Aula 7 Bibliografia: Stata, 2017. help xtunitroot. From Stata/SE 13 (accessed on Oct. 23, 2018). Pesaran, M.H. (2015). Time series and panel data econometrics. Oxford: Oxford University Press. Rafael S. M. Ribeiro Centro de Desenvolvimento e Planejamento Regional (CEDEPLAR) Faculdade de Ciências Econômicas (FACE) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Introdução Uma das principais razões por trás da aplicação de testes de raiz unitária a dados em painel foi para ganhar poder estatístico sobre os testes de raiz unitária convencionais. Por exemplo, o teste de Dickey-Fuller Aumentado (1979) normalmente não é capaz de rejeitar a hipótese de que a taxa de câmbio real é não-estacionária. Por outro lado, os testes de raiz unitária para dados em painel geralmente sugerem que a variável taxa de câmbio real para um conjunto de países é estacionária, dando apoio empírico à hipótese de paridade do poder de compra. 2
Introdução Testar as hipóteses de raiz unitária usando dados em painel envolve várias complicações adicionais: 1. Dados em painel geralmente envolvem uma quantidade substancial de heterogeneidade não observada 2. A suposição de independência entre as unidades de corte seccional é inadequada em muitas aplicações empíricas. 3
Introdução 3. Os resultados do teste de raiz unitária para dados em painel são muitas vezes difíceis de interpretar se a hipótese nula de raiz unitária é rejeitada. O melhor que pode ser concluído é que "uma fração significativa do unidades de corte transversal é estacionária. 4. A teoria assintótica é consideravelmente mais complicada devido ao fato de que a estrutura de dados em painel envolve uma dimensão de tempo, bem como um dimensão de corte transversal. 4
Introdução Vamos apresentar os seguintes testes de raiz unitária para dados em painel: i. Levin Lin Chu ii. iii. iv. Breitung Im Pesaran Shin Testes do tipo Fisher 5
Panorama geral Considere o modelo para dados em painel com um componente autoregressivo de primeira ordem: y it = ρ i y i,t 1 + z it γ i + ε it (1) onde i = 1,, N e t = 1,, T os índices de unidade e de tempo do painel, respectivamente, y it é a variável de interesse e ε it é o termo de erro estacionário. A equação acima pode incluir ou a média unidadeespecífica se z it = 1, ou a média e a tendência unidade-específica se z it = 1, t ou nada se o termo z it γ i for omitido. 6
Panorama geral Testes de raiz unitária para dados em painel são usados para se testar a hipótese nula de que H 0 : ρ i = 1 para todo i contra a alternativa H 1 : ρ i < 1. Podemos reescrever a equação acima da seguinte forma: y it = φ i y i,t 1 + z it γ i + ε it (1 ) De modo que H 0 : φ i =0 para todo i contra a alternativa H 1 : φ i < 0. 7
Panorama geral Algumas observações: Os testes de Levin Lin Chu e Breitung assumem que todas as unidades do painel possuem o mesmo valor para o termo autoregressive, i.e. ρ i = ρ para todo i. Os demais testes permitem que este parâmetro varie entre as unidades de corte transversal. Os testes de Levin Lin Chu e Breitung só podem ser realizados para painéis balanceados. Os demais aceitam painéis não-balanceados. 8
Teste de Levin Lin Chu (LLC) Seja: p i y it = φ i y i,t 1 + z it γ i + θ ij y i,t j + u it (2) onde u it é ruído branco com variância potencialmente heterogênea entre unidades diferentes. O número de defasagens p i é definido como sendo aquele que minimiza um dos critérios de informação (BIC, AIC ou HQ). j=1 9
Teste de Levin Lin Chu (LLC) O primeiro passo é calcular, pelo método de MQO, as equações dos resíduos abaixo: p i eƹ it = y it j=1 p i v i,t 1 = y i,t 1 መθ ij y i,t j z it γ i (3) j=1 θ ij y i,t j z it γ i (3 ) 10
Ƹ Teste de Levin Lin Chu (LLC) Para controlar a heterogeneidade unidade-específica, calcule: eǁ it = e it Τ σ εi e v i,t 1 = Τ v i,t 1 σ εi onde σ 2 εi = 1 T p i 1 t=p i T eƹ it δ 2 v i,t 1 e δ é o estimador de MQO da regressão entre eƹ it e v i,t 1. 11
Teste de Levin Lin Chu (LLC) O segundo passo é estimar a regressão abaixo e calcula a estatística t padrão para δ: eǁ it = መδ v i,t 1 + ε it ǁ t δ = መδ se መδ onde N se መδ = σ ε T i=1 t=p i +2 2 v i,t 1 Τ 1 2 σ ε = 1 N N T i=1 T t=p i +2 2 eǁ it መδ v i,t 1 T = T pҧ 1, com pҧ sendo a média de p 1,, p N 12
Ƹ Teste de Levin Lin Chu (LLC) A estatística de teste t ajustada é calculada da seguinte forma: t δ = t δ N T መS N se መδ μt onde μ T e σ T são obtidos por meio da interpolação linear dos valores apresentados em LLC(2002, Tabela 2); መS N = N 1 σn i=1 s i em que sƹ i é o estimador do desvio padrão de longo prazo de y it controlado pela heterogeneidade unidade-específica. Vale lembrar que o teste de LLC só se aplica a painéis balanceados. σt 13
Teste de Breitung Os teste LLC adota a estratégia de ajustar primeiro um modelo de regressão e, posteriormente, ajusta ou o parâmetro auto-regressivo ou sua estatística t para compensar o viés induzido por ter um regressor dinâmico e efeitos fixos no modelo. Os testes de Breitung (2000) e Breitung e Das (2005) adotam uma tática diferente, ajustando os dados antes de ajustar um modelo de regressão para que os ajustes de viés não sejam necessários. 14
Teste de Breitung As simulações de Monte Carlo feitas por Breitung (2000) mostram que estatísticas de teste ajustadas, como a estatística t δ de LLC sofrem de baixo poder do teste, particularmente contra hipóteses alternativas com parâmetros auto-regressivos próximos de 1 e quando os efeitos unidade-específicos do painel são incluídos. Em contraste, a estatística de teste de Breitung (2000) exibe um maior poder nestes casos. Além disso, o teste de Breitung tem bom desempenho mesmo com pequenas amostras (N = 25, T = 25), embora o poder do teste pareça deteriorar-se quando T é fixo e N é aumentado. 15
Teste de Breitung O teste de Breitung assume que o termo de erro ε it correlacionado ao longo das unidades i. não está Breitung e Das (2005) que calcula uma estatística de teste robusta à correlação unidade-específica. Vale lembrar que o teste de Breitung exige que o painel seja balanceado. 16
Teste de Im Pesaran Shin (IPS) Seja o modelo: y it = φ i y i,t 1 + z it γ i + ε it (1 ) Considere também os seguintes termos: M τ = I τ T τ T τ 1 T τ T X i = τ T, y i, 1 M Xi = I X i X i X 1 i X i y i, 1 = y i1, y i2,, y i,t 1 τ T é um vetor de 1 s de ordem T 17
Teste de Im Pesaran Shin (IPS) Primeiro, assuma a inexistência de autocorrelação serial na equação (1 ), ou seja, nenhuma defasagem de y it é incluída como variável explicativa em (1 ). A partir daí, IPS especificam três estatísticas de teste: 18
Teste de Im Pesaran Shin (IPS) Primeiro, considere a estatística t bar NT. Esta estatística é apropriada quando você assume que N e T são fixos; Os valores críticos do teste são reportados em IPS (2003). onde N t bar NT = N 1 i=1 t it t it = σ it y i, 1 y i Mτ y i, 1 M τ y i, 1 1/2 e σ it 2 = y i MXi y i T 1 19
Teste de Im Pesaran Shin (IPS) A estatística tǁ bar NT é similar à estatística t bar NT, porém um estimador da variância do erro da regressão de Dickey-Fuller é utilizado. onde ǁ t it = N ǁ t bar NT = N 1 σ it y i, 1 y i Mτ y i, 1 i=1 ǁ t it M τ y i, 1 1/2 e σ it 2 = y i Mτ y i T 1 20
Teste de Im Pesaran Shin (IPS) Por último, a estatística Zt bar ሚ é a versão padronizada para uma distribuição normal da estatística tǁ bar NT. Z ሚ t bar = N ǁ t bar NT N 1 σ N i=1 N 1 σ i Var( ǁ t Ti ) E( ǁ t Ti ) onde E( tǁ Ti ) e Var( tǁ Ti ) são obtidos por meio da interpolação linear dos valores apresentados em IPS(2003, Tabela 1). Zt bar ሚ tem uma distribuição normal padrão para T fixo e N. 21
Teste de Im Pesaran Shin (IPS) Se controlarmos o problema da autocorrelação serial incluindo defasagens da variável dependente, temos o modelo: y it = φ i y i,t 1 + z it γ i + p ij y i,t j + ε it (1 ) p i j=1 22
Teste de Im Pesaran Shin (IPS) Para o modelo (1 ), temos a seguinte estatística de teste: W t bar (p) = N t bar NT(p i ) N 1 σ N i=1 N 1 σ i Var t it p i E t it p i onde E t it p i e VarE t it p i são obtidos por meio da interpolação linear dos valores apresentados em IPS(2003, Tabela 1); t bar NT (p i ) é a estatística t bar NT calculada a partir do modelo com p i defasagens. W t bar (p) tem uma distribuição normal padrão para T e N. 23
Testes do tipo Fisher Este teste combina os p-valores dos testes de raiz unitária unidadeespecíficos usando os quatro métodos propostos por Choi (2001). A hipótese nula sendo testada por estes métodos é que todas as unidades do painel contêm uma raiz unitária. Para um número finito de unidades, a alternativa é que pelo menos uma unidade seja estacionária. Usamos ou o teste ADF ou Phillips-Perron para realizar o teste de raiz unitária para cada unidade do painel. 24
Testes do tipo Fisher Denotar o p-valor para o respectivo teste sobre a i-ésima unidade do painel como p i. Todos esses testes de raiz unitária são baseados em T para que o teste para cada unidade seja consistente. O teste P é para N finito; os outros testes são válidos se N é finito ou infinito. Dito isso, vamos especificar as quatro estatísticas de teste a seguir: 25
Testes do tipo Fisher A estatística L tem uma distribuição t de Student com 5N + 4 graus de liberdade: onde N L = i=1 ln p i 1 p i L = kl~t 5N+4 e k = Τ 3(5N + 4) π 2 N(5N + 2) 26
Testes do tipo Fisher A estatística Z tem uma distribuição t de Student com 5N + 4 graus de liberdade: N Z = 1 N i=1 Φ 1 p i 1 p i onde Φ 1 ( ) é a inversa da distribuição normal padrão Z~N 0,1. Choi(2001) recomenda a utilização da estatística Z. Contudo, suas simulações mostram que o teste L normalmente concorda com o teste Z. 27
Testes do tipo Fisher Para um número finito de unidades, a estatística P é recomendável: N P = 2 i=1 ln p i onde P~χ 2 2N. Se T seguido por N, então P de modo que P tem uma distribuição limitante degenerada. 28
Testes do tipo Fisher Para painéis grandes, Choi(2001) propõe uma modificação sobre a estatística P, de modo que P m converge para uma distribuição normal padrão: N P m = 1 N i=1 ln p i + 1 onde P m ~N(0,1). Choi(2001) sugere que N = 100 ainda não é suficiente para que P m se aproxime de uma distribuição normal. 29