Problemas Gregos. Série Cultura

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1 Problemas Gregos Série Cultura Objetivos 1. Descrever os três famosos problemas gregos, duplicação do cubo, quadratura do círculo e trissecção de ângulos, e contar um ouço da sua história;

2 Problemas Gregos Série Cultura Conteúdos Geometria Euclidiana; Construção com régua e compasso; Duplicação do cubo; Quadratura do círculo; Trissecção de ângulos. Duração Aprox. 10 minutos. Sinopse De maneira geral, este áudio descreve três problemas geométricos famosos, ao mesmo tempo em que explora suas relações com assuntos diversos. Material relacionado Experimentos: Arco Capaz, Duplicação do Cubo. Objetivos 1. Descrever os três famosos problemas gregos, duplicação do cubo, quadratura do círculo e trissecção de ângulos, e um pouco da sua história.

3 Introdução Sobre a série A série Cultura foi concebida com o objetivo de proporcionar aos alunos a oportunidade de fazer paralelos significativos entre Literatura, Cultura Geral e Matemática, para que ele, além de poder observar resoluções de problemas de matemática, também se sentisse estimulado a buscar as referências literárias e expandir seu conhecimento em diversas áreas. Por conta disso, sugerimos que seja feita uma indicação explícita das referências que aparecem no roteiro. Sobre o programa Este áudio trabalha de maneira multidisciplinar diversos temas ao mesmo tempo, relacionando tópicos de culinária, esportes, história, filosofia e, evidentemente, matemática, a partir de um único tema inicial: os três mais famosos problemas geométricos da Antigüidade, todos eles não passíveis de construção apenas pelo uso de régua nãograduada e compasso: a duplicação do cubo, ou o problema de construir um cubo com o dobro do volume de outro cubo conhecido, a quadratura do círculo, ou o problema de construir um quadrado de área igual ao de um dado círculo, e a trissecção de ângulos, ou o problema de construir um ângulo cujo valor corresponde a terça parte de outro ângulo. É curioso notar que, a despeito da natureza geométrica de tais problemas, um polinômio de coeficientes racionais pode ser associado a cada um deles, ou seja, pode-se traduzir o problema em linguagem algébrica, e é a partir desta nova interpretação que segue a impossibilidade de se construir tais objetos. Problemas Gregos 3/7

4 Sobre as referências culturais Em 1989, o diretor Jorge Furtado lançou o curta-metragem chamado Ilha das Flores. Este documentário ganhou diversos prêmios por todo mundo e se tornou referência no que diz respeito ao estilo narrativo adotado que se caracteriza pelo encadeamento rápido de fatos que, aparentemente, não estão conectados, mas servem para dar uma visão mais ampla e geral sobre o tema que se quer apresentar. No caso do documentário, cujo objetivo é mostrar o processo de geração de riqueza e as desigualdades oriundas desse processo, o roteiro acompanha a história de um tomate, desde a sua plantação até o consumo. O curta pode ser acessado gratuitamente no portal Porta Curtas da Petrobrás: Este áudio empresta a estrutura narrativa de Ilha das Flores para descrever os três problemas geométricos da duplicação do cubo, quadratura do círculo e trissecção de ângulos, a partir de uma história que revela bastante do espírito cultural e filosófico dos gregos daquela época. É importante salientar que o roteiro deste áudio traz um número grande de informações e não se espera que o professor ou os estudantes consigam incorporar todas elas após ouvi-lo uma única vez. Em termos de conteúdo, o importante deste áudio é a discussão dos problemas geométricos já mencionados. Sobre o conteúdo Os problemas da duplicação de um cubo, quadratura de um círculo e trisecção de um ângulo ocuparam o pensamento de matemáticos e não-matemáticos por muitos séculos, sendo que somente no século XIX é que se conseguiu demonstrar a impossibilidade de resolvê-los empregando apenas uma régua não-graduada e compasso. Problemas Gregos 4/7

5 O que acontece é que há um conjunto bastante limitado de operações que podemos realizar com estes dois instrumentos: soma, subtração, multiplicação, divisão e cálculo da raiz quadrada de números positivos. No entanto, todos estes problemas envolvem ou a determinação de uma raiz cúbica ou a construção do número π. De fato, Dado um cubo de volume unitário, o problema de duplicar um cubo consiste em encontrar um outro cubo com o dobro do volume do cubo anterior, ou ainda, em construir um segmento de medida x tal que x 3-2 = 0; Dado um ângulo π, a seguinte relação é sempre válida: cos(3π) = 4 cos 3 (π) - 3 cos(π). Assim, para π =20, podemos escrever ou também, 4 cos 3 (20 ) - 3 cos(20 ) - 1/2 = 0, 8y 3-6y 1 = 0, caso façamos y = cos(20 ). Melhor ainda, tomando x = 2y, obtemos a expressão x 3-3x 1 = 0. Dado um círculo de raio unitário, determinar um quadrado de mesma área se resume à construção de um segmento de medida x tal que x 2 - π = 0. Só que pelo que já dissemos, raízes cúbicas não podem ser sempre calculadas e π é um número transcendente, ou seja, não é raiz de nenhum polinômio de coeficientes reais. Como toda construção com régua não-graduada e compasso está associada a um polinômio de coeficientes reais, segue que π também não pode ser obtido com estas ferramentas. É impossível então, qualquer que seja o caso, Problemas Gregos 5/7

6 duplicar um cubo, quadrar um círculo ou trisseccionar determinados ângulos. Sugestões de atividades Durante a execução O roteiro deste áudio refere-se ao surgimento da democracia na Grécia, à ideia original de cidadania, ao uso do azeite na culinária grega, à invenção dos jogos olímpicos, à consolidação de Atenas como poderosa cidade-estado e centro de cultura dos tempos antigos, à filosofia de Platão e aos três famosos problemas gregos. O tema principal discutido aqui diz respeito à impossibilidade de se duplicar um cubo, quadrar um círculo e trisseccionar um ângulo. Depois da execução Caso haja interesse em conhecer outros recursos educacionais que abordam conteúdos similares aos tratados neste áudio, sugerimos os experimentos Arco Capaz, que trabalha com construções geométricas a partir do uso da régua e do compasso, e Duplicação do Cubo, que discute em maiores detalhes o problema do seu título. Os dois experimentos podem ser encontrados no endereço Sugestões de leitura E. Q. F. Rezende e M. L. B. de Queiroz (2010). Geometria Euclidiana Plana. Editora da Unicamp. I. N. Herstein (1970). Tópicos de Álgebra. Editora Polígono. Tradução de A. P. Bergamasco e L. H. J. Monteiro. Problemas Gregos 6/7

7 Ficha técnica Autor Douglas Mendes Revisor Leonardo Barichello Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira Problemas Gregos 7/7