Capítulo 4 Crescimento das gotas por Colisão e Coalescência

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Vasco Barreiro Belo
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1 Capítuo 4 Crescimento das gotas por Coisão e Coaescência

2 Coisões podem ocorrer a partir de diferentes respostas das gotícuas com as forças gravitaciona, eétrica e aerodinâmica. O efeito gravitaciona predomina nas nuvens, ou seja, as gotas grandes caem mais rápido que as pequenas, ogo passando e capturando uma fração das gotícuas que ficam ao ongo do seu caminho. (Veocidade termina de queda 0,5 a 9 m/s) O efeito eétrico e turbuento necessário para produzir um número comparáve de coisões, deve ser muito maior do que usuamente existe na natureza. Em tempestades entretanto, campos eétricos intensos ( kv/m) criam efeitos ocais significativos (*aceeração ~0-4 m/s ou 0, segundos para desocar 00 mm) * Jermacans K, Laws K., Coaescence of raindrops in an eectrostatic fied. The physics teacher, 999, 37(4):08-.

3 Uma vez que a gota cai, ea irá coidir com somente uma fração das gotícuas em seu caminho, porque agumas gotícuas serão expeidas peo fuxo de ar em vota da gota. Dessa maneira, podemos definir a eficiência de coisão como sendo a razão do número de gotícuas com raio r que serão varridas ao ongo do caminho pea gota coetora que irá coidir com eas. Neste sentido, temos que a eficiência de coisão depende do tamanho da gota coetora e do tamanho das gotícuas a serem coetadas Gota coetora Gota coetada Eficiência de Coisão 0 mm 5 mm,5% 0 mm 0 mm 5% 30 mm 5 mm 65%

aparentemente retendo suas identidades inicias; 4) Coaescem temporariamente e se quebram em

4 A coisão não garante coaescência, pois quando um par de gotas coide várias interações são possíveis: ) Rebatem a parte; ) Coaescem; 3) Coaescem temporariamente e se separam, aparentemente retendo suas identidades inicias; 4) Coaescem temporariamente e se quebram em várias gotícuas menores Para gotas com raios menores que 00 mm as interações () e () são as mais importantes

Dessa maneira, podemos definir a Eficiência de Coaescência como sendo a razão entre o número de gotícuas que coaesceram peo número de coisões que ocorreram com a gota coetora.

5 Dessa maneira, podemos definir a Eficiência de Coaescência como sendo a razão entre o número de gotícuas que coaesceram peo número de coisões que ocorreram com a gota coetora. O crescimento de gotas peo processo de coisão-coaescência é governado pea eficiência de coeta, que é o produto das eficiências de coisão e de coaescência. Observações em aboratório indicam que para gotícuas com raios menores que 00 μm a eficiência de coaescência é ~ e a eficiência de coeta é igua a de coisão.

6 Para entender o mecanismo de coisão, precisamos saber iniciamente a veocidade de queda das gotas, que é um Baanço entre as forças gravitaciona e aerodinâmica

7 Para raios menores que 40 mm: K ~,9 x0 6 cm - s -. 9 r K g r V T m Para raios no intervao de: 40 mm à 600 mm: r K V T 3 ) ( s x K Para raios no intervao de 0.6 mm à mm onde é a densidade do ar e o =,0 kg/m 3 à P = 0.3 kpa e T = 0 o C / r K V T / / 0 3 0, s cm x K Segundo os dados de Gunn and Kinzer (949)

8 Gunn R, Kinzer GD. The termina veocity of fa for water dropets in stagnant air. Journa of Meteoroogy. 949 Aug;6(4):43-8.

10 (b) Eficiência de Coisão Xo é a distância da coisão E R, r X 0 X 0 R r R r A eficiência de coisão é igua a fração das gotícuas com raio r que são varridas pea gota coetora de raio R que coide com eas. Xo é a Área máxima para a coisão E(R,r) pode ser interpretada como sendo a probabiidade de coisão de uma gotícua se ea estivesse em um voume cheio de gotícuas agutinadas.

11 Gota Coetora Gota coetada

12 Gota Coetora Gota coetada

13 Equação de Crescimento por Coisão/Coaescência

14 Suponha uma gota coetora de raio R e veocidade Termina V caia sob uma popuação uniforme de gotícuas menores com raio r e veocidade termina V. Durante uma unidade de tempo, dt, a gota coetora irá coetar diversas gotícuas de raio r em um voume descrito por: R r V V dt dv Vo = Área x Atura

15 Assumindo que durante esta coeta tenhamos um crescimento contínuo, a massa da gota coetora irá crescer: dm W dv onde W é o conteúdo de água íquida (massa de água íquida por unidade de voume) ou voce pode pensar como sendo a densidade de gotícuas de água presentes dm W dv W R r V V dt

16 Entretanto, como a gota coetora coeta somente uma fração das gotícuas dentro do voume, temos que: R r V V W E R r dt dm, onde E(R,r) é a eficiência de coeta que é o produto da eficiência de coisão pea eficiência de coaescência, E R, r X 0 R r quando as gotícuas coetadas são iguais em tamanho e menores que 00 mm, é usuamente assumido que a eficiência de coaescência =, ogo eficiência de coeta = eficiência de coisão.

17 Dessa maneira temos: dm dt R r V V W E R r, mas como a massa da gota coetora pode ser expressa em função do raio, temos: M 4 3 R 3 dm d 4 3 R R dr 4 R dr

18 então dm dt dr 4 R dt R r V V W E R, r dr dt R r V V R 4 E R, r W

19 Assumindo que E(R,r) e W são constantes, que V >> V e que R R r A equação de crescimento pode ser descrita como: dr dt EW 4 V MODELO DE BOWEN

20 Por exempo, para sabermos como uma gota cresce a partir de um processo de coisão coaescência, podemos assumir que a gota coetora segue a ei de Stokes, ogo V CR Usando, o modeo de Bowen temos: dr dt EW 4 V EW 4 CR K R K CEW 4 cte

21 Então integrando de um estágio inicia Ro até R(t) podemos saber qua será o raio da gota no instante t t t R Ro dt K R dr 0 ) ( t R K R t R 0 0 ) (

22 Porém se queremos saber qua é o tamanho da gota quando ea esta dentro de uma nuvem, podemos anaisar a sua variação com a atura, ou seja, dr/dz Assumindo que R r R 4 4 V V EW EW V V R r R dt dr

23 Mas dr dt dr dt dz dz dr dt dr dz dz dt Mas Veocidade é igua a dr dt dr dz u V Veocidade vertica Vertica na nuvem menos A veocidade termina da gota

24 dr dt dr dz u V V V EW 4 Integrando de R 0 até R(t) a gota sai de uma atura Z 0 e chega a Z Rf 4 E u V V V R 0 dr z z 0 W dz onde W f ( z )

25 , Agora se quisermos saber qua é o raio da gota quando ea emerge da base da nuvem, temos que: z 0 W dz 0 z 0 Assumindo que V >> V e V CR R f R u 0 C o raio fina depende somente da veocidade da corrente ascendente.

26 ,5 km R 0 = 0 um W = g/m3 m/s Gotas coetadas r=0 um Eficiência de Coaescência= 0,5 m/s, km

27 ,5 km R 0 = 0 um W = g/m3 Gotas coetadas r=0 um Eficiência de Coaescência= m/s, km 0,5 m/s,5 X

28 Distribuição de Gotícuas S = 0 mm S = 0 mm (a) Todas as coisões possíveis (b) Somente coisões entre a S

29 Distribuição de Gotícuas S = 0 mm S = 0 mm (c) Somente coisões entre as goticuas S e S (d) Somente coisões entre as goticuas S

30 Condensação e Coaescência via processo Estocástico

31 (a) Sem Condensação (b) Com Condensação Fig 8.. Yau e Rodgers, Adaptado De Ryan, 974)

32 Nc(cm-3)=05 S0.63

33 Nc(cm -3 ) = 450 S 0.84.

34 FIM

35 Dedução da veocidade termina

36 temos que a Força de Fricção em um fuido viscoso pode ser definida como: F D 6 rv, r 50 m onde é a viscosidade, r é o raio da gota e V é a veocidade. Já a Força gravitaciona pode ser definida como: F G 3 3 g 4 r g 4 r ar Sendo a densidade do iquido e ar a densidade do ar e g a aceeração da gravidade

37 Quando F D =F G temos que Veocidade da gota (V) atinge a veocidade termina, V T Logo temos que V T pode ser expresso como: V T 9 r g R (mm) V T (cm/s) 0,0 0, 30 0, ,

38 Em termos do número de Reynods C D R e 4 m V T 9 r C D 4 R e m g onde m é a viscosidade dinâmica, Re é o número de Reynods, C D é o coeficiente de arrasto. Para gotas bem pequenas, a soução de Stokes para um fuxo ao ongo de esferas mostra que: C D R e 4

39 ogo, temos que a veocidade termina pode definida como: V T 9 r m g K r onde K ~,9 x0 6 cm - s -. Esta dependência quadrática da veocidade termina é conhecida como ei de Stokes e apica-se para gotícuas com raios menores que 40 mm.

40 Para raios no intervao de: 40 mm à 0.6 mm, V T K 3 r, sendo que K 3 8 x0 3, ( s )

41 Para gotícuas com raios no intervao de: 0.6 mm à mm, temos que C D é ato, e torna-se independente do Re e pode ser aproximado a C D ~ 0.45, ogo, sendo que V T K r / K, x0 3 0 / cm / s onde é a densidade do ar e o =,0 kg/m 3 à P = 0.3 kpa e T = 0 o C

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