Livro Eletrônico Aula Matemática p/ INMETRO - Técnico (Cargos 7, 8 e 1) Professor: Arthur Lima
!! AULA (demonstrativa) SUMÁRIO PÁGINA 1. Apresentação 1 2. Edital e cronograma do curso 2 3. Resolução de questões da IDECAN 4 4. Questões apresentadas na aula 17 5. Gabarito 22 1. APRESENTAÇÃO Olá! Neste curso abordaremos os tópicos de Matemática presentes na parte de Conhecimentos Específicos do edital para o concurso de Técnico do INMETRO, cargos 7, 8 e 1. Conforme edital recém-publicado, este concurso será realizado pela IDECAN em 1/2/215. Caso você não me conheça, segue uma breve introdução. Sou Engenheiro Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), e trabalhei por 5 anos no mercado de aviação, até ingressar no cargo de Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil. Neste curso abordaremos todo o conteúdo previsto no edital, vendo tanto a parte teórica como a resolução de questões. A propósito, resolveremos juntos mais de 4 exercícios, incluindo questões elaboradas pela IDECAN, em especial aqueles cobrados nos concursos dos últimos anos. Também trabalharemos várias questões de outras bancas com estilo de cobrança similar, para você exercitar bastante. Além disso, você terá acesso a vídeo-aulas que gravei sobre os temas do seu edital, para diversificar o seu método de estudo. Gostaria de terminar esta introdução dizendo que estarei disponível diariamente para tirar dúvidas através do fórum disponível na área do aluno. Caso você queira tirar alguma dúvida comigo antes de adquirir o curso, escreva para arthurlima@estrategiaconcursos.com.br.
2. EDITAL E CRONOGRAMA DO CURSO!! Inicialmente, transcrevo abaixo os tópicos do edital que serão cobertos neste curso: Conhecimentos Específicos Cargo 7: 1 Conhecimentos básicos de matemática (Teoria dos conjuntos; Números; Cálculos algébricos; Funções; Geometria plana; Geometria no espaço; Trigonometria; Sequências numéricas; Sistemas de equações lineares; Geometria analítica; Números complexos; Polinômios). Conhecimentos Específicos Cargo 8: 7.Matemática: Teoria dos conjuntos. Conjuntos numéricos. Relações. Funções eequações polinomiais e transcendentais (exponenciais, logarítmicas e trigonométricas). 8. Análise combinatória, progressão aritmética, progressão geométrica e probabilidade básica. 9. Matrizes, Determinantes e Sistemas lineares. 1. Geometria plana: Áreas e perímetros. 11. Geometria espacial: áreas e volumes. Conhecimentos Específicos Cargo 1: 8. Matemática Geral: Teoria dos conjuntos. Conjuntos numéricos. Relações. Funções e equações polinomiais e transcendentais (exponenciais, logarítmicas e trigonométricas). 9. Análise combinatória, progressão aritmética, progressão geométrica e probabilidade básica. Matrizes, Determinantes e Sistemas lineares. 1. Geometria plana: Áreas e perímetros. 11. Geometria espacial: áreas e volumes. Nosso curso será dividido em 8 aulas, além desta aula demonstrativa. Segue abaixo o calendário previsto:
====!! Publicação Número da Aula 19/11 Aula demonstrativa 26/11 Aula 1 - Conjuntos numéricos 4/12 Aula 2 - Teoria dos conjuntos. 11/12 Aula 3 - Análise combinatória 18/12 Aula 4 - Probabilidade básica 25/12 Aula 5 - Geometria plana: Áreas e perímetros. Geometria espacial: áreas e volumes. Aula 6 - Relações. Funções e equações polinomiais e transcendentais 2/1 (exponenciais, logarítmicas e trigonométricas). Progressão aritmética, progressão geométrica. Matrizes, Determinantes e Sistemas lineares. 9/1 Aula 7 - tópicos adicionais para o cargo 7 (números complexos) 12/1 Aula 8 - Resumo teórico Como já disse, além de um completo curso escrito (em PDF), você terá acesso a vídeo-aulas sobre os tópicos mais importantes do seu edital, como uma forma de diversificar o seu estudo. Sem mais, vamos ao curso.
3. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DA IDECAN!! Nesta aula demonstrativa vamos resolver 1 questões da IDECAN sobre tópicos variados do seu edital. O objetivo é permitir que você conheça o estilo da banca, faça uma auto-avaliação, bem como avalie a minha forma de lecionar. É natural que você tenha alguma dificuldade neste momento, afinal ainda não vimos os tópicos teóricos relativos a cada assunto. Vamos começar? Sugiro que você leia a questão e tente resolvê-la antes de ver a resolução comentada. 1. IDECAN CREFITO/PR 213) Numa festa foram servidos doces e salgados num total de 375 unidades. Se no final da festa sobraram um quinto dos doces e um quarto dos salgados, totalizando 86 unidades, então, quantos salgados foram preparados a mais do que doces? A) 6. B) 63. C) 65. D) 7. E) 72. RESOLUÇÃO: Sejam D e S o número de doces e salgados servidos. Sabemos que: D + S = 375 D = 375 S No final da festa sobraram um quinto dos doces e um quarto dos salgados, totalizando 86 unidades: D/5 + S/4 = 86 (375 S)/5 + S/4 = 86
!! Podemos multiplicar todos os termos por 2 (que é igual a 5 x 4) para eliminar os denominadores: 375 S S 2 + 2 = 2 86 5 4 ( S ) 4 375 + 5S = 172 D = 375 S D = 375 22 D = 155 doces Portanto, o número de salgados que foram servidos a mais do que doces é igual a 22 155 = 65. RESPOSTA: C 2. IDECAN PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO 213) A razão entre a idade de Cláudio e seu irmão Otávio é 3, e a soma de suas idades é 28. Então, a idade de Marcos que é igual a diferença entre a idade de Cláudio e a idade de Otávio é A) 12. B) 13. C) 14.
D) 15.!! E) 16. RESOLUÇÃO: Sendo C e O as idades de Cláudio e Otávio, respectivamente, temos que: C / O = 3 e C + O = 28 Na primeira equação, podemos escrever que C = 3 x O. Substituindo C por 3 x O na segunda equação, temos: 3 x O + O = 28 4 x O = 28 O = 28 / 4 = 7 anos Portanto, C = 3 x O = 3 x 7 = 21 anos A idade de Marcos é igual a diferença entre a idade de Cláudio e a idade de Otávio, ou seja, Marcos = 21 7 = 14 anos RESPOSTA: C 3. IDECAN PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO 213) Os preços de alguns produtos de uma loja foram tabelados abaixo.
!! Jorge comprou um item de cada produto da tabela e obteve um desconto de 2%, pagando um total de R$22,8. O preço do produto mais caro da tabela é A) R$12,. B) R$14,. C) R$15,. D) R$16,. E) R$18,. RESOLUÇÃO: Repare que 22,8 reais é o valor que Jorge pagou após a aplicação do desconto de 2%. Isto é, Valor com desconto = (1 2%) x Valor sem desconto 22,8 =,8 x Valor sem desconto Valor sem desconto = 22,8 /,8 = 276 reais Este valor sem desconto é a soma dos preços de cada item, ou seja, 276 = 4x 4 + 5x + x/2 + x 8 + 8x 8 276 = 18x + x/2 2 276 + 2 = 36x/2 + x/2
!! 296 = 37x/2 296. 2 = 37x 592 = 37x x = 16 Portanto, o preço de cada produto é: Camisa = 4.16 4 = 6 Calça = 5.16 = 8 Meia = 16/2 = 8 Cinto = 16 8 = 8 Sapato = 8.16 8 = 12 O item mais caro (sapato) custa 12 reais. RESPOSTA: A 4. IDECAN PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO 213) Renato é mais velho que Jorge de forma que a razão entre o número de anagramas de seus nomes representa a diferença entre suas idades. Se Jorge tem 2 anos, a idade de Renato é A) 24. B) 25. C) 26. D) 27. E) 28.
RESOLUÇÃO:!! O nome RENATO é formado por 6 letras, sem repetição. E o nome JORGE é formado por 5 letras, sem repetição. O número de anagramas em cada caso é dado pela permutação simples das letras, ou seja: RENATO P(6) = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 72 JORGE P(5) = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 12 A razão entre o número de anagramas é 72 / 12 = 6. Assim, se Jorge tem 2 anos, então Renato possui 2 + 6 = 26 anos. RESPOSTA: C 5. IDECAN COREN/MA 213) Um avião apresenta 3 poltronas para os passageiros distribuídas e numeradas conforme indicado na figura. Sobre as numerações das poltronas é correto afirmar que a(s) A) a poltrona 23 fica no corredor do lado direito. B) a poltrona 229 fica na janela do lado esquerdo. C) as poltronas 135 e 136 ficam no mesmo lado do avião. D) a poltrona 27 não fica nem na janela nem no corredor. E) as poltronas 189 e 19 ficam no lado esquerdo do avião. RESOLUÇÃO:
!! Vamos analisar cada alternativa: A) a poltrona 23 fica no corredor do lado direito. Repare que 23 dividido por 6 deixa resto igual a 2. Os números que deixam resto igual a 2 quando divididos por 6 são: 2, 8, 14 etc. Estes números estão na fileira do meio, do lado esquerdo. B) a poltrona 229 fica na janela do lado esquerdo. Repare que 229 dividido por 6 deixa resto 1. Os números que deixam resto igual a 1 quando divididos por 6 são: 1, 7, 13 etc. Estes números estão de fato na janela do lado esquerdo. CORRETO. C) as poltronas 135 e 136 ficam no mesmo lado do avião. Veja que 135 dividido por 6 deixa resto 3. Os números que deixam resto 3 quando divididos por 6 estão no corredor do lado esquerdo (3, 9,...). Seguindo a numeração, o 136 será no corredor do lado direito. D) a poltrona 27 não fica nem na janela nem no corredor. esquerdo. Veja que 27 dividido por 6 deixa resto 3, ficando no corredor do lado E) as poltronas 189 e 19 ficam no lado esquerdo do avião. Repare que 189 dividido por 6 deixa resto 3, ficando no corredor do lado esquerdo. Seguindo a numeração, o 19 ficará no corredor do lado direito. RESPOSTA: B
!! 6. IDECAN COREN/MA 213) A metade da idade de Leonardo mais o dobro da idade de seu filho Tiago é igual a 51 anos. Se a soma das idades de pai e filho é igual a 72, então quantos anos Leonardo tinha quando Tiago nasceu? A) 39 B) 42 C) 46 D) 48 E) 52 RESOLUÇÃO: Seja L a idade de Leonardo e T a de Tiago hoje. Foi dito que: - a metade da idade de Leonardo mais o dobro da idade de seu filho Tiago é igual a 51 anos: L/2 + 2T = 51 - a soma das idades de pai e filho é igual a 72: L + T = 72 Nesta última equação, podemos escrever que L = 72 T. Voltando à primeira equação (L/2 + 2T = 51), podemos substituir L por 72 T, ficando com: 72 T + 2T = 51 2 72 T 2 + 2T 2 = 51 2 2 72 T + 4T = 12
!! 3T = 12 72 3T = 3 T = 1 Portanto, L = 72 T = 72 1 = 62 anos. Assim, hoje Leonardo tem 62 anos e Tiago tem 1 anos. Assim, há 1 anos atrás, quando Tiago nasceu, Leonardo tinha 62 1 = 52 anos. RESPOSTA: E 7. IDECAN AGU 214) Uma torneira enche um tanque de 7,68 m 3 em 4 horas. Sabendo-se que 1 m 3 equivale a 1. litros, é correto afirmar que a vazão, em litros por minuto, dessa torneira, é A) 32. B) 1,92. C) 19,2. D) 192. E),32. RESOLUÇÃO: Inicialmente, veja que: 1 m 3 ------------------ 1. litros 7,68 m 3 ------------------ L litros Temos acima uma regra de três simples, que pode ser resolvida efetuando a multiplicação cruzada : 1 x L = 7,68 x 1. L = 7.68 litros Queremos saber a vazão em litros por minuto. Sabemos que 7,68 m 3 (ou 7.68 litros) vazam em 4 horas. Note que 1 hora corresponde a 6 minutos, de
!! modo que 4 horas correspondem a 4 x 6 = 24 minutos. Assim, podemos saber quantos litros vazam em 1 minuto: 7.68 litros -------------- 24 minutos N litros ------------- 1 minuto 7.68 x 1 = N x 24 7.68 = N x 24 7.68 / 24 = N 32 litros = N por minuto. Portanto, em 1 minuto vazam 32 litros, de modo que a vazão é de 32 litros RESPOSTA: A 8. IDECAN COREN/MA 213) Beatriz ganhou duas caixas de bombons, uma grande e uma pequena. Considere que ela comeu 2/3 dos bombons da caixa grande mais 7 bombons e ainda sobraram 9. Sabe-se que na caixa pequena havia inicialmente metade dos bombons da caixa grande. Quantos bombons Beatriz ainda possui? A) 29 B) 31 C) 33 D) 35 E) 37 RESOLUÇÃO: Seja P o número de bombons que havia na caixa pequena inicialmente. Isto era metade do que havia na caixa grande, ou seja, esta possuía 2P bombons no início.
!! 2 Beatriz comeu 2/3 dos bombons da caixa grande, ou seja, 2P. E comeu 3 também mais 7 bombons. Ao final, sobraram: Sobra = Caixa grande Consumido 2 9 = 2P 2P 7 3 6P 4P 16 = 3 3 2P 16 = 3 P = 24 Portanto, Beatriz tem os 9 bombons que sobraram na caixa grande, e mais os 24 bombons da caixa pequena, totalizando 33 bombons. RESPOSTA: C 9. IDECAN PREF. CARANGOLA/MG 212 adaptada) Sejam os conjuntos A = { 3, 4, 9, 1}, B = { 2, 1, 4, 5, 1} e C = { 4, 3, 1,, 2, 4, 9}. O conjunto (AUB) C possui A) 2 números negativos e 2 positivos. B) 2 números positivos e um negativo. C) 1 número negativo e um positivo. D) apenas um número e este é negativo. E) apenas um número e este é positivo. RESOLUÇÃO:
!! A união entre os conjuntos A e B é formada pelos elementos que pertencem ao conjunto A, ao conjunto B, ou a ambos. Isto é, AUB = {-3, -2, -1, 4, 5, 9, 1} A intersecção entre este conjunto acima e o conjunto C é dada pelos elementos em comum, aqueles presentes simultaneamente nos conjuntos AUB e C: (AUB) C = {-3, -1, 4, 9} RESPOSTA: A 1. IDECAN AGU 214) Em um setor de uma determinada empresa trabalham 3 pessoas, sendo 2 mulheres. Uma comissão de 3 funcionários será formada, de forma aleatória, por sorteio. A probabilidade de esta comissão ser formada por pessoas do mesmo sexo é, aproximadamente, A) 17%. B) 2%. C) 27%. D) 31%. E) 35%. RESOLUÇÃO: Sabemos que a probabilidade de um evento é dada pela divisão entre o número de casos favoráveis (ou seja, que atendem a condição do enunciado) pelo total de casos possíveis. Veja que temos 3 pessoas disponíveis. O total de comissões de 3 pessoas que podemos formar com base nessas 3 pessoas disponíveis é dado pelo cálculo da Combinação de 3 elementos em grupos de 3, ou seja: 3 29 28 1 29 14 C(3,3) = = = 1 29 14 = 46 3 2 1 1 1 1 Este é o total de casos possíveis. Os casos favoráveis são aqueles onde a comissão é composta por 3 pessoas do mesmo sexo.
!! O número de grupos de 3 pessoas que podemos formar a partir das 2 mulheres disponíveis é dado pela combinação: 2 19 18 1 19 6 C(2,3) = = = 1 19 6 = 114 3 2 1 1 1 1 O número de grupos de 3 pessoas que podemos formar a partir dos 1 homens disponíveis é dado pela combinação: 1 9 8 5 3 8 C(1,3) = = = 5 3 8 = 12 3 2 1 1 1 1 Logo, o total de casos favoráveis é de 114 + 12 = 126. A probabilidade de que um desses 126 casos favoráveis seja selecionado, dentro dos 46 casos possíveis, é: casos favoráveis 126 Probabilidade = = =,31 = 31% total de casos 46 RESPOSTA: D ************************** Pessoal, por hoje, é só!! Nos vemos na aula 1. Abraço, Prof. Arthur Lima arthurlima@estrategiaconcursos.com.br
!! 4. LISTA DAS QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 1. IDECAN CREFITO/PR 213) Numa festa foram servidos doces e salgados num total de 375 unidades. Se no final da festa sobraram um quinto dos doces e um quarto dos salgados, totalizando 86 unidades, então, quantos salgados foram preparados a mais do que doces? A) 6. B) 63. C) 65. D) 7. E) 72. 2. IDECAN PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO 213) A razão entre a idade de Cláudio e seu irmão Otávio é 3, e a soma de suas idades é 28. Então, a idade de Marcos que é igual a diferença entre a idade de Cláudio e a idade de Otávio é A) 12. B) 13. C) 14. D) 15. E) 16. 3. IDECAN PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO 213) Os preços de alguns produtos de uma loja foram tabelados abaixo.
!! Jorge comprou um item de cada produto da tabela e obteve um desconto de 2%, pagando um total de R$22,8. O preço do produto mais caro da tabela é A) R$12,. B) R$14,. C) R$15,. D) R$16,. E) R$18,. 4. IDECAN PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO 213) Renato é mais velho que Jorge de forma que a razão entre o número de anagramas de seus nomes representa a diferença entre suas idades. Se Jorge tem 2 anos, a idade de Renato é A) 24. B) 25. C) 26. D) 27. E) 28.
!! 5. IDECAN COREN/MA 213) Um avião apresenta 3 poltronas para os passageiros distribuídas e numeradas conforme indicado na figura. Sobre as numerações das poltronas é correto afirmar que a(s) A) a poltrona 23 fica no corredor do lado direito. B) a poltrona 229 fica na janela do lado esquerdo. C) as poltronas 135 e 136 ficam no mesmo lado do avião. D) a poltrona 27 não fica nem na janela nem no corredor. E) as poltronas 189 e 19 ficam no lado esquerdo do avião. 6. IDECAN COREN/MA 213) A metade da idade de Leonardo mais o dobro da idade de seu filho Tiago é igual a 51 anos. Se a soma das idades de pai e filho é igual a 72, então quantos anos Leonardo tinha quando Tiago nasceu? A) 39 B) 42 C) 46 D) 48 E) 52
!! 7. IDECAN AGU 214) Uma torneira enche um tanque de 7,68 m 3 em 4 horas. Sabendo-se que 1 m 3 equivale a 1. litros, é correto afirmar que a vazão, em litros por minuto, dessa torneira, é A) 32. B) 1,92. C) 19,2. D) 192. E),32. 8. IDECAN COREN/MA 213) Beatriz ganhou duas caixas de bombons, uma grande e uma pequena. Considere que ela comeu 2/3 dos bombons da caixa grande mais 7 bombons e ainda sobraram 9. Sabe-se que na caixa pequena havia inicialmente metade dos bombons da caixa grande. Quantos bombons Beatriz ainda possui? A) 29 B) 31 C) 33 D) 35 E) 37 9. IDECAN PREF. CARANGOLA/MG 212 adaptada) Sejam os conjuntos A = { 3, 4, 9, 1}, B = { 2, 1, 4, 5, 1} e C = { 4, 3, 1,, 2, 4, 9}. O conjunto (AUB) C possui A) 2 números negativos e 2 positivos. B) 2 números positivos e um negativo. C) 1 número negativo e um positivo. D) apenas um número e este é negativo. E) apenas um número e este é positivo.
!! 1. IDECAN AGU 214) Em um setor de uma determinada empresa trabalham 3 pessoas, sendo 2 mulheres. Uma comissão de 3 funcionários será formada, de forma aleatória, por sorteio. A probabilidade de esta comissão ser formada por pessoas do mesmo sexo é, aproximadamente, A) 17%. B) 2%. C) 27%. D) 31%. E) 35%.
5. GABARITO!! 1 C 2 C 3 A 4 C 5 B 6 E 7 A 8 C 9 A 1 D