Figura 1.1: Representação gráfica das pontes de Königsberg.

Capítulo 1 Introdução Nesse capítulo introdutório aborda-se brevemente o histórico da teoria dos grafos, as aplicações e motivações para estudo e por fim algumas dicas de como utilizar esse livro. 1.1 Histórico A teoria dos grafos foi inicialmente estudada por Leonhard Euler, um matemático e físico suíço de língua alemã que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha. Euler resolveu em 1735, o problema das Sete pontes de Königsberg, um território que é cortado pelo Rio Prególia, onde existem duas grandes ilhas, que juntas, formavam um complexo de sete pontes, como é possível ver sua ilustração na Figura 1.1. A possibilidade de atravessar todas as pontes sem repetições era um assunto discutido pelas ruas da cidade. Com esses rumores, o desafio tornou-se um lenda popular, foi quando Euler provou que não existia um caminho que possibilitasse a travessia sem repetição. Para chegar a essa conclusão, o físico e matemático usou um simples raciocínio transformando todos os caminhos em retas (arestas) e suas intersecções em pontos (vértices), criando possivelmente o primeiro grafo da história. Figura 1.1: Representação gráfica das pontes de Königsberg. Na Figura 1.1 (a) observa-se duas ilhas que formam um complexo conectado por pontes. Identificase 4 áreas possíveis de se alcançar com as pontes, rotuladas na Figura por {A, B, C e D}. A Figura 1.1 (b) mostra a modelagem do problema em um grafo. Com esse novo modelo, percebeu-se que só seria possível realizar tal feito caso todas as pontes tivessem um número par de caminhos (arestas), isso porque para passear pelas pontes era necessário no mínimo um caminho para "entrar" e outro caminho diferente para "sair". Esse estudo do físico e matemático deu origem aos Grafos Eulerianos que serão detalhados posteriormente e basicamente preservam a única propriedade de ter número par de arestas. 5

6 Capítulo 1. Introdução Outro problema históricamente importante para a teoria dos grafos, foi mapeado no Século XIX, denomidado por Problema das 4 Cores. Uma simples questão deveria ser respondida: "Serão suficientes quatro cores para pintar um mapa plano de forma a que dois países vizinhos não partilhem a mesma cor?". Esta questão surgiu em 3 de Outubro de 185, quando De Morgan, Professor do University College, em Londres recebia de um aluno, Frederick Guthrie, o enunciado do Problema das Quatro Cores. CURIOSIDADE No século XIX, pintar mapas era um trabalho árduo, então economizar cores também implicava em economizar pigmentos, tornando assim o mapa mais barato. Outra motivação para tal pergunta estava na dificuldade de se criar cores diferentes. De Morgan e Frederick Guthrie constataram que 4 cores são suficiente para pintar qualquer mapa, os detalhes de como isso foi feito serão explanados posteriormente quando tratarmos de Planaridade e Coloração de Grafos. Com os recursos computacionais do século XX a teoria dos grafos se torna importante objeto de estudo, pois agora seria possível mapear um problema real e suficientimente grande em um grafo que, sem o auxílio computacional, seria impossível de ser resolvido. A teoria de grafos teve atenção recente no âmbito científico por possibilitar uma modelagem matemática para diversas situações reais em física, quimica, biologia, egenharia, pesquisa operacional, entre outros. Entretanto, históricamente apenas problemas pontuais foram estudados. A grande maioria dos problemas relacionados a teoria dos grafos estão em uma classificação de algoritmos np-difícil 1, entretanto, as pesquisas se direcionam para subclasses de problemas mapeados em grafos que conseguem ser resolvidos em tempo polinomial. Isso significa que alguns problemas em grafos, mesmo quando colocados em um ambiente computacional, podem demorar muito tempo para serem resolvidos, todavia, alguns problemas específicos podem ser resolvidos em tempo satisfatório, e esses tem sido o foco recente de estudos. 1. Aplicações e Motivações O estudo de grafos tem como um de seus objetivos, modelar matematicamente problemas do mundo real. Na maioria das vezes essa modelagem acontece de forma intuitiva, por exemplo ao pensar em um problema que envolva caminhos entre cidades, é fácil perceber que intuitivamente as cidades se transformarão em vértices e os caminhos em arestas. Com essa simples modelagem é possível utilizar técnicas que serão abordadas nesse livro, como o percurso e análise do ambiente mapeado, de forma a descobrir respostas para perguntas do tipo: Qual a menor distância entre a cidade A e a cidade B? Quais os caminhos possíveis entre a cidade A e a cidade B? Quantas cidades são pode-se chegar a partir da cidade A? Quando temos um grafo computacionalmente modelado e as técnicas para percorrer esse grafo, essas perguntas se tornam triviais de serem respondidas. 1 é uma classe de problemas que são, informalmente, "Pelo menos tão difíceis quanto os problemas mais difíceis em NP". 6

1.3. Como Ler Esse Livro 7 Pode-se pensar em algumas aplicações na área de criação de circuitos impressos, haja vista que é de grande interesse gerir o controle com que o fluxo de informações é trafegado em uma placa. Na indústria de confecções, podendo remodelar os cortes de um tecido com objetivo de minimizar o gasto. Tornar um problema real em um modelo matemático possibilita além de uma diagramação palpável do problema, a utilização de recursos computacionais que podem resolver tais problemas. Com isso é possível responder perguntas que são dependentes apenas do modelo definido. 1.3 Como Ler Esse Livro O foco principal deste material não é ser utilizado como um guia de consulta rápida e nem como um livro de cabeceira, seu propósito é servir como um norteador de estudos. Para um bom entendimento dos conceitos é necessário uma leitura atenciosas, e a prática de exercícios de fixação. Recomenda-se o estudo deste material em compania para que as discussões venham a tona e enriqueçam o aprendizado. O livro é organizado de forma com que a estrutura dos assuntos a serem tratados atendam um esquema de "pré-requisitos" de um conteúdo (capitulo) para o outro, assim, é importante e recomendado que o estudo seja feito de forma linear e com sequência. São pré-requisitos para o bom entendimento do livro o conhecimento básico de teoria dos conjuntos, que são utilizados para denotar matematicamente os grafos. Também é necessário um entendimento sobre provas de teoremas, utilizados para embasar os conteúdos do livro. A disposição dos capítulos neste livro seguem uma estrutura semelhantes, iniciando com um pequena introdução ao conteúdo a ser tratado, o assunto propriamente dito, seguido de um conjunto de exercícios resolvidos, um exemplo de alguma aplicação prática utilizando os conceitos abordados no capítulo em questão, uma outra pequena bateria de exercícios de fixação a serem resolvidos pelo leitor, e finalmente um pequena conclusão do assunto. É esperado que seguindo essas dicas o leitor possa fazer um melhor aproveitamento dos conteúdos abordados neste material, o que em hipótese alguma restringe sua utilização de forma diferenciada de acordo com as ansiedades de cada leitor. Assim, espera-se um ótimo aproveitamento deste livro ajudando a fortalecer o aprendizado sobre a teoria dos grafos e seus algoritmos. 7

Capítulo Definições Iniciais Esse capitulo tem por objetivo apresentar de forma sucinta os principais fundamentos em teorias dos grafos. Seu conteúdo aborda conceitos como um simples definição de grafo, o que é um grafo completo, os graus de um grafo, o vetor de graus de um grafo, um grafo n-regular, o primeiro teorema que relata sobre a soma dos graus de um grafo seguido de um colorario e um exemplo de aplicação utilizando esses conceitos..1 Fundamentos ( ) V Para qualquer conjunto V, denotamos o conjunto de todos pares não-ordenados de elementos ( ) ( ) de V. Se V tem n elementos então V n(n 1) V tem elementos. Os elementos de terá a forma {v, w}, sendo v e w dois elementos distintos de V. Um grafo é um par ordenado de conjuntos finitos (V, E) tal que E ( V ). Isso significa que cada elemento E é um subconjunto de elementos de V ou um binômio de V. Cada elemento de V é chamado de vértice do grafo e cada elemento de E é chamado de aresta do grafo, dessa forma cada aresta e E é um subconjunto de V formado por exatamente dois vértices, ou seja, e V e e =. Todo grafo pode ser representado geometricamente por um diagrama. No plano, desenhamos um ponto para cada vértice e um segmento de curva ligando cada par de vértices que determinam uma aresta (Figura.1). Claramente, essa representação geométrica de um grafo não é única. Exemplo 1: Os conjuntos: V = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} E = {{1, }, {1, 5}, {, 5}, {3, 4}, {6, 7}} definem um grafo e um diagrama desse grafo é apresentado na Figura.1. Se G denota o grafo que é definido pelo par (V, E) então escrevemos G = (V, E). No que segue u e v denotam vértices e e e f denotam arestas de um grafo: se v e então dizemos que a aresta e incide em v; se u, v é uma aresta, então dizemos que u e v são vértices adjacentes; 8

.. Grafo Completo 9 Figura.1: Representação geométrica (ou diagrama) do grafo. se e f = 1, então dizemos que e e f são arestas adjacentes, em outras palavras, se existe um vértice v que é comum (faz a intersecção) às arestas e e f então essas são arestas adjacentes. quando e = v, u, dizemos que u e v são os extremos da aresta e. Quando nos referimos a um grafo conhecido G sem especificarmos o conjunto dos vértices e o conjunto das arestas que definem G esses passam a ser referidos como V (G) e E(G), respectivamente. Assim, se G = (X, Y ) então V (G) = X e E(G) = Y. Para um grafo G qualquer, chamamos V (G) de ordem de G e chamamos V (G) + E(G) de tamanho de G. Um expoente em G, quando G é um grafo, denota a ordem de G, assim quando queremos ressaltar que G é um grafo de ordem n, para algum n N, escrevemos G n. Chamamos G 0 = (, ) de grafo vazio e todo grafo de ordem 1 de grafo trivial.. Grafo Completo Um grafo é chamado ( ) de completo sobre V se todo par de vértices de V é uma aresta do grafo, ou V formalmente E = para cada par de vértices V (G) = {x, y} existe uma aresta que os liga. Um grafo completo é denotado por K n. ( Outra ) definição para grafo completo é um grafo que tem todas as arestas possíveis em E(G). K n = V (V, ) onde V = {1,, 3, 4,..., n}. São exemplos de grafos completos: K 1 = (V k1, E k1 ) V k1 = {1} e E k1 = {{, }} K = (V k, E k ) V k = {1, } e E k = {1, } K 3 = (V k3, E k3 ) V k3 = {1,, 3} e E k3 = {{1, }, {, 1}, {1, 3}} As representações geométricas dos grafos estão dispostas na Figura. na qual, K 1 é representado por a, K é representado por b e K 3 é representado por c. As definições de K para um n completo representam um grafo com n vértices completo, então essa definição pode ser aplicada a todos os sucessivos grafos até K n. 9

10 Capítulo. Definições Iniciais Figura.: Representação geométrica (ou diagrama) dos grafos completos K 1, K e K 3.3 Complemento de um Grafo O complemento de um grafo G, denotado por G, é o grafo que tem o mesmo conjunto de vértices de G e dois vértices formam uma aresta em G se e somente se não formam uma aresta de G: G = (V (G), E(G)) V (G) = V (G) G = (V (G), E(G)) E(G) = {{u, v} V (G) : {u, v} E(G)} ou ( ) E(G) = V (G) E(G) ou ( ) E(G) = {e V (G) e E(G)}.4 Graus de um Grafo Os graus de um grafo indicam o número de arestas conectadas a ele, por isso é um importante parâmetro para estudo. Em um grafo definido por: G = (V (G), E(G)) V (G) = {1,, 3, 4, 5, 6} E(G) = {{1, 3}, {1, 6}, {, 4}, {5, 1}, {4, 3}} Disposto graficamente na Figura.3. Figura.3: Representação geométrica (ou diagrama) do grafo G. 10

.4. Graus de um Grafo 11 Defini-se como vértices vizinhos os vértices que estão conectados as mesmas arestas que o vértice em questão: N G(u) = {w V (G) uw E(G)} Ou seja, para descobrir os vértices vizinhos (vizinhança) de um vértice u verifica-se se existe um vértice w que pertence ao conjunto de vértices de G tal que a aresta identificada por uw pertença ao conjunto de arestas de G. Exemplo : Para exemplificar a identificação da vizinhança, utiliza-se o vértice 1 da Figura.3: N G(u) = N G(1) N G(1) = {6, 5, 3} O grau de um vértice (denotado por d G(u)) é obtido pelo tamanho do conjunto de sua vizinhança, no exemplo: d G(1) = N(1) d G(1) = 3 Defini-se como arestas vizinhas as arestas que incidem no vértice em questão: E G(u) = {e E(G) u e} Ou seja, para identificar as arestas vizinhas de um vértice u verifica-se se uma aresta e pertence ao conjunto de arestas de G tal que o vértice u esteja no conjunto de arestas e em questão. Exemplo 3: Para exemplificar a identificação das arestas vizinhas, utiliza-se o vértices 1 da Figura.3: E G(u) = E G(1) E G(1) = {{1, 6}, {1, 5}, {1, 3}}.4.1 Vetor de Graus Um vetor de grau de um grafo, é um vetor contendo os graus de todos os vértices do grafo. O tamanho do vetor de graus é também o número de vértices do grafo, no exemplo da Figura.3, o vetor de grau é dado por: vet G = {1, 1, 1,,, 3} Pois existem 3 vértices com grau 1, vértices com grau e 1 vértices com grau 3. Sua notação formal é obtida por: d G(u) u V (G) Ainda é possível identificar se um vetor de graus é ou não um grafo: 11

1 Capítulo. Definições Iniciais é um grafo se a somatória dos graus de valor ímpar é par (Teorema.5); não é um grafo se o maior grau do vetor de graus é igual ou maior que o tamanho do vetor de graus..4. Grau Mínimo Para achar o grau mínimo (denotado por δ) em um grafo, deve-se identificar o menor grau do seu vetor de graus. Dado o grafo da Figura.3, temos: Definindo-se formalmente, temos: δ(g) = min{1, 1, 1,,, 3} δ(g) = 1 δ(g) = min{d g(u) u V (G)}.4.3 Grau Máximo Para achar o grau máximo (denotado por ) em um grafo, deve-se identificar o maior grau do seu vetor de graus. Dado o grafo da Figura.3, temos: Definindo-se formalmente, temos: (G) = max{1, 1, 1,,, 3} (G) = 3 (G) = max{d g(u) u V (G)}.4.4 Grau Médio 1 Para achar o grau médio (denotado por d) em um grafo G determina-se (1 sobre a quantidade V (G) de vértices) vezes o somatório de todos os graus do vetor de graus ( d g(u)). Formalmente, temos: u V (G) No exemplo da Figura.3, temos: d(g) = 1 V (G) u V (G) d g(u) d(g) = 1 6 u V (G) d(g) = 1 6 (10) d(g) = 10 6 5 3 d g(u) 1

.5. Teorema da Soma dos Graus 13.4.5 Grafo n-regular Um grafo G é dito n-regular, para um n N se todos seus vértices têm grau igual a n..5 Teorema da Soma dos Graus d g(u) = E(G) u V Prove que o somatório dos graus de um vértice do grafo G com u V (G) é igual a vezes o tamanho das arestas de G. Para entender melhor esse teorema vamos usar o seguinte grafo: G t = (V (G t), E(G t)) V (G t) = {1,, 3, 4, 5} E(G t) = {{1, 4}, {1, 3}, {4, 3}, {3, 5}, {3, }} Figura.4: Representação geométrica (ou diagrama) do grafo G t. Analisando o teorema temos que o somatório dos graus do vértice deve ser igual a vezes o número de arestas do grafo. No caso o somatório dos graus do vértice é d g(u) = 10 e o número de arestas é 5, então 10 = (5). Para cada aresta e E(G) removida do grafo, consequentemente remove-se a ligação entre dois vértices, o que diminui graus no grafo todo, logo podemos identificar uma relação de para 1 (dois graus para uma aresta) entre as arestas e graus. O que confirma o teorema. u V Demonstração: Seja (V, E) um grafo, podemos definir o conjunto X = {(u, e) V xe u e}. O conjunto X é um conjunto de um vértice u ligado a uma aresta e tal que esse vértice pertence a essa aresta. Ainda poderíamos pensar que o conjunto X, por um momento, relaxa as definições de grafos e duplica as arestas para que cada vértice seja separado do grafo no conjunto X, e leve consigo as arestas a ele conectadas. Podemos contar os elementos de X de duas formas: 1. Cada vértice u participa de d g(u) dos elementos de X, portanto podemos deduzir que o tamanho de X ( X ) é o mesmo que o somatório dos graus do grafo, ou formalmente X = d g(u) u V. Cada aresta e está presente em dois elementos de X, logo: X = E(G). De 1 e provamos o Teorema na Seção.5. 13

14 Capítulo. Definições Iniciais.5.1 Corolário dos Graus Em todo grafo o número de vértices com grau ímpar é par. Demonstração: Seja G um grafo, denote por I o subconjunto formado pelos vértices em V (G) de grau ímpar e denote por P o subconjunto dos vértices de grau par. I = {v V (G) d g(v) impar} P = {v V (G) d g(v) par} Usando que I P = e I P = V (G), e o Teorema da Seção.5 temos: u V (G) d g(u) + u I u P } {{ } par d g(u) = E(G) d g(u) = E(G) } {{ } par Portanto devemos ter d g(u) par, o que somente é possível quando o tamanho de I ( I ) é par. u I Entretanto podemos avançar um pouco mais na demonstração e definir: Temos um número n qualquer par se definido como n = k; Temos um número n qualquer ímpar se definido como n = k + 1. Então, u I d g(u) = u I (kv + 1) ( E(G) = } {{ } u I par kv } {{ } par + ) 1 + d g(u) u I u P } {{ } par Logo, o tamanho do resto do subconjunto dos ímpares ( I ) deve ser par..6 Exercícios Resolvidos 1. Um quimico deseja embarcar os produtos A, B, C, D, E, F, X usando o menor número de caixas possível. Alguns produtos não podem ser colocados em uma mesma caixa por que reagem. Os produtos A, B, C, X reagem dois-a-dois e ainda, A reage com F e também com D (e vice-versa); E reage com F e com D (e vice-versa). Descreva o grafo que modela essa situação, mostre um diagrama desse grafo e use esse grafo para descobrir o menor número de caixas necessárias para embarcar os produtos com segurança. Para resolver esse exercício, precisa-se primeiramente montar um grafo, tendo os produtos como vértices e as arestas como reações, ou seja um grafo G mostra quais produtos reagem com quais. 14

.6. Exercícios Resolvidos 15 Definindo formalmente G, temos: G = (V, E) V (G) = {A, B, C, D, E, F, X} E(G) = {{A, B}, {A, C}, {A, D}, {A, F }, {A, X}, {B, C}, {B, X}, {C, X}, {D, E}, {E, F }} A Figura.5 mostra uma representação gráfica de G. Figura.5: Representação gráfica do grafo G. De G, podemos achar seu complementar G, que representa quais os produtos podem ir na mesma caixa, então temos: G = (V, E) V (G) = {A, B, C, D, E, F, X} E(G) = {{A, E}, {B, D}, {B, E}, {B, F }, {C, D}, {C, E}, {C, F }, {D, F }, {D, X}, {E, X}, {F, X}} A Figura.6 mostra uma representação gráfica de G. Figura.6: Representação gráfica do grafo G. Com o grafo G basta pegar um produto e seguir quais produtos reagem com ele ou não. Em um caminho se um produto Y pode ir na mesma caixa que um produto W, então devemos verificar se mais algum produto pode ir com Y e W. 15

16 Capítulo. Definições Iniciais Iniciando a navegação pelo grafo por A, podemos observar que ele pode ser colocado com o elemento E, mas o elemento E, não permite que nenhum outro produto seja colocado na mesma caixa. Partindo do produto B, podemos coloca-lo na mesma caixa que D e ainda na mesma caixa seria possível colocar F que está ligada a ambos. C só pode ir na mesma caixa dos produtos que já foram colocados, e não pode ir com X. Então separamos em outras caixas X e C. Logo, o número mínimo de caixas é 4, dispostas: (a) Caixa 1 = {A, E} (b) Caixa = {B, D, F } (c) Caixa 3 = {C} (d) Caixa 4 = {X}. Dê o complemento dos seguintes grafos: (a) V (G) = {1,, 3, 4, 5, 6, 7} E(G) = {{1, }, {1, 3}, {, 4}, {, 5}, {3, 6}, {3, 7}} Para achar o grafo complementar basta aplicar a definição: V (G) = V (G) E(G) = {{u, v} V (G) : {u, v} E(G)} assim, obtemos: V (G) = {1,, 3, 4, 5, 6, 7} E(G) = {{7, 1}, {7, }, {7, 4}, {7, 5}, {7, 6}, {6, 5}, {6, 4}, {6, }, {6, 1}, {5, 4}, {5, 3}, {5, 1}, {4, 3}, {4, 1}, {3, }} Os grafos estão representados graficamente na Figura.7. O grafo a é o grafo definido e o grafo b é o seu grafo complementar. Figura.7: Representação gráfica de G e G. 16

.6. Exercícios Resolvidos 17 (b) V (G) = {1,, 3, 4, 5} E(G) = {{1, }, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {, 3}, {, 4}, {, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}} Como o grafo acima é um grafo completo, seu grafo complementar (G) é dado por: V (G) = {1,, 3, 4, 5} E(G) = {} 3. Chico e sua esposa foram a uma festa com três outros casais. No encontro deles houveram vários apertos de mão. Ninguém apertou a própria mão ou a mão do(a) esposo(a), e ninguém apertou a mão da mesma pessoa mais de uma vez. Após vários cumprimentos Chico perguntou para todos, inclusive a sua esposa, quantas mãos cada um apertou e recebeu de cada pessoa uma resposta diferente. Pergunta-se, quantas mãos Chico apertou, e quantas mãos a esposa de chico apertou? A primeira informação relevante para o problema é: "Após vários cumprimentos Chico perguntou para todos, inclusive a sua esposa, quantas mãos cada um apertou e recebeu de cada pessoa uma resposta diferente."isso significa que, nos é dado o vetor de graus para o grafo a ser construído, que vai de 0 a 6. Então: vet = {0, 1,, 3, 4, 5, 6} Ainda é possível descobrir qual o grau do vértice que representa chico, pois temos apenas 3 graus ímpares e segundo o Corolário 1 na seção.5.1 devemos ter um número par de graus ímpar, ou seja o grau de Chico é impar. O próximo passo é desenhar os vértices do grafo que representam as pessoas da festa. Representado graficamente pela Figura.8 Figura.8: Disposição dos casais na festa de Chico. Temos ainda que os cônjuges são os pares {{1, }, {3, 4}, {4, 5}, {C, ec}}. O próximo passo é identificar um padrão para adicionar as arestas em um vértice, pegando aleatoriamente um vértice qualquer no grafo, devemos iniciar as ligações de modo a eliminar todos os graus identificados no vetor de graus. O vértice 1 será ligado a todos, então terá o grau 6. Sendo assim, precisamos identificar alguém para ser o vértice de grau 0 que só pode ser a seu cônjuge, pois o vértice 1 já foi ligado a todos os outros. Eliminamos então os graus 0 e 6. Como pode ser visto no grafo da Figura.9 17

18 Capítulo. Definições Iniciais Figura.9: Primeiro casal conectado na festa de Chico. Agora precisamos ligar um outro vértice aleatório a 5 pessoas. Note que todos já tem grau pelo menos 1. Ligamos o vértice 4 a todos os possíveis, e temos então os vértices de graus 5 e 1. Pois sua esposa já tem 1 comprimento e todos os outros agora têm. Como pode ser visto no grafo da Figura.10 Figura.10: Segundo casal conectado na festa de Chico. O último casal a ser conectado deve conectar 4 e vértices. E assim temos o grafo terminado, e podemos identificar o grau de Chico e de sua esposa. Como pode ser visto no grafo da Figura.11 Figura.11: Terceiro casal conectado na festa de Chico..7 Aplicações Vamos explorar uma aplicação prática que exemplifica os conceitos tratados nesse capítulo. Imagine o mapa do Brasil, pensando somente nos estados, podemos relacionar um estado com todos os outros estados com quem ele faz fronteira. A partir da Firgura.1 conseguimos elaborar o grafo da Figura.13. 18

.7. Aplicações 19 Figura.1: Disposição dos estados brasileiros. Figura.13: Representação geométrica (ou diagrama) dos estados brasileiros OBSERVAÇÃO Os estados marcados com a cor azul clara pertencem a região norte, os marcados com a cor azul escuro pertencem a região nordeste, os marcados em amarelo pertencem a região centro-oeste, os marcados em vermelho pertencem a região sudeste e finalmente os marcados com a cor verde, pertencem a região sul. 19

0 Capítulo. Definições Iniciais Observe a figura, nesse grafo podemos identificar que: 1. BA é o estado que têm o maior numero de fronteiras, por isso detém também a propriedade de grau máximo do grafo G, logo o grau máximo desse grafo é 8;. RS e AP são os estados que têm o menor numero de fronteiras, por isso detém também a propriedade de grau mínimo do grafo G, logo o grau mínimo desse grafo é 1; 3. Para facilitar o cálculo vamos analisar apenas a região sul. O grau médio é dado por: d(g) = 1 d g(u), logo, d(g) = 1 d g(u), então, d(g) = 1 (). Logo o grau médio da região V (G) 3 3 sul é 1. u V (G) u V (G) 4. O vetor de graus da região sudeste é: vet G = {,, 3, 3} Essa informação é interessantes pois pode-se analisar se a imagem gerada é de fato um grafo. Para isso vamos analisar seu vetor: O vetor possui um número par de vértices com grau ímpar, como foi demonstrado no Corolário dos Graus; Como o grafo não possui o maior grau é igual ou maior que o tamanho do vetor de graus, então podemos garantir pelo vetor somente, que é possível construir o grafo. Nesse caso o maior grau é 3 que é menor que 4, sendo que 4 é o tamanho do vetor de graus. 5. Esse grafo seria completo se e somente se todos os estados fizessem fronteira com todos o que não é o caso. Ignorando-se o DF a região centro-oeste é um exemplo de grafo completo. 6. O grafo complementar nos garante as informações dos estados que não fazem fronteira entre sí. Essa propriedade se torna importante, pois apenas ao gerar seu grafo complementar ganha-se uma nova informação. 7. Imagine que o brasil fosse formado somente pelos estados {AM, P A, RO e MT } nesse caso nosso grafo poderia ser classificado como um grafo -regular, pois nesse caso todos os estados teriam grau..8 Exercícios de Fixação A partir do grafo G da Figura.13 que representa os estados brasileiros, responda: 1. Existe um subconjunto de estados que formam um grafo do tipo 1-regular? Faça sua representação e seu desenho.. Analisando somente a região nordeste, responda qual é: (a) Grau máximo? (b) Grau mínimo? (c) Grau médio? (d) Seu novo vetor de Graus? (e) Maior n-regular entre os estados que sobraram? Faça sua representação e seu desenho. (f) Grafo que representa o grafo complementar do grafo original? 0

.9. Conclusão 1 (g) Conjunto de arestas necessárias para tornar o grafo completo? 3. Analisando somente as regiões norte e centro-oeste, verifique a veracidade do teorema da soma dos graus e do colorário dos graus. 4. Qual é o grafo complementar da região nordeste? Faça sua representação e seu desenho. 5. Quais os não fazem fronteira ao gerar o grafo complementar da região sudeste? 6. Existe um conjunto de estados que forma um grafo 3-regular? Se sim, Faça sua representação e seu desenho. 7. Quais são as arestas que interligam as regiões norte e nordeste do Brasil? 8. Qual o maior grau médio, dentre todas as regiões do mapa?.9 Conclusão Neste capitulo foi abordado os assuntos fundamentais em teoria dos grafos. Os conceitos estudados foram desde definições cruciais como o que é um grafo, o que são grafos completos, os graus de um grafo, o vetor de graus de um grafo, um grafo n-regular até chegar no primeiro teorema aobordado ao qual trata da soma dos graus de um grafo seguido de um colorario. É de fundamental importância que esses conceitos aqui tratados sejam compreendidos pois todo o restante do material utiliza esse conceitos ja apresentados como premissas para seu bom entendimento. 1