Crescimento das gotas por Coisão e Coaescência
Coisões podem ocorrer a partir de diferentes respostas das gotícuas com as forças gravitaciona, eétrica e aerodinâmica. O efeito gravitaciona predomina nas nuvens, ou seja, as gotas grandes caem mais rápido que as pequenas, ogo passando e capturando uma fração das gotícuas que ficam ao ongo do seu caminho. O efeito eétrico e turbuento necessário para produzir um número comparáve de coisões, deve ser muito maior do que usuamente existe na natureza, apesar de que campos eétricos intensos em tempestades possam criar efeitos ocais significativos
Uma vez que a gota cai, ea irá coidir com somente uma fração das gotícuas em seu caminho, porque agumas gotícuas serão expeidas peo fuxo de ar em vota da gota. Dessa maneira, podemos definir a eficiência de coisão como a razão das gotícuas com raio r que serão varridas ao ongo do caminho pea gota coetora que irá coidir com eas. Portanto, a eficiência de coisão depende do tamanho da gota coetora e do tamanho das gotícuas a serem coetadas
A coisão não garante coaescência, pois quando um par de gotas coide várias interações são possíveis: 1) Rebatem a parte; ) Coaescem; 3) Coaescem temporariamente e se separam, aparentemente retendo suas identidades inicias; 4) Coaescem temporariamente e se quebram em várias gotícuas menores Para gotas com raio menores que 100 m as interações (1) e () são as mais importantes
Dessa maneira podemos definir a Eficiência de Coaescência como sendo a razão entre o número de gotícuas que coaesceram peo número de coisões que ocorreram na gota coetora. O crescimento de gotas peo processo de coisão-coaescência é governado pea eficiência de coeta, que é o produto da eficiência de coisão e coaescência. Observações em aboratório indicam que para gotícuas com raio menor que 100 μm, a eficiência de coaescência ~ 1 e a eficiência de coeta é igua a de coisão.
Definindo a veocidade de queda dos hidrometeoros
a) Veocidade Termina das gotícuas
temos que a Força de Fricção sob um fuido viscoso pode ser definido como: F D 6rV, r 50m e a Força gravitaciona pode ser definida como: F G 3 g r g 3 4r 4 ar onde é a viscosidade, é a densidade do iquido e ar é a densidade do ar, r é o raio da gota, g é a aceeração da gravidade e V é a veocidade.
Quando F D =F G temos que V V T (Veocidade termina da gota) Logo temos que V T pode ser expresso como: V T 9 r g R (m) V T (cm/s) 1 0,01 10 1, 30 10,9 50 30,
Podemos ainda expressar a veocidade termina em função do número de Reynods V T CDR 4 g onde é a viscosidade dinâmica, Re é o número de Reynods, C D é o coeficiente de arrasto. 9 r e Para gotas bem pequenas, a soução de Stokes para um fuxo ao ongo de esferas mostra que: C D R e 4 1
ogo, temos que a veocidade termina pode ser descrita por: V T 9 r g K r 1 onde K 1 ~ 1,19 x10 6 cm -1 s -1. Esta dependência quadrática da veocidade termina é conhecida como ei de Stokes e apica-se para gotícuas com raios menores que 30 m.
Para raios no intervao de: 40 m à 0.6 mm, V T K 3 r, sendo que K 3 8x10 3,( s 1 )
Para C D grandes, este coeficiente torna-se independente do Re e C D ~ 0.45, sendo que isto é vaido para gotícuas com raios no intervao de: 0.6 mm à mm V K r 1/ T, sendo que onde é a densidade do ar e o = 1,0 kg/m 3 à P = 101.3 kpa e T = 0 o C K,x10 3 0 1/ cm 1/ s 1
(b) Eficiência de Coisão E Xo é a distância mínima para coisão R, r X 0 X 0 R r R r Portanto a eficiência de coisão é igua a fração das gotícuas com raio r que são varridas pea gota coetora de raio R que atuamente coide. Por outro ado, E(R,r) pode ser interpretado como sendo a probabiidade de coisão de uma gotícua se ea estivesse em um voume cheio de gotícuas agutinadas.
Equação de Crescimento por Coisão/Coaescência
Suponha uma gota coetora de raio R e veocidade Termina V, caindo em uma popuação uniforme de gotícuas menores com raio r e veocidade termina V 1. Durante uma unidade de tempo, a gota coetora irá coetar gotícuas de raio r em um voume descrito por: R r V V dt dv 1
Assumindo um crescimento contínuo, a massa da gota coetora crescerá: dm dvw onde W é o conteúdo de água íquida (massa de água íquida por unidade de voume) dm dvw R r V V W dt 1
como a gota coetora somente coeta uma fração das gotícuas, temos que: R r V V W ER rdt dm, 1 onde E(R,r) é a eficiência de coeta, que é o produto da eficiência de coisão e pea eficiência de coaescência, E R, r X 0 R r quando as gotícuas são iguais em tamanho e menores que 100 microns, é usuamente assumido que a eficiência de coaescência = 1, ogo eficiência de coeta = eficiência de coisão.
Dessa maneira temos: dm dt R r V V W ER r 1, mas a massa da gota coetora pode ser expressa por: M 4 R 3 3
então dm 4 d 3 4 3 3 R 3R dr 4 R dr ogo temos: dm dt dr R, dt R r V V W ER r 4 1 dr dt R r V V R 4 1 E R, r W
Assumindo que E(R,r) e W são constantes e V >> V1 e R r R 1 Dessa maneira, a equação de crescimento pode ser descrita como: dr dt V EW 4 MODELO DE BOWEN
Logo para sabermos com a gota coetora evoui no tempo, podemos assumir a ei de Stokes por exempo V CR Portanto o modeo de Bowen pode ser descrito como: dr dt V EW 4 CR 4 EW K R 1 K 1 CEW 4 cte
Então integrando de um estágio inicia Ro até R(t) R( t) Ro dr R K 1 t 0 dt R( t) 1 R0 K R t 1 0
Porém se queremos saber como esta gota sai de uma nuvem, temos que derivar que anaisar a variação do raio com a atura (dr/dz) R r Assumindo que R 1 dr dt dr dt dz dz dr dz dz dt dr dz u V V V1 EW 4
Integrando de R0 a R(t), o que impica em uma atura Z0 a Z. ) ( 4 0 0 1 z f W W dz dr E V V V u z z Rf R
, Agora se quisermos saber qua é o raio que emerge da base da nuvem, temos que: z0 z0 Assumindo que V >> V1 e W dz 0 V CR u R f R0C o raio fina depende somente da veocidade da corrente ascendente.
Distribuição de Gotícuas S 1 = 10 m S = 0 m (a) Todas as coisões possíveis (b) Somente coisões entre a S1
Distribuição de Gotícuas S 1 = 10 m S = 0 m (c) Somente coisões entre as goticuas S1 e S (d) Somente coisões entre as goticuas S
Condensação e Coaescência via processo Estocástico
(a) Sem Condensação (b) Com Condensação
Nc(cm-3)=105 S0.63
Nc(cm -3 ) = 1450 S 0.84.