Departamento de Engenharia Civil Apoios Geodésico e Topográfico

Departamento de Engenharia Civil Apoios Geodésico e Topográfico Rosa Marques Santos Coelho Paulo Flores Ribeiro 2006 / 2007

ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO... 3 2. TRIANGULAÇÃO E TRILATERAÇÃO... 3 2.1. Estabelecimento de uma rede de triangulação... 3 2.2. Estabelecimento de uma rede de triângulos baseado na trilateração... 4 2.3. Triangulação aérea... 4 3. TRIANGULAÇÃO GEODÉSICA EM PORTUGAL CONTINENTAL... 5 3.1. Rede geodésica de 1ª ordem... 8 3.2. Rede Geodésica de 2ª Ordem... 10 3.3. Rede Geodésica de 3ª Ordem... 11 4. TRIANGULAÇÃO TOPOGRÁFICA / CADASTRAL... 12 4.1 Operações de campo... 13 4.2 Operações de gabinete... 13 5. BIBLIOGRAFIA... 14 6. CÁLCULO E COMPENSAÇÃO DE UMA POLIGONAL DE APOIO... 15

1. INTRODUÇÃO Para a elaboração de cartas é necessário o conhecimento rigoroso das coordenadas geográficas de um número de pontos suficientemente grande para definir a região a representar. Esses pontos irão servir de apoio aos levantamentos topográficos, evitando, por um lado, perdas de rigor no desenvolvimento dos mesmos e permitindo, por outro, a sua ligação à Rede Geodésica Nacional (RGN). Um dos objectivos da geodesia consiste na determinação das coordenadas rigorosas desses pontos de apoio. A sua determinação é, contudo uma tarefa muito morosa, que se baseia na utilização do método das triangulações. O método das triangulações foi um método de medição introduzido pelo geodeta holandês Snellius (1591-1626) que veio dar um contributo muito importante na evolução da Geodesia. O método das triangulações possibilitou aa determinação de distâncias ou comprimentos de alinhamentos através da realização de medições angulares em polígonos fechados. Este método era de tal forma rigoroso que se manteve como método de medição até aos nossos dias. 2. TRIANGULAÇÃO E TRILATERAÇÃO 2.1. Estabelecimento de uma rede de triangulação O estabelecimento de uma rede de triangulação baseia-se na relação que existe entre os lados e os ângulos de um triângulo. As operações necessárias para o estabelecimento da rede envolvem, por um lado, trabalhos de campo que consistem na materialização sobre o terreno dos vértices da triangulação, utilizando estruturas destinadas para esse fim, na medição rigorosa de todos os ângulos internos dos triângulos que a compõem e na medição do comprimento de um dos lados de um triângulo da rede (base de medição) e envolvem, por outro lado, a execução de trabalhos de gabinete com vista ao seu cálculo e compensação. Para o cálculo da rede de triangulação é ainda necessário orientá-la e determinar as coordenadas de um dos seus pontos, procedimentos que passam pela observação no ponto astronómico fundamental ou origem fundamental (utilizando observações astronómicas) das respectivas latitude, longitude e meridiano de lugar, sendo este último deduzido através do azimute de uma direcção tomada como referência. 3

A determinação do comprimento da base de medição foi inicialmente obtida por medição directa de distâncias com recurso a fios ou fitas de invar; actualmente a rectificação é efectuada através dos métodos electro-ópticos e electrónicos de medição de distâncias, que conduzem a precisões da mesma ordem de grandeza. 2.2. Estabelecimento de uma rede de triângulos baseado na trilateração Com o desenvolvimento dos aparelhos que se baseiam na medição indirecta de distâncias através dos métodos electro-ópticos e electrónicos, os quais permitem a determinação de grandes distâncias com erros absolutos de reduzida intensidade foi possível o desenvolvimento e a popularidade dos métodos de localização planimétrica de pontos baseados apenas na medição de distâncias entre eles. Estes processos denominam-se trilateração. 2.3. Triangulação aérea A observação e instalação da rede geodésica em Portugal teve início em finais do século XVIII e desde essa altura foi objecto de várias revisões para melhorar a sua precisão e cobertura. Actualmente, a revisão das redes geodésicas apoia-se fundamentalmente nos modernos métodos de medição electrónica de distâncias e de posicionamento espacial. O sistema GPS é agora bastante utilizado na triangulação aérea, com vista à obtenção de imagens do terreno, nomeadamente para a produção de ortofotocartografia. Esta técnica consiste em, através da ligação do sistema GPS ao centro óptico da lente da câmara fotográfica, coordenar o centro de projecção de cada fotograma. São utilizados dois aparelhos GPS (GPS diferencial), sendo um deles colocado à superfície do terreno, num ponto de coordenadas conhecidas, e um 2º aparelho no avião, ligado à câmara fotográfica. Esta técnica apresenta a grande vantagem da menor incidência de apoio de campo, sendo apenas necessário o referido apoio nos cantos do fotograma. 4

3. TRIANGULAÇÃO GEODÉSICA EM PORTUGAL CONTINENTAL O estabelecimento da triangulação geodésica em Portugal Continental utilizou os seguintes procedimentos: Foram medidas duas bases, em Portugal Continental, (comprimentos medidos para o estabelecimento da rede): Base da Chamusca que tem cerca de 4 km de comprimento, foi medida na planície da Chamusca e está ligada ao lado Aire-Melriça, situado a meio da cadeia; Base de Vilar Formoso que tem cerca de 19 km de comprimento e que foi expandida numa relação de 1/3 para o lado da rede Cabeça Alta Marofa. Na Figura 3.1 apresenta-se a figura de expansão para a Base Vilar Formoso. Figura 3.1 Figura de expansão para a Base de Vilar Formoso Para a orientação da rede, determinação da sua posição face à superfície de referência, foram determinadas por observações astronómicas as coordenadas de um vértice e o azimute de um dos lados. O vértice de origem da rede de triangulação geodésica corresponde, em cada país, ao seu Datum ponto em que por convenção se considera o geoíde tangente ao elipsoíde de referência. Em Portugal o estabelecimento da rede teve 5

como origem um dos vértices do Castelo de S.Jorge, em Lisboa, e o azimute calculado foi o da direcção Lisboa-Serves. Actualmente, a revisão da rede baseia-se na utilização de um novo Datum, localizado no centro geométrico de Portugal Continental, que se denomina Datum 73 Dt73. Com estes elementos e por transmissão de coordenadas é possível determinar as coordenadas geográficas de todos os vértices, relativas a diversos elipsóides de referência, as quais podem ser transformadas em coordenadas rectangulares, para cada sistema de eixos adoptado. A rede de triangulação geodésica permite a determinação das coordenadas de pontos que irão servir de base de apoio a levantamentos cartográficos e topográficos, em que se pretenda a sua ligação à referida rede. Para que se torne possível a ligação destes levantamentos à rede geodésica é necessário que os vértices da triangulação não estejam muito afastados entre si, verificando-se que para efeitos topográficos os lados dos triângulos não deverão ser superiores a cerca de 5 km. O estabelecimento de uma rede de triangulação geodésica de um país, com 5 km de lado conservando em toda a sua extensão a precisão necessária para apoiar trabalhos geodésicos, seria certamente um trabalho, senão irrealizável, pelo menos complexo e moroso, de forma que foi estabelecida uma rede dividida em ordens. Assim, a rede geodésica em Portugal encontra-se dividida em ordens, ou seja, utiliza-se uma cadeia de triângulos e outros polígonos (quadriláteros principalmente) grandes, estabelecida com grande rigor, que visa servir de apoio a trabalhos de maior precisão. Sobre esta rede vão-se apoiando outros polígonos com lados cada vez menores, que tem a finalidade de estruturar uma malha cada vez mais apertada, que permita o apoio de outro tipo de trabalhos de levantamento, como os trabalhos de levantamento topográfico de zonas pouco extensas. As estruturas utilizadas para materialização dos vários vértices são denominadas vértices ou marcos geodésicos, são geralmente pintados de branco e apresentam uma ou mais faixas pretas que se destinam a eliminar erros de fase e a evitar confusões entre sinais longínquos. Os marcos geodésicos devem ter uma forma geométrica simples, com um eixo de simetria vertical de modo a que, qualquer que seja o local de observação as linhas de visada se intersectem sobre aquele eixo. As formas mais adoptadas são o cilindro, o tronco de cone, o 6

tronco de pirâmide quadrangular, o paralelepípedo, etc. A parte do vértice geodésico destinada a ser visada denomina-se mira e deve ser construída com bastante rigor. Em função da ordem da rede a materializar também os vértices ou marcos terão características diferentes (forma e dimensões), como adiante se verá. A Rede Geodésica Nacional (RGN) está organizada em três ordens, constituindo as redes geodésicas de 1ª ordem, de 2ª ordem e de 3ª ordem. O número total de vértices existentes no território nacional é de cerca de 9000, repartidos por vértices de 1ª ordem, cerca de 120 vértices, de 2ª ordem cerca de 900 vértices e de 3ª ordem com a densidade de 1 vértice por cada 10 km 2. Cada vértice geodésico tem uma ficha de identificação e caracterização, como a seguidamente apresentada para o vértice geodésico da rede de 3ª ordem denominado Azambuja. 7

3.1. Rede geodésica de 1ª ordem A Rede Geodésica de 1ª ordem é constituída por cadeias de triângulos que apresentam comprimentos de lado entre 30 e 60 km. Esta rede de 1ª ordem está estruturada em duas redes, as redes fundamental e complementar, que constituem o esqueleto geodésico: Rede Fundamental constituída por uma cadeia que se desenvolve longitudinalmente ao longo de um meridiano, disposta segundo a direcção Norte-Sul (cadeia meridiana central), e por quatro cadeias dispostas na direcção Este-Oeste (cadeias paralelas) que estabelecem a ligação da Rede Geodésica Nacional à Rede Geodésica Espanhola. Na figura 3.2 apresenta-se uma imagem da carta da rede de triangulação geodésica fundamental, com indicação da cadeia meridiana, cadeias paralelas e rede complementar. Rede Complementar preenche lacunas deixadas pela rede fundamental. Os vértices da rede geodésica de 1ª ordem são geralmente materializados no terreno por grandes pirâmides em alvenaria (cerca de 9 a 10 metros), de secção quadrangular, podendo ser encimadas por outras de menor altura, ou por estruturas cilíndricas, contendo ambas ou só a inferior uma faixa de cor preta. As suas características principais são: altura total - cerca de 9 m ou 10 m; base das pirâmides - 3 m para a maior, 0,75 m para a menor; faixa preta - 1,5 m de largura. 8

Figura 3.2 Rede de triangulação geodésica de 1ª ordem 9

Na Figura 3.3 apresenta-se um vértice geodésico da rede de triangulação geodésica de primeira ordem, denominado Melriça, localizado no centro geométrico de Portugal Continental. Figura 3.3 Melriça vértice geodésico 3.2. Rede Geodésica de 2ª Ordem Os triângulos que constituem a Rede Geodésica de 2ª ordem ou secundária têm lados com comprimentos que podem variar entre 20 e 30 km e assentam directamente sobre os vértices geodésicos de 1ª ordem. Os vértices geodésicos de 2ª ordem são materializados no terreno por cilindros normalmente encimados por troncos de cone. Esta forma adoptada para os vértices denomina-se bolembreana. Têm duas faixas de cor preta, uma no cilindro e a outra no tronco de cone, não possuem altura total fixa por forma a que possam sobressair em relação à vegetação existente e ser visíveis entre si. As suas características principais são: base do cilindro - cerca de 1,4 m de diâmetro se a sua altura for superior a 4 m e 1,2 m se a altura for inferior; tronco de cone cerca de 1,2 m de altura, 0,6 m de diâmetro para a base superior e 0,4 m para a inferior; 10

faixas pretas - 0,5 m de largura no cilindro e 0,3 m de largura no tronco de cone. A distância do bordo superior da faixa do cilindro à base do tronco de cone é de cerca de 0,4 m. Na Figura 3.4 apresentam-se esquematicamente os vértices geodésicos de 2ª ordem. Figura 3.4 - Representação esquemática dos vértices geodésicos de 2ª ordem 3.3. Rede Geodésica de 3ª Ordem Os triângulos que constituem a rede geodésica de 3ª ordem têm lados com comprimentos que podem variar entre 5 e 10 km. A resolução dos triângulos que constituem a rede pode basear-se na medição de apenas dois dos ângulos internos de cada triângulo dado a menor precisão requerida, sendo o 3º ângulo interno determinado por diferença. Os vértices da rede de triangulação geodésica de 3ª ordem não apresentam altura total fixa, à semelhança dos vértices geodésicos de 2 ª ordem. Diferem dos vértices geodésicos de 2ª ordem por não apresentarem faixa de cor preta a envolver o cilindro que constitui a base da estrutura. 11

4. TRIANGULAÇÃO TOPOGRÁFICA / CADASTRAL A densidade dos vértices geodésicos da rede de triangulação geodésica de 3ª ordem não é suficiente para apoiar, na maior parte das situações, os trabalhos topográficos. No sentido de aumentar a densidade de vértices de apoio foi estabelecida a rede de triangulação cadastral, que se apoia nos vértices da rede de triangulação geodésica de 3ª ordem. A rede de triangulação cadastral está também, à semelhança da geodésica, organizada em três ordens, com os seguintes comprimentos para os lados dos triângulos que constituem a rede: 1ª ordem 2 a 4 km; 2ª ordem 1 a 2 km; 3ª ordem 300 a 600 m. O estabelecimento da rede cadastral constituiu uma tarefe menos complexa do que o da rede geodésica, dado por um lado a precisão exigida ser menor e por outro as dimensões dos lados dos triângulos que a constituem serem de menores dimensões. Quando os vértices da rede de triangulação cadastral não apresentam uma densidade suficiente para apoiar os trabalhos de levantamento de pormenor podem constituir-se, apoiadas nos vértices existentes, novas poligonais de apoio abertas ou fechadas. Figura 3.5 Marco cadastral representação esquemática 12

As estruturas utilizadas para a materialização dos vértices da rede denominam-se marcos cadastrais, apresentam uma forma paralelepipédica com as dimensões aproximadas de 0,25 m x 0,25 m x 0,50 m. Na Figura 3.5 apresenta-se, esquematicamente, um marco (em planta e em corte) da rede de triangulação cadastral. Cada marco é identificado com TC (triangulação cadastral), seguida de um número de ordem. Com o decorrer do tempo estas marcas acabam por desaparecer, por isso é preferível escolher, sempre que possível, pontos do terreno marcados por construções existentes. As operações necessárias ao estabelecimento de uma rede cadastral constam também de operações de campo e de operações de gabinete. 4.1 Operações de campo Reconhecimento A operação de reconhecimento tem como finalidade definir a localização dos vértices dos triângulos de forma a que eles sejam visíveis entre si e que a área dominada por cada um deles seja a maior possível. Medições de campo Estas operações constam da medição de uma base (comprimento de um dos lados) e dos ângulos internos ou, em alternativa se forem utilizados os processos de trilateração, da medição do comprimento de todos os lados que constituem a rede. 4.2 Operações de gabinete Cálculo e compensação de todos os triângulos que constituem a rede e sua representação. Os cálculos referidos consistem na definição das distâncias entre estações (entre vértices da rede), dos ângulos internos do polígono, dos rumos das direcções, das coordenadas planimétricas dos vértices e das respectivas coordenadas altimétricas. Todos os cálculos prevêem a determinação dos erros associados e a sua compensação. A compensação só deverá ser efectuada se os erros forem inferiores às tolerâncias aceites para cada trabalho efectuado. Seguidamente vai ser apresentado um exercício de aplicação com vista ao cálculo e compensação de uma poligonal de apoio de trabalho topográfico. 13

5. BIBLIOGRAFIA Academia Militar; Topografia; Academia Militar, 1984. Casaca J., Matos J., Baio M.; Topografia Geral; Lidel edições técnicas, lda.; Lisboa, Fevereiro de 2000. Costa, A. da Fonseca; Curso de Topografia; Vol. 4; CENFIC, 1986 Wolf, Paul R. e Brinker, Russell C.; Elementary Surveying;HarperCollins College Publishers; 9 th ed.; USA,1994. Xerez A.C.; Topografia geral (Volumes I e II).Técnica, I.S.T., Lisboa, 1978. http://www.ipcc.pt/ http://www.igeoe.pt/ 14

6. CÁLCULO E COMPENSAÇÃO DE UMA POLIGONAL DE APOIO A seguinte poligonal fechada, cujos vértices constituem os pontos estação de um levantamento topográfico, serve de base de apoio a um trabalho de levantamento topográfico. Baseado nesse aspecto torna-se necessário, no cálculo da poligonal, definir, se possível, os eventuais erros que tenham sido cometidos e efectuar a compensação dos mesmos. Em cada estação o aparelho foi orientado na direcção do Norte Magnético. O rumo da direcção AB (α AB ) é de 30 g e as coordenadas do ponto A são (20, 75, 25). As leituras efectuadas, entre estações, com o taqueómetro são as seguidamente apresentadas na caderneta de levantamento. Pontos Ângulos (grados) Leituras Estação Visados Azimutais Zenitais (m) 1,935 B 38,24 100,00 2,167 A 2,399 h = 1,67 m 1,720 C 109,94 107,56 2,010 2,300 0,715 A 238,29 100,00 0,945 B 1,175 h = 1,45 m 0,200 C 162,52 109,15 0,480 0,760 1,470 B 362,71 91,79 1,750 C 2,030 h = 1,54 m 2,528 A 309,36 90,69 2,820 3,112 15

Pretende-se que como exercício de aplicação dos métodos de cálculo de rumos, de distâncias, de cotas, de transmissão de coordenadas planimétricas e altimétricas calcule e compense a poligonal de apoio. O cálculo e a compensação da referida poligonal consiste em: 1. Ângulos Internos 1.1. Cálculo dos ângulos internos da poligonal 1.2. Compensação dos ângulos internos da poligonal Em observações de precisão média a tolerância pode ser definida por: T = 4 n em que n é o número de vértices da poligonal. O valor da compensação a efectuar é expresso por c = n 2. Rumos de direcções O cálculo dos rumos utiliza o método de transmissão de azimutes e/ou rumos. 3. Distâncias O cálculo das distâncias utiliza a expressão 2 D = k G sin z, pois trata-se da utilização de um método óptico. 4. Coordenadas 4.1. Planimétricas 4.1.1. Cálculo Conhecidas as coordenadas planimétricas de um vértice e através do método de transmissão de coordenadas podem determinar-se as coordenadas dos outros vértices da poligonal de apoio. Caso exista erro de fecho planimétrico da poligonal (ver equação) há que proceder à respectiva compensação. 2 x 2 y ε = ε + ε ; ε ε x y = X = Y calculado calculado X Y conhecido conhecido 16

4.1.2. Compensação A compensação a efectuar em cada vértice, quer para a abcissa quer para a ordenada, é proporcional à soma das variações das abcissas e das ordenadas da poligonal, de acordo com a equação seguinte. C X unitária = ε X Xi ; C Y unitária = ε Y Yi 4.2. Altimétricas 4.2.1. Cálculo Conhecida a cota ou altitude de um vértice e através do método de transmissão de coordenadas altimétricas podem determinar-se as coordenadas dos outros vértices da poligonal de apoio. Caso exista erro de fecho altimétrico da poligonal (ver equação), ou seja a cota conhecida do 1º vértice não seja igual à cota calculada, há que proceder à respectiva compensação. ε = C A calculada C A conhecida n = DNi i + 1 i = 1 4.2.2. Compensação A compensação a efectuar em cada vértice é definida dividindo o erro de fecho pelo número de vértices do polígono (ver equação) e adicionando a cada cota anterior, já compensada, a respectiva compensação. c = ε n 17