Experimento. O experimento. Curvas de nível. Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia. Ministério da Educação

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1 Geometria e medidas O experimento Experimento Curvas de nível Objetivos da unidade Desenvolver experimentalmente a ideia de projeção ortogonal; Aprimorar a capacidade de visualização e associação de figuras tridimensionais a uma representação plana; Aplicar o conhecimento geométrico a situações de caráter prático por meio da construção de curvas de nível. licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação

2 Curvas de nível O experimento Sinopse Este experimento propõe o estudo das curvas de nível e suas aplicações, usando massa de modelar. A partir da construção de um relevo, é possível desenhar suas curvas de nível e seu perfil topográfico. O caminho contrário também pode ser feito: a partir de um conjunto de curvas, podemos obter o formato do acidente geográfico. Conteúdos Geometria Plana; Geometria Espacial, Paralelismo entre Planos, Projeções Ortogonais Objetivos Desenvolver experimentalmente a ideia de projeção ortogonal; Aprimorar a capacidade de visualização e associação de figuras tridimensionais a uma representação plana; Aplicar o conhecimento geométrico a situações de caráter prático por meio da construção de curvas de nível. Duração Uma aula dupla.

3 Introdução Olhando para um mapa topográfico, podemos notar diversas curvas de cor castanho. São as chamadas curvas de nível, que mostram pontos do mapa de mesma altitude. As curvas de nível são usadas por vários tipos de profissionais como geólogos, engenheiros, cartógrafos, agrônomos etc e suas aplicações vão desde análise de erosões até manobras militares. Na matemática também são usadas no estudo de funções, quando queremos transformar gráficos com 3 dimensões em figuras planas. Este experimento propõe aos alunos que construam curvas de nível, identifiquem um relevo a partir desse tipo de representação e discutam sobre suas aplicações. Curvas de nível O Experimento 2 / 14

4 O Experimento Material necessário Massa de modelar; Palitos de sorvete; Linha de costura ( ou linha de anzol); Régua. Preparação Divida a sala em grupos de 4 alunos. Cada equipe deverá receber duas porções de massa (aqui foi utilizado 200 g de massa por porção), dois palitos de sorvete, um pedaço de linha de costura (em torno de 30 cm) e uma Folha do Aluno. A quantidade de alunos por grupo pode variar conforme a disponibilidade de massa de modelar. Tipos de relevos etapa 1 fig. 1 Esta etapa consiste na apresentação de alguns tipos de relevos a seus alunos. É interessante iniciar com uma discussão sobre quais relevos eles conhecem. Aqui estão sugeridos cinco acidentes geográficos. Peça para que os alunos os construam rapidamente com a massa, enquanto discute sobre o formato de cada um. ºº Peça aos alunos para dividir a massa recebida entre todos do grupo. Assim, cada aluno poderá fazer a sua construção nessa etapa. Curvas de nível O Experimento 3 / 14

5 Espigões Este tipo de relevo tem como principal característica a presença de um sequência de morros com formas topográficas convexas. ºº Caso seja necessário, relembre o que significa uma figura ser convexa. Vales abertos em formato U fig. 4 Selas ºº O círculo vermelho na figura indica o relevo em questão. fig. 2 Vales em formato "V" fig. 5 fig. 3 Curvas de nível O Experimento 4 / 14

6 Morros Redondos fig Curvas de nível etapa 2 fig Nesta etapa, os alunos aprenderão sobre as curvas de nível e como construí-las. As curvas de nível são as linhas que representam pontos de mesma altitude no relevo em um mapa. As figuras 7, 8 e 9 mostram exemplos dessas curvas. fig fig. 9 Curvas de nível O Experimento 5 / 14

7 Observe que as curvas de nível são obtidas pela intersecção do relevo com planos paralelos que mantêm a mesma distância entre si. Essas intersecções, projetadas ortogonalmente sobre um plano, determinam as curvas de nível, conforme indicado na figura abaixo. ÀÀ Manter a mesma distância durante o corte garante que informações, como inclinação do relevo, por exemplo, não sejam perdidas. ÀÀ Maiores informações sobre projeção ortogonal são encontradas no Guia do Professor. é indicado o valor de sua altura, já que os cortes feitos podem não mostrar exatamente sua localização. Neste momento, os alunos devem construir as curvas de nível de um relevo. Eles devem seguir o roteiro abaixo, como na Folha do Aluno: Construa com a massa um tipo de relevo. Fica a critério do professor se será feita uma construção por grupo ou se cada aluno fará a sua m m 400 equidistância vertical fig fig. 10 Os números mostrados nas linhas se referem à altura do plano que contém aquela linha. O x indica ABo local ydo pico de um morro e o ponto mais baixo de um vale. Também Marque nos palitos de sorvete, com a ajuda de uma régua, intervalos de 1,5 cm. Esse valor é uma sugestão para construções com 200 g de massa. Valores maiores para a distância entre os planos fornecem poucas curvas, o que impossibilita uma descrição adequada, e distâncias menores dificultam o corte. ºº Varie a distância entre as marcas nos palitos de acordo com a quantidade de massa disponível para cada grupo. Curvas de nível O Experimento 6 / 14

8 fig. 12 fig. 14 Corte próximo da base. Amarre as pontas da linha, uma em cada palito.!! Não amarre a linha muito forte, pois ela tem que deslizar pelo palito. fig. 15 Corte próximo do topo. fig. 13 Desenhe os cortes em seu caderno. Faça cortes em sua montanha, começando de baixo, de 1,5 em 1,5 centímetros (segure a massa caso o relevo ameace desmoronar durante o corte). ºº Diga aos alunos para começar a desenhar as curvas de baixo. Isso facilita a visualização da localização dos outros cortes. fig. 16 Curvas de nível O Experimento 7 / 14

9 fig. 17 fig. 19 Meça a altura dos picos (ou vales) que ficaram entre os cortes e marque-os com um x na curva. AB y ºº Para uma medida mais precisa, marque com um lápis a distância do pico (ou do vale) e meça com a régua. Atenção! Nas formas mais comuns de relevo, as curvas de nível não se cruzam! Os relevos que gerariam cruzamento são raríssimos. Tente imaginar uma situação em que isso ocorra. Reconstrução e comparação de relevos etapa 3 fig. 18 Nesta etapa, peça para que cada grupo faça uma construção de um tipo de relevo usando apenas uma porção da massa recebida, guardando o restante para ser usado posteriormente. Instrua-os a não mostrar para os outros grupos o relevo construído. Curvas de nível O Experimento 8 / 14

10 fig. 20 As folhas entregues deverão ser redistribuídas entre os grupos e, para que a atividade fique mais interessante, eles não devem saber a origem das construções. Agora, cada grupo tem em mãos as curvas de nível de um relevo desconhecido. Os alunos devem tentar reconstruir este relevo a partir das curvas de nível recebida. A figura 22 ilustra uma etapa da reconstrução. ºº Lembre os alunos que a distância entre os cortes deve ter o mesmo valor da espessura da massa no molde. Como na Etapa 2, cada grupo deverá seccionar o relevo e construir as curvas de nível que deverão ser desenhadas numa folha separada e entregues ao professor. O relevo construído deverá ser guardado para comparação futura. Atenção! Use uma das massinhas recebidas para fazer o relevo inicial, e a outra para a fase de reconstrução. Isto é, cuide para que o relevo inicial não desmanche! fig. 22 fig. 21 A figura 23 mostra como ficaria o relevo da figura 21 reconstruído. É possível chegar bem próximo do relevo original. Curvas de nível O Experimento 9 / 14

11 pão de açúcar morro da urca fig. 23 Reconstrução do relevo da fig. 21. urca O professor pode reunir em sua mesa os relevos originais de cada grupo. Assim, terminada a reconstrução, os alunos poderão tentar identificar qual foi o modelo que originou o desenho Perfil topográfico etapa fig. 24 A partir das informações fornecidas por uma curva de nível, é possível obter uma linha conhecida por perfil topográfico do relevo. Essa linha representa as declividades e altitudes (cotas) do terreno, como mostrado no exemplo abaixo. ºº O relevo do exemplo é o Pão de Açúcar e o Morro da Urca, ambos localizados no Rio de Janeiro. Podem ser mostrados outros perfis de lugares famosos como motivação aos alunos. Os alunos podem representar o perfil topográfico de uma linha horizontal do terreno, isto é, representar os aclives e declives que encontrariam se percorressem essa linha. Perceba que o perfil nada mais é que um gráfico que relaciona distâncias horizontais com as cotas dos pontos. Cada aluno deve fazer o perfil de um dos conjuntos de curvas de nível construídos por ele. Para isso, siga os seguintes passos: Curvas de nível O Experimento 10 / 14

12 1. Escolha a xlinha AB que ydeterminará o perfil a ser representado; fig. 26 fig Trace perpendiculares à xreta AB pelas y intersecções com as curvas de nível. Pode já ser construído um eixo cartesiano onde será construído o xperfil. AB O eixo y terá o valor das alturas; 3. Esboce retas paralelas equidistantes x à AB, y indicando em cada uma o valor da cota correspondente; 4. Determine a intersecção de cada paralela com as perpendiculares relativas à curva de nível correspondente; Curvas de nível O Experimento 11 / 14

13 Interpretação das curvas O que indicam as curvas de nível consecutivas muito afastadas? E as muito próximas? Podemos observar que curvas de nível próximas significam terrenos mais íngremes, e, quanto mais distantes as curvas de nível, mais suave é a inclinação do relevo em questão. 5. fig. 27 Una os pontos determinados. fig. 28 Fechamento Aplicações Discuta com seus alunos as aplicações das curvas de nível e perfis topográficos. Ambos são temas essenciais para geólogos, cartógrafos, agrônomos e outros profissionais, podendo ser utilizados para interpretação de evolução de erosões do terreno, cálculos de volume de terra ou aplicações militares. Proponha a seus alunos o seguinte problema de aplicação: Na figura a seguir, temos um trecho da carta topográfica de uma certa região. No ponto x ABlocaliza-se y uma torre de transmissão de TV e no xponto AB encontra-se y uma casa. As curvas de nível representam diferenças de cota de 20 m. Curvas de nível O Experimento 12 / 14

14 +275 casa +347 A 300 rio verde 300 igreja B casa rio branco rio negro fig. 29 Interpretação das curvas Construa o perfil da xlinha AB do terreno. y Sugestão: adote 1 cm = 20 m como escala vertical. ºº Note que, a partir da curva de nível de cota 300, é possível saber a cota de todas as outras curvas. fig. 30 O traço azul representa o sinal de TV. Pode-se observar que este não alcança x AB. y Assim, podemos concluir que a casa localizada x em AB não yrecebe o sinal de TV da torre localizada x em AB. y Feito o perfil, questione-os: Pense e responda No ponto x ABexiste yuma torre de TV. A casa situada x em AB recebe y esse sinal? Para resolver essa questão, os alunos devem fazer o perfil topográfico como mostrado na figura 30. Curvas de nível O Experimento 13 / 14

15 Ficha técnica Autores Miriam Sampieri Santinho, Rosa Maria Machado e Wilson Roberto Rodrigues Coordenação de redação Rita Santos Guimarães Redação Mariana Sacrini Ayres Ferraz Revisores Matemática Antônio Carlos Patrocínio Língua Portuguesa Carolina Bonturi Pedagogia Ângela Soligo Projeto gráfico Preface Design Ilustrador Lucas Ogasawara de Oliveira Fotógrafo Augusto Fidalgo Yamamoto Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-Reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Matemática Multimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimentos Leonardo Barichello Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc unicamp) Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-Diretor Edmundo Capelas de Oliveira licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação