 18 usamos tanto o Princípio Fundamental da Contagem quanto o Princípio da Regra da Soma 9

Exercícios Propostos 1 [Gentil et al 1996] Quantos automóveis podem ser licenciados no sistema em que cada placa é formada por 2 letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)? 2 Um comprador deseja comprar um veículo de uma concessionária A concessionária tem 23 carros e 14 caminhões em estoque Quantas possíveis escolhas o comprador pode ter? 3 [Gentil et al 1996] O centro cívico de uma escola realiza eleições para preenchimento das vagas de sua diretoria Para presidente, apresentam-se 5 candidatos; para vicepresidente, 8 candidatos; e para secretário, 6 candidatos Quantas chapas podemos formar? 4 (UFBA) Existem 5 ruas ligando os supermercados S 1 e S 2 e 3 ruas ligando os supermercados S 2 e S 3 Quantos trajetos diferentes existem para ir de S 1 a S 3, passando por S 2? 5 Existem oito professores do sexo masculino e cinco professores do sexo feminino para a disciplina de matemática discreta em uma universidade De quantas formas um estudante pode escolher um professor? 6 (PUC/BA) Pretende-se pintar as quatro faixas horizontais de uma bandeira usando-se no máximo quatro cores: azul, branca, verde e amarela Se duas faixas consecutivas não podem ser pintadas de uma mesma cor, então determine o número de bandeiras distintas que poderão ser pintadas 7 Quantos são os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5? 8 Eu possuo 4 pares de tênis e 10 pares de meias De quantas maneiras poderei me calçar utilizando um par de meias e um de tênis? 10

9 Considerando os mesmos últimos 4 dígitos do seu telefone, quantos números de quatro dígitos sem repetições de dígitos existem? 10 [Escola 2014] Na criação da senha de uma conta bancária, o cliente é informado que deve ser feita uma combinação de seis números sem repetição Os números utilizados devem ser os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Determine o número possível de senhas que podem ser criadas 11 [Escola 2014] Em uma empresa de informática, o código de acesso dos funcionários deve ser criado utilizando três letras e quatro números, sem repetição Sabendo que o código pode ser criado utilizando três letras entre 26, e quatro números entre 10 algarismos, determine o possível número de códigos que podem ser criados 12 [Escola 2014] Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos? 13 (FUVEST - 2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, istoé, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3 De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? 14 [Martins 2014] Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento? 11

12 Fatorial Definição 19 Considerando n um número natural diferente de zero e maior que 1, definimos como fatorial de n, e denotamos por n!, oproduto dado por: n! =n (n 1) (n 2) (n 3) 3 2 1 Quando conveniente, e não oferecer dúvidas, omitiremos o símbolo de multiplicação na expressão acima Note que na Definição 19 não consideramos n =0enemn =1 No entanto, sem prejuízo podemos definir 0! = 1 e 1! = 1 Além disso, a Definição 19 restringe o fatorial apenas aos números naturais, ou seja, se tivermos algo como (n 5)! temos, obrigatoriamente, uma condição de existência a ser satisfeita que é n 5 Ø 0, ou seja, n Ø 5 Exemplo 110 Calcule o fatorial de 4, 5, 6 e 7 Solução 1) 4! = 4 3 2 1 = 24 2) 5! = 5 4 3 2 1 = 120 3) 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720 4) 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040 Exemplo 111 Calcule 6! 4! e 9! 11! Solução 1) 6! 4! = 6 5 4 3 2 1 =6 5 = 30 4 3 2 1 2) 9! 11! = 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 1 11 10 = 1 110 Observe que o uso da Definição 19 pode se tornar um tanto quanto inconveniente, dependendo do número natural em questão Por exemplo, se queremos calcular 200! No entanto, para facilitar alguns cálculos podemos nos valer de uma simples propriedade, que é a simplificação de fatoriais A saber: n! =n (n 1)! 12

Exemplo 112 Calcule 8!, 9!, 11! e 7! Solução 9! 7! 8! 10! 1) 8! = 8 (8 1)! = 8 7! = 8 5040 = 40320 2) 9! = 9 8! = 9 40320 = 362880 3) 11! 7! 4) = 11 10 9 8 7! 7! = 11 10 9 8 = 7920 9! 7! 8! 10! = 9! 7! 8 7! 10 9! = 1 8 10 = 1 80 Exemplo 113 Simplifique a expressão Solução (n + 1)! (n 1)! = (n + 1)!, onde n Ø 1 (n 1)! (n + 1) (n +1 1) (n +1 2)! (n 1)! = (n + 1) n (n 1)! (n 1)! = n(n + 1) Exemplo 114 Determine o valor de n tal que (n + 2)! = 20 n! Solução A ideia principal desse tipo de problema é eliminar o fatorial Vejamos: (n + 2)! = 20 n! (n + 2) (n +2 1) (n +2 2)! = 20 n! (n + 2) (n + 1) n! = 20 n! (n + 2) (n + 1) = 20 Observe que a última equação obtida não contém fatorial Mais ainda, tal equação é na verdade uma equação do 2 o grau De fato, (n + 2) (n + 1) = 20 n 2 +3n + 2 = 20 n 2 +3n 18 = 0 Sendo assim, usando a Fórmula de Baskara podemos encontrar as raízes da última equação, as quais são n 1 = 6 e n 2 =3 Consequentemente, as possíveis soluções do problema são n = 6 ou n =3 Mas como não existe fatorial de números negativos, veja Definição 19, eliminamos a possibilidade n = 6 Portanto, a solução do problema é n =3 13

Exemplo 115 [Gentil et al 1996] Dada a expressão 1 (n 4)! + 1 (n 3)!, com n Ø 4, efetuar as operações indicadas, simplificando o resultado Solução Como se trata de uma adição de frações de denominadores diferentes, devemos reduzir a expressão ao mesmo denominador Sendo assim, sabendo que (n 3)! = (n 3)(n 4)!, temos: 1 (n 4)! + 1 (n 3)! = (n 3)! + (n 4)! (n 3)! (n 4)! = (n 3) (n 4)! + (n 4)! (n 3)! (n 4)! = (n 3) (n 4)! + (n 4)! (n 3)! (n 4)! = (n 3) + 1 (n 3)! = n 2 (n 3)! Exemplo 116 [Gentil et al 1996] Exprimir, por meio de fatoriais, a expressão (x + 3)(x + 2) Solução Lembrando que podemos expressar o número 1 como sendo a divisão de dois números iguais e diferentes de zero temos: (x + 3)(x + 2) = (x + 3)(x + 2) 1 = (x + 3)(x + 2) (x + 1) x (x 1) 2 1 (x + 1) x (x 1) 2 1 = = (x + 3)(x + 2) (x + 1) x (x 1) 2 1 (x + 1) x (x 1) 2 1 (x + 3)! (x + 1)! 14

Exercícios Propostos 1 [Gentil et al 1996] Calcule o valor de: (a) (13 6)! (b) (3 + 2 4 5)! 8! 5! (c) 6! 9! (d) 3! + 4! 2 4 5! (e) 5! 3 4 ( 2+3 2+3)! 10! 7! (f) 2 5! 12! 2 [Gentil et al 1996] Classifique as sentenças abaixo em verdadeiras ou falsas: (a) 10! + 10! = 2 10! (b) 7! 7! = 1 (c) (5 4)! = 5! 4! (d) 6 5! = 6! 3 [Gentil et al 1996] Simplifique as expressões: (a) (b) (c) (d) (n 3)! (n 5)! (n + 2)! n! (n + 3)! (n 2)! n! (n 1)! (n + 1)! (n + 3)! (n + 2)! (n + 4)! (e) (f) (n + 4)! (n 2 +7n + 12) n! (n 2)! (n + 1)! + (n 3)! (n 2)! (g) (3n)! n! 4 [Gentil et al 1996] Resolva as seguintes equações: (a) (b) 8 (x + 3)! (x + 4)! =2 x! 20 x! = (x 4)! (x 2)! (c) (d) x! (x + 1)! + (x 2)! x! (x + 2)! (x + 1)! = 2 (x 6)! (x 7)! 5 Exprima (x + 8)(x + 7)(x + 6) por meio de fatoriais 15

13 Arranjos Simples e com Repetição Definição 117 Seja A um conjunto com n elementos distintos e p um número natural, tal que n Ø p Arranjo simples é o número de maneiras distintas que podemos escolher p elementos distintos do conjunto A, onde a ordenação desses elementos forma agrupamentos distintos Denotamos o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p por A n,p Sendo A um conjunto com n elementos distintos, podemos escolher p elementos distintos do conjunto A da seguinte forma: Tabela 12: Arranjo simples 1 o elemento 2 o elemento 3 o elemento 4 o elemento p o elemento Temos n possibilidades, pois não escolhemos nenhum elemento ainda Temos n 1 possibilidades, pois já escolhemos um elemento anteriormente Temos n 2 possibilidades, pois já escolhemos dois elementos anteriormente Temos n 3 possibilidades, pois já escolhemos três elementos anteriormente Temos n (p 1) possibilidades, pois já escolhemos p 1 elementos anteriormente Consequentemente, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de possibilidades que temos, isto é, o total de arranjo simples é: A n,p = n(n 1)(n 2) (n (p 1)) = n(n 1) (n p + 1) (n p)(n p 1) 2 1 (n p)(n p 1) 2 1 = = n(n 1) (n p + 1)(n p)(n p 1) 2 1 (n p)(n p 1) 2 1 n! (n p)! 16

Exemplo 118 [Gentil et al 1996] Com os algarismos 4, 6, 8 e 9, quantos números possíveis de 2 algarismos distintos podemos formar? Solução O problema se resume em agrupar os quatro algarismos dados de dois em dois Como os dois algarismos devem ser distintos, temos que a troca de posição dos algarismos em cada grupo de dois implica o aparecimento de números diferentes, por exemplo, 68 = 86 Logo, estamos lidando com um problema de arranjo simples e temos que arranjar 4 elementos tomados 2 a 2: A 4,2 = 4! (4 2)! = 4! 2! = 24 2 = 12 Portanto, é possível formar 12 números distintos de 2 algarismos distintos com os algarismos 4, 6, 8 e 9 Exemplo 119 [Escola 2014] Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro Eles serão escolhidos através do voto individual dos membros do conselho da empresa Vamos determinar de quantas maneiras distintas essa escolha pode ser feita Solução Na verdade, o que temos é um problema de arranjo simples, onde queremos agrupar 15 pessoas tomadas 2 a 2 Ou seja, A 15,2 = 15! (15 2)! = 15! 15 14 13! = 13! 13! = 15 14 = 210 Portanto, os cargos poderão ser ocupados de 210 maneiras distintas Exemplo 120 [Escola 2014] Um número de telefone é formado por 8 algarismos Determine quantos números de telefone podemos formar com algarismos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 8 Solução Onúmero2 deve ser fixado na 1 a posição e o número 8 na última Restaram, portanto, 6 posições e 8 algarismos, pois eles precisam ser diferentes Considerando que a ordem dos algarismos diferencie dois números de telefone, vamos arranjar 8 algarismos tomados 6 a 6 A 8,6 = 8! (8 6)! = 8 7 6 5 4 3 2! 2! =8 7 6 5 4 3 = 20160 Portanto, podemos formar 20160 números de telefones com algarismos distintos e que comecem com 2 e terminem com 8 Exemplo 121 [Escola 2014] Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9 Determine o número de possibilidades existentes num sorteio, cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos 17

Solução O problema consiste em arranjar 10 algarismos tomados 6 a 6: A 10,6 = 10! 10 9 8 7 6 5 4! = (10 6)! 4! = 10 9 8 7 6 5 = 151200 Portanto, o sorteio terá 151200 possibilidades de sequência de 6 algarismos Exemplo 122 [Escola 2014] Uma família é composta por seis pessoas (pai, mãe e quatro filhos) que nasceram em meses diferentes do ano Calcule as sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros dessa família Solução Sabemos que 1 ano é composto de 12 meses, então devemos determinar o número de sequências através do arranjo de 12 meses, tomados 6 a 6 Sendo assim, A 12,6 = 12! 12 11 10 9 8 7 6! = (12 6)! 6! = 12 11 10 9 8 7 = 665280 Portanto, podemos formar 665280 sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros dessa família Exemplo 123 [Noé 2014] Um campeonato de futsal será decidido em um quadrangular final envolvendo as seguintes seleções: Brasil, Itália, Espanha e Argentina De quantas maneiras distintas o pódio poderá ser formado Solução O pódio deverá contar com três seleções, 1 o, 2 o e 3 o lugares De modo que 4 seleções disputam o 1 o lugar, 3 seleções disputam o 2 o lugar e 2 seleções disputam o 3 o lugar Assim, devemos arranjar 4 times tomados 3 a 3, ou seja, A 4,3 = 4! (4 3)! = 4 3 2 1! 1! =4 3 2 = 24 Portanto, o pódio deverá ser formado por 24 maneiras distintas Exemplo 124 [Noé 2014] Para ocupar os cargos de presidente e vicepresidente da Câmara Federal, candidataram-se dez deputados federais De quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Solução Temos dez candidatos para ocuparem duas vagas, dessa forma, temos o seguinte arranjo simples A 10,2, dado por: A 10,2 = 10! 10 9 8! = (10 2)! 8! = 10 9 = 90 Portanto, a escolha pode ser realizada de 90 maneiras distintas 18

Exemplo 125 (UFOP) No meio da invasão tecnológica que toma conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque Ela lembra que a senha é formada por quatro dígitos distintos, sendo o primeiro 5 e o 6 aparece em alguma outra posição Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque? Solução O problema nos informa que o primeiro dígito é o número 5, e onúmero6 estará em algum dos outros três dígitos Sendo assim, para os outros dois dígitos temos que escolher entre os números 0, 1, 2, 3, 4, 7, 8 e 9 Ou seja, devemos escolher dois dígitos distintos entre oito números e, consequentemente, teremos A 8,2 possibilidades de escolha para os outros dois dígitos restantes No entanto, podemos ter os seguintes casos: 1 o Caso: Neste caso vamos assumir que o 6 é o segundo dígito: 4 o dígito 2 o dígito 3 o dígito 4 o dígito 5 6 8 possibilidades 7 possibilidades 2 o Caso: Aqui assumimos que o 6 é o terceiro dígito: 1 o dígito 2 o dígito 3 o dígito 4 o dígito 5 8 possibilidades 6 7 possibilidades 3 o Caso: Por fim vamos assumir que o 6 é o quarto dígito: 1 o dígito 2 o dígito 3 o dígito 4 o dígito 5 8 possibilidades 7 possibilidades 6 Observe que em cada um dos casos anteriores, teremos A 8,2 possibilidades de escolha para os dois dígitos restantes Consequentemente, teremos a resposta somando as possibilidades de cada caso, ou seja: A 8,2 + A 8,2 + A 8,2 =3 A 8,2 Portanto, o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir é: 8! 3 A 8,2 =3 (8 2)! = 8 7 6! 6! =3 8 7 = 168 19

Definição 126 Seja A um conjunto com n elementos distintos e p um número natural, tal que n Ø p Arranjo com repetição éonúmero de maneiras distintas que podemos escolher p elementos, que podem se repetir, do conjunto A Denotamos o número de arranjo com repetição por AR n,p Sendo A um conjunto com n elementos distintos, podemos escolher p elementos do conjunto A, que podem se repetir, da seguinte forma: Tabela 13: Arranjo com repetição 1 o elemento Temos n possibilidades 2 o elemento Temos n possibilidades (os elementos podem se repetir) 3 o elemento Temos n possibilidades (os elementos podem se repetir) 4 o elemento Temos n possibilidades (os elementos podem se repetir) p o elemento Temos n possibilidades (os elementos podem se repetir) Consequentemente, pelo Princípio Fundamental da Contagem, Definição 14, o total de possibilidades que temos, isto é, o total de arranjo com repetição é: AR n,p = n n n = n p p vezes Exemplo 127 Qual o total de placas de carro que podem ser construídas com 3 letras do alfabeto brasileiro? Solução O alfabeto brasileiro é composto por 26 letras E para formar as placas com 3 letras podemos repeti-las, ou seja, temos 26 possibilidades de escolha para a primeira letra, 26 possibilidades de escolha para a segunda letra e, finalmente, 26 possibilidades de escolha para a terceira letra Sendo assim, há aqui um problema de arranjo com repetição, onde devemos arranjar 26 letras tomadas 3 a 3 Então temos: AR 26,3 = 26 3 = 17576 Portanto, podemos formar 17576 placas de carro com 3 letras do alfabeto brasileiro Exemplo 128 Qual o total de placas de carro que podem ser construídas com 4 dígitos? 20

Solução Sabemos que há apenas 10 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e que para formar as placas com 4 dígitos podemos repetir dígitos, ou seja, temos 10 possibilidades de escolha para o primeiro, para o segundo, para o terceiro e para o quarto digito Sendo assim, temos aqui um problema de arranjo com repetição, onde devemos arranjar 10 dígitos tomados 4 a 4 Então temos: AR 10,4 = 10 4 = 10000 Portanto, podemos formar 10000 placas de carro com 4 dígitos Exemplo 129 Qual o total de placas de carro que podem ser construídas com 3 letras do alfabeto brasileiro e 4 dígitos? Solução Como vimos no Exemplo 127, temos AR 26,3 maneiras diferentes para formar placas com apenas 3 letras e podendo repeti-las Além disso, o Exemplo 128 nos mostra que existem AR 10,4 maneiras diferentes para formar placas com apenas 4 dígitos e podendo repetilos Consequentemente, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos AR 26,3 AR 10,4 maneiras diferentes para formar placas com 3 letras e 4 dígitos AR 26,3 AR 10,4 = 26 3 10 4 = 175760000 Portanto, existem 175760000 maneiras diferentes de formar placas de carro com 3 letras do alfabeto brasileiro e 4 dígitos Exemplo 130 [Silva 2013] Quatro amigos dirigem-se a uma pastelaria para comprarem, cada um, um bolo Nessa pastelaria existem 7 bolos diferentes à escolha De quantas maneiras diferentes pode ser feita a escolha dos bolos? Solução Cada amigo poderá escolher entre os 7 bolos disponíveis Além disso, nada impede que mais de um amigo escolha o mesmo bolo Por isso, devemos aplicar o arranjo com repetição de 7 elementos tomados 4 a 4: AR 7,4 =7 4 = 2401 Logo, os quatro amigos podem escolher os bolos de 2401 maneiras diferentes 21

Exercícios Propostos 1 [Gentil et al 1996, Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr 1994] Calcule: (a) A 7,4 (b) (A 5,2 ) 2 (c) A n,n (d) A 5,2 + A 6,1 A 5,3 A 10,2 A 7,3 (e) A m+1,m (f) 2 A 9,1 (g) A n,0 (h) A 6,2 + A 4,3 A 5,2 A 9,2 + A 8,1 2 [Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr 1994] Quantos números pares de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem repeti-los? 3 [Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr 1994] Determine o valor de x tal que: (a) A x,3 =4 A x,2 (b) A x,6 + A x,5 A x,4 =9 (c) A x,2 =9 A x,1 (d) A x,2 = 12 4 [Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr 1994] Determine o valor de n tal que: A n,2 + A n 1,2 + A n 2,2 = 20 5 [Didática 2014] Qual o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PADRINHO? 6 [Didática 2014] Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados? 7 Usando os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9 quantos números de 4 dígitos podem ser formados de modo que pelo menos 2 algarismos sejam iguais? 22

8 [Silva 2013] Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno? 9 [Silva 2013] Em um torneio internacional de natação participaram cinco atletas europeus, dois americanos e um brasileiro (a) De quantos modos distintos poderão ser distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze? (b) Em quantos resultados só aparecem atletas europeus nas três primeiras posições? (c) Em quantos resultados o atleta brasileiro recebe medalha? (d) Supondo que o atleta brasileiro não recebeu medalha, determine o número de resultados em que há mais atletas europeus do que americanos no pódio? 10 [Silva 2013] Numa reunião de 7 pessoas há 9 cadeiras Determine de quantos modos distintos as 7 pessoas podem sentar-se nas 9 cadeiras 11 [Gentil et al 1996] Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os 5 primeiros números naturais diferentes de zero? 12 [Gentil et al 1996] De quantas formas podemos responder a 40 questões de um simulado com 5 alternativas diferentes para cada questão? 13 [Gentil et al 1996] Com os algarismos 2, 3 e 4, quantos números com 3 algarismos distintos podemos formar? 14 [Gentil et al 1996] Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 1 a 9? 23

14 Permutações Simples e com Repetição Permutação de n elementos distintos nada mais é do que todo agrupamento formado pelos n elementos, sendo um agrupamento distinto de outro quando em cada um dos dois houver, pelo menos, dois dos n elementos em ordens diferentes Definição 131 Definimos como permutação simples de n elementos todo arranjo simples de n elementos, tomados n a n Assim, denotando a permutação simples de n elementos por P n temos: ou seja, P n = A n,n = n! (n n)! = n! 0! = n!, P n = n! Note que, segundo a Definição 131, a ordem numa permutação é importante, além de que numa permutação simples de n elementos distintos não é permitido repetir os elementos Exemplo 132 [Veia 2009] Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra POR? Solução Um anagrama de uma palavra corresponde a qualquer permutação das letras dessa palavra, de modo a formar ou não outras palavras Ou seja, um anagrama da palavra POR é qualquer permutação que podemos construir com as letras P, O e R Logo, de acordo com a Tabela 14, podemos formar 6 anagramas com a palavra POR Tabela 14: Anagramas da palavra POR Fixando P na 1 a posição POR PRO Fixando O na 1 a posição ORP OPR Fixando R na 1 a posição ROP RPO Como as letras da palavra POR são distintas, o que há na Tabela 14 é uma permutação simples das 3 letras P, O e R Sendo assim, poderíamos responder a pergunta Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra POR? simplesmente calculando a permutação simples de 3 elementos, ou seja, P 3 = 3! = 6 24

Exemplo 133 [Veia 2009] De quantas maneiras diferentes podemos dispor um conjunto de 4 objetos distintos? Solução Temos aqui um caso de permutação simples, pois, desejamos permutar 4 objetos distintos Isto é: P 4 = 4! = 24 Logo, podemos organizar os 4 objetos de 24 maneiras distintas Exemplo 134 [Veia 2009] Considere a palavra PARTO a) Quantos anagramas podemos formar com essa palavra? Solução Uma vez que a palavra PARTO possui 5 letras, podemos formar P 5 anagramas distintos, ou seja, P 5 = 5! = 120 b) Quantos anagramas começam com uma consoante e terminam com uma vogal? Solução Na palavra PARTO temos 3 consoantes (P, R, T) e 2 vogais (A, O) Assim, 3 possibilidades para começar com uma consoante e duas possibilidades para terminar com uma vogal Então, para cada consoante e cada vogal escolhidas para a 1 a e última possibilidades, as 3 letras restantes permutam-se entre si Veja Tabela 15 Tabela 15: Anagramas começando com uma consoante e terminando com uma vogal 1 a (consoante) 2 a 3 a 4 a 5 a (vogal) 3 possibilidades permutação simples de 3 letras 2 possibilidades 3 P 3 2 Portanto, o total de anagramas começando com uma consoante e terminando com uma vogal é 36, pois, 3 P 3 2=3 3! 2=3 6 2 = 36 c) Quantos anagramas podemos formar com as consoantes aparecendo juntas? Solução Observe que devemos permutar as duas vogais com as três consoantes juntas, ou seja, devemos permutar 3 elementos distintos A saber, 2 elementos que são as vogais mais 1 elemento que é as três consoantes juntas (veja Tabela 16) Além disso, as três consoantes 25

também devem ser permutadas entre si, isto é, devemos permutar estes 3 elementos separadamente Portanto, o total de anagramas com as consoantes aparecendo juntas é dado por: P 3 P 3 = 3! 3! = 6 6 = 36 Tabela 16: Exemplo de anagramas com as consoantes aparecendo juntas 1 vogal PRT 1 vogal TPR 1 vogal 1 vogal 1 vogal 1 vogal RTP Exemplo 135 [Didática 2014] Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM? Solução Como a palavra ORDEM possui 5 letras distintas, devemos calcular o número de permutações simples de 5 elementos distintos Temos então: P 5 = 5! = 120 Portanto, o número de anagramas que podemos formar a partir da palavra ORDEM é igual 120 Exemplo 136 [Didática 2014] Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas De quantas maneiras elas podem estar posicionadas nesta fila? Solução O problema apresentado é facilmente resolvido com permutação simples das 3 pessoas, então: P 3 = 3! = 6 Logo, as três pessoas podem estar posicionadas de seis maneiras diferentes na fila Exemplo 137 [Escola 2014] De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais? Solução Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos Portanto, o número de posições possíveis é P 5 = 5! = 120 26

Definição 138 Definimos como permutação com elementos repetidos todo agrupamento que podemos formar com um certo número de elementos, onde um ou mais elementos se repetem, e a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos Suponhamos que temos n elementos, dentre os quais um primeiro elemento se repete n 1 vezes, um segundo elemento se repete n 2 vezes, um terceiro elemento se repete n 3 vezes, e assim até um m-ésimo elemento que se repete n m vezes, com n 1 + n 2 + n 3 + + n m Æ n Se queremos determinar quantas permutações podemos construir com esses n elementos, não basta simplesmente calcular P n, uma vez que alguns elementos se repetem, e elementos repetidos não geram novas possibilidades de agrupamentos, pois, os elementos são iguais Por exemplo, considere os elementos {x, x, y} Como temos 3 elementos podemos fazer P 3 permutações entre eles Porém, como x se repete 2 vezes, o número de permutações que podemos realizar entre eles é dado por P 2, e estas permutações estão entre todas as P 3 permutações possíveis Uma vez que o elemento x se repete 2 vezes, e ao permutá-los entre si não alteramos o agrupamento, como mostra a Tabela 17, é necessário excluir tais permutações do total P 3 possível de permutações Sendo assim, o total de permutações diferentes possíveis com os elementos {x, x, y}, como mostra a Tabela 17, é dado por: P 2 3 = P 3 P 2 = 3! 2! =3, onde P3 2 denota a permutação de 3 elementos com um dos elementos repetindo 2 vezes Tabela 17: O elemento x se repete 2 vezes x y x x permuta com x x y x y x x x permuta com x y x x x x y x permuta com x x x y 27

De um modo geral, se temos n elementos dentre os quais um primeiro elemento se repete n 1 vezes, um segundo elemento se repete n 2 vezes, um terceiro elemento se repete n 3 vezes, e assim por diante, um m-ésimo elemento se repete n m vezes, com n 1 + n 2 + n 3 + + n m Æ n, então o total de permutação com elementos repetidos é dado por: P n1,n2,n3,,nm n! n = n 1! n 2! n 3! n m! Exemplo 139 Calcule quantos anagramas podemos construir com a palavra CATALANA Solução Na palavra CATALANA temos 8 letras e a letra A se repete 4 vezes, dessa maneira, temos que calcular os anagramas de forma a desconsiderar aqueles em que a letra A permuta com ela mesma, ou seja, P 4 8 = 8! 4! = 8 7 6 5 4! 4! =8 7 6 5 = 1680 Portanto, é possível construir 1680 anagramas com a palavra CATA- LANA Exemplo 140 Calcule quantos anagramas podemos construir com a palavra MATEMÁTICA Solução Na palavra MATEMÁTICA temos 10 letras, das quais 2 são M, 2 letras são T e 3 são A Logo, é necessário calcular os anagramas de forma a desconsiderar aqueles em que as letras M, T e A permutam com elas mesmas, ou seja, P 2,2,3 10! 10 9 8 7 6 5 4 3! 8 = = 2! 2! 3! 4 3! = 151200 Portanto, podemos construir 151200 anagramas com a palavra MATE- MÁTICA Exemplo 141 [Escola 2014] Ao preencher um cartão da loteria esportiva, André optou pelas seguintes marcações: 4 opções na coluna um, 6 opções na coluna do meio e 3 opções na coluna dois De quantas maneiras distintas André poderá marcar o cartão? Solução O cartão da loteria esportiva possui 13 linhas e três colunas (veja Figura 19): a coluna um, a coluna do meio e a coluna dois Sendo assim, na coluna um haverá 4 linhas repetidas, na coluna do meio haverá 6 linhas repetidas e na coluna dois haverá 3 linhas repetidas, ou seja, P 4,6,3 13! 13 12 11 10 9 8 7 6! 13 = = 4! 6! 3! 4! 6! 3! = 60060 Portanto, o cartão poderá ser marcado de 60060 maneiras diferentes 28

Figura 19: Loteria Esportiva Exemplo 142 [Escola 2014] Em um torneio de futsal, um time obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas, nas 15 partidas disputadas De quantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido? Solução Como em 15 partidas disputadas as vitórias se repetiram 8 vezes, os empates 5 vezes e as derrotas se repetiram 2 vezes, tem-se que: P 8,5,2 15! 15 14 13 12 11 10 9 8! 15 = = 8! 5! 2! 8! 5! 2! = 135135 Logo, os resultados podem ser dispostos de 135135 maneiras distintas Exemplo 143 [Escola 2014] Em uma prova composta de 20 questões envolvendo V ou F, de quantas maneiras distintas teremos doze respostas V e oito respostas F? Solução Como as respostas V e F repetem 12 vezes e 8 vezes, respectivamente, em 20 questões envolvendo V ou F, temos: P 12,8 20 = 20! 20 19 18 17 16 15 14 13 12! = 12! 8! 12! 8! = 125970 Assim, podemos ter 125970 maneiras distintas de respostas envolvendo doze questões V e oito F 29

Exercícios Propostos 1 [Didática 2014] Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da palavra CURIÓ? 2 [Escola 2014] De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres: (a) em qualquer ordem; (b) iniciando com homem e terminando com mulher 3 [Escola 2014] Os resultados do último sorteio da Mega-Sena foram os números 04, 10, 26, 37, 47 e 57 De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência de resultados? 4 [Escola 2014] Na palavra NORTE, quantos anagramas podem ser formados? Quantos começam com vogal? 5 (UFPEL) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as questões a seguir (a) Quantos anagramas podem ser formados de modo que as vogais estejam sempre juntas? (b) Quantos anagramas podem ser formados com as letras UF juntas? (c) Quantos anagramas podem ser formados com as letras PEL juntas e nessa ordem? 6 (Vunesp-SP) Considere todos os números formados por seis algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 (a) Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1 (b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 512346 e que número ocupa a 242 a posição 30

6 [Escola 2014] Um engenheiro de software deseja criar um programa que teste todas as possibilidades de senha de um sistema de uma empresa A informação que este engenheiro tem é a de que esta senha precisa respeitar a seguinte sequência: quatro letras distintas seguidas por dois algarismos distintos Sendo assim, responda: (a) Quantas são as possíveis senhas de acesso? (b) Quantas senhas apresentam simultaneamente apenas consoantes e algarismos maiores que 5? 7 [Escola 2014] Um banco adquire um cofre com um sistema de segurança digital, cuja senha para sua abertura é de 6 dígitos Sabendo que estes dígitos podem ser letras ou números distintos, responda: (a) Quantas possíveis senhas podem ser formadas? (b) Quantas senhas podem ser formadas tendo três vogais nos primeiros dígitos? 8 [Escola 2014] Os produtos de uma empresa são armazenados no banco de dados com um código de 4 letras maiúsculas seguidas por 5 algarismos Esse sistema será modificado para permitir letras maiúsculas e minúsculas Após essa modificação, o número atual de códigos será multiplicado por: (a) 2 (b) 3 (c) 6 (d) 10 (e) 18 (f) 16 9 [Didática 2014] Quantos são os anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra ERVILHAS, sendo que eles comecem com a letra E e terminem com uma vogal? 31

10 [Didática 2014] Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR? 11 [Didática 2014] Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde Pretendo colocá-las em um tubo acrílico translúcido e incolor, onde elas ficarão umas sobre as outras na vertical De quantas maneiras distintas eu poderei formar esta coluna de bolas? 12 [Silva 2012] A palavra MADEIRA possui sete letras, sendo duas letras A e cinco letras distintas: M, D, E, I, R Quantos anagramas podemos formar com essa palavra? 13 [Silva 2012] Determine os anagramas da palavra MO- RANGO 14 [Silva 2012] Quantos números de 6 algarismos podemos escrever utilizando os algarismos 2, 2, 3, 3, 3 e 4? 15 [Silva 2012] Quantos são os anagramas da palavra CONS- TITUINTE que começam por OSEC? 16 [Silva 2012]Quantos são os números ímpares de 5 algarismos que podemos escrever utilizando os algarismos 4, 4, 5, 5, e 6? 17 [Silva 2012](FATEC-SP) Uma pessoa dispõe de 4 discos diferentes de MPB, 4 discos diferentes de rock e 2 discos diferentes de música clássica O número de modos distintos como essa pessoa pode organizá-los em uma estante, de tal forma que discos do mesmo gênero estejam sempre juntos e os de rock sempre na mesma ordem, é: (a) 144 (b) 1152 (c) 48 (d) 50 (e) 288 18 [Silva 2012] Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MACACO? 32

15 Combinações Simples Vimos, na Seção 13, que os arranjos são agrupamentos caracterizados pela natureza e pela ordem dos elementos escolhidos Diferentemente dos arranjos, quando queremos fazer uma combinação nos preocupamos apenas com a natureza dos elementos escolhidos, ou seja, a ordem em que os elementos estão dispostos não é importante Definição 144 Seja A um conjunto com n elementos distintos e p um número natural, tal que n Ø p Combinação simples éonúmero de maneiras distintas que podemos escolher p elementos distintos do conjunto A, de tal forma que apenas a natureza dos elementos determina agrupamentos distintos Denotamos o número de combinações simples de n elementos tomados p a p por C n,p Considere o conjunto A = {a 1,a 2,a 3,,a n }, com n Ø 3 Semperda de generalidade, tomemos o arranjo (a 1,a 2,a 3 ) Como nos arranjos a ordem dos elementos no agrupamento interfere, se permutarmos os 3 elementos a 1, a 2, a 3 obteremos novos arranjos, como mostra a Figura 110 (a 3,a 2,a 1 ) (a 3,a 1,a 2 ) arranjos (a 2,a 3,a 1 ) (a 2,a 1,a 3 ) (a 1,a 3,a 2 ) (a 1,a 2,a 3 ) Figura 110: Permutações dos elementos a 1, a 2, a 3 geram novos arranjos De acordo com a Definição 144, na combinação simples a ordem dos elementos no agrupamento não interfere, isto é, do ponto de vista das combinações todos os arranjos apresentados na Figura 110 representam apenas uma única combinação simples que é {a 1,a 2,a 3 }, pois são os mesmos elementos dispostos em diferentes posições Em outras palavras, como as combinações simples são arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos, é natural que haja muito mais arranjos que combinações, e esses arranjos excedentes são aqueles gerados pelas permutações dos elementos envolvidos, já que a ordem é importante 33

Portanto, dado o conjunto A = {a 1,a 2,a 3,,a n } com n elementos distintos e p um número natural, tal que n Ø p, para calcular o total de combinações simples C n,p,den elementos tomados p a p, basta calcular o total de arranjos simples A n,p e eliminar todos os arranjos gerados pelas permutações dos p elementos escolhidos, isto é, P p Logo, C n,p = A n,p P p = n! (n p)! p! = n! p!(n p)! Exemplo 145 [Didática 2014] Com 12 bolas de cores distintas, posso separá-las de quantos modos diferentes em saquinhos, se o fizer colocando 4 bolas em cada saco? Solução Como a ordem das bolas não causa distinção entre os agrupamentos, este é um caso de combinação simples Vamos então calcular C 12,4 : C 12,4 = 12! 12 11 10 9 8! = 4!(12 4)! 4! 8! = 11880 24 Portanto, posso separá-las de 495 modos diferentes = 495 Exemplo 146 [Didática 2014] Um fabricante de sorvetes possui a disposição 7 variedades de frutas tropicais do nordeste brasileiro e pretende misturá-las duas a duas na fabricação de sorvetes Quantos serão os tipos de sorvete disponíveis? Solução Os sorvetes de umbu com siriguela e de siriguela com umbu, na verdade tratam-se de um mesmo tipo de sorvete, não havendo distinção apenas pela ordem da escolha das frutas utilizadas Temos um caso de combinação simples que será resolvido através do cálculo de C 7,2 : C 7,2 = 7! 2!(7 2)! = 7 6 5! 2! 5! Logo, serão disponíveis 21 sabores diferentes = 42 2 = 21 Exemplo 147 [Didática 2014] As 14 crianças de uma família serão separadas em grupos de 5, para que elas arrecadem prendas para a quermesse da fazenda onde vivem De quantas maneiras as crianças poderão ser agrupadas? Solução Identificamos neste exemplo um caso de combinação simples, pois a ordem das crianças é irrelevante, não causando distinção entre os agrupamentos com elementos distintos Vamos calcular C 14,5 : C 14,5 = 14! 14 13 12 11 10 9! = 5!(14 5)! 5! 9! = 240240 120 = 2002 34

Assim, as crianças poderão ser agrupadas de 2002 maneiras diferentes Exemplo 148 [Escola 2014] Uma importante aplicação de combinação simples é nas loterias, megassena, quina entre outras Por exemplo, a megassena consiste em uma cartela de 60 números dentre os quais devemos acertar 6 (prêmio principal), portanto quantas cartelas devemos marcar com diferentes números de forma a garantir que acertaremos os 6 números? Solução Temos aqui um problema de combinação onde n = 60 e p =6, ou seja, devemos combinar 60 números tomados 6 a 6 C 60,6 = 60! 60 59 58 57 56 55 54! = 6!(60 6)! 6! 54! = 50063860 Logo, é necessário preencher 50063860 cartelas da megassena com 6 números, para cobrir todas as possibilidades de preencher tal cartela e garantir que você ganhará sempre Exemplo 149 [Escola 2014] Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos O coordenador do curso quer formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país Quantas possíveis equipes podem ser formadas? Solução O número de possíveis grupos pode ser dado por: C 30,3 = 30! 30 29 28 27! = 3!(30 3)! 3! 27! = 4060 Consequentemente, poderão ser formadas 4060 equipes Exemplo 150 [Veia 2009] Uma prova consta de 6 questões, das quais o aluno deve resolver 3 De quantas formas ele poderá escolher as 3 questões? Solução Quer-se agrupar 3 elementos, dentre os 6 existentes Perceba que a ordem em que os elementos aparecerão não será importante C 6,3 = 6! 3!(6 3)! = 6 5 4 3! 3! 3! = 20 Logo, um aluno pode escolher suas 3 questões de 20 maneiras diferentes 35

Exercícios Propostos 1 [Veia 2009] De quantos modos distintos Amiroaldo pode escolher quatro entre as nove camisetas regata que possui para levar em uma viagem para Mosqueiro 2 [Veia 2009] Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma equipe Dois deles precisam representar a equipe em uma apresentação Quais e quantas são as possibilidades? 3 [Veia 2009] No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um baralho de 40 cartas (são excluídas as cartas 8, 9, 10) De quantas maneiras diferentes um jogador pode receber suas 3 cartas? 4 [Matematiques 2011] Um indivíduo possui 25 livros diferentes De quantas formas distintas ele poderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros? 5 [Matematiques 2011] Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas? 6 [Matematiques 2011] Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas? 7 [Matematiques 2011] Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto? 8 [Matematiques 2011] Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens? 9 [Matematiques 2011] Quantos triângulos podem ser traçados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos? 10 [Matematiques 2011] Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, devemos formar comissões com 3 professores e 2 alunos Quantas são as possibilidades? 36

11 [Matematiques 2011] Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores Quantas comissões terão somente 1 professor? 12 [Matematiques 2011] Num plano existem 4 pontos, sendo que 3 deles são não colineares Qual é o número possível de retas que passam por esses pontos? 13 [educa 2010] Num jornal de grande circulação, foi oferecido para o leitor as assinaturas das revistas: Carinho, Superticioso, Bomjogador, Fatos, Notícias, Falabem Tendo já certeza que assinará a revista Fatos, e querendo optar por mais duas assinaturas distintas, o leitor terá: (a) 10 maneiras de escolher as duas revistas que faltam (b) 30 maneiras de escolher as duas revistas que faltam (c) 84 maneiras de escolher as duas revitas que faltam (d) 200 maneiras de escolher as duas revistas que faltam (e) 720 maneiras de escolher as duas revistas que faltam 14 [Gentil et al 1996] Simplifique C m,4 + C m,3 C m,2 15 (FGV-SP) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas contendo no mínimo 1 diretor? 16 [Gentil et al 1996] A diretoria de uma firma é constituída de 7 diretores brasileiros e 4 japoneses Quantas comissões de 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formados? 17 [Gentil et al 1996] Calcule C 8,2, C 10,2 e C m+3,2 18 [Gentil et al 1996] Resolver a equação 5C x,3 = C x+2,4 19 [Gentil et al 1996] Quantas comissões com 4 elementos podemos formar numa classe de 20 alunos? 37

16 Coeficiente Binomial e Binômio de Newton Definição 151 Sejam n e p dois números naturais, com n Ø p O coeficiente 3 4 binomial, também chamado de número binomial e denotado n por, é dado por: p 3 4 n = p n! p!(n p)! 3 4 n Como mostra a Definição 151, o coeficiente binomial (lê-se: p de n escolha p) nada mais é do que a combinação simples C n,p de n elementos tomados p a p 3 4 3 4 3 4 3 4 5 3 8 6 Exemplo 152 Calcule,, e 3 1 7 6 Solução Vejamos: 3 4 5 5! 1 = 3 3!(5 3)! = 5 4 3! 3! 2! 2 3 4 = 20 2 = 10 3 4 3 3! = 1 1!(3 1)! = 3 2! 1! 2! = 3 1 =3 3 4 8 8! = 7 7!(8 7)! = 8 7! 7! 1! = 8 1 =8 3 4 6 6! = 6 6!(6 6)! = 6! 6! 0! = 1 1 =1 Exemplo 153 Verifique que Solução De fato, 3 4 n 1 = 0 2 3 n! 0!(n 0)! = 3 4 n =1, 0 n! 1 n! = 1 1 =1 3 4 n = n e 1 3 4 n n! = n n!(n n)! = n! n! 0! = n! n! 1 = 1 1 =1 3 4 n = 1 n! 1!(n 1)! = n (n 1)! 1 (n 1)! = n 1 = n 3 4 n =1 n 38