CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2 Cinemática Isabelle Araújo Engenharia de Produção Myllena Barros Engenharia de Produção
Cinemática Na cinemática vamos estudar os movimentos sem levar em consideração suas causas. Isso quer dizer que vamos determinar a posição, a velocidade e a aceleração de um corpo em cada instante, sem nos preocuparmos com suas causas. 2/67
Conceitos de Movimento Referencial: Corpo de referência para ver se outro corpo está ou não em movimento; Ponto Material: Todo corpo cujas as dimensões não interferem no estudo. (depende do referencial) Corpo Extenso: Não pode ter massa desprezada. (não depende do referencial) 3/67
Conceitos de Movimento Movimento: Distância entre o corpo e o referencial varia com o tempo. Repouso: Distância entre o corpo e o referencial não varia com o tempo. Trajetória: Linha determinada, caminho percorrido por um corpo ao decorrer do tempo. 4/67
Conceitos de Movimento Posição Escalar: Distância do corpo até a origem das posições. Espaço percorrido: Todo o caminho percorrido. Deslocamento: Distância entre dois objetos. 5/67
Praticando... Leia com atenção a tira da Turma da Mônica mostrada a seguir e analise as afirmativas que se seguem, considerando os princípios da Mecânica Clássica. 6/67
Praticando... I. Cascão encontra-se em movimento em relação ao skate e também em relação ao amigo Cebolinha. II. Cascão encontra-se em repouso em relação ao skate, mas em movimento em relação ao amigo Cebolinha. III. Em relação a um referencial fixo fora da Terra, Cascão jamais pode estar em repouso. Estão corretas: a) apenas I b) I e II c) I e III d) II e III e) I, II e III 7/67
Deslocamento Escalar É a diferença entre espaço final (S f ) e o espaço inicial (S i ) do móvel. Digite a equação aqui. s= S f S i 8/67
Distância Percorrida É a soma de todos os deslocamentos. d = d 1 + d 2 9/67
Praticando... Um móvel parte do km 50, indo até o km 60, onde, mudando o sentido do movimento, vai até o km 32. O deslocamento escalar e a Distância efetivamente percorrida são, respectivamente: a) 28 km e 28 km d) 18 km e 18 km b) 18 km e 38 km e) 38 km e 18 km c) -18 km e 38 km 10/67
Velocidade Escalar Média É a razão entre o deslocamento ( s ) e o correspondente intervalo de tempo ( t ): V m = s t 11/67
Praticando... Maria saiu de Mosqueiro às 6 horas e 30 minutos, de um ponto da estrada onde o marco quilométrico indicava km 60. Ela chegou a Belém às 7 horas e 15 minutos, onde o marco quilométrico da estrada indicava km 0. A velocidade média, em quilômetros por hora, do carro de Maria, em sua viagem de Mosqueiro até Belém, foi de: a) 45 d) 80 b) 55 e) 120 c) 60 12/67
Aceleração Escalar Média É a razão entre a variação da velocidade escalar instantânea ( v ) e o correspondente intervalo de tempo ( t ). A m = v t 13/67
Praticando... Um carro de corrida é acelerado de forma que sua velocidade em função do tempo é dada conforme a tabela. Determine o valor da aceleração média desse carro. R: 6,66 m/s² 14/67
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Movimento Vertical QUEDA LIVRE No vácuo, todos os corpos soltos simultaneamente de uma mesma altura chegam ao solo ao mesmo tempo e com a mesma velocidade. 16/67
Movimento Vertical Aceleração da gravidade(g) = 9,8m/s² Como a aceleração da gravidade de queda livre é vertical e para baixo, podemos representá-la pelo vetor: 17/67
Movimento Vertical Gráfico da evolução Velocidade x Tempo 18/67
Equações: Função horária do espaço Função horária da velocidade Torricelli 19/67
Praticando... Uma bola é abandonada do repouso de uma altura de 80 m acima do solo. Despreze a resistência do ar e considere g=10m/s². Determine: a) A função horária do espaço, a função da velocidade e a equação de Torricelli para o movimento da bola, considere a trajetória orientada para baixo com a origem no ponto em que o corpo foi abandonado. b) O tempo em que a bola demora para chegar ao solo. c) a velocidade da bola ao atingir o solo. R.: a) s = 5t², v= 10t, v²=20(s-s0) b) t = 4s c) v = 40m/s 20/67
Lançamento Vertical A diferença entre a queda livre a partir do repouso e o lançamento vertical reside nas condições iniciais. No lançamento vertical a velocidade inicial não é nula, mas continua valendo a propriedade de que os corpos, sob ação exclusiva da atração gravitacional, têm a mesma aceleração. Subida: retardado uniformemente, pois a velocidade e a aceleração tem sinais diferentes. Descida: acelerado uniformemente. 21/67
Equações: Altura máxima: (v = 0) em Torricelli O tempo de subida = tempo de descida O tempo total = tempo de subida + tempo de descida 22/67
Praticando... Do alto de uma torre, a uma altura de 35m em relação ao solo, um corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30m/s. Despreze a resistência do Ar e considere g=10m/s². Determine: a) O tempo até o corpo atingir o ponto de altura máxima; b) A altura máxima atingida pelo corpo,em relação ao ponto de lançamento e ao solo. c) Quanto tempo, desde o lançamento, o corpo demora para atingir o solo. R: a) 3,0 s b) 45 m, 80m c)7,0 s 23/67
Lançamento Horizontal Quando um corpo lançado horizontalmente entra em queda, ele descreve uma trajetória parabólica até atingir o solo. 24/67
Lançamento Horizontal Direção horizontal (eixo Ox) O movimento é retilíneo e uniforme, ou seja, a velocidade é constante e não-nula. x = x o + v o t x = v o t s = s o + v o t 25/67
Equações: Direção vertical(eixo Oy) O movimento é retilíneo acelerado uniformemente, ou seja, a velocidade aumenta uniforme com o tempo e seu módulo é dado por vy = gt. Y = (gt²) /2 26/67
Equações: Para obter a equação da trajetória (coordenada y em função de x), isola t em I e substitui em II. Desse modo: 27/67
Praticando... Um corpo é lançado horizontalmente com velocidade de 20m/s do alto de um prédio de 20 m de altura, g = 10m/s². Determinar: o tempo de queda, o ponto onde o corpo atinge o solo e a velocidade do corpo ao atingir o solo. R: Tempo 2,0s ; x= 40m ; v=20. 2 28/67
Lançamento Oblíquo Considerando um lançamento oblíquo, devemos relacionar a velocidade inicial e o ângulo de lançamento com o alcance e do jato e a altura máxima atingida por ele. Para tal, decompõe-se as forças em duas direções, vertical e horizontal: 29/67
Lançamento Oblíquo É a composição de dois movimentos: No movimento horizontal(ox): v0cos No movimento vertical(oy): v0,y = v0sen, o movimento é retardado (do lançamento até a altura máxima) e depois acelerado (do ponto de altura até o solo). 30/67
Equações: Direção Horizontal (Ox) x = v o cosθ t Direção Vertical (Oy) y o = v o senθ gt y = v o senθ t gt² 2 31/67
Equações: Tempo de Vôo t subida = t descida = v osenθ g t vôo = t subida + t descida 32/67
Equações: Altura Máxima h máximo = (v o. senθ)² 2g 33/67
Praticando... Numa competição nos jogos de Winnipeg, no Canadá, um atleta arremessa um disco com velocidade de 72 km/h, formando um ângulo de 30º com a horizontal. Desprezando-se os efeitos do ar, a altura máxima atingida pelo disco é: (g 10 m/s²) a) 5,0 m d) 25,0 m b) 10,0 m e) 64,0 m c) 15,0 m 34/67
Obrigada pela atenção! www.ufal.edu.br www.facebook.com/petengenharias 35/67