Trabalho realizado pelos alunos: -Francisco Guimarães -Inês Alvarenga -Francisco Bessa de Carvalho -Leonor Barroso -Simão Lucas Pires -Sofia Leite -Jorge Real -Natacha Soares -Pedro Salgado Lucena Revisto por José Veiga de Faria Je vous lance le soleil Jean Dieudonné 1
Índice π Índice π Introdução pág. 3 π Métodos de partilha de caso contínuo π Método do último a diminuir.pág. 5 π Método do divisor único pág. 8 π Método do seleccionador único...pág. 10 π Método de Selfridge e Conway..pág. 12 π Método two knifes cut...pág. 20 2
Introdução Métodos de partilha equilibrada de caso contínuo Métodos não livres de inveja Métodos livres de inveja Método de seleccionador único Método do último a diminuir Método de divisor único Método de Selfridge e Conway Método two knives cut 3
Esta publicação fala-nos dos métodos de partilha equilibrada: caso contínuo. Os diversos métodos foram elaborados por todos os elementos da turma e, por sua vez, publicados neste bloco. Julius Barbanel Seguidamente, cada método será devidamente explicado. Nessa altura perceberemos quais as características de cada método e quais as condições a que têm de obedecer e os respectivos passos para chegar a uma resolução do problema de forma equilibrada. Vamos então tentar esclarecer algumas condições a que satisfazem os 3 tipos de partilha equilibrada e que apresentamos por ordem crescente de exigência: π Partilha Justa Cada pessoa fica satisfeita com a parte que lhe cabe. π Partilha proporcional Cada uma das N pessoas fica com sensação de ter obtido 1/N do total. π Partilha Livre de Inveja Cada pessoa fica com a sensação de ter ficado com a maior parte, isto é, com uma parte maior ou igual às dos restantes. 4
Método do Último a diminuir Stefan Banach: (1892-1945) Matemático polaco nascido em Cracóvia, no império Austro-Húngaro, ficando hoje na Polónia. É um dos fundadores da análise funcional moderna. É considerado o fundador da escola polonesa de matemática e ficou mais popularmente conhecido pelo enunciado do Paradoxo de Banach-Tarski). Têm o seu nome os Espaços de Banach familiares a quem trabalha em Análise Funcional. Criou o método do Último a Diminuir. Era conhecida a sua amizade com Hugo Steinhaus de quem vamos falar mais à frente. Morreu em 1945 na Ucrânia. Método Do Último A Diminuir. Neste método todos os participantes ou jogadores são simultaneamente divisores e selectores. Consideremos o caso de quatro jogadores. Antes de efectuar a divisão ordenam-se aleatoriamente os quatros jogadores (p1, p2, p3 e p4). Esta ordem mantém-se até ao final da divisão, que se efectua do seguinte modo: 1º Passo: O jogador p1 escolhe uma parte de S que pensa corresponder a ¼ de S. 5
2º Passo: De seguida o jogador p2 pode: A. Concordar com a divisão feita por p1 e passar a sua vez ao jogador p3; B. Discordar com a divisão e diminuir a porção escolhida por p1, de modo a esta porção corresponder a ¼ de S, segundo o seu sistema de valores. 3º Passo: Os jogadores p3 e p4, de acordo com a parcela que está agora em jogo, irão proceder do mesmo modo que p2. 4º Passo: Depois de todos os jogadores terem actuado sobre a parcela, esta é atribuída ao último jogador que optar por diminuí-la, saindo assim do jogo. Este jogador será p1 se nenhum dos restantes a considerar injusta (diminuindo-a) 5º Passo: O processo repete-se novamente (com menos um jogador) uma e outra vez até ficarem apenas 2 jogadores. Nesta situação, os dois jogadores finais podem seguir este mesmo processo ou optar por usar o método do divisor-selector, isto é, um divide e o outro escolhe. 6
Conclusão: Cada jogador fica com o que considera ser 1/n do total: a partilha satisfaz a condição de equilíbrio proporcional. Os jogadores que saem de jogo, já com a sua fatia escolhida (reduzida), podem sentir-se prejudicados quando o/os jogador/es por ordem de jogada escolhem uma fatia já reduzida pois podem considerar que essa fatia não corresponde a ¼ do todo mas a um valor que do seu ponto de vista é superior. Assim, por exemplo, quando o jogador p3 reduz a sua fatia, por exemplo na terceira volta, (ficando com ela), o p1 e o p2, que saíram nas voltas anteriores, podem considerar que essa fatia corresponde para eles a mais de ¼ do todo. Assim este método não é livre de inveja: os primeiros jogadores a sair podem vir a invejar algum dos restantes. (Este trabalho, que visa a explicação das características do método do último a diminuir, foi realizado pela aluna Natacha Soares, Nº1635.) 7
Divisor Único Hugo Steinhaus (1887-1972) formou-se em matemática e tornou-se num dos mais importantes matemáticos do mundo. Nasceu na Polónia e interessou-se na realização de métodos de partilha equilibrada. Criou dois métodos, entre outros, caracterizados por uma partilha não livre de inveja: π Divisor Único π Seleccionador Único Vamos, numa primeira fase, dar uma vista de olhos sobre o método do Divisor Único. Margarida, João e José querem dividir um bolo em três partes e optaram pelo uso do método da Partilha Equilibrada: Divisor Único. 1º Passo: Escolhe-se o divisor Margarida e esta divide o bolo em três partes que considera iguais. 2º Passo: João escolhe uma parte do bolo e José escolhe de seguida; caso João escolha uma parte diferente da de José, o problema fica resolvido. A Margarida fica com a parte que restar pois foi ela que dividiu o bolo e pelo o ponto de vista dela todas as partes correspondem exactamente a 1/3 de bolo. Caso João e José escolham ambos a mesma parte o problema segue outro caminho: a Margarida fica com uma das outras partes e eles dividem entre eles as duas restantes pelo método de um divide e o outro escolhe. 8
No entanto, como podemos verificar o método não é livre de inveja, isto é um dos participantes nesta divisão sentese inferiorizado perante os outros. Neste caso é a Margarida, como vamos ter o prazer de explicar já de seguida. Quando João volta a dividir as ultimas duas partes Margarida pode achar que uma das partes não corresponde a 1/3 das do todo,mas sim a mais do que um terço. Acrescentado ainda que a Margarida nessa fase da resolução do problema não se pode manifestar e dizer o que se encontra mal aos olhos dela. Esquematizando o procedimento final (após a escolha da Margarida): 1º Passo: Escolhe-se um divisor para voltar a dividir as ultimas duas partes, por exemplo João. 2º Passo: João volta dividir as duas partes restantes e divide-as em duas partes que considera idênticas. É aqui que a Margarida pode achar que uma delas é superior à sua. 3º Passo: Finalmente o José escolhe. Podemos, portanto, confirmar que de facto Margarida não teve poder para falar e dizer que a partilha não foi bem feita, ficando o João com a maior parte. Por conseguinte, o método não é livre de inveja. (Este trabalho, realizado pela aluna Inês Alvarenga, Nº 1001, tem como objectivo a explicação do método do divisor único.) 9
Método de seleccionador único Gilda, Josefa e Edviges decidem dividir um bolo em três partes e optam por um dos métodos de partilha equilibrada: o método de seleccionador único. 1. Passo: Através do sorteio escolhem-se dois divisores Gilda e Josefa e Gilda divide o bolo em duas partes que considera iguais escolhendo Josefa uma das duas que do seu ponto de vista é maior ou igual à outra. 2. Passo: Josefa divide a sua parte em três terços que considera iguais. O mesmo é feito por Gilda. 3. Passo: Edviges escolhe do bolo todo as partes G1 e J2 que considera as maiores partes. 4. Passo: Gilda fica com G2 e G3. 5. Passo: Josefa fica J1 e J3. Vamos agora mostrar que este método satisfaz o critério de proporcionalidade, isto, é que cada interveniente fica com uma parte do bolo que do seu ponto de vista é um terço do total. Designemos o bolo por B e por B1 e B2 as duas partes em que foi inicialmente dividido. Josefa ficou com B2. 10
Vejamos o caso de Edviges: Ele fica com pelo menos um terço das duas partes em que o bolo foi dividido logo com pelo menos um terço do total: G1>=B1 / 3 e J2>=B2 / 3 implica G1 + J2 >= B1 / 3 + B2 / 3 = B / 3. Agora Gilda: para ela B1 = B / 2 e G2 = G3 = B1 / 3; então: G2 + G3 = 2 G2 = 2 B1 / 3 = B / 3. E Josefa : para ela B2 >= B / 2 e J1 = J3 = B2 / 3; então: J1 + J3 = 2 J1 = 2 B2 / 3 >= B / 3. Vamos agora verificar se este método é livre de inveja. Esta condição consiste no seguinte: cada um dos intervenientes ficar com a sensação de que a parte do bolo com que ficou é maior ou igual à dos outros. Este método não satisfaz a condição de ser livre de inveja. Isto prende-se com a escolha de Edviges: Josefa pode considerar que G1 é mais de um terço da metade dividida por Gilda e esta pode achar que J2 é mais de um terço da metade dividida por Josefa. I ( Esta parte do trabalho foi realizada por Pedro Miguel Salgado de Sousa Lucena, nº 193, 11ºD ) 11
Método de John Selfridge e John Conway John Horton Conway nasceu em Liverpool a 26 de Dezembro de 1937. Estudou em Cambridge. Foi eleito membro da Royal Society em 1981. Actualmente é Professor na Universidade de Princeton. Para além do método de partilha livre de inveja conseguido com John Selfridge, formulou várias teorias matemáticas e publicou alguns livros, como Atlas dos Grupos Finitos, Sobre Números e Jogos ou Modos de vencer. É o criador de muitos jogos matemáticos e admite mesmo que nos tempos de faculdade passava mais tempo a jogar do que a estudar, o que o fazia sentir-se culpado até descobrir que estes jogos são uma forma de matemática: «You get surreal numbers by playing games. I used to feel guilty in Cambridge that I spent all day playing games, while I was supposed to be doing mathematics. Then, when I discovered surreal numbers, I realized that playing games IS mathematics.» John Selfridge era, para além de matemático, arquitecto. Fez estudos interessantes sobre vários assuntos e, na década de 60, desenvolveu com o companheiro do corpo docente da Universidade de Princeton um método de partilha proporcional e livre de inveja. Suponhamos que A, B e C querem dividir um bolo. É estabelecida uma ordem aleatoriamente: A, B, C. 12
Neste método contemplámos dois casos possíveis: Primeiro caso: 1º Passo: A corta o bolo em três fatias iguais do seu ponto de vista. 1 2 3 2º Passo: B, caso considere que todas as fatias cortadas por A têm o mesmo valor, isto é, não havendo nenhuma de valor superior às outras duas, não faz nada. 1 2 3 3º Passo: C escolhe a fatia que considera maior-2. 2 4º Passo: O próximo a escolher será o B, o qual pode escolher, entre as duas fatias que restam, aquela que mais lhe agrada. Suponhamos que escolhe 1. 1 13
5º Passo: Por fim, A fica com a terceira fatia-3. Nesta situação não é necessário recorrer a uma segunda etapa para se conseguir uma divisão livre de inveja. Atentemos, agora, na seguinte situação: Segundo caso: Primeira etapa: 1º Passo: A corta o bolo em três fatias que acha iguais. 1 2 3 2º Passo: B, caso considere que há uma fatia maior do que as outras duas, pode reduzi-la até ficar alinhada com a segunda maior; desta forma garante que existem, pelo menos, duas fatias iguais para si e melhores do que a terceira. (alinha 3 com 2). 2 3 14
3º Passo: De seguida, põe as aparas de parte e passa as três fatias a C, que deverá escolher uma delas-2. 2 4º Passo: O próximo a escolher será o B, o qual tem de ficar com a fatia por si reduzida (3), já que esta não foi escolhida por C. Caso C tivesse escolhido a fatia reduzida, B poderia escolher qualquer outra. 5º Passo: Por fim, A fica com a terceira fatia-1 (para ele, igual às outras duas). Segunda etapa: Na segunda etapa dividem-se as aparas entre os três jogadores. A divisão das aparas é feita tendo em conta o jogador que ficou com a fatia reduzida na primeira etapa (C ou B): -Se foi B que ficou com a fatia, é C quem vai dividir as aparas em três partes iguais. A selecção das aparas vai ser feita pela ordem: B, A, C. -Se foi C a ficar com a fatia reduzida, é B quem vai fazer a divisão e a ordem de selecção será: C, A, B. Chamemos-lhes então NR (o que não ficou com a fatia reduzida) e RD (o que ficou com a fatia reduzida), para contemplar os dois casos. 15
1º Passo: NR divide as aparas em 3 partes que considera iguais. 2º Passo: RD escolhe a parte que considera maior. 3º Passo: A é o segundo a escolher. 4º Passo: NR fica com a restante. Ou seja, quem ficou com a fatia reduzida será o primeiro a escolher entre as aparas. O que não ficou com a fatia reduzida vai dividir as aparas em três e vai ser o último a escolher. Isto entre B e C porque A nunca vai fazer o papel de divisor nesta segunda etapa. Conclusão Porque é que se diz que o método é livre de inveja? Demonstremos, então, que o método é livre de inveja, ou seja, nenhum dos intervenientes tem motivos para invejar o outro porque cada um ficará sempre com a sensação que ficou com tanto ou mais que os outros. A não inveja RD: De facto, mesmo que RD ficasse com a totalidade das aparas, do ponto de vista de A, ficariam com partes iguais. Ora, acontece que RD fica com menos do que a totalidade das aparas e A com mais do que a fatia inicial, ou seja, do seu ponto de vista fica com mais do que RD. A não inveja NR: Como aquele que ficou a com a parte não reduzida ficara com 1/3 do bolo inicial, do ponto de vista do A, antes 16
da partilha das aparas, tinham partes iguais para A. Escolhendo o A primeiro do que o NR na partilha das aparas, escolherá sempre a parte que lhe parecer de maior valor. Portanto fica com a sensação de ter tanto ou mais do que NR. RD não inveja A: Se RD for o C fica com a sensação de que a partilha foi mais ou igualmente vantajosa para ele. Isto acontece porque, inicialmente, ele tinha sido o primeiro a escolher (na primeira fase) e na divisão das aparas acontece o mesmo. Se RD for o B, para ele a fatia que ele reduziu, e com que fica neste caso, será maior ou igual às restantes e portanto à de A. Como na divisão das aparas é o primeiro a escolher, ficará com uma parte das aparas que acha maior ou igual às restantes. Então, e do seu ponto de vista a soma das parcelas com que fica são maiores ou iguais às correspondentes de A. RD não inveja NR: Se RD for o C pensa que a parte reduzida é a maior das três porque foi ele que a escolheu. Por outro lado, ainda ganhará pelo menos 1/3 da parte que restou, pois é o primeiro a escolher as aparas. Então, não inveja NR. Se RD for o B e, consequentemente, NR for C, do ponto de vista de RD, ele fica com uma parte igual ou superior ao NR (na divisão inicial): ele teve oportunidade de alinhar as duas que acha maiores quando reduziu e fica com uma reduzida. Na divisão das aparas é ele o primeiro a escolher, optando pela que lhe parecer maior. Assim fica melhor ou tão bem como NR. 17
NR não inveja A: Se NR for B, então, na divisão inicial, ficou de certeza com uma das maiores partes (que considera iguais porque ele próprio as alinhou ou, se não alinhou, foi porque já as considerava iguais). Ele escolherá primeiro do que o A (é o segundo a escolher), garantindo que fica com uma parte que, para ele, é não inferior à de A. Por outro lado, na divisão das aparas, sendo ele a dividir, fá-lo-á em 3 partes que considera iguais. Logo, a escolha do A é-lhe indiferente. Se NR for C, então, na divisão inicial, ficou com uma parte que considera não inferior à do A porque, ao escolher primeiro do que ele, terá a fatia que considera maior. Na divisão das aparas, mais uma vez, NR é que divide a parte restante do bolo em 3 partes que, para ele, são iguais. Assim sendo, independentemente da fatia que A escolher, visto que NR é o último a escolher, nunca o poderá invejar porque para ele as 3 partes são iguais. NR não inveja RD: No caso de NR ser C e RD, consequentemente B, também se constata que o método é livre de inveja. Isto acontece porque, na primeira fase, NR é o primeiro a escolher. Assim sendo, escolherá a fatia que lhe parecer maior. Por outro lado, na divisão das aparas, também ficará com uma parte que, do seu ponto de vista, será igual à do RD porque é ele que corta o que restou do bolo em 3 partes que considera iguais, não podendo por isso invejar qualquer uma que RD escolha. Se NR for B, foi ele que reduziu, deixando as duas maiores partes, de acordo com o seu ponto de vista, iguais. Tendo ele sido o segundo a escolher, ficou de certeza com uma das duas que alinhou (se são as duas iguais, não inveja C que escolhe primeiro do que ele, deixando disponível para si uma das que considerou iguais). 18
Relativamente à divisão da parte restante, é ele que corta em 3 partes que também são iguais do seu ponto de vista. Deste modo, qualquer uma lhe será indiferente, não podendo invejar o RD independentemente da parte que ele escolher. (Trabalho realizado por Sofia Leite, nº496; Francisco Guimarães, nº187 e Leonor Barroso, nº376) 19
Método da Faca Deslizante Este é um método de partilha equilibrada de caso contínuo que permite dividir um bolo por três pessoas sem que nenhuma sinta inveja dos outros. Pessoas: Aniceto (A), Barbanel (B), Constantino (C) 1º Passo: Escolhe-se um árbitro. 2º Passo: O árbitro desloca uma faca do extremo esquerdo para a direita. 3º Passo: Aniceto grita quando considera que a faca feita deslizar pelo árbitro atingiu um terço do bolo. E marca três partes que considera iguais. A 1ª marca coincide com o ponto onde a faca estava quando ele gritou. [se dois intervenientes gritarem ao mesmo tempo, sorteiase de modo a escolher apenas um deles como válido] 4º Passo: Notamos que Barbanel e Constantino nunca escolherão a parte 1 uma vez que, ao não terem gritado, consideram-na menor do que um terço do bolo. - Hipótese 1: Barbanel escolhe a parte 2 ou a 3 e Constantino escolhe a única que ainda não foi escolhida. Neste caso, o problema fica resolvido. 20
- Hipótese 2: 3. Barbanel e Constantino escolhem a mesma parte, 2 ou»» Vamos supor que ambos escolheram a parte 2. Assim, a faca colocada entre as partes 2 e 3 do bolo é feita deslizar pelo árbitro para a esquerda. Enquanto este processo ocorre, Aniceto desloca a faca da esquerda para a direita no sentido de garantir que as partes 1 e 3 tenham o mesmo valor para ele em qualquer instante. Barbanel ou Constantino (suponhamos que é Barbanel) manda parar a faca da direita quando considera que a parte 2 representa um terço do total e, automaticamente, Aniceto tem também de parar a sua faca. Então: - Constantino fica com a parte 2, visto que, ao não ter mandado parar a faca, ele considera que a parte 2 ainda é mais do que um terço do bolo. - Barbanel pode optar entre a parte 1 e a parte 3, sendo que para ele a soma destas duas partes equivale a dois terços do bolo logo, ou ambas correspondem a um terço ou uma vale mais do que um terço, no seu ponto de vista. - Aniceto ficará com a restante, já que, para ele qualquer uma das fatias vale um terço do bolo. Se Barbanel escolher 1, ele ficará com a 3; se Barbanel escolher 3, ele ficará com 1.»» Vamos supor que ambos escolheram a parte 3. Assim, a faca colocada entre as partes 2 e 3 do bolo é feita deslizar pelo árbitro para a direita. Enquanto ocorre este processo, Aniceto desloca a faca da esquerda para a 21
direita a uma velocidade que, no seu ponto de vista, garanta a equivalência em valor das partes 1 e 2. Barbanel ou Constantino (suponhamos que é Constantino) manda parar a faca da direita quando considera que a parte 3 corresponde a um terço do total e, automaticamente, Aniceto tem também de parar a sua faca. Então: - Barbanel fica com a parte 3 visto que, ao não ter mandado parar a faca, ele considera que a parte 3 ainda é mais do que um terço do bolo. - Constantino pode optar entre a parte 1 e a parte 2, sendo que para ele a soma destas duas partes equivale a dois terços do bolo logo, ou ambas correspondem a um terço ou uma vale mais do que um terço, no seu ponto de vista. - Aniceto ficará com a restante. Se Constantino escolher 1, ele ficará com a 2; se Constantino escolher 2, ele ficará com 1. LIVRE DE INVEJA O método da faca deslizante, internacionalmente conhecido como two knives cut, satisfaz a condição livre de inveja. Procedemos à explicação: (no caso de Barbanel e Constantino terem ambos escolhido a parte 2) - Aniceto não inveja Barbanel porque considera as partes 1 e 3 (que são para ele maiores do que a parte 2, uma vez que inicialmente todas as partes lhe eram iguais mas 2 foi reduzido) iguais tendo tido isso em conta aquando do 22
deslizamento da faca para aumentar a parte 1*. Assim tanto lhe faz ficar com a parte 1 ou a parte 3. - Aniceto não inveja Constantino. Depois de gritar, Aniceto dividiu o bolo em três partes que considera iguais. Dessas três partes: 1 e 3 foram aumentadas de tal modo que para Aniceto continuassem iguais, e 2 foi reduzida, valendo desse modo menos do que um terço no ponto de vista de Aniceto. - Constantino não inveja nem Aniceto nem Barbanel porque não gritou, o que é sinal de que para ele a parte 2 corresponde a uma fatia maior do que o um terço que ele tem direito a exigir. - Barbanel não inveja Aniceto nem Constantino. Ao gritar, considerou que a parte 3 já equivalia a um terço do bolo. Por outro lado, não há problema se o Aniceto tiver aumentado (no seu ponto de vista) mais do que era suposto, posto que o Barbanel tem a possibilidade de escolher entre a parte 3 e essa parte 1 aumentada por Aniceto. *esse é um cenário possível numa ideia meramente inteligível e teórica; num caso concreto seria muito difícil para Aniceto fazer deslizar a faca a uma velocidade que garantisse que a parte 1 e a parte 3 tivessem o mesmo valor. (Este trabalho, que assenta nas características do método conhecido como two knives cut, foi realizado por Simão Lucas Pires, Nº 916, Jorge Real, Nº 458 e Francisco Bessa de Carvalho, Nº 1178.) 23