Formigas Série Rádio Cangalha Objetivos 1. Apresentar a demonstração de que 2 é irracional;
Formigas Série Rádio Cangália Conteúdos Aritmética. Duração Aprox. 10 minutos. Objetivos 1. Apresentar a demonstração de que 2 é irracional. Sinopse No programa Rádio Cangália, os radialistas Ivone e Henrique, juntamente com o mal humorado professor Leumas, discutem a descoberta de que as formigas são capazes de contar, e que usam a contagem de passos para medir as distâncias que percorrem. Em uma piada é abordado o problema de encontrar, dado um determinado comprimento, a curva fechada com este comprimento que delimita a maior área. Ao final é apresentada a demonstração de que 2 é irracional. Material relacionado Vídeos: A razão dos irracionais, Lenda de Dido; Experimentos: Duplicação do cubo;
Introdução Sobre a série A série Rádio Cangália, apresenta programas de variedades descontraídos que usualmente abordam uma informação ou notícia de conhecimentos gerais com comentários de um professor de matemática. No segundo bloco é apresentado um resultado, um teorema ou uma curiosidade matemática com algumas ideias de demonstração. O programa pode ter também tem uma piada ou uma frase célebre, sem preocupação de coerência e sim para ter motivos de discussão e reforçar a descontração. Sobre o programa No programa os radialistas Ivone e Henrique, juntamente com o professor Leumas discutem um artigo no Journal of Experimental Biology no qual pesquisadores afirmam terem provado que as formigas são capazes de contar os passos que dão para medir distâncias. A metodologia empregada pelos pesquisadores foi manipular o tamanho das pernas das formigas e depois observara que aquelas com pernas maiores percorriam maiores distâncias e as com pernas menores percorriam menores distâncias do que as formigas normais que faziam o mesmo percurso. O fato de que seres tão primitivos quanto formigas tenham desenvolvido uma habilidade de contar, indica que essa capacidade é fundamental para a sobrevivência de uma espécie, e muito anterior ao surgimento das espécies humanas. Na segunda parte do programa é contada uma piada de matemático que explora de forma divertida de como a solução de um problema matemático depende das definições envolvidas em seu enunciado. Na piada, estão um matemático, um engenheiro e um físico. Cada um deles recebe um pedaço de cerca para cercar a maior área possível. O engenheiro construiu com a cerca um quadrado e afirmou que esta era a maior área possível. O físico dispôs a cerca sobre uma circunferência e disse que tinha cercado a maior área. Então o matemático enrolou a Formigas 3/10
cerca em torno de si e disse, defina-me como o exterior (lado de fora da cerca). Veja a seção Depois da execução. Por fim é apresentada uma demonstração de que 2 é irracional. Essa demonstração se deve a um dos discípulos de Pitágoras e sua história é interessante. Note que o número 2 aparece naturalmente quando calculamos o comprimento da diagonal de um quadrado de lado 1 usando o teorema de Pitágoras. Conta-se que Pitágoras fundara uma escola e que sua filosofia e regras faziam desta escola uma espécie de seita e os seus discípulos conhecidos como os Pitagóricos. Diz-se que Pitágoras tentou, a todo custo, esconder a descoberta dos números irracionais por acreditar que eles contrariavam seu ideal de beleza matemática. Essa história, entre outras, pode ser encontrada no livro O último teorema de Fermat de Simon Lehna Singh. A demonstração é bastante simples e é um bom exemplo do que é conhecido na matemática como prova por contradição. Faz-se assim: Suponha que 2 é racional, ou seja, existem a e b números inteiros e coprimos tais que 2 =a/b. Então, b 2 =a, donde a 2 =2b 2. Segue desta última equação que 2 divide a 2, portanto a é divisível por 2. Ora, já que a é divisível por 2, então a 2 é divisível por 4. Então, da equação sublinhada acima concluímos que 2 divide b. Teríamos então que 2 é divisor comum de a e b, que não seriam portanto coprimos, o que contradiz nossa hipótese. Sugestões de atividades Depois da execução Abaixo são sugeridas cinco atividades independentes. O professor poderá escolher as mais apropriadas para a turma de alunos. Formigas 4/10
Problema isoperimétrico Trataremos aqui do problema apresentado na piada (conhecido como problema isoperimétrico) cujo enunciado pode ser formulado da seguinte maneira: Dado um comprimento l, qual curva plana (contínua) de comprimento l delimita a maior área? OBS.1: Como a piada sugere, devemos primeiramente definir precisamente o que significa uma região delimitada por uma curva. OBS.2: Existe realmente uma solução para este problema? Em relação à OBS.1 podemos usar o Teorema das curvas de Jordan que diz: Toda curva plana, fechada e sem auto-interseções divide o plano em duas regiões, uma limitada e outra ilimitada. Então podemos definir a região delimitada por uma curva como a região limitada do plano que tem esta curva como fronteira. Veja a figura abaixo. R1 R2 Formigas 5/10
Quanto à OBS. 2 foi provado por Weierstrass em 1870 que o problema tem de fato solução, que é o circulo, como suspeitavam os gregos na antiguidade. Existem diversas provas deste fato, todas usam ferramentas de cálculo diferencial e portanto estão além do escopo deste texto. Podemos, porém sugerir algumas atividades que ilustram sua veracidade. Experimento Desenhe com um compasso um círculo de raio 5 cm em um papel duro (como papel cartão). Tome um pedaço de barbante de comprimento igual ao da circunferência. Construa com fita adesiva, cartolina e barbante um cilindro de altura 10 cm tendo por base o disco delimitado por este círculo. Encha este cilindro com areia. Use o barbante para construir outras regiões quaisquer de mesmo perímetro do circulo, e em seguida construa cilindros de altura 10 cm tendo por base estas figuras. Despeje a areia do cilindro circular num destes outros cilindros e note que sobrou areia. Faça o mesmo com cada um dos cilindros. Isto mostra que o círculo tem maior área, pois o volume de um cilindro é dado por Volume=(Área da base) Altura. Ora, do experimento concluímos que o cilindro circular tem maior volume, ou seja se V 1 é o volume do cilindro circular (com área da base A 1 ) e V 2 é o volume de outro dos cilindros (de área da base A 2 ) temos: V 1 >V 2 A 1 10>A 2 10 A 1 >A 2. É importante que o professor destaque que este experimento não é uma demonstração matemática. A demonstração deste fato existe, e envolve técnicas matemáticas avançadas. Formigas 6/10
Paralelogramos Vejamos que entre os paralelogramos de perímetro l o de maior área é o quadrado. Primeiro provamos que o paralelogramo de maior área é um retângulo. Veja o desenho abaixo: α a b A área do paralelogramo vermelho acima é b a cos α <= b a, pois cos α 1, e cos α = 1 se e somente se α =90. Vamos restringir 0 α 90. Logo o paralelogramo de lados a, b com maior área é o retângulo de lados a, b. Vamos mostrar que a área será maior ainda, se a=b. De fato, temos no nosso retângulo, que a b= A, e a+b=l/2, onde A é a área do retângulo. Logo, b=(l/2) - a a [(l/2)-a]=a A=-a 2 +(l/2)a. Formigas 7/10
Ou seja, a área é dada por uma função quadrática de a. Note que o coeficiente líder desta função quadrática é negativo, logo A possui um máximo. Resolvendo a equação do segundo grau correspondente, descobrimos que A=0 se e somente se a= l/2 ou a=0. Segue que A atinge o máximo quando a= l/4 e, portanto b= l/4. Provamos acima que paralelogramo de perímetro l com área máxima é um retângulo de lados iguais, ou seja, um quadrado. Poligonos Regulares Vamos mostrar nesta seção que a área do disco é maior do que a área de qualquer polígono regular. Sabemos que a área de um polígono regular de n lados é dada por A n = l h n /2, onde l é seu perímetro, e h é a altura de um triângulo que possui um lado em comum com o polígono e um vértice no centro deste polígono, veja o desenho no caso do hexágono. h 6 α 6 Então, h n =sen α n l/(2n), donde A n = l 2 sen α n /(4n). Enquanto que a área do disco, A, é dada por Formigas 8/10
A=π (raio) 2. Mas o raio do disco de circunferência l é l/(2π). Segue que a área deste disco é A=l 2 /(4π). Como sen α n <=1 e π<4, temos que A>A n para todo n>3. A desigualdade no caso n=3 (triângulo) é trivial, e pode ser deixada como exercício. Aritmética Os alunos podem, como exercício, provar que 3 é irracional. E p com p primo? O raciocínio é análogo ao caso 2. Construindo irracionais É possível com ajuda de esquadros, régua e compasso construir segmentos de reta de comprimento irracional, usando o teorema de Pitágoras, por exemplo. Para construirmos um segmento de comprimento 3 precisaremos primeiramente construir um segmento de comprimento 2. Veja o desenho. 1 3 2 Formigas 9/10
Desenhe um triângulo retângulo tendo ambos os catetos comprimento 1. A hipotenusa deste triângulo têm comprimento 2. Trace então um segmento de comprimento 1, ortogonal a esta hipotenusa sobre uma de suas estremidades. Em seguida ligue as estremidades da hipotenusa e do novo segmento construindo assim a hipotenusa de um triangulo retângulo que possuirá então um cateto de lado 1 e outro de lado 2. Portanto pelo teorema de Pitágoras a hipotenusa deste novo triângulo terá comprimento 3. Construir 5 pode ficar como exercício. Sugestões de leitura Gelson Iezzi (2004). Fundamentos de Matemática Elementar. Vol9. Manfredo P. do Carmo(2008). Geometria Diferencial de curvas e superfícies. Adilson Gonçalves(2006). Introdução à Álgebra. Simon Lehna Singh. O último Teorema de Fermat. Ficha técnica Autor Alison Marcelo V.D.L. Melo Revisão Samuel Rocha de Oliveira Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Caio José Colletti Negreiros Vice-diretor Verónica Andrea González-López Formigas 10/10