FRACTAIS José Júlio Martins Tôrres 1 A Geometria Fractal é considerada a geometria da Teoria do Caos. Benoit Mandelbrot (Mandelbrot, 1983), o criador da Teoria dos Fractais, insiste e mostra que é a geometria fractal, e não a geometria clássica euclidiana, a que realmente reflete a geometria dos objetos do mundo real. A palavra Fractal vem do Latim fractus que quer dizer fragmentado, fracionado. E mais: Frac dá a idéia de fração (parte), e tal dá a idéia de total (todo). É a idéia de que a parte está no todo e o todo está na parte. Fractais são objetos e estruturas de dimensão espacial fracionária, com a propriedade de auto-similaridade. Vejamos o que é um Fractal matemático. Benoit Mandelbrot (Mandelbrot, 1983) criou uma fórmula matemática: Z n = Z 2 n 1 + C, onde C é do número dos complexos. Colocando-se esta fórmula num computador, da bolha-mãe, começam a surgir bolhas com as mesmas características da bolha-mãe (figura 01). E você começa a dar cores aos pontos da figura, e vai criando imagens muito bonitas (figura 02). Fig. 01: Fractal de Mandelbrot Fig. 02: Fractal de Mandelbrot E o que é a figura 03? É a mesma figura 01 e 02 se reproduzindo tal e qual. Isto pode ser imaginado como o processo de mudança de uma organização. Não é de uma vez que as coisas acontecem. É aos poucos. É a organização se expandindo de forma Fractal. Mas isto é um Fractal matemático. A figura 04 é o mesmo Fractal de Mandelbrot. O bom é que Mandelbrot resolveu isto com uma única equação matemática. Antes dele, o grande matemático francês Gaston Julia (1893-1978) criou várias figuras fractais com várias fórmulas matemáticas. As figuras fractais de Julia estão todas contidas nos Fractais gerados pela fórmula de Mandelbrot. Fig. 03: Fractal de Mandelbrot Fig. 04: Fractal de Mandelbrot 1 José Júlio Martins Tôrres é Consultor (aposentado) do Banco do Nordeste, com formação em Consultoria em Método de Processo; Economista pela UFC; Especialista em Computação pela UFC; Especialista em Educação Biocêntrica pela UVA; Mestre em Informática pela PUC/Rio de Janeiro; Professor do Departamento de Computação da UFC Universidade Federal do Ceará e do Departamento de Informática da UNIFOR Universidade de Fortaleza; Instrutor de Desenvolvimento de Equipe e Estratégia Corporativa no Banco do Nordeste; Ministra treinamentos e facilita grupos de desenvolvimento humano em empresas; Estudioso da Teoria da Complexidade aplicada à Educação e às Organizações.
Vejamos a figura original, figura 05 Fractal de Mandelbrot. Ao darmos um zoom no retângulo pequeno da figura 05, vamos ter a figura 06. Fig.05: Fractal de Mandelbrot Fig. 06: Fractal de Mandelbrot Zoom de parte da figura 05 Ao darmos um zoom no retângulo pequeno da figura 06, vamos ter a figura 07. E ao darmos um zoom no retângulo pequeno da figura 07, vamos ter a figura 08. Fig. 07: Fractal de Mandelbrot Zoom de parte da figura 06 Fig. 08: Fractal de Mandelbrot Zoom de parte da figura 07 Ao darmos um zoom no retângulo pequeno da figura 08, vamos ter a figura 09. E ao darmos um zoom no retângulo pequeno da figura 09, vamos ter a figura 10. Fig. 09: Fractal de Mandelbrot Zoom de parte da figura 08 Fig. 10: Fractal de Mandelbrot Zoom de parte da figura 09 José JÚLIO Martins TÔRRES Web Site: www.juliotorres.ws Blog: blogjuliotorres.blogspot.com E-mail: juliotorres@juliotorres.ws 2
Ao darmos um zoom no retângulo pequeno da figura 10, vamos ter a figura 11. Está aí, no centro da figura 11, a imagem original, depois de se dar zoom milhares de vezes, utilizando um programa de computador, mostrando que o todo está na parte. Fig. 11: Fractal de Mandelbrot Zoom de parte da figura 10 Vejamos outro exemplo de Fractal matemático. A figura 12 é um pentágono, formado de pentágonos, formados de pentágonos, formados de pentágonos, formados de pentágonos, e assim por diante, até chegar no âmbito elementar do ponto indivisível. Podemos ver a idéia de Fractal no nosso corpo. Se tomarmos uma célula da nossa pele e a levarmos para um microscópio, veremos nessa célula todas as características da nossa pele. Examinando com mais cuidado, veremos lá a cor dos olhos; veremos se o cabelo é louro, se é preto, se é enrolado ou estirado. Veremos lá uma característica que o nosso avô teve, que não se manifestou em nós, mas vai se manifestar no nosso neto. Uma célula tem a nossa história, a história dos nossos ascendentes e dos nossos descendentes. Vejamos, agora, Fractais naturais. A natureza tem uma exuberância fractal muito bonita. A figura 13 mostra a cordilheira do Himalaia vista da Gemini IV. Vejamos o padrão de cada montanha... Tudo igualzinho, mas diferente. Fig. 12: Fractal Geométrico Fig. 13: Fractal Natural - Cordilheira do Himalaia vista da Gemini IV Examinemos a foto de um Brócolis romanesco (figura 14). Se dermos um zoom em cada parte, vamos ter a imagem do todo; e na parte da parte, da parte; e assim por diante... Vejamos as flores da figura 15. Cada flor é igualzinha à outra, mas é diferente. Vejamos as folhas de samambaia da figura 16. Cada folha é igualzinha à outra, mas é diferente. Fig. 14: Fractal Natural - Brócolis Romanesco José JÚLIO Martins TÔRRES Web Site: www.juliotorres.ws Blog: blogjuliotorres.blogspot.com E-mail: juliotorres@juliotorres.ws 3
O Universo é todo irregular. Mas existe uma regularidade nesta forma de ser irregular. Existe um padrão fractal. Fig. 15: Fatalidade nas flores Fig. 16: Fatalidade numa samambaia Às vezes olhamos, olhamos, olhamos e não vemos certas coisas. E outras pessoas olham e vêem, assim, na maior naturalidade, certas coisas que não vemos. A visão fractal nos fará ver melhor a beleza existente no Universo. Principais Características dos Fractais Extensão infinita dos limites fractais: depende da unidade padrão de medida. A extensão de um Fractal tende ao infinito quando a unidade padrão de medida tende a zero. O nosso cérebro é tão grande porque ele é todinho irregular, vai lá e volta. Se pegássemos a membrana que envolve o cérebro e conseguíssemos espalhá-la, iríamos ver que é bem maior do que pensamos que seja. Qual é o tamanho da copa de uma árvore? Não dá para medir. Está lá na ponta e está lá no tronco. Os passarinhos entram e até fazem ninho... É Fractal. Não dá para medir. Ou melhor, depende da unidade padrão de medida. Quanto mais você reduzir a unidade padrão de medida, mais aumentará a extensão medida. A noção de um limite fractal pode ser demonstrada considerando-se o litoral geográfico de uma massa de terra. Dependendo do comprimento da medida padrão utilizada pelo medidor, pode-se demonstrar que, ao se reduzir a unidade de medição, o comprimento do litoral aumentará sem limite. Esse resultado é totalmente contrário à crença comum de que, com a redução da unidade de medição, dever-seia obter uma medida mais exata do comprimento correto do litoral. Na figura 17 temos um Fractal geográfico fronteira entre Espanha e Portugal. Se chegarmos Fig. 17: Fractal Natural Fronteira Portugal-Espanha à Espanha e perguntarmos qual é a extensão da fronteira entre Espanha e Portugal, o espanhol vai dizer está nos livros de Geografia deles que é 987 Km. Vamos a Portugal, e o português diz que a extensão é de 1.214 Km. Como é que pode, se é a mesma fronteira? É porque o português é sabido, não é burro nada e os países pequenos normalmente fazem isso: eles usam uma unidade de medida padrão menor. O espanhol mede com uma vara mais comprida. Então, deixa de medir algumas partes. Ele mede com uma vara que mede 2x, 2 Km, por exemplo. O português mede com a varinha menor. A varinha pequena dá para medir mais curvas. José JÚLIO Martins TÔRRES Web Site: www.juliotorres.ws Blog: blogjuliotorres.blogspot.com E-mail: juliotorres@juliotorres.ws 4
Qual a lição que podemos tirar disso para as organizações e para as pessoas? É que devemos reduzir a unidade padrão de medida. E como é que medimos a qualidade de uma organização e de uma pessoa? É pelo conhecimento que ela tem e é capaz de gerar, pela sabedoria que ela tem e é capaz de gerar. Então, reduzimos a unidade de medida padrão cognitiva, ou seja, passamos a entender, nos mínimos detalhes, tudo aquilo que fazemos. Nós somos Fractais, as organizações são Fractais. A empresa pode aumentar seus limites pela maior atenção aos pequenos detalhes e pelo desenvolvimento de dados mais específicos de seus padrões (redução da medida do padrão cognitivo). Pode ainda reformular, de forma retrospectiva, um padrão existente, pelo desenvolvimento de novas interpretações de eventos passados. Permeabilidade dos limites fractais: Os limites dos fractais não são rígidos, são permeáveis. A permeabilidade dos limites permite o intercâmbio de dados para a geração de informação e conhecimento, intercambio de energia e de matéria no meio ambiente, desde a menor escala a do indivíduo dentro da organização, até as escalas maiores. As tecnologias de hoje não percorrem caminhos paralelos e distintos. Elas se cruzam a toda hora. (Interconexões). As plantas são permeáveis, se entrelaçam. As organizações, se não forem permeáveis, ficam isoladas, vão morrer. O amor é fractal. Quanto mais você compartilha, mais ele se multiplica porque, em cada parte está o todo. Uma organização não tem mais limites. Ela tem que incluir, no seu processo, os clientes, os não clientes, que são mais importantes ainda, que são em maior número ainda. E os fornecedores também... E na Educação? Todos nós somos aprendizes. O verdadeiro mestre aprende muito mais com os educandos do que os educandos aprendem com ele. Conhecimento não se transmite. Não se compra, não se vende, nem se troca conhecimento. Conhecimento, a gente é que tem que gerar. O meu conhecimento, quando eu passo para alguém, eu não estou passando conhecimento; eu estou passando apenas dados. Cada um é que tem que pegar esse dado que eu passei e remoer, significar e/ou re-significar e criar informação e conhecimento, que pode ser até maior do que o meu. Temos que fazer com que a pessoa não somente aprenda, mas aprenda a aprender. Então ele aprenderá qualquer coisa. Mas se ele morrer, o processo morre. Temos que fazer com que a pessoa aprenda a aprender e a criar condições para os outros aprenderem. Mas, aprenda a aprender e a criar condições para os outros aprenderem o quê? Aprenderem a aprender e a criarem condições para os outros aprenderem a aprender e a criarem condições para os outros aprenderem... Cada um que aprender com ele, vai aprender a aprender e a criar condições para os outros aprenderem, e assim, o processo de aprendizagem vira Fractal. Vira semente. Por falar em semente, uma pergunta Fractal seria: Quantas maçãs existem numa semente de maçã? O professor é também aluno. O aluno é também professor. Não existe limite rígido de fronteiras. Todos estão se autodesenvolvendo. Auto-similaridade dos fractais: Semelhança nas formas e características. Ao se dividir o todo em partes iterativamente, as partes, por menores que sejam apresentam formas e características semelhantes ao todo. A parte reflete a estrutura do todo. Diz-se, então, que o todo está na parte e que a parte está no todo. Anaxágoras (500-428 a.c.) já dizia: Tudo pode ser dividido em partes ainda menores, mas, mesmo na menor das partes existe um pouco de tudo (Gaarder, 1995, p. 51). A auto-similaridade proporciona um sentido de ordem a estruturas aparentemente irregulares. José JÚLIO Martins TÔRRES Web Site: www.juliotorres.ws Blog: blogjuliotorres.blogspot.com E-mail: juliotorres@juliotorres.ws 5
A organização formal das organizações é Fractal. A visão fractal da organização é a iterativa reflexão de toda a organização em cada uma de suas partes. Não é uma visão hierárquica, para cima e para baixo e sim uma visão em zoom. A célula-mãe de uma organização, como na figura 18, é composta por Propósito, Princípios, Participantes e Conceitos Organizacionais. As relações entre os componentes que definem uma unidade composta formam a Organização determinante de definição. A maneira como os componentes interconectados interagem sem que mude a organização forma a Estrutura (Constituição) determinante operacional. Os Processos (prática) devem ser criados e implementados de forma a permitir o Acoplamento Estrutural (coerência interna e correspondência com a estrutura do ambiente) (Maturana, 1987). Tudo isso, tendo a Ética como um componente transdimensional é o mais essencial, forma uma estrutura fractal de uma célula-mãe de uma organização. Fig. 18: Estrutura Fractal da Célula-mãe de uma Organização Fractal criado por Júlio Tôrres Essa organização vai crescendo e vai abrindo unidades que têm as mesmas características da célula mãe, até se chegar no âmbito de cada colaborador, cada mestre, cada discípulo. Cada um é a organização. É Fractal! Uma organização qualquer, é complexa em todos os níveis. Cada um tem o seu valor, porque cada um sabe onde é que a coisa está acontecendo. É lá que ele está sentindo a coisa. Onde quer que esteja alguém da organização, lá está a organização. Uma Organização Fractal é onipresente. Numa Organização Fractal cada colaborador se manifesta na sua dimensão partícula e na sua dimensão onda. As coisas acontecem localmente, mas se propagam como ondas (círculos concêntricos) a partir de cada ponto e para todos os âmbitos da organização, como na figura 19. Fig. 19: Estrutura Fractal de uma Organização Fractal criado por Júlio Tôrres José JÚLIO Martins TÔRRES Web Site: www.juliotorres.ws Blog: blogjuliotorres.blogspot.com E-mail: juliotorres@juliotorres.ws 6
Com a idéia de Fractal, deixamos de ver as coisas somente quantitativamente e passamos a vê-las também com um olhar qualitativo. Não é porque a coisa é pequenina, que vai deixar de ter um valor talvez até maior do que uma coisa grande. Quando é que nós vamos ter exames médicos que vão medir a qualidade e não só a quantidade? Quando é que nós vamos ter avaliação nas escolas que vai avaliar o aluno como um todo e não apenas quantitativamente? O aluno que tirou um cinco numa avaliação pode ter elaborado um processo mental de muito mais qualidade do que aquele que tirou um dez. É a semelhança das formas que faz com que cada parte de uma planta seja igualzinha a ela mesma. Nós também somos parecidíssimos, iguaizinhos. Os fractais mantêm as características independentes da escala. Se dermos um zoom de dez milhões de vezes numa nuvem, usando computador, nós ainda a reconheceremos como nuvem. Uma costa, como a costa da Inglaterra, se dermos um zoom de milhares de vezes, ainda reconhecemos como uma costa. Então, damos um zoom e reconhecemos as coisas, porque cada parte contém realmente a imagem do todo. Devemos ver qualquer organização, não com essa visão hierárquica, porque não existe hierarquia no Universo. Não existe um neurônio mais importante e mais inteligente do que o outro. O que faz a nossa inteligência não é o número de neurônios que nós temos. O que faz a gente inteligente são as sinapses. São as conexões que existem entre os neurônios. Os relacionamentos é que são importantes, é neles que temos que investir. Na natureza, não existe uma coisa mais importante do que outra. Nós é que começamos a dar valor a certas coisas e achar que uma é mais importante, principalmente a se achar mais importante que os outros. Existem organizações, existem empresas e escolas por aí em que o quociente intelectual coletivo, o quociente intelectual da organização, está limitado pela burrice do dono ou dos gestores. Se chega alguém dando idéias, sendo inteligente, o dono diz: Ah, vá procurar outro lugar. Aqui quem manda sou eu, aqui quem sabe sou eu e desde o tempo do meu avô que é feito deste jeito, por que você quer fazer diferente? Então, uma organização tem que ser vista em zoom e, neste caso, cada um é importante, todo mundo é importante, ninguém é mais importante do que o outro. Todo mundo tem o seu valor. BIBLIOGRAFIA GAARDER, J. O mundo de Sofia: romance da história da filosofia. São Paulo: Companhia das Letras, 1995. MANDELBROT B. B. The fractal geometry of nature. New York: Freeman, 1983. TÔRRES, J. J. M. Desenvolvimento organizacional na perspectiva das teorias da complexidade um estudo de caso. Fortaleza: UVA, 2001. José JÚLIO Martins TÔRRES Web Site: www.juliotorres.ws Blog: blogjuliotorres.blogspot.com E-mail: juliotorres@juliotorres.ws 7