3 Caso analisado: Estrutura em T assimétrica Um dos principais motivos para a escolha de uma estrutura em T, com o objetivo de estudar os efeitos da variação da seção lateral é porque ela representa uma simplificação de um sistema de isolamento de vibrações, como aquele mostrado na Fig. 3.1. Numa estrutura em T pode-se estudar com maior detalhe a interação entre um isolador e a base flexível. Para uma breve descrição dos trabalhos desenvolvidos pelo autor na área de isolamento de vibrações, ver a seção 4.4. F y T xy F x FONTE ISOLADOR BASE Figura 3.1: Sistema de isolamento de vibrações. Com o objetivo de estudar a influência da variação da seção lateral de uma viga, será utilizada uma estrutura padrão em forma de T, a qual já foi usada por outros autores (Ahmida [] e Szwerc et al. [67]). O material usado é o Lexan R (termoplástico). E =.6 10 9 N/m, ρ = 140 kg/m 3, η = 0.01 e ν = 0.5. Será utilizado o modelo do módulo complexo para considerar o amortecimento do material E = E(1 + η). As curvaturas e as descontinuidades na impedância das estruturas (por exemplo, as juntas) produzem o acoplamento das ondas transversais (flexão) e longitudinais (tração-compressão). Os deslocamentos transversais são dominantes nas ondas de flexão, esses deslocamentos são uma fonte importante de emissão acústica e por esse motivo receberam maior atenção
Otimização geométrica de uma estrutura em T 49 do que os deslocamentos longitudinais, nos estudos de propagação de energia. Além disso, as ondas de flexão podem ser facilmente atenuadas através de camadas de material viscoelástico, já que os esforços cortantes são amortecidos mais rapidamente que as ondas longitudinais. Devido à maior taxa de dissipação, as ondas de flexão transportam a energia vibratória através de distancias mais curtas do que as ondas longitudinais. Portanto, as ondas longitudinais, geradas pela incidência das ondas de flexão nas juntas da estrutura, podem ser meios muito eficientes para transportar a energia vibratória de um ponto a outro, onde devido a outra descontinuidade podem ser novamente convertidas em ondas de flexão e, dessa maneira, irradiar grandes quantidades de energia acústica. Assim, é muito importante monitorar a propagação da energia vibratória devida tanto às ondas transversais como às longitudinais, para dessa maneira projetar melhores métodos de atenuação de vibrações. Neste sentido, a estrutura em T assimétrica apresentada a seguir é um dos casos mais simples em que o acoplamento entre ondas transversais e longitudinais acontece. A estrutura em questão é mostrada na Fig. 3.. A força de excitação é harmônica (expressa na notação exponencial como F e iωt ) de módulo complexo igual a um (F = 1). As condições de contorno são do tipo livre, para dessa maneira simular uma estrutura suspensa no espaço. Além disso, todos os problemas aqui considerados são planos, neste caso no sistema de coordenadas x y. Como um primeiro passo, será feita uma comparação entre três metodologias de discretização, tanto de elementos de seção constante como de seção linearmente variável. Posteriormente, será feito um estudo da influência da variação da seção lateral do membro 1 da estrutura, primeiro com um ponto de controle entre os nós 1 e (dois graus de liberdade no processo de otimização), depois com dois pontos de controle (quatro graus de liberdade) e finalmente com nove pontos de controle (18 graus de liberdade). Devido a que somente a seção lateral do membro 1 é otimizada, algumas ressonâncias na faixa de freqüências de interesse não poderão ser deslocadas, portanto, serão usados neutralizadores para tentar atenua-las.
Otimização geométrica de uma estrutura em T 50 3 9 8 7 0.76m y 0.03m x 3 1 1 1 6 5 4 0.914m 0.054m Fe iwt 3 1.067m 1 11 10 4 0.054m 0.03m Figura 3.: Estrutura em T assimétrica. 3.1 Propriedades dinâmicas Na Fig. 3.3, são mostrados os primeiros 10 modos flexíveis da estrutura em T (os três primeiros modos de corpo rígido não são mostrados). Neles podem-se ver alguns modos onde o membro dominante (aquele com maior energia vibratória) é o membro horizontal 1 e outros onde os membros verticais e 3, são os dominantes. A faixa entre 80 e 160 Hz será considerada a faixa de interesse. Nela existem duas ressonâncias, uma em 111.871 Hz e outra em 147.0047 Hz, sendo que na primeira os membros verticais e 3 são os dominantes, enquanto que na segunda o membro horizontal 1 é dominante. Justamente o fato de se ter duas ressonâncias nas quais os membros verticais ou o membro horizontal são dominates por separado foi a principal motivação para escolha dessa faixa de freqüências, já que assim poderá-se estudar a influência da variação da seção lateral em cada um dos modos.
Otimização geométrica de uma estrutura em T 51 8.8374 13.1604 36.7311 5.736 75.8539 111.871 147.0047 00.6084 9.7499 91.897 Figura 3.3: Primeiros 10 modos flexíveis [Hz]. 3. Comparação entre as diversas metodologias de discretização Nesta seção serão comparadas três metodologias de discretização de elementos de barra e viga, o método dos elementos finitos (MEF), o método dos elementos espectrais (MEE) e o método da rigidez dinâmica que faz uso das funções de Bessel. O membro horizontal poderá ter seção lateral constante ou linearmente variável. Nesse sentido é importante destacar que esta comparação não é de caráter definitivo e não pretende esgotar um assunto tão amplo e complexo. Além disso é necessário destacar a capacidade de generalização do MEF, fato que não será evidente neste trabalho já que a comparação feita é de caráter muito específico e as assertivas não devem de maneira alguma ser generalizadas a outros casos. Para levar a cabo o cálculo da resposta em freqüência deverá ser definido um vetor de freqüências cujos elementos máximo e mínimo são w max e w min Hz. As freqüências intermediárias serão geradas na seguinte maneira, f = f + (log(w max ) log(w min ))/f fac, transformando a Hz temos w = 10 f. Para a faixa entre 1 350 Hz, f fac = 1000, o que gera um vetor de 1000 elementos uniformemente distribuídos na escala logarítmica. No caso da faixa entre 80 160 Hz, f fac = 00. Na Fig. 3.4, o MEE foi usado nos 3 membros para obter a resposta em freqüência da estrutura, sendo que o membro 1 apresenta seção constante. Devido às características do MEE, somente foi necessário o uso de 3 elementos no total (um para cada membro). São mostradas as potências nos nós 1 (ponto de aplicação da excitação) e (junta entre os 3 membros). Pode-se observar que existe uma diferença entre as duas potências devida à
Otimização geométrica de uma estrutura em T 5 dissipação da energia vibratória no membro 1, mais essa diferença tende a ser menor nas freqüências próximas das ressonâncias. A primeira comparação é feita na Fig. 3.5, neste caso, o membro 1 é discretizado pelo MEF ou pelo MEE usando somente um elemento, os outros dois membros, tal como nos exemplos posteriores, são discretizados pelo MEE. Pode-se ver que a partir da quarta ressonância a diferença entre os dois métodos tende a ser grande, com exceção de algumas ressonâncias específicas. Uma melhora no resultado anterior foi obtida usando 3 elementos para discretizar o membro 1 pelo MEF, Fig. 3.6. Neste caso, a correspondência entre as duas metodologias é aceitável até pouco mais de 00 Hz. Destas duas figuras, pode facilmente concluir-se que o MEE leva vantagem sobre o MEF, já que requer uma quantidade menor de elementos para descrever adequadamente o comportamento dinâmico de uma estrutura com membros de seção constante. Na Fig. 3.7, a seção lateral do membro horizontal 1 apresenta altura linearmente variável, tal que h = h 1. São usados o MEE e o método da rigidez dinâmica através das funções de Bessel para o membro 1 e, o MEE para os membros e 3 de seção lateral constante. Pode-se observar o pobre desempenho obtido pelo MEE com só um elemento, além disso, como em algumas freqüências a potência resulta sendo negativa, foi plotado o seu valor absoluto. Por outro lado, em principio, só bastaria um elemento, no caso do método que faz uso das funções de Bessel, para obter respostas adequadas em qualquer freqüência. Se fossem usados 3 elementos no caso do MEE, Fig. 3.8, a correlação entre os dois métodos resulta adequada em toda a faixa de freqüências mostrada. Na Fig. 3.9, o membro horizontal de seção lateral variável é modelado fazendo uso do MEF (1 elemento), pode-se observar que não existem grandes variações nas ressonâncias como no caso do MEE, além disso, não apresenta resultados sem sentido físico, como valores negativos da potência, por exemplo. Quando são usados 3 elementos no caso do MEF, Fig. 3.10, o resultado tende a ser mais parecido com o método das funções de Bessel e com o MEE, com igual número de elementos. Somente para verificar a grande concordância entre o MEF e o MEE usando um número adequado de elementos (3 neste caso), é mostrada a Fig. 3.11. Finalmente, mostra-se o resultado obtido pelo método das funções de Bessel ( elementos) em comparação ao MEE (3 elementos), Fig. 3.1. Podese observar que a solução de Bessel degenera quando mais de um elemento for usado para modelar um mesmo membro. Das figuras mostradas, pode-se concluir que, embora o MEE e o MEF
Otimização geométrica de uma estrutura em T 53 ofereçam resultados parecidos para o mesmo número de elementos, o MEF oferece mais segurança no sentido de não fornecer resultados irreais (por exemplo, potências negativas), quando o nível de discretização é baixo. Mas, as expressões obtidas para as matrizes de rigidez e massa, no caso do MEF, são bastante complexas o que se traduz no fato deste método ser no mínimo duas vezes mais lento do que o MEE, para um mesmo nível de discretização. Nos resultados apresentados nas seções subseqüentes, todos os membros da estrutura, sendo eles de seção constante ou variável, serão modelados pelo MEE, mas sempre levando em conta que no caso de seções variáveis o MEE pode fornecer resultados enganosos quando o número de elementos na discretização é baixo. Nó 1 Nó 10 50 100 150 00 50 300 Figura 3.4: Potência nos nós 1 e, membro 1 de seção constante modelada pelo MEE (1 elemento).
Otimização geométrica de uma estrutura em T 54 MEF MEE MEF MEE 10 10 50 100 150 00 50 300 50 100 150 00 50 300 Figura 3.5: Potência no nó 1, membro 1 de seção constante modelada pelos métodos MEF (1 elemento) e MEE (1 elemento). Figura 3.6: Potência no nó 1, membro 1 de seção constante modelada pelos métodos MEF (3 elementos) e MEE (1 elemento). MEE Bessel MEE Bessel 10 10 10 6 50 100 150 00 50 300 50 100 150 00 50 300 Figura 3.7: Potência no nó 1, membro 1 de seção variável (h = h 1 ) bro 1 de seção variável (h = h 1 ) Figura 3.8: Potência no nó 1, mem- modelada pelos métodos MEE (1 modelada pelos métodos MEE (3 elemento) e funções de Bessel (1 elemento). elementos) e funções de Bessel (1 elemento).
Otimização geométrica de uma estrutura em T 55 MEF Bessel MEF Bessel 10 10 50 100 150 00 50 300 50 100 150 00 50 300 Figura 3.9: Potência no nó 1, membro 1 de seção variável (h = h 1 ) bro 1 de seção variável (h = h 1 ) Figura 3.10: Potência no nó 1, mem- modelada pelos métodos MEF (1 modelada pelos métodos MEF (3 elemento) e funções de Bessel (1 elemento). elementos) e funções de Bessel (1 elemento). MEF MEE Bessel MEE 10 10 50 100 150 00 50 300 10 6 50 100 150 00 50 300 Figura 3.11: Potência no nó 1, membro 1 de seção variável (h = h 1 ) bro 1 de seção variável (h = h 1 ) Figura 3.1: Potência no nó 1, mem- modelada pelos métodos MEF (3 modelada pelos métodos funções de elementos) e MEE (3 elementos). Bessel ( elementos) e MEE (3 elementos).
Otimização geométrica de uma estrutura em T 56 3.3 Otimização da seção lateral do membro horizontal Nesta seção se procederá ao estudo da influência da variação da seção lateral do membro horizontal. Para isso será levado em conta o seguinte problema de otimização minimizar F (P ) sujeito a A ratio 1 (3-1) F (P ) é a função objetivo definida pelo somatório do quadrado da potência no nó 1 (ou ) na faixa de freqüências de interesse (1 350 ou 80 160 Hz). Em alguns casos será considerada uma restrição de área da seção lateral do membro horizontal A ratio = A c /A i 1, sendo A c é a área lateral do candidato a solução ótima e A i é a área lateral do membro original, A i = L.h. Adicionalmente, as alturas da seção transversal nos nós 1 e do membro horizontal serão mantidas constantes. No total serão 3 casos, no primeiro será considerado um ponto de controle, isso resulta na inclusão de dois graus de liberdade no processo de otimização, no segundo caso será introduzido um segundo ponto de controle e, finalmente no terceiro caso haverão nove pontos de controle. O algoritmo genético (AG) usado na otimização é a versão mais simples, somente considera os operadores de seleção, cruzamento e mutação. A codificação das variáveis de projeto foi feita no sistema binário, com 16 bits para cada variável. Além disso, o tamanho da população é constante para cada geração. Para aplicar a restrição de área levada em conta, serão consideradas as metodologias da penalidade normal e da penalidade morta. Os parâmetros do AG usados são os seguintes: Tamanho da população: 100, Máximo número de gerações:10, Cruzamento: 0.8 e Mutação: 0.005 [35]. Para uma breve descrição do AG ver o Apêndice D. 3.3.1 Membro horizontal com um ponto de controle Neste primeiro caso será considerado um ponto de controle i, localizado entre os nós 1 e do membro horizontal 1, Fig. 3.13. Um sistema local de coordenadas (dx dy) definirá a variação da posição do nó i (dx) e a variação da altura da seção lateral (dy), sendo dx max, dx min, dy max e dy min os valores máximos e mínimos dessas variações. Nas figuras que apresentam a potência em função das variáveis dx dy e nos espaços de busca usados pelo AG, os valores máximo e mínimo de
Otimização geométrica de uma estrutura em T 57 dx e dy serão dados por ± 0.9L (N i +1) e ±0.3h, respectivamente. Sendo L o comprimento total do membro horizontal, N i o número de nós internos e h a altura inicial da seção lateral. A Fig. 3.14, mostra o logaritmo do somatório do quadrado da potência, na faixa 1 350 Hz, em função das variações da posição do nó i (dx) e da altura da seção lateral (dy). A potência é medida no ponto de aplicação da força de excitação. Sendo que as áreas escuras indicam uma potência menor, pode-se ver que isso acontece no extremo superior de dy. O que quer dizer que, um membro mais robusto, e não mais fino, será aquele que diminuirá a potência introduzida na estrutura pela força de excitação que atua no nó 1. Devido a que o espaço de busca é não regular (as suas derivadas não são contínuas) e, como será mostrado posteriormente em outras figuras, pode apresentar vários mínimos locais, será usado um algoritmo genético (AG) para achar um mínimo global. Considerando o domínio da Fig. 3.14 como o espaço de busca e sem considerar restrições de área (ou peso), uma solução obtida pelo AG é dx = 0.177 m e dy = 0.009 m. A Fig. 3.15 mostra a comparação das respostas obtidas fazendo uso da estrutura original (linha tracejada) e da estrutura otimizada (linha contínua). Um fato importante é que existem ressonâncias que foram deslocadas consideravelmente, enquanto outras se mantiveram relativamente fixas. Além disso, é necessário notar que em algumas faixas de freqüências que se encontram entre as ressonâncias, o nível das potências nos nós 1 e é menor do que no caso original, este fato será mais notório quando forem levados em conta mais pontos de controle. O próximo passo será introduzir uma restrição no problema anterior, neste caso a razão entre a área lateral do candidato a solução ótima (A c ) e a área lateral inicial (A i = L.h) não deverá ser maior do que 1, ou seja A ratio = A c /A i 1. Para levar em conta essa restrição foram consideradas duas metodologias, a primeira é a penalidade normal e a segunda é a penalidade morta. No primeiro caso, a função objetivo é modificada de tal forma que quando A ratio > 1, a função objetivo é multiplicada por dois fatores, o primeiro fator é uma constante (neste caso ) e o segundo fator é o quadrado da razão das áreas (A ratio). O resultado dessa modificação na função objetivo é mostrado na Fig. 3.16, ali pode-se observar que o mínimo está em dy = 0 m. A segunda metodologia para levar em conta restrições, a penalidade morta, consiste em eliminar todo indivíduo com A ratio > 1, mas para manter constante o tamanho da população é substituído por um outro indivíduo, escolhido de maneira aleatória. Após rodar o AG com a penalidade morta, foi achada como resposta dx = 0.093 m e dy = 7.1 10 6 m. Na Fig. 3.17,
Otimização geométrica de uma estrutura em T 58 observa-se que as respostas do membro original e do membro de seção lateral otimizada são praticamente coincidentes. Isso quer dizer que, se for imposta a condição de que o membro modificado não tenha maior área lateral (ou peso) do que o membro original, não é possível achar uma solução cujo nível de potência fosse menor introduzindo somente um ponto de controle. Considerando a mesma faixa de freqüências, 1 350 Hz, mas dessa vez levando em conta a potência no nó, P, do membro horizontal, obtém-se a Fig. 3.18. Nela pode-se observar que existem várias regiões de prováveis soluções tanto para valores positivos como negativos de dy, coisa que não acontecia no caso de se considerar a potência no nó 1,. Nesta figura também se faz evidente a não regularidade do espaço de busca. Usando o AG sem restrições, obtém-se como solução dx = 0.187 m e dy = 0.009 m. A Fig. 3.19 mostra a comparação entre o membro original e aquele de seção otimizada. Se a restrição A ratio 1 for usada no caso anterior, obtém-se a Fig. 3.0, onde pode-se observar que existe outra região de possíveis mínimos, além de dy = 0 m. Usando o AG com penalidade morta, obtém-se como resposta dx = 0.0 m e dy = 0.009 m. A comparação entre o membro otimizado e o original é mostrada na Fig. 3.1, sendo que um dos detalhes mais relevantes é o deslocamento da ressonância originalmente próxima a 150 Hz, para a esquerda. A faixa de freqüências entre 1 350 Hz leva em conta muitas ressonâncias, portanto, os benefícios da otimização fazendo uso de só um ponto de controle podem não ser tão evidentes. Seguidamente, será levada em conta uma faixa mais estreita, 80 160 Hz. A dependência do somatório do quadrado da potência com respeito a dx e dy é mostrada na Fig. 3., nela claramente se observam duas regiões de mínimos, uma para valores positivos de dy e a outra para valores negativos. Adicionalmente, a região de mínimos para dy > 0 não fica perto de dy max, o que necessariamente vai gerar membros mais leves do que no caso anterior, quando a faixa de freqüências era maior. Após usar o AG para achar o mínimo sem restrições, obtém-se, dx = 0.178 m e dy = 0.005 m. A comparação dessa otimização com o membro original é mostrada na Fig. 3.3, pode-se observar que esse resultado não difere muito de alguns outros obtidos quando a faixa de otimização era maior. Além disso, observa-se também que o A ratio = 1.151, bem menor daqueles obtidos na otimização de ou P sem restrições. Se a restrição A ratio 1 for usada, juntamente com o método das penalidades, obtém-se a Fig. 3.4. Neste caso existe uma diferença importante em comparação aos casos anteriores onde o método da penalidade normal
Otimização geométrica de uma estrutura em T 59 foi usado. Sendo que a área lateral do membro otimizado (A c ) não pode ser maior do que a área lateral do membro original (A i = L.h), a variação da altura da seção lateral do membro não pode levar em conta valores positivos de dy, isto pelo menos no caso da otimização com um ponto de controle. Na Fig. 3.4, pode-se observar que mesmo usando o método das penalidades, existe uma região para dy > 0 cujos valores da função objetivo são menores do que na região viável (dy 0). Isso levaria a resultados inadequados se for usada uma técnica como o AG, já que a solução fornecida muito provavelmente teria A ratio > 0. A metodologia da penalidade normal é muito dependente dos parâmetros usados para modificar a função objetivo, para assim se ajustar às condições do problema. Além disso, esses parâmetros são muito dependentes do problema em questão. Por esse motivo, a penalidade morta será usada para levar em conta a restrição de área em todos os casos mostrados, para assim garantir a sujeição à restrição. Neste caso a resposta dada pelo AG foi, dx = 0.191 m e dy = 0.008 m. A comparação respectiva é mostrada na Fig. 3.5. Levando em conta a potência no nó, P, obtém-se a Fig. 3.6. Nesta figura, observa-se claramente que existe uma região de mínimos para dy > 0. Usando o AG obtém-se como resultado dx = 0.0 m e dy = 0.005 m, a comparação está mostrada na Fig. 3.7. Levando em conta a restrição A ratio 1, obtém-se a Fig. 3.8, onde novamente o método da penalidade normal não modifica adequadamente a função objetivo. Após usar o AG com a penalidade morta é achado o ponto mínimo dx = 0.047 m e dy = 0.0001 m, que fica bem perto da linha dy = 0 m. Na Fig. 3.9 observa-se que não foi possível diminuir o nível da potência sob as condições dadas. Finalmente, são mostradas as diferenças entre os resultados das otimizações de (Fig. 3.30) e P (Fig. 3.31) nas faixas 1 350 Hz e 80 160 Hz. Pode-se ver que nos casos das otimizações na faixa 1 350 Hz, o deslocamento dos picos para a direita é maior, embora o somatório de P também fosse grande. Isso mostra que os resultados obtidos dependem muito da discretização da resposta na freqüência.
Otimização geométrica de uma estrutura em T 60 h y dy max dx min dx 1 dy min i x dy p 1 dx max Figura 3.13: Variação da seção lateral do membro 1, com um ponto de controle i. L dy [m] x 8 6 4 0 4 log(somatório (P )) 1 0.8 0.6 0.4 0. 0 10 6 8 0. 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0. dx [m] 0. 0.4 P 50 100 150 00 50 300 Figura 3.14: Logaritmo do somatório do quadrado da potência no nó 1, membro 1 de seção variável (6 elementos), [dx, dy] max =[0.06, 0.009] m, freqüências entre 1-350 Hz, sem restrição. Figura 3.15: Potência nos nós 1 ( ) e (P ), membro 1 de seção constante (linha tracejada) e seção variável (linha continua), [dx, dy]=[0.177, 0.009] m, A ratio = 1.77, otimização de, sem restrição.
Otimização geométrica de uma estrutura em T 61 F r (P) 15 14 14 1 10 8 6 x 5 0 dy [m] 5 0.1 0 0.1 0. dx [m] 0. 13 1 11 10 9 8 7 6 10 P 50 100 150 00 50 300 Figura 3.16: Função objetivo Figura 3.17: Potência nos nós 1 (F r (P )) dependente da potência no ( ) e (P ), membro 1 de nó 1, membro 1 de seção variável seção constante (linha tracejada) (6 elementos), [dx, dy] max =[0.06, e seção variável (linha continua), 0.009] m, freqüências entre 1 350 [dx, dy]=[0.093, 7.1 10 6 ] m, Hz, com restrição A ratio 1. A ratio = 0.9998, otimização de, com restrição A ratio 1. x log(somatório (P )) dy [m] 8 6 4 0 4 6 8 0. 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0. dx [m] 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 10 P 50 100 150 00 50 300 Figura 3.18: Logaritmo do somatório do quadrado da potência no nó, membro 1 de seção variável (6 elementos), [dx, dy] max =[0.06, 0.009] m, freqüências entre 1 350 Hz, sem restrição. Figura 3.19: Potência nos nós 1 ( ) e (P ), membro 1 de seção constante (linha tracejada) e seção variável (linha continua), [dx, dy]=[- 0.187, 0.009] m, A ratio = 1.99, otimização de P, sem restrição.
Otimização geométrica de uma estrutura em T 6 F r (P) 10 0 14 13 14 1 10 8 6 x 5 0 dy [m] 5 0.1 0 0.1 0. dx [m] 0. 1 11 10 9 8 7 6 5 10 P 50 100 150 00 50 300 Figura 3.0: Função objetivo Figura 3.1: Potência nos nós 1 ( ) (F r (P )) dependente da potência no e (P ), membro 1 de seção constante (linha tracejada) e seção variável nó, membro 1 de seção variável (6 elementos), [dx, dy] max =[0.06, (linha continua), [dx, dy]=[0.0, - 0.009] m, freqüências entre 1 350 0.009] m, A ratio = 0.791, otimização de P, com restrição A ratio Hz, com restrição A ratio 1. 1. x Somatório (P ) dy [m] 8 6 4 0 4 6 8 0. 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0. dx [m] 0.0 0.015 0.01 0.005 10 P 50 100 150 00 50 300 Figura 3.: Somatório do quadrado da potência no nó 1, mem- e (P ), membro 1 de seção cons- Figura 3.3: Potência nos nós 1 ( ) bro 1 de seção variável (6 elementos), [dx, dy] max =[0.06, 0.009] m, riável (linha continua), [dx, dy]=[- tante (linha tracejada) e seção va- freqüências entre 80 160 Hz, sem 0.178, 0.005] m, A ratio = 1.151, otimização de, sem restrição. restrição.
Otimização geométrica de uma estrutura em T 63 F r (P) 10 0 10 8 6 4 10 9 8 7 6 5 4 10 x 5 0 dy [m] 5 0. 0.1 0 dx [m] 0.1 0. 3 P 50 100 150 00 50 300 Figura 3.4: Função objetivo Figura 3.5: Potência nos nós 1 ( ) (F r (P )) dependente da potência no e (P ), membro 1 de seção constante (linha tracejada) e seção variável nó 1, membro 1 de seção variável (6 elementos), [dx, dy] max =[0.06, (linha continua), [dx, dy]=[0.191, - 0.009] m, freqüências entre 80 160 0.008] m, A ratio = 0.7354, otimização de, com restrição A ratio Hz, com restrição A ratio 1. 1. x Somatório (P ) 8 6 4.5 4 4 3.5 10 dy [m] 0 4 3.5 1.5 6 8 1 0.5 P 0. 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0. dx [m] 50 100 150 00 50 300 Figura 3.6: Somatório do quadrado da potência no nó, mem- e (P ), membro 1 de seção cons- Figura 3.7: Potência nos nós 1 ( ) bro 1 de seção variável (6 elementos), [dx, dy] max =[0.06, 0.009] m, riável (linha continua), [dx, dy]=[- tante (linha tracejada) e seção va- freqüências entre 80 160 Hz, sem 0.0, 0.005] m, A ratio = 1.1480, otimização de P, sem restrição. restrição.
Otimização geométrica de uma estrutura em T 64 F r (P) 9 8 8 7 10 6 4 6 5 4 x 5 0 dy [m] 5 0. 0.1 0 dx [m] 0.1 0. 3 P 50 100 150 00 50 300 Figura 3.8: Função objetivo Figura 3.9: Potência nos nós 1 ( ) (F r (P )) dependente da potência no e (P ), membro 1 de seção constante (linha tracejada) e seção variável nó, membro 1 de seção variável (6 elementos), [dx, dy] max =[0.06, (linha continua), [dx, dy]=[-0.047, - 0.009] m, freqüências entre 80 160 0.0001] m, A ratio = 0.9969, otimização de P, com restrição A ratio Hz, com restrição A ratio 1. 1. 1 350 Hz 80 160 Hz P 1 350 Hz P 80 160 Hz 10 10 50 100 150 00 50 300 50 100 150 00 50 300 Figura 3.30: Comparação entre Figura 3.31: Comparação entre P obtidas pela otimização de nas obtidas pela otimização de P nas faixas de 1 350 Hz e 80 160 Hz. faixas de 1 350 Hz e 80 160 Hz.
Otimização geométrica de uma estrutura em T 65 3.3. Membro horizontal com dois pontos de controle Na seção anterior, a otimização do membro horizontal levou em conta um ponto de controle (dois graus de liberdade). Nesta seção será adicionado mais um nó, o que permitirá contar com quatro graus de liberdade para a otimização. O motivo para incrementar mais um nó vem da impossibilidade, observada em alguns casos, de diminuir a potência vibratória quando uma restrição de área é levada em conta. A Fig. 3.3, mostra o membro horizontal com os dois pontos de controle, além disso, são mostrados os níveis máximo e mínimo das variações das posições no eixo x e da altura da seção lateral h dos nós i 1 e i. Em todos os casos mostrados serão usados seis elementos para discretizar o membro horizontal, sendo que dois elementos estarão em cada seção do membro. Levando em conta a faixa de freqüências entre 80 160 Hz e a potência no nó 1,, na otimização, obtém-se a Fig. 3.33. Nesta figura é possível ver que existe uma maior diminuição da potência na região próxima a 100 Hz, do que no caso da otimização com um ponto de controle. Se for considerada a restrição de área, A ratio 1, a resposta obtida é mostrada na Fig. 3.34. Dessa vez foi possível obter uma diminuição da potência na faixa de freqüências considerada com poucas mudanças nas ressonâncias. Essa diminuição, não obstante, não foi tão importante como no caso da otimização sem restrições, devido sobre tudo a que não houve deslocamento da ressonância próxima a 150 Hz. Finalmente, levando em conta a potência no nó, P, obtém-se as Figs. 3.35 e 3.36. Nelas é possível observar que os resultados da otimização levando em conta ou P, não se traduz em diferenças muito grandes. y p 1 dy 1 dy dx 1 dx h 1 i 1 i x p Figura 3.3: Variação da seção lateral do membro 1, com dois pontos de controle i 1 e i. L
Otimização geométrica de uma estrutura em T 66 10 0 10 0 10 10 P P 50 100 150 00 50 300 50 100 150 00 50 300 Figura 3.33: Potência nos nós 1 ( ) Figura 3.34: Potência nos nós 1 ( ) e (P ), membro 1 de seção constante (linha tracejada) e seção variável te (linha tracejada) e seção variável e (P ), membro 1 de seção constan- (linha continua), [dx i, dy i ]=[0.0, (linha continua), [dx i, dy i ]=[-0.034, 0.009; -0.068, -0.004] m, A ratio = 0.008; -0.071, -0.009] m, A ratio = 1.086, otimização de entre 80 0.9450, otimização de entre 80 160 Hz, sem restrição. 160 Hz, com restrição A ratio 1. 10 0 10 0 10 10 P P 50 100 150 00 50 300 50 100 150 00 50 300 Figura 3.35: Potência nos nós 1 ( ) Figura 3.36: Potência nos nós 1 ( ) e (P ), membro 1 de seção constante (linha tracejada) e seção variável te (linha tracejada) e seção variável e (P ), membro 1 de seção constan- (linha continua), [dx i, dy i ]=[-0.108, (linha continua), [dx i, dy i ]=[-0.113, 0.009; -0.131, -0.0003] m, A ratio = 0.008; -0.137, -0.007] m, A ratio = 1.1476, otimização de P entre 80 0.9584, otimização de P entre 80 160 Hz, sem restrição. 160 Hz, com restrição A ratio 1.
Otimização geométrica de uma estrutura em T 67 3.3.3 Membro horizontal com nove pontos de controle Nesta seção serão considerados nove pontos de controle entre os nós 1 e do membro horizontal, tal como mostrado na Fig. 3.37. Em todos os casos mostrados serão usados vinte elementos para discretizar o membro horizontal, sendo que dois elementos estarão em cada seção do membro. Levando em conta a potência no nó 1,, e sem considerar nenhuma restrição, obtém-se como solução [dx i, dy i ] = [-0.08, 0.006; -0.033, 0.003; -0.016, 0.009; 0.033, 0.003; -0.005, -0.001; 0.008, -0.00; 0.05, 0.006; 0.06, 0.009; -0.014, -0.003] m. A comparação entre esta solução e o membro de seção constante é mostrada na Fig. 3.38. Pode-se observar que a diminuição das potências e P na vizinhança da ressonância próxima de 100 Hz é bastante notória. Também é possível ver que a ressonância que originalmente ficava perto de 150 Hz se desloca para a direita, mas esse deslocamento é da mesma ordem dos deslocamentos obtidos nas duas seções anteriores. Se a restrição A ratio 1 for usada, uma solução obtida no processo de otimização é dada por, [dx i, dy i ] = [0.001, 0.00; -0.035, 0.005; -0.036, 0.005; 0.004, -0.005; -0.009, -0.009; -0.041, 0.00; 0.05, -0.006; 0.01, - 0.005; -0.036, 0.0004] m. Essa resposta comparada é mostrada na Fig. 3.39, neste caso, embora exista uma diminuição no nível geral da potência, a ressonância que fica perto de 150 Hz não foi deslocada para a direita, já que isso equivaleria a rigidizar o sistema, e para isso teria que ser usado um membro mais robusto, mas aqui esta sendo considerada uma restrição de área. Uma segunda rodada do AG sob as mesmas condições, forneceu a seguinte solução, [dx i, dy i ] = [0.017, 0.009; -0.001, 0.009; -0.0, 0.007; -0.0, -0.009; -0.035, -0.005; -0.09, -0.006; -0.001, -0.008; 0.03, 0.001; - 0.03, 0.008] m. A resposta comparada é mostrada na Fig. 3.40. Neste caso existem dois fatos interessantes, o primeiro é o deslocamento da ressonância que originalmente ficava perto de 100 Hz, já que geralmente essa ressonância se manteve inamovível e o segundo é a grande redução da potência na vizinhança dos 150 Hz. Foram feitas duas otimizações adicionais sob as mesmas condições, sendo elas [dx i, dy i ] = [0.005, 0.008; 0.036, 0.006; -0.09, 0.003; -0.015, -0.008; -0.007, -0.009; 0.08, -0.003; 0.03, -0.009; -0.016, - 0.006; -0.03, -0.00] m mostrada na Fig. 3.41 e [dx i, dy i ] = [-0.019, 0.007; -0.004, -0.003; 0.018, -0.001; 0.00, -0.008; 0.01, -0.005; -0.0, -0.00; 0.00, -0.007; -0.07, -0.007; -0.004, 0.006] m na Fig. 3.4, pode-se ver que se bem elas apresentam soluções diferentes umas das outras, as respostas na freqüência não diferem na mesma medida. Considerando a potência no nó, P, e resolvendo a otimização sem
Otimização geométrica de uma estrutura em T 68 restrições, obtém-se, [dx i, dy i ] = [0.09, -0.003; -0.015, 0.007; -0.013, 0.009; -0.015, 0.008; 0.016, -0.009; -0.015, 0.001; 0.05, 0.00; 0.06, 0.005; -0.003, -0.006] m. A resposta comparada desse caso é mostrada na Fig. 3.43, onde também pode-se observar uma grande queda da potência na vizinhança dos 100 Hz. Levando em conta a restrição A ratio 1, obtém-se como resposta, [dx i, dy i ] = [-0.0, 0.003; 0.036, 0.004; -0.03, 0.006; -0.013, 0.004; 0.008, -0.007; -0.005, -7.703 10 6 ; 0.014, -0.006; 0.03, -0.005; 0.005, -0.009] m, Fig. 3.44, neste caso o deslocamento das ressonâncias na faixa de 80 160 Hz é pequeno, mas a redução da potência é apreciável. Finalmente, as Figs. 3.45 e 3.46 mostram comparações entre e P para otimizações sem restrição entre 80 160 Hz. Na primeira se observa que não existe uma diminuição apreciável ao incrementar o número de pontos de controle de dois para nove. Na segunda figura essa diminuição acontece. Esse fato poderia sugerir que um grande número de nós internos é necessário quando o ponto onde a diminuição acontece se encontra depois do membro otimizado. y p 1 p 3 p h 1 i 1 i i 3 x Figura 3.37: Variação da seção lateral do membro 1, com nove pontos de controle. L
Otimização geométrica de uma estrutura em T 69 10 P 50 100 150 00 50 300 Figura 3.38: Potência nos nós 1 ( ) e (P ), membro 1 de seção constante (linha tracejada) e seção variável (linha continua), A ratio = 1.019, otimização de entre 80 160 Hz, sem restrição. 10 0 10 0 10 10 P P 50 100 150 00 50 300 50 100 150 00 50 300 Figura 3.39: Potência nos nós 1 ( ) Figura 3.40: Potência nos nós 1 ( ) e (P ), membro 1 de seção constante (linha tracejada) e seção variável te (linha tracejada) e seção variável e (P ), membro 1 de seção constan- (linha continua), A ratio = 0.954, (linha continua), A ratio = 0.9989, otimização de entre 80 160 Hz, otimização de entre 80 160 Hz, com restrição A ratio 1. com restrição A ratio 1.
Otimização geométrica de uma estrutura em T 70 10 0 10 0 10 10 P P 50 100 150 00 50 300 50 100 150 00 50 300 Figura 3.41: Potência nos nós 1 ( ) Figura 3.4: Potência nos nós 1 ( ) e (P ), membro 1 de seção constante (linha tracejada) e seção variável te (linha tracejada) e seção variável e (P ), membro 1 de seção constan- (linha continua), A ratio = 0.8793, (linha continua), A ratio = 0.8784, otimização de entre 80 160 Hz, otimização de entre 80 160 Hz, com restrição A ratio 1. com restrição A ratio 1. 10 0 10 10 P P 50 100 150 00 50 300 50 100 150 00 50 300 Figura 3.43: Potência nos nós 1 ( ) Figura 3.44: Potência nos nós 1 ( ) e (P ), membro 1 de seção constante (linha tracejada) e seção variável te (linha tracejada) e seção variável e (P ), membro 1 de seção constan- (linha continua), A ratio = 1.094, (linha continua), A ratio = 0.9380, otimização de P entre 80 160 Hz, otimização de P entre 80 160 Hz, sem restrição. com restrição A ratio 1.
Otimização geométrica de uma estrutura em T 71 1 nó nós 9 nós P 1 nó P nós P 9 nós 10 10 50 100 150 00 50 300 50 100 150 00 50 300 Figura 3.45: Comparação de para Figura 3.46: Comparação de P para otimizações de entre 80 160 Hz, otimizações de P entre 80 160 Hz, sem restrição. sem restrição.
Otimização geométrica de uma estrutura em T 7 3.4 Otimização do absorvedor Nas seções anteriores foi estudado o problema de minimizar a potência vibratória de uma estrutura numa determinada faixa de freqüências. Observou-se que algumas ressonâncias podiam ser deslocadas e outras permaneciam quase inamovíveis. Além disso, também foi mostrado que nas freqüências que se encontram relativamente afastadas das ressonâncias foi obtida uma boa diminuição do nível da potência. Nesta seção, serão usados absorvedores (também chamados de neutralizadores) para tentar diminuir o nível de vibrações nas ressonâncias que não puderam ser deslocadas. Como exemplo, será levado em conta o resultado da otimização de, com um ponto de controle, nas freqüências 80 160 Hz. Sendo ele dado por [dx, dy]=[-0.178, 0.005] m, Fig 3.3. A ressonância a ser atenuada é aquela que se encontra na faixa de 100 10 Hz e o absorvedor será colocado na direção horizontal, a uma distância L a do nó medida em direção ao nó 4. Nesse sentido, será calculada a resposta do sistema total (estrutura em T mais absorvedor) na faixa de freqüências 90 130 Hz, com f fac = 00. O valor máximo do logaritmo da potência nessa faixa será introduzido no algoritmo de otimização para achar os valores ótimos da rigidez da mola k a e da sua dissipação η a. Maiores detalhes do absorvedor são dados no Apêndice C. No que diz respeito ao algoritmo de otimização, será usado o método de Nelder-Mead já que o espaço de busca é não-regular (ver Apêndice E). Neste caso não será usado um Algoritmo Genético (AG) já que o espaço de busca é unimodal (contém só um mínimo) e nesses casos o AG é muito ineficiente. Serão mostrados dois casos onde a massa do absorvedor M a toma valores diferentes. No primeiro caso, Fig. 3.47, onde M a = 0.1 kg (1.7 % da massa da estrutura) e L a = 0.07L 3, pode-se ver que o deslocamento vertical do nó 1 na ressonância alvo foi diminuído em certa magnitude, mas ainda é possível identifica-lo. O gráfico da potência mostra também alguma diminuição, junto com um ligeiro alargamento da ressonância. No segundo caso, Fig. 3.48, onde M a = 0.5 kg (8.6 % da massa da estrutura) e L a = 0.08L 3, observa-se que o deslocamento vertical no nó 1 é quase imperceptível, enquanto o gráfico da potência mostra uma maior diminuição, mas também um maior alargamento da ressonância. Podese concluir então que colocando o absorvedor nessa situação é possível diminuir o deslocamento numa direção, mas a potência em si não diminui significativamente, já que ela passou a ser transportada por outros graus de liberdade.
Otimização geométrica de uma estrutura em T 73 Deslocamento (D) D [m] 10 6 60 80 100 10 140 160 180 60 80 100 10 140 160 180 Figura 3.47: Deslocamento na direção vertical (D) e potência (P ) no nó 1, sem absorvedor (linha tracejada) e com absorvedor (linha continua), [dx, dy]=[-0.178, 0.005] m, otimização de entre 80 160 Hz, sem restrição, M a = 0.1 kg. Deslocamento (D) D [m] 10 6 60 80 100 10 140 160 180 60 80 100 10 140 160 180 Figura 3.48: Deslocamento na direção vertical (D) e potência (P ) no nó 1, sem absorvedor (linha tracejada) e com absorvedor (linha continua), [dx, dy]=[-0.178, 0.005] m, otimização de entre 80 160 Hz, sem restrição, M a = 0.5 kg.