EXERCÍCIOS DE APOIO ÀS AULAS PRÁTICAS DE TOPOGRAFIA ENGENHARIA CIVIL

Transcrição

1 EXERCÍCIOS DE APOIO ÀS AULAS PRÁTICAS DE TOPOGRAFIA ENGENHARIA CIVIL INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA DOCENTES (2009/2010) 2009/2010 Ana Paula Falcão Flôr Ricardo Tavares Sousa

2 ÍNDICE 1 UTILIZAÇÃO BÁSICA DE CARTOGRAFIA GEODESIA CARTOGRAFIA MATEMÁTICA ALTIMETRIA PLANIMETRIA MODELOS DIGITAIS DE TERRENO... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED. 7 FOTOGRAMETRIA... 12

3 1 UTILIZAÇÃO BÁSICA DE CARTOGRAFIA 1 Determine as coordenadas cartográficas e geodésicas do vértice geodésico... da folha... da Carta Militar de Portugal na escala de 1: Pretende-se representar um elemento da superfície do terreno, com uma configuração rectangular, que mede 2.0 km de comprimento por 1.5 km de largura. Poderá ser representado na escala 1/2 000 numa folha de papel com as dimensões de 100cm por 80cm? 3 A que escala poderá ser representado um elemento da superfície do terreno com 700m de comprimento e 300m de largura sobre uma folha de papel com as dimensões de 80cm por 50cm? 4 Com que espessura deverá ser representada uma estrada com 8m de largura às escalas: 1:100, 1:500, 1:1 000, 1:2 000, 1:10 000, 1:25 000, 1: e 1: ? 5 Qual a maior escala convencional a que se pode representar, um tanque circular com um raio igual a 3m, de modo a que a área da representação seja inferior a 5.00cm 2? 6 Qual a menor escala convencional a que pode representar um edifício de planta rectangular (30m 25m), de modo a que a área de representação não seja inferior a 150cm 2? 7 A Figura 1 representa uma porção da superfície do terreno, com curvas de nível e linhas de água. Identifique os erros existentes nesta representação. 8 Trace as linhas de água e as linhas de festo da Figura 2. 9 A partir da Figura 3, construa uma carta hipsométrica, utilizando uma gradação de tons de castanho, onde cada tom corresponde a uma das classes de altitudes apresentadas no quadro seguinte: Classe I Classe II Classe III Classe IV Classe V H 500m 500m < H 650m 650m < H 850m 850m < H 1000m H > 1000m 10 Desenhe, na Figura 4, as curvas de nível correspondentes às altitudes 335m e 365m. Na mesma figura, determine o valor das altitudes dos pontos A, B e C. 11 Os pontos F e G encontram-se às altitudes ortométricas: H F = 21.74m, H G = m Indique as curvas de nível que passam entre os dois pontos, em representações cartográficas: i) À escala 1:25 000; ii) À escala 1: A partir da malha de pontos de nível da Figura 5, desenhe as curvas de nível, com a equidistância natural de 1m. Desenhe previamente uma rede de triangulação, cujos triângulos sejam o mais equiláteros possível. 1

4 13 A partir das coordenadas topográficas dos pontos 1 e 2 do terreno M 1 = m P 1 = m H 1 = m M 2 = m P 2 = m H 2 = m estime, por interpolação, as coordenadas cartográficas das intersecções das curvas de nível às altitudes 115m e 120m, com o segmento de recta que une as projecções dos referidos pontos no plano cartográfico. 14 Sobre a Figura 6, construa uma carta de declives com as classes de declive apresentadas no quadro seguinte. Classe I Classe II Classe III Classe IV Classe V δ 5% 5% < δ 8% 8% < δ 12% 12% < δ 20% δ > 20% Desenhe um percurso entre os pontos de nível 38m, 144m e 153m, por forma a que este nunca exceda os 10%. Evite seguir linhas de água. 15 Sobre a Figura 7, construa uma carta de visibilidades, a partir do ponto de nível 1121m. Considere o ponto de vista 10m acima do terreno. 16 Considere o rio Cabra, representado na Figura 8 e: i) Trace o seu perfil longitudinal e o seu perfil transversal, entre os pontos assinalados; ii) Delimite a sua bacia hidrográfica e determine, por dois métodos distintos, o valor da área da bacia. 17 Na Figura 9, está representado um elemento da superfície do terreno, onde deve implantar uma barragem de aterro, com o eixo do coroamento definido pela direcção AB. A implantação deve ser feita de acordo com as seguintes indicações: i) Coroamento à altitude de 70m com a largura de 8m; ii) Paramentos de montante e de jusante com declive de 50%. Calcule o volume de aterro da barragem. 18 Na Figura 10, está representado o eixo de uma via que se pretende construir. Essa via terá uma largura de 10m com declive de %. Os taludes de aterro deverão ter declive de 75% e os de escavação declive de 150%. a) Trace o perfil longitudinal do terreno segundo o eixo da via e sobre ele implante o eixo da estrada; b) Trace perfis transversais de 50m em 50m e calcule o volume de terra movimentado; c) Represente as linhas de intersecção do terreno com os taludes de aterro e de escavação; d) Desenhe as curvas de nível correspondentes à nova superfície.

5 2 GEODESIA 1 Considere o elipsóide de Hayford, definido pelos parâmetros semi-eixo equatorial e achatamento: a = m, f = Considere o paralelo situado, à latitude 37º N, sobre o elipsóide de Hayford. Determine os valores do raio de curvatura da secção normal principal, do raio de curvatura do meridiano e do raio de curvatura médio para a latitude dada. Determine o raio de curvatura do paralelo. 2 Considere o elipsóide do WGS84, definido pelos parâmetros semi-eixo equatorial e achatamento: a = m, f = Considere o paralelo situado, à latitude 37º N, sobre o elipsóide de WGS84. Determine os valores do raio de curvatura da secção normal principal, do raio de curvatura do meridiano e do raio de curvatura médio para a latitude dada. Determine o raio de curvatura do paralelo. Compare com os resultados do exercício anterior. 3 Determine o valor do raio de curvatura da secção normal de azimute 45º do elipsóide do WGS84 num ponto à latitude geodésica φ = N. 4 Determine as coordenadas geodésicas cartesianas tridimensionais do vértice IST, associadas ao datum geodésico Hayford-Melriça. Calcule a distância do vértice ao centro do elipsóide. Admita que, no vértice, a ondulação do Geóide tem o valor N = 2.341m. 5 Com recurso ao modelo de Molodensky, determine as correcções que deve adicionar às coordenadas geodésicas do vértice IST, relativas ao datum Hayford-Lisboa, para obter as suas coordenadas geodésicas relativas ao WGS84. 6 Será que existe uma vizinhança, em torno dos vértices, na qual se podem usar as mesmas correcções de Molodensky, para transformar as coordenadas geodésicas relativas a diferentes data geodésicos? Use o exercício anterior como exemplo. Experimente atribuir acréscimos Norte-Sul e Este-Oeste (30, por exemplo) às coordenadas geodésicas do vértice IST e calcule as correcções correspondentes. 7 a) Calcule o comprimento do arco de paralelo entre os pontos à latitude 39º 40 N situados às longitudes 4º 15 WGrw e 2º EGrw. b) Porque razão as transformações de coordenadas de um datum para outro não são exactas? c) Qual a função da Rede Geodésica Nacional? 8 Suponha que pretende representar a carta geológica portuguesa, geo-referenciada no sistema de coordenadas Bessel-Bonne Datum Lisboa, em conjunto com a rede rodoviária espanhola, geo-referenciada com UTM Datum Europeu Indique as operações de transformação que teria que realizar e os parâmetros que necessitaria de conhecer. 9 Em que situações é vantajosa, por comparação com as transformações de Molodensky e de Bursa-Wolf, a utilização da transformação polinomial entre coordenadas cartográficas provenientes de dois sistemas de coordenadas diferentes. 3

6 10 Porque razão, ou razões, existem diversos data em uso e não um único datum para o mundo inteiro? 11 Qual a distância espacial (em linha recta) entre o vértice geodésico IST (ϕ IST = , λ IST = ) e um ponto situado oito graus a leste do seu antípoda, considerando que a altitude elipsoidal é 0 para ambos os pontos. Utilize o elipsóide de Hayford.

7 3 CARTOGRAFIA MATEMÁTICA 1 No caso da projecção cartográfica de Gauss-Krüger, a convergência do meridiano num ponto pode ser aproximada por λcosφ. Considerando o datum geodésico Hayford-Melriça, determine a variação da convergência do meridiano entre os vértices Brito e Restelo da rede geodésica de Lisboa. 2 Considere a projecção cartográfica de Gauss-Krüger. Considere um ponto (1) de um elipsóide de referência, com as coordenadas cartográficas: M 1 = m, P 1 = m Determine o valor da redução ao plano cartográfico a aplicar a uma distância s 12 = 1km, sobre o elipsóide, quando o ponto 2 se encontra respectivamente a Sul, a Oeste e a Sudeste do ponto 1. 3 Se projectasse num plano, uma esfera de raio R = 6 374km, mediante a projecção ortográfica, com o ponto central à latitude 39 Norte e à longitude 9 Oeste de Greenwich, quais as coordenadas resultantes para um ponto situado 1 a Oeste e 30 a Sul do ponto central? 4 Considere a projecção cartográfica de Eratóstenes, de uma esfera com raio R = 6371km, tomando o ponto central na intersecção do Equador com o meridiano de Greenwich. Considere uma porção da superfície do terreno cuja projecção na esfera (S) tem a área de 1km 2. Sabendo que as cidades de Faro e Bragança se situam aproximadamente às latitudes: φ Faro = 37º 05 N, φ Bragança = 41º 45 N determine a área da representação cartográfica de S, em Faro e em Bragança, respectivamente. 5 Considere a projecção cartográfica de Mercator, de uma esfera com raio R = 6371km, tomando o ponto central na intersecção do Equador com o meridiano de Greenwich. Sabendo que as cidades de Faro e Bragança se situam aproximadamente às latitudes: φ Faro = 37º 05, φ Bragança = 41º 45 determine a distância à perpendicular das duas cidades, compare com os comprimentos de arco de meridiano esféricos correspondentes e comente a diferença. 6 Considere as versões normal e transversa da projecção cartográfica de Mercator, de uma esfera de raio R = 6371km, com o ponto central na intersecção do Equador com o meridiano de Greenwich. Determine as coordenadas cartográficas, relativas às duas versões da projecção, de um ponto X, situado na região de Lisboa, com as coordenadas esféricas: φ X = 38º45 Norte, λ X = 9º 10 WGrw Comente as diferenças entre as distâncias à meridiana e as distâncias à perpendicular resultantes das duas projecções. 7 Para substituir um elipsóide por uma esfera, com finalidades cartográficas (escalas pequenas), usa-se a esfera de raio: R = (2/3) a + (1/3) b e substituem-se as latitudes geodésicas (φ) pelas latitudes geocêntricas (ϕ): 5

8 ϕ = arctg((1 e 2 ) Tan(φ)) Sabendo que as coordenadas geodésicas do vértice IST, relativas ao WGS84: φ IST = 38º Norte, λ IST = 9º WGrw calcule as coordenadas cartográficas (M e P) resultantes da projecção de Mercator transversa (versão esférica) do vértice IST, tomando para ponto central, o ponto central do novo sistema de projecção cartográfica do IGeoE. Nota: O IGeoE decidiu, recentemente, adoptar um novo sistema de projecção cartográfica baseado na projecção de Gauss-Kruger, no WGS84 e num ponto central com as coordenadas geodésicas: φ 0 = 39º N, λ 0 = 8º WGrw 8 Quais as coordenadas cartográficas do vértice IST (ϕist = ,1, λist = ,1 ), considerando a projecção ortográfica aplicada a um plano tangente num ponto de coordenadas: ϕ = ,0 λ = ,000 (Considere uma esfera com raio igual a 6374 km). 9 Na cartografia militar portugesa do território continental é feita uma translação para uma falsa origem situada 200km a Este e 300km a Sul do Ponto Central. Poderia ser feita directamente a projecção tendo esse ponto como ponto central da projecção? Os resultados seriam iguais? 10 Qual o efeito da utilização de um factor de escala inferior a um no sistema de projecção UTM?

9 4 NIVELAMENTO 1 Estacionou um nível óptico no centro de um triângulo equilátero com 20m de lado, cujos vértices são os pontos A, B e C. Seguidamente, fez as leituras: L A = 0.43m, L B = 1.96m, L C = 3.67m na escala de uma mira de 4m, que foi estacionada sucessivamente sobre os três vértices do triângulo. Admitindo que o ponto C se encontra à altitude H C = 35.00m, determine a que distância do ponto A, sobre o lado AB, se encontram os pontos de passagem das curvas de nível correspondentes à escala convencional 1/ Para ligar, por linha de nivelamento geométrico, dois pontos A e B de altitudes previamente conhecidas: H A = m, H B = m. foi necessário medir quatro desníveis. Sabendo que os desníveis observados foram: H A1 = 0.155m, H 12 = 0.765m, H 23 = 0.385m, H 3B = 0.665m determine e distribua o erro de fecho. Determine as altitudes corrigidas dos pontos intermédios da linha. 3 Para ligar, com uma linha de nivelamento geométrico, dois pontos de altitudes conhecidas: H A = m, H B = m foi necessário medir quatro desníveis entre os pontos distanciados cerca de 100m: H A1 = 1.563m, H 12 = m, H 23 = 1.317m, H 3B = 1.453m Sabendo que o comprimento da linha é cerca de 100m, proceda ao tratamento dos desníveis observados tendo em atenção a tolerância onde K é o comprimento da linha em quilómetros. t = K 12mm 4 Com um nível óptico, foi efectuado o registo de observações apresentado no quadro seguinte: Ponto Atrás Frente A 1.287m --- B 0.986m 2.765m C 2.100m 2.671m D 2.345m 1.294m E m Sabendo que H A = m e que H E = m, determine as altitudes dos pontos B, C e D. 7

10 5 Estacionado à altura de 0.32m no vértice de Montalvão (1) da rede geodésica de Lisboa, mediu com um teodolito e um DEM o ângulo zenital e a distância: Z 1Y = gon, S 1Y = m para um retro-reflector estacionado, à altura de 1.09m num ponto Y. Considerando o coeficiente de refracção vertical da trajectória igual a 0.80, determine a altitude ortométrica do ponto Y. 6 Com recurso a um taqueómetro electrónico, estacionado no vértice Poiais (1) da rede geodésica de Lisboa, foram medidos o ângulo zenital e a distância Z 12 = gon, S 12 = m para um ponto 2, situado a Sul do ponto 1, onde foi estacionado o retro-reflector do DEM. Sabendo que o valor de S 12 já inclui a correcção ambiental, determine a altitude do ponto 2 e a distância cartográfica c 12 entre os pontos 1 e 2. Considere o coeficiente de refracção da trajectória óptica entre 1 e 2 igual a As alturas do taqueómetro e do retro-reflector foram respectivamente 1.15m e 1.25m. 7 Com um taqueómetro electrónico estacionado no vértice Ajuda (1), à altura de 32cm, e um retroreflector estacionado sobre um ponto (X) do terreno, à altura de 1.22m, mediu o ângulo zenital e a distância: Z 1X = gon, S 1X = m Sabendo que o azimute cartográfico A 1X é aproximadamente nulo, determine o desnível ortométrico H 1X e a distância cartográfica c 1X. 8 Com um taqueómetro electrónico estacionado, a uma altura de 1.26m, sobre o vértice de Belém (B) da rede de Lisboa, observou o ângulo zenital e a distância: Z BX = gon, S BX = m para um retro-reflector estacionado num ponto do terreno (X) à altura de 1.09m. Sabendo que o azimute cartográfico A BX é muito próximo do azimute cartográfico do vértice Belém para o vértice Margiochi, determine a altitude ortométrica H X e a distância cartográfica c BX. 9 Com um taqueómetro electrónico estacionado, à altura de 1.25m, num ponto (X) do terreno, de coordenadas desconhecidas, foram medidos o ângulo zenital e a distância: Z XM = gon, S XM = m para um retro-reflector estacionado à altura de 0.30m sobre o vértice Montalvão (M) da rede geodésica de Lisboa. Simultaneamente, foram medidas a temperatura e a pressão atmosférica no ponto estação: T X = 32 C, P X = 745mmHg Sabendo que o DEM da estação total é baseado num laser Rubí e a sua atmosfera de referência é igual à atmosfera padrão, com excepção da temperatura de referência T R = 15 C, determine a altitude ortométrica do ponto X.

11 5 PLANIMETRIA 1 Dados os ângulos azimutais: A 123 = gon, A 432 = 90.00gon, A 345 = gon, A 254 = gon determine o azimute cartográfico (rumo) A 52, sabendo que o azimute cartográfico da direcção entre os pontos 1 e 2 é: A 12 = gon. 2 Determine o azimute cartográfico da direcção A 67 sabendo que: A 12 = gon, A 123 = gon, A 432 = gon, A 345 = gon, A 654 = 90.00gon, A 567 = gon. 3 Determine os ângulos internos do triângulo definido pelos pontos que têm as seguintes coordenadas cartográficas: Ponto M (m) P (m) A B C Considere as coordenadas cartográficas, relativas ao Hayford-Melriça, dos vértices da rede geodésica de Lisboa: Ajuda (1), Monsanto (2) e D. Pedro V (3). Determine o valor do ângulo azimutal orientado A 123. Converta o ângulo para os sistemas natural, sexagesimal e horário. 5 Determine o valor dos ângulos azimutais orientados A 213 e A 312, que deverá obter estacionando um teodolito no vértice Lisboa (1) e fazendo leituras azimutais para os vértices Ribeira (2) e D. Pedro V (3). Converta os resultados para os sistemas natural, sexagesimal e horário. 6 Com recurso a um taqueómetro electrónico estacionado no vértice geodésico Montalvão (1) e um alvo retro-reflector estacionado num ponto do terreno (3) de coordenadas topográficas desconhecidas, mediu, com origem no vértice geodésico Belém (2) o ângulo azimutal orientado e a distância, já reduzida ao plano cartográfico: A 213 = gon, c 13 = m. Determine as coordenadas cartográficas do ponto 3, relativas ao Datum Estacionou um taqueómetro electrónico no vértice geodésico Ajuda (A) e apontou para o vértice geodésico Montes Claros (M) e para um ponto X sobre o terreno. Obteve as seguintes leituras azimutais e distância reduzida ao plano cartográfico: L AM = gon, L AX = gon, c AX = m Determine as coordenadas cartográficas do ponto X, relativas ao datum 73. 9

12 8 Com um teodolito estacionado nos vértices Ajuda (1) e Monsanto (2) mediu os ângulos azimutais: A 213 = gon, A 123 = gon, para um ponto 3 de coordenadas desconhecidas. a) Represente esquematicamente a posição dos pontos 1, 2 e 3 relativamente à direcção do Norte Cartográfico. b) Determine as coordenadas cartográficas do ponto 3, relativas ao Datum Com um teodolito estacionado nos vértices de Montalvão (1) e Extremo W (3) efectuou as seguintes leituras azimutais: L 13 = gon, L 14 = gon, L 31 = , L 34 = gon para um ponto 4 de coordenadas desconhecidas. a) Represente esquematicamente a posição dos pontos 1, 3 e 4, relativamente à direcção do Norte cartográfico. b) Determine as coordenadas cartográficas do ponto 4, relativas ao Datum Com um teodolito estacionado nos vértices Ajuda (1) e num ponto Y de coordenadas desconhecidas mediu os ângulos azimutais: A 21Y = gon, A 1Y2 = gon onde 2 é o vértice Montes Claros da rede geodésica de Lisboa. a) Represente esquematicamente a posição dos pontos 1, 2 e Y, relativamente à direcção do Norte Cartográfico. b) Determine as coordenadas cartográficas do ponto Y, relativas ao Datum Com recurso a um teodolito, que estacionou, primeiro no ponto 3, de coordenadas topográficas desconhecidas, e depois no vértice geodésico Montes Claros (1), obteve as seguintes leituras azimutais: L 31 = gon, L 32 = gon, L 13 = gon, L 12 = gon onde 2 representa o vértice geodésico Tapada. a) Represente esquematicamente a posição relativa dos 3 pontos, em relação à direcção do Norte Cartográfico. b) Determine as coordenadas cartográficas do ponto 3, relativas ao Datum Com um teodolito, estacionado num ponto Y do terreno, observou sucessivamente os ângulos azimutais: A BYV = gon, A VYL = gon onde B, V e L simbolizam os vértices Instituto Botânico, D. Pedro V e Lisboa, da rede geodésica de Lisboa. a) Represente esquematicamente a posição dos pontos B, V, L e Y, relativamente à direcção do Norte Cartográfico. b) Determine as coordenadas cartográficas do ponto Y, relativas ao Datum Com um teodolito estacionado num ponto Y, foram visados os vértices Montes Claros (k), Tapada (i) e Margiochi (j), com as seguintes leituras azimutais: L k = gon, L i = gon, L j = gon.

13 Determine as coordenadas cartográficas do ponto Y, relativas ao Datum Com recurso a um taqueómetro electrónico estacionado no ponto 4, de coordenadas topográficas desconhecidas, do qual eram visíveis os vértices geodésicos Montes Claros (1), Tapada (2) e Margiochi (3), da rede geodésica de Lisboa, foram medidos os ângulos azimutais orientados: A 142 = gon, A 243 = gon a) Tendo em atenção os valores dos ângulos orientados, represente esquematicamente a posição relativa dos pontos 1, 2, 3 e 4, relativamente ao Norte Cartográfico. b) Determine as coordenadas cartográficas do ponto 4, relativas ao Datum Com recurso a um taqueómetro electrónico, estacionado sucessivamente nos pontos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, observou os seguintes ângulos azimutais (em gon): A 012 = , A 123 = , A 234 = , A 345 = , A 456 = , A 561 = e distâncias, já reduzidas ao plano cartográfico (em metros): c 12 = , c 23 = , c 34 = c 45 = , c 56 = , c 61 = Sabendo que as coordenadas cartográficas dos pontos 0 e 1 são: Ponto M (m) P (m) determine as coordenadas cartográficas dos pontos 2, 3, 4, 5 e 6, relativas ao Datum

14 6 FOTOGRAMETRIA 1 Uma fotografia do terreno obtida, com uma câmara fotogramétrica aerotransportada, apresenta a imagem de um tanque de planta quadrada. Sabendo que o eixo óptico da câmara se encontrava vertical, com o centro óptico à altura de 420m no momento da exposição, e que o lado do tanque, que tem 10m de comprimento, mede 5mm na imagem, determine o ângulo de abertura da câmara. 2 Considere uma cãmara fotogramétrica, com ângulo de abertura normal, transportada num avião, cujo sentido de voo é de Oeste para Este. Admita que o eixo óptico da câmara se encontra rigorosamente vertical no instante da exposição. Sabendo que as fotocoordenadas de um ponto P do terreno, bem identificado na imagem, são: x = 7.252mm, y = mm e que as diferenças entre as coordenadas cartográficas do ponto P e do centro óptico da câmara no momento da exposição são: M = 50m, P = 75m determine o desnível entre o ponto P e o centro óptico da câmara. 3 Pretende cobrir um elemento de terreno, com a forma de um rectângulo de 1.1km por 1.5km, com um único par estereoscópico de imagens fotográficas, com uma sobreposição longitudinal de 60%. Determine a altura de voo mínima, necessária para cobrir estereoscopicamente o elemento de terreno com uma câmara super grande angular. 4 Pretende realizar o levantamento aerofotogramétrico de uma faixa do terreno com 10km de comprimento e 1km de largura, para a elaboração de uma planta topográfica à escala 1:1000. Qual o número mínimo de fotografias à escala 1:5000, necessário para cobrir a faixa de terreno, com uma câmara normal, com uma só fiada, com uma sobreposição longitudinal de 65%?

15 ANEXO 1 FIGURAS 1

16 Figura 1 - Identificação de Erros de Representação

17 Figura 2 - Traçado de Linhas de Água e Linhas de Festo 3

18 Figura 3 - Carta Hipsométrica (escala 1/25000)

19 Figura 4 - Determinação de Cotas por Interpolação 5

20 Figura 5 - Pontos Cotados para Desenho de Curvas de Nível Escala 1/

21 Figura 6 - Carta de Declives (escala 1/10000) 7

22 Figura 7 - Carta de Visibilidades (escala 1/25000)

23 Figura 8 - Bacia Hidrográfica da Rib. da Lobagueira (escala 1/20000) 9

24 Figura 9 - Implantação de Barragem

25 Figura 10 - Implantação de Estrada (escala 1/2000) «11

26

27 1