CURSO E COLÉGIO APOIO. Professor: Ronaldo Correa

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Holiday - Christmas.mpg medidas

1-Medidas Grandeza tudo aquilo que pode ser medido. Medir comparar com um padrão. No Brasil e na maioria dos países as unidades de medidas legais são as do sistema internacional de unidades ou S.I. Comprimento Metro m Massa Kilograma Kg Tempo segundo s.

2-Notação científica Os números n obtidos na medição de uma grandeza, eventualmente podem ser muito grandes ou muito pequenos Por exemplo a distância da terra à lua 384.000.000.000m Diâmetro de um átomo 0,0000000001m

Para representar tais números n utilizamos a notação científica,fazendo uso de potências de dez. Qualquer número n g pode ser escrito como o produto de um número a,entre um e dez,por outro,que é uma potência de dez (10 n ) g=a.10n

300 = 3.10 2 Exemplos: 6300000 = 6,3.10 6 0,0000025 = 2,5.10-6 0,001236 = 1,236.10-3

Regra prática 1 - Números maiores que um deslocamos a vírgula v para a esquerda,até atingir o primeiro algarismo do número.o n número de casas deslocadas para a esquerda corresponde ao expoente positivo da potência de 10.

Regra prática 2 números menores que um deslocamos a vírgula v para a direita até o primeiro algarismo diferente de zero.o número n de casas deslocadas para a direita corresponde ao expoente negativo da potência de 10.

observação Pelas regras da notação científica o número a na frente da potência de 10 estará compreendido entre 1 e 9,99999... Assim o número n 47.10 5 deve ser escrito corretamente como 4,7.10 6 O número n 76.10-7, deve ser escrito como 7,6.10-6

A notação científica serve para nos dar uma idéia ia da magnitude (tamanho) de uma medida, pela ordem de grandeza (potência de dez) A ordem de grandeza é a potência de dez, de expoente inteiro,mais próxima do módulo m da medida da grandeza analisada.

Para qualquer número n g Ele estará compreendido entre duas potências inteiras e consecutivas de dez. 10 n g 10 n+ 1

A ordem de grandeza do número n 400 é 10 2 porque 400 está mais próximo de 100 do que de 1000 (10 3) A ordem de grandeza do número 700 é 10 3 porque está mais próximo de 1000 do que de 100.

Operações com potências de dez. Multiplicação: m+n a.10 m.b.10 n =ab.10 m+n Exemplos: 1,2.10 5.3,0.10 2 = 3,6.10 7 2,4.10 7.2,5.10-3 = 6,0.10 4 5,0.10-2.2,6.10-4 = 13.10-6 = 1,3.10-5

Divisão. (a.10 m ) : (b.10 n ) =a/b.10 m-n Exemplos: (8,4.10 5 ) : (4,0.10 8 ) = 2,1.10-3 (1,5.10-6 ):(7,5.10-2 )=0,20.10 4 = 2,0.10-5

potenciação.10n.m (.10 n ) m = a m.10 Exemplos: (3.10 4 ) 3 =27.10 12 =2,7.10 13

m Radiciação n m a. 10 = a. 10 n m Exemplo: 7 4,9.10 = 49.10 = 6 7.10 3

Adição e subtração Primeiro colocamos todos os números na mesma potência de 10(de preferência na maior);em seguida,colocamos a potência de 10 em evidência e,finalmente, somamos ou subtraímos as partes numéricas ricas.

exemplos 2,30.10 3 +4,12.10 4 = =0,230.10 4 +4,12.10 4 = =10 4.(0,230+4,12)= =4,35.10 4

Teoria dos erros Quando realizamos uma medida precisamos estabelecer a confiança a que o valor encontrado para a medida representa. Medir é um ato de comparar e esta comparação envolve erros dos instrumentos, do operador, do processo de medida e outros.

Podemos ter erros sistemáticos que ocorrem quando há falhas no método empregado, defeito dos instrumentos, etc... e erros acidentais que ocorrem quando há imperícia do operador, erro de leitura em uma escala, erro que se comete na avaliação da menor divisão da escala utilizada etc... Em qualquer situação deve-se adotar um valor que melhor represente a grandeza e uma margem de erro dentro da qual deve estar compreendido o valor real. Vamos aprender como determinar esse valor e o seu respectivo desvio ou erro

- Valor médio m - Desvio médiom Quando você realiza uma medida e vai estimar o valor situado entre as duas menores divisões do seu aparelho de medida, você pode obter diferentes valores para uma mesma medida Como exemplo, vamos medir o espaço o (S) percorrido por uma formiga utilizando uma régua milimetrada (a menor divisão é 1 mm).

Você observa que o valor de S ficou situado entre 5,80 e 5,90. Vamos supor que mentalmente você tenha dividido esse intervalo em 10 partes iguais e fez cinco medidas obtendo os valores de S apresentados na tabela 1.

N S N (cm) δ(s) (cm) 1 5,82 0,01 2 3 4 5 N=5 5,83 5,85 5,81 5,86 S N = 29,17 0,00 0,02 0,02 0,03 δ N =0,08 Valores obtidos para S e os respectivos desvios δ(s). De acordo com o postulado de Gauss:

"O valor mais provável que uma série de medidas de igual confiança nos permite atribuir a uma grandeza é a média aritmética dos valores individuais da série". Fazendo a média aritmética dos valores encontrados temos o valor médio, ou seja, o valor mais provável de S como sendo: Valor médio de S = (5,82 + 5,83 + 5,85 + 5,81 + 5,86) / 5 = 5,83 cm.

O erro absoluto ou desvio absoluto δ A de uma medida é calculado como sendo a diferença entre valor experimental ou medido e o valor adotado que no caso é o valor médio: δ A = valor adotado - valor experimental Calculando os desvios, obtemos: δ 1 = 5,83-5,82 = 0,01 δ 2 = 5,83-5,83 = 0,00 δ 3 = 5,83-5,85 = 0,02 δ 4 = 5,83-5,81 = 0,02 δ 5 = 5,83-5,86 = 0,03

O desvio médio de S será dado pela média aritmética dos desvios: δ = (0.01 + 0,00 + 0,02 + 0,02 + Médio 0,03) / 5 = 0,02 O valor medido de S mais provável, portanto, será dado como: S = S ± S(2)S = 5,83 ± 0,02 médio médio

Quando é realizada uma única medida, você considera desvio a metade da menor divisão do aparelho de medida. No caso da régua esse desvio é 0,05 cm. Uma única medida seria representada como: S = 5.81 ± 0,05 cm

Erro ou desvio relativo Vamos supor que você tenha medido o espaço compreendido entre dois pontos igual a 49,0 cm, sendo que o valor verdadeiro era igual a 50,00 cm. Com a mesma régua r você mediu o espaço entre dois pontos igual a 9,00 cm, sendo que o valor verdadeiro era igual a 10,00 cm. Os erros absolutos cometidos nas duas medidas foram iguais: δ absoluto 1 - S= 50,00-49,00 = 1,00 cm δ absoluto 2 - S = 10,00-9,00 = 1,00 cm

Apesar de os erros ou desvios absolutos serem iguais, você observa que a medida 1 apresenta erro menor que a medida 2. Neste caso o erro ou desvio relativo é a razão entre o desvio absoluto e o valor verdadeiro. Desvio relativo = desvio absoluto / valor verdadeiro. Exemplo: δ S= 1 cm / 50 cm = 0,02 relativo1 δ S= 1 cm / 10 cm = 0,1 relativo2

Isso nos mostra que a medida 1 apresenta erro 5 vezes menor que a medida 2. Os desvios relativos são geralmente representados em porcentagem, bastando multiplicar por 100 os desvios relativos encontrados anteriormente, obtendo: δ S = 2 % relativo1 δ S = 10 % relativo2

Concluímos que o erro ou desvio relativo de uma medida de qualquer grandeza é um número puro, independente da unidade utilizada. Os erros relativos são de importância fundamental em tecnologia.

equações Medida mais provável vel x = ( x + x +... + x ) / 1 2 n n Desvio absoluto( x) x = ( x x +... + x x ) / 1 n n Desvio relativo o d R x d = R x

Representação de uma grandeza G = x ± x O desvio absoluto deve ser representado com um único algarismo significativo e deve afetar o algarismo duvidoso de x

Nas operações envolvendo erros, adota-se os seguintes critérios rios Na adição e subtração os desvios absolutos se somam Na multiplicação e na divisão os desvios relativos se somam.

exemplos exemplos 0,02 7,66 0,01) (2,35 0,01) 5,31 ( ± = ± + ± 0,02 2,96 0,01) (2,35 0,01) 5,31 ( ± = ± ± 0,1 27,2 0,0031) (27,22)(0,0023 27,22 3,15 0,01 8,64 0,02 (8,64.3,15). (8,64.3,15) 3,15 0,01 3,15. 8,64 0,02 8,64 0,01) 0,02).(3,15 (8,64 ± = + ± = = + ± = = ± ± = = ± ±

- Algarismos significativos Quando você realizou as medidas com a régua r milimetrada (fig.1) do espaço o S, você colocou duas casas decimais. é correto o que você fez? Sim, porque você considerou os algarismos significativos. O que são os algarismos significativos? Quando você mediu o valor de S = 5,81 cm com a régua r milimetrada você teve certeza sobre os algarismos 5 e 8, que são os algarismos corretos (divisões inteiras da régua), sendo o algarismo 1 avaliado denominado duvidoso. Consideramos algarismos significativos de uma medida os algarismos corretos mais o primeiro duvidoso.

Algarismos significativos =algarismos corretos + primeiro algarismo duvidoso 5,81 5,8 1 Sempre que apresentamos o resultado de uma medida, este será representado pelos algarismos significativos. Veja que as duas medidas 5,81cm e 5,83m não são fundamentalmente diferentes, porque diferem apenas no algarismo duvidoso.

Observação: Para as medidas de espaço obtidas a partir da trajetória da formiga serão considerados apenas os algarismos corretos: não há necessidade de considerar o algarismo duvidoso já que não estamos calculando os desvios.os zeros à esquerda não são considerados algarismos significativos com no exemplo: 0,000123 contém apenas três algarismos significativos.

- Operações com algarismos significativos Há regras para operar com algarismos significativos. Se estas regras não forem obedecidas você pode obter resultados que podem conter algarismos que não são significativos. Adição e subtração Vamos supor que você queira fazer a seguinte adição: 250,657 + 0,0648 + 53,6 =

Para tal veja qual parcela apresenta o menor número n de algarismos significativos. No caso 53,6 que apresenta apenas uma casa decimal. Esta parcela será mantida e as demais serão aproximadas para uma casa decimal. Você tem que observar as regras de arredondamento que resumidamente são:

Ao abandonarmos algarismos em um número, o último algarismo mantido será acrescido de uma unidade se o primeiro algarismo abandonado for superior a 5; quando o primeiro algarismo abandonado for inferior a 5, o último algarismo permanece invariável, e quando o primeiro algarismo abandonado for exatamente igual a 5, é indiferente acrescentar ou não uma unidade ao último algarismo mantido

No nosso exemplo teremos as seguinte aproximações: 250,657 250,6 0,0648 0,1 Adicionando os números aproximados, teremos: 250,6 + 0,1 + 53,6 = 304,3 cm Na subtração, você faz o mesmo procedimento

Multiplicação e divisão Vamos multiplicar 6,78 por 3,5 normalmente: 6,78 x 3,5 = 23,73 Aparece no produto algarismos que não são significativos. A seguinte regra é adotada: Verificar qual o fator que apresenta o menor número de algarismos significativos e apresentar no resultado apenas a quantidade de algarismo igual a deste fator, observando as regras de arredondamento.

6,78 x 3,5 = 23,7 Para a divisão o procedimento é análogo Observação: As regras para operar com algarismos significativos não são rígidas. Poderia ser mantido perfeitamente um algarismo a mais no produto. Os dois resultados são aceitáveis: 6,78 x 3,5 = 23,73 ou 6,78 x 3,5 = 23,7.