Capítulo 2 Generalidades sobre unções 50 + 50 Avalia o que sabes Pág. 62 1. Número de lados do hexágono: 6 Número de diagonais do hexágono: 9 A razão entre o número de lados e o número de diagonais é dada por: 6 = 2 9 3 Resposta: (B) 2. Exclui-se a opção (A) pois 0 P. Exclui-se a opção (B) dado que 5 não pertence a P. Exclui-se a opção (D) pois qualquer número inteiro inerior a cinco não positivo não pertence a P. Resposta: (C) 3. Exclui-se a opção (A) pois 5 B. Exclui-se a opção (B) dado que 12 B. O conjunto B não pode ser deinido como o conjunto dos múltiplos de 3 uma vez que existem múltiplos de três, por exemplo, 18 que não pertence a B. Resposta: (D) 4. Exclui-se a opção (A) pois se o António, a uma velocidade constante percorreu 60 km em quatro horas, signiica que em cada hora percorreu 60 4 km, ou seja, 15 km. 60 50 4 x Analisemos a opção (B): estabelecendo uma proporção, tem-se: = x = 3, ( 3) Portanto, o António para percorrer 50 km demoraria 3 h 20 min. Exclui-se a opção (B). Analisemos a opção (C): d Sabe-se que d = vt, ou seja, v =. Uma vez que a velocidade é constante e igual a t 60 d km/h, temos que 15 =. 4 t Assim, as grandezas espaço percorrido e o tempo são diretamente proporcionais cuja constante de proporcionalidade é 15 km/h que, no contexto da situação, representa a distância percorrida pelo António numa hora. A opção (D) exclui-se de acordo com o que reerimos no texto anterior. Resposta: (C) Capítulo 2 Página 1
50 + 50 Avalia o que sabes Pág. 63 5.1. Às 12 horas. 5.2. Durante 2 horas. 5.3. A viagem da amília Faria durou 5 horas. 5.4. A amília Faria vive a 240 km de Lisboa. 5.5. Observando o gráico conclui-se que dois pastéis de Belém custaram 1,50. 5.6. Para um custo de 2,25 pode-se comprar três pastéis de Belém. 5.7. Se o preço da unidade se mantiver constante, então uma dúzia custará o dobro de meia dúzia, isto é, 2 4,50 = 9,00. Assim, uma dúzia custará 9. 5.8. Se o preço de um pastel se manteve constante, a mãe da Isabel comprou 16,50 0,75 pastéis, ou seja, 22 pastéis de Belém. Aplicar Pág. 67 1.1. Construindo um reerencial ortogonal e monométrico, obtém-se: 1.2. a) Os pontos que estão sobre o eixo Ox, ou eixo das abcissas, têm ordenada nula, como é o caso dos pontos E e H. Capítulo 2 Página 2
b) Os pontos que estão sobre Oy, ou eixo das ordenadas, têm abcissa nula, como é o caso dos pontos G e F. c) Os pontos que estão sobre os quadradntes ímpartes, têm abcissa e ordenada simultaneamente positiva (no caso de estarem no 1.º quadrante) ou negativa (no caso de estarem no 3.º quadrante). Portanto, ao primeiro quadrante pertencem os ponto A e I. Ao segundo quadrante pertence o ponto C. Concluindo, os pontos A, C e I estão nos quadrantes ímpares. d) Os pontos que estão sobre os quadrantes pares têm as coordenadas com sinais contrários; se tiverem abcissa negativa e ordenada positiva pertencem ao 2.º quadrante; se tiverem abcissa negativa e ordenada negativa pertencem ao 4.º quadrante. Assim, ao segundo quadrante pertencem os pontos B e J. Ao quarto quadrante pertence o ponto D, os pontos B, D e J pertencem aos quadrantes pares. Aplicar Pág. 69 1.1. É unção, pois a cada elemento do conjunto A corresponde um e um só elemento do conjunto B. 1.2. Não é unção, pois ao elemento Rute do conjunto C não corresponde qualquer elemento do conjunto D. 1.3. Não é unção, pois ao elemento Fevereiro do conjunto E correspondem dois elementos do conjunto F. 2.1. Por exemplo: Qualquer correspondência que a cada elemento do conjunto A az corresponder um e um só elemento do conjunto B é uma resposta correta. 2.2. Por exemplo: Capítulo 2 Página 3
Qualquer correspondência que a cada elemento do conjunto C az corresponder um e um só elemento do conjunto D é uma resposta correta. 3. O divisor de 1 é apenas o próprio 1; os divisores de 3 são 1 e 3; os divisores de 4 são 1, 2 e 4; os divisores de 5 são 1 e 5. Portanto, temos o seguinte diagrama de setas: No entanto, não se trata de uma unção, pois há elementos de A que correspondem a mais do que um elemento de B: 3, 4 e 5 têm mais do que um divisor. 4.1. A correspondência é uma unção, pois a cada número de telemóvel apenas uma pessoa tem esse número. 4.2. A correspondência é uma unção, pois a cada número do cartão de cidadão está associada apenas uma pessoa com esse número. 4.3. A correspondência não é uma unção, pois a cada país correspondem várias capitais do distrito. 4.4. A correspondência é uma unção, pois cada número racional tem um único número. 1.1. Domínio de : D = { 5, 6, 7} ; contradomínio de : D ' = { 1, 3} Conjunto de chegada: { 1, 2, 3, 4 } 1.2. Domínio de g : D = { 1, 2, 3} ; contradomínio de g : ' { 10} Conjunto de chegada: { 10, 20 } 2.1. D = { 1, 2, 3 } ; D ' = { 10, 12, 15} t t g D = ; Aplicar Pág. 71 2.2. Capítulo 2 Página 4
3.1. 3.2. D { 1, 3, 5, 7, 9 } ; D ' { 50, 56, 60, 63, 65} = = 3.3. 65 3.4. 5 3.5. x = 7 4. As unções e g assim deinidas têm o mesmo domínio, o conjunto A, e o mesmo conjunto de chegada, Q. Para além disso, ( n) g ( n) = para qualquer n A n um número par. Portanto, as unções e g são iguais., pois ( ) n n 1 = 1, sendo 1.1. a) D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } ; D ' = { 0; 0,25; 3; 3,5; 4,0; 4,5} b) ( ) ( ) 1 = 2,5 e 5 = 4,5 c) x = 3 Aplicar Pág. 73 1.2. Variável independente: número de quilómetros percorridos; variável dependente: custo da viagem em euros. 1.3. Os pares ordenados da orma ( ( )) x, x, x D, são: ( 0, 0 ); ( 1; 2,5 ); ( 2 ; 3,0 ); ( 3; 3,5 ); ( 4; 4,0 ); ( 5; 4,5 ) Portanto, o gráico de é dado pelo conjunto: G = {( 0, 0 ); ( 1; 2,5 ); ( 2 ; 3,0 ); ( 3; 3,5 ); ( 4; 4,0 ); ( 5; 4,5) } ' 2. Domínio de : D = { a, b, c} ; contradomínio de : D = { 1, 3, 7} Conjunto de chegada: { 1, 3, 4, 7 } Os pares ordenados da orma ( ( )) x, x, x A Portanto, o gráico de é deinido pelo seguinte conjunto: {(, 3 ); (, 1 ); (, 7) } G = a b c, são: ( a, 3 ); ( b, 1 ); ( c, 7) 3.1. É uma unção, pois a cada cor corresponde um e um só código RGB. Capítulo 2 Página 5
3.2. ( Preto) = ( 0, 0, 0 ); ( Laranja) = ( 225, 165, 0) 3.3. Variável independente: cor; variável dependente: código RGB. Aplicar Pág. 75 1.1. Inicialmente, a temperatura registada pelo João oi 60 ºC. Ao minuto 2 a temperatura registada oi 30 ºC. Portanto, passaram 2 minutos. 1.2. A temperatura máxima oi de 60 ºC. 1.3. Ao terceiro minuto a temperatura era de 20 ºC. Logo, a temperatura desceu ( 60 20 ) ºC, ou seja, 40 ºC. 1.4. a) ( 2) = 30 b) ( 5) = 10 c) O objeto que tem por imagem 50 é 1, ou seja, se ( x ) = 50, então x = 1. 1.5. A temperatura desceu até aos 10 ºC registada ao 5.º minuto. 1.6. A temperatura não se alterou entre o 5.º e o 6.º minuto. 1.7. Provavelmente de 10 ºC, pois a temperatura estabilizou nesse valor. 2.1. Correspondência (A) porque à abcissa 1 correspondem duas ordenadas, 0 e 2. ' 2.2. a) (B) : D = { 1, 2, 3 }; D = { 1, 2} ' (C) : D = { 1, 2, 3 }; D = { 0, 2, 4} ' (D) : D = { 1, 2, 3 }; D = { 1} b) Função em (B) : Função em (C) : Função em (D) : x y x y x y 1 1 2 2 3 1 1 4 2 2 3 0 1 1 2 2 3 1 Capítulo 2 Página 6
Aplicar Pág. 77 1.1. A temperatura mais elevada registou-se no dia 20 de janeiro às 16 horas. 1.2. A temperatura mais baixa registou-se no dia 21 de janeiro às 24 horas. 2.1. Determinemos o m.d.c. (2, x), sendo x D : m.d.c. (2, 1) = 1 Para x = 2, trata-se do mesmo número, pelo que o máximo divisor é 2. m.d.c. (2, 3) = 1 m.d.c. (2, 4) = 2 m.d.c. (2, 5) = 1 m.d.c. (2, 6) = 2 m.d.c. (2, 7) = 1 m.d.c. (2, 8) = 2 m.d.c. (2, 9) = 1 m.d.c. (2, 10) = 2 Logo, o contradomínio de é dado por {1, 2}. 2.2. 3.1. Para cada valor de x do domínio de g, é possível obter g (x) multiplicando x por 2. ( ) ( ) ( ) g 2 = 2 2 = 4 ; g 3 = 2 3 = 6 ; g 5 = 2 5 = 10 ' Logo, { 4, 6, 10} D =. g { } 3.2. O gráico de g é deinido pelo conjunto ( 2, 4 ), ( 3, 6 ), ( 5, 10) G =. g 4.1. Para cada valor de x no domínio de, o valor de (x) é igual à sua soma com dois. Assim, 0 = 0 + 2 = 2 ; 5 5 5 8 13 2 ; 4 = + = + = 4 4 4 4 2 = 2 + 2 = 4; 5 5 5 4 9 2 2 = + = + = 2 2 2 2 ( ) ( ) Logo, ' 13 9 D = 2,, 4, 4 2. Capítulo 2 Página 7
4.2. Atividades undamentais Pág. 78 1.1. Dado que o Pedro vem almoçar a casa, então nessa altura a distância a casa é zero. Desta orma, exclui-se a opção (A). Para além disso, o Pedro tem dois momentos de aulas, de amanhã e depois de almoço. Logo, exclui-se a opção (B). Resposta: (C) 1.2. Exclui-se a opção (B), pois o Pedro quando puxa a corda a bandeira sobe e não a deixa descair até a puxar novamente. Exclui-se a opção (C), pois a bandeira não está sempre à mesma altura do solo. Resposta: (A) 1.3. De acordo com as opções dadas, a resposta é (A). A opção (B) exclui-se pois, independentemente do tempo que o pai do Pedro estacionasse o carro nesse parque pagaria sempre o mesmo. A opção (C) exclui-se dado que o custo diminui ao longo do tempo o que não corresponde à realidade. 1.4. Normalmente, à medida que o custo do petróleo aumente, também aumenta o custo do litro de gasolina. Desta orma, exclui-se a opção (A) e exclui-se a opção (B). Resposta: (C) Atividades undamentais Pág. 79 2. A opção (A) é alsa, pois (2) = 20. A opção (B) é verdadeira, pois (6) = 40 e (7) = 40. A opção (C) é alsa, poi para x = 8, (x) = 50. A opção (D) é alsa, dado que (7) = 40 e (8) = 50. Capítulo 2 Página 8
3. Vamos determinar a quantos kwh corresponde a energia consumida por cada um dos três eletrodomésticos. Radiador: potência 1500 W, logo, signiica que consome numa hora 1,5 kwh. Como este eletrodoméstico esteve ligado hora e meia, consumiu ( 1,5 1,5 ) kw. Máquina de lavar roupa: potência 2200 W que corresponde a 2,2 kwh. Como esteve ligada durante 75 minutos, ou seja, 1,25 horas, então consumiu ( 2, 2 1,25 ) kw = 2,75 kw. Ferro de engomar: potência 800 W que corresponde a 0,8 kwh. Como esteve ligado uma hora, então consumiu 0,8 kw. Nesse dia, os três eletrodomésticos consumiram: ( 2, 25 + 2,75 + 0,8) kw = 5,8 kw Resposta: (D) Atividades undamentais Pág. 80 1.1. O João tem razão. A temperatura é unção da hora do dia, pois para cada momento está associado um único valor da temperatura. Por outro lado, a hora do dia não é unção da temperatura, pois para o mesmo valor da temperatura estão associados momentos distintos. Por exemplo, registou-se 3 ºC às 2 horas e às 24 horas. 1.2. ' 2.2. Domínio de : D = { a, c, e, } ; contradomínio de : D = { b, d, g} 2.3. O gráico da unção é deinido pelo conjunto G {( a, b), ( c, d ), ( e, d ), (, g )} =. ' 3.1. Domínio de g : D = { α, β, δ} ; contradomínio de : D = {,, } g 3.2. a) g ( β ) = b) g ( ) δ = g Capítulo 2 Página 9
Atividades undamentais Pág. 81 4.1. a) 1 1 = 2 = 1 2 2 c) g ( 0) = 0 d) ( ) b) ( 0) = 2 0 = 0 g 1 = 2 4.2. As unções e g têm o mesmo domínio e o mesmo conjunto de chegada. Vejamos se cada elemento do domínio tem a mesma imagem por e por g. 1 1 = 1= g 2 2 ( 0) = 0 = g ( 0) 1 1 2 1 = 2 = = g 3 3 3 3 ( 3) = 2 3 = 6 = g ( 3) Logo, as unções e g são iguais. ( 1) = 2 1= 2 = g ( 1) 5.1. Não, pois cada pessoa tem associado um único tipo de sangue. 5.2. Domínio da unção: D = { António, Alexandre, Armando, Mário} Contradomínio da unção: D ' = { AB, B, O} 5.3. A imagem de Mário é O. 5.4. Os objetos cuja imagem é AB são António e Alexandre. 6.1. O cartão sugere que a cada valor de x az corresponder o seu simétrico. 6.2. A correspondência é uma unção pois a cada valor de x do cartão está associado um único valor de y. 6.3. a) b) Capítulo 2 Página 10
6.4. Por exemplo: Elaborar um cartão onde a cada valor de x az corresponder o seu quadrado. x y 1 1 2 4 0 0 3 2 9 4 2 4 Exercícios, problemas e desaios complementares Pág. 82 1. É possível ormar 3 2 = 6 pares ordenados, onde o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo elemento do par pertence ao conjunto B. Assim, tem-se: {( 1, ); ( 2, ); ( 3, ); ( 1, ); ( 2, ); ( 3, ) } a a a b b b. 2.1. A( 2, 5 ); B ( 2, 2 ); H ( 0, 3) e I ( 4, 3) 2.2. a) A( 2, 5 ); D ( 2, 2) e F ( 2, 0) b) B ( 2, 2 ); C ( 0, 2 ); D ( 2, 2) e E ( 4, 2) c) D ( 2, 2) e G ( 2, 2) d) C ( 0, 2) e H ( 0, 3) e) F ( 2, 0) e J ( 5, 0) 2.3. O (0, 0) 2.4. a) Os pontos que pertencem ao quadrante ímpares têm abcissa e ordenada simultaneamente positiva (no caso de pertencerem ao 1.º quadrante) ou negativa (no caso de pertencerem ao 3.º quadrante). Assim, os pontos que pertencem aos quadrantes ímpares são: D, E e G. b) Os pontos que estão sobre os quadrantes pares têm coordenadas com sinais contrários, como é o caso dos pontos B e I. Capítulo 2 Página 11
Exercícios, problemas e desaios complementares Pág. 83 3.1. Não, pois o hexágono não tem os lados geometricamente iguais. Resposta: (B) 3.2. a) Por exemplo: A e B têm abcissa nula. C tem ordenada nula. b) Por exemplo: 3.3. C tem abcissa e ordenada nulas. A, B, D, E e F têm abcissas negativas. O polígono [ABCD] é um paralelogramo. 3.4. a) A( 3, 3 ); B ( 3, 3) e C ( 1, 1) b) E ( 3, 3) e D ( 3, 3) c) F ( 1, 1) Capítulo 2 Página 12
Exercícios, problemas e desaios complementares Pág. 84 4.1. A correspondência. Neste caso, a cada elemento do conjunto A corresponde um elemento único do conjunto B. No caso da correspondência g existe um elemento do conjunto A, 4, que não está associado a qualquer elemento do conjunto B. Logo, g não é uma unção. ' 4.2. a) Domínio de : D = { 0, 1, 2, 3} ; contradomínio de : D = { a, b} Conjunto de chegada: { a, b, c }. b) ( x) = a quando x toma os valores 0, 1, 2 ou 3. 5.1. A correspondência é uma unção pois a cada cor corresponde um único signiicado. 5.2. a) ( Azul) = Qualidade b) ( Vermelha) c) ( Amarela) = Banho = Perigo 5.3. O gráico de é deinido pelo seguinte conjunto de pares ordenados: G = {( Azul, Qualidade ), ( Verde, Nadar ), ( Amarela, Banho) ( Vermelha, Perigo ), ( Axadrezada, Sem vigilância)} Exercícios, problemas e desaios complementares Pág. 85 6.1. Uma unção numérica é uma unção cujo conjunto de chegada é um conjunto de números. Assim, as unções e g são unções numéricas. 6.2. Uma unção numérica de variável numérica é uma unção onde o domínio e o conjunto de chegada são conjuntos de números. A unção g é uma unção numérica de variável numérica. 7. Os gráicos (B), (C) e (D) não representam o gráico cartesiano de uma unção, dado que existem casos onde a uma mesma abcissa correspondem mais que uma ordenada. Resposta: (A) 8.1. Contradomínio de : ' 1 3 D = 0,, 1,, 2 2 2 8.2. A cada valor do domínio az associar a sua metade. Capítulo 2 Página 13
8.3. 9.1. Em cada par ordenado, o 1.º elemento corresponde a um único 2.º elemento. ' 9.2. Domínio da unção: D = { 1, 2, 0, 1} ; contradomínio da unção: D = { 0, 1, 2} 9.3. Exercícios, problemas e desaios complementares Pág. 86 10.1. Opção (A): Uma viagem de 2 km custa 5, enquanto uma viagem de 1 km custa 3. A airmação é alsa, pois 5 não é o dobro de 3. Opção (B): Uma viagem de 3 km custa 7, enquanto uma viagem de 6 km custa 13. Como 7 não é metade de 13 euros, então exclui-se a opção (B). Opção (C): Uma viagem de 4 km custa 9, enquanto uma viagem de 2 km custa 5. Como 9 não é o dobro de 5 euros, então a airmação é alsa. Resposta: (D) 10.2. t ( ) t ( ) t ( ) t ( ) 2 = 5; 4 = 9; 4 = 3 + 2 10.3. Capítulo 2 Página 14
11.1. Determinemos a imagem de cada objeto dada pela unção : ( 2) = 3 ( 2) + 1= 6 + 1= 5 ( ) ( ) 1 = 3 1 + 1= 3 + 1= 2 1 1 3 3 2 5 = 3 + 1= + 1= + = 2 2 2 2 2 2 ( 1) = 3 1+ 1= 3 + 1= 4 Portanto, D 5, 2,, 4 2. ' 5 = 11.2. O gráico de é deinido pelo conjunto de pares ordenados: G = 1 5 2 2 ( 2, 5 ), ( 1, 2 ),,, ( 1, 4) 11.3. 11.4. Para que duas unções e g sejam iguais têm de ter o mesmo domínio, o mesmo conjunto de chegada e (x) = g (x), para quaisquer x A. No caso apresentado, embora as unções e g terem o mesmo domínio e o mesmo conjunto de chegada, existem valores de x de A, tais que ( x) g ( x). Veja-se o caso de ( 1) = 4 e g ( 1) = 5. Concluindo, e g não são iguais. 6 11.4. a) Para que duas unções e g sejam iguais têm de ter o mesmo domínio, o mesmo conjunto de chegada e (x) = g (x), para quaisquer x A. No caso apresentado, embora as unções e g terem o mesmo domínio e o mesmo conjunto de chegada, existem valores de x de A, tais que ( x) g ( x) 5 = =. Concluindo, e g não são iguais. 6 de ( 1) 4 e g ( 1) b) Determinemos as imagens dos valores de x de A: 1 1 2 1 4 3 1 3 2 3 2 6 6 6 g ( 2) = ( 2) = = = g ( 1) ( 1). Veja-se o caso 1 1 1 1 2 3 1 = = = = 3 2 3 2 6 6 6 Capítulo 2 Página 15
1 1 1 1 1 1 1 3 4 2 g = = = = = 2 3 2 2 6 2 6 6 6 3 1 1 1 1 2 3 5 g ( 1) = 1 = = = 3 2 3 2 6 6 6 Logo, c) D g ' 5 2 1 1 =,,, 6 3 6 6. Exercícios, problemas e desaios complementares Pág. 87 12.1. Considerando o tempo de reação constante, a distância de reação (D r ) e a velocidade (v) a que circula o automóvel são grandezas diretamente proporcionais. Logo, podemos eetuar os seguintes cálculos para completar a tabela: D r (m) v (km/h) 30 ----------- 100 x ----------- 40 30 40 x = = 12 100 Se o automóvel circula a 40 km/h, a distância de reação é 12 m. D r (m) v (km/h) 30 ----------- 100 45 ----------- x 45 100 x = = 150 30 A distância de reação igual a 45 m está associada a uma velocidade de 150 km/h. D r (m) v (km/h) 30 ----------- 100 x ----------- 60 60 30 x = = 18 100 Se o automóvel circula a 60 km/h a distância de reação é 18 m. Capítulo 2 Página 16
D r (m) v (km/h) 30 ----------- 100 15 ----------- x 15 100 x = = 50 30 Para uma distância de reação 15 m está associada uma velocidade de 50 km/h. Completando a tabela, tem-se: Velocidade (km/h) Distância de reação (m) 40 12 150 45 60 18 50 15 12.2. Dr 30 = v ou 100 Dr 3 = v ou Dr = 0,3v, sendo o tempo de reação constante. 10 12.3. É verdade, desde que os outros atores se mantenham. Quanto menor or a distância de reação, menor é a velocidade a que circula o veículo durante o tempo de reação. Repara que a distância de segurança é obtida através da soma entre a distância de reação e a distância de travagem (depende do veículo, do estado do piso, etc.) Exercícios, problemas e desaios complementares Pág. 88 13.1. A airmação 1 é alsa, pois para o valor de P igual a 8 está associado mais que um valor para o número de segundos de conversação. Na verdade, ao valor 8 correspondem 1, 2, 3, 4, 5,, 60 segundos. A airmação 2 é verdadeira, pois a cada segundo de conversação está associado um único preço. 13.2 Horas a que se realizou a chamada (horas) Distância entre teleones (km) Tempo de conversação (segundos) Preço da chamada (cêntimos) 17 400 19 35 22 (horário económico) 10 (Local) 59 8 60 8 78 (18 segundos para além do 1.º minuto) 8 + 0,07 18 = 9, 26 Capítulo 2 Página 17
13.3. O João eetuou uma chamada nacional em horário normal. Ora, 2 minutos e 15 segundos correspondem os (120 + 15) segundos, isto é, 135 segundos. Como (135 60) segundos = 75 segundos, signiica que o tempo de conversação para além do 1.º minuto teve a duração de 75 segundos. Assim, o preço da chamada do João é dado por: P = 8 + 0,3 75 = 30,5 O João irá pagar 30,50 cêntimos pela chamada eetuada. Exercícios, problemas e desaios complementares Pág. 89 13.4. A Inês eetuou uma chamada nacional em horário económico. Sabe-se que 8 cêntimos dizem respeito a 60 segundos do tempo de conversação. Ora, 17,45 8 = 9,45 cêntimos. Signiica que, para além do 1.º minuto, a Inês gastou 9,45 cêntimos sendo que o preço, por segundo, é 0,21 cêntimo. Determinemos o tempo de conversação para além do 1.º minuto eetuando o quociente: 9,45 = 45. Portanto, a Inês eetuou uma hamada com duração de (60 + 45) segundos, ou 0,21 seja, 1 minuto e 45 segundos. 13.5. As chamadas entre o Pedro e a Ana são realizadas em horário económico. Durante três minutos e meio gastará 18,5 cêntimos. Sabe-se que nos primeiros 60 segundos, o custo da chamada é ixo e igual a oito cêntimos. Assim, para além do 1.º minuto a Ana e o Pedro gastaram na segunda-eira (18,5 8) cêntimos, ou seja, 10,5 cêntimos. Determinemos o custo por segundo eetuando o quociente 10,5 = 0,07 que corresponde ao preço de uma 150 chamada local. Assim, a distância entre a casa da Ana e do Pedro é inerior a 15 km. 14.5. O gráico representa uma unção, pois cada valor da abcissa, p, corresponde um único valor da ordenada, c. 14.2. O gráico representa uma unção, pois cada valor da abcissa, p, corresponde um único p 0 0,5 1 1,5 2 2,5 c 0 1,27 2,54 3,81 5,08 6,35 14.3. Domínio da unção: D = { 0; 0,1; 1; 1,5; 2; 2,5} Contradomínio da unção: D ' = { 0; 1,27; 2,54; 3,81; 5,08; 6,35} Capítulo 2 Página 18
14.4. Pela observação do gráico, o valor de c corresponde a 2,25 polegadas situa-se entre 6,35 e 5,08. Atendendo a que 1 polegada corresponde a 2,54 centímetros, então estima-se que 2,25 polegadas corresponderá a 2,25 2,54 cm, ou seja, a aproximadamente 5,715 cm. Exercícios, problemas e desaios complementares Pág. 90 15.1. a) 5 0,35 = 1,75. Um cliente que eetuasse uma chamada no tariário A com a duração de 5 segundos, pagaria 1,75 cêntimo. b) 10 0,35 = 3,50. Um cliente que eetuasse uma chamada no tariário A com a duração de 10 segundos, pagaria 3,50 cêntimos. c) 45 0,35 = 15,75. Um cliente que eetuasse uma chamada no tariário A com a duração de 45 segundos, pagaria 15,75 cêntimos. d) 2 minutos e 10 segundos correspondem a ( 2 60 + 10) segunods, ou seja, a 130 segundos. Assim, 130 0,35 = 45,50. Um cliente que eetuasse uma chamada no tariário A com a duração de 2 minutos e 10 segundos, pagaria 45,50 cêntimos 15.2. a) Um cliente que eetuasse uma chamada no tariário B com duração de 5 segundos pagaria 1,75 cêntimos, pois a duração da chamada é não superior a 10 segundos e, portanto, o preço é ixo. b) Tal como na questão anterior, um cliente que eetuasse uma chamada no tariário B com duração de 10 segundos pagará o valor de 1,75 cêntimo. c) Número de segundos para além dos dez primeiros: 35 segundos. Assim, tem-se: 1,75 + 0, 40 35 = 15,75. Um cliente que eetuasse uma chamada no tariário B com duração de 45 segundos pagaria 15,75 cêntimos. d) Como já vimos, 2 minutos e 10 segunos correspondem a 130 segundos. Portanto, para além dos primeiros 10 segundos (que tem custo ixo de 1,75 cêntimo) acresce o custo de 120 segunods a um preço de 0,40 cêntimo o segundo. Assim, tem-se: 1,75 + 0, 40 120 = 49,75 Um cliente que eetuasse uma chamada no tariário B com duração de 2 minutos e 10 segunos pagaria 49,75 cêntimos. 15.3. a) Determinemos as coordenadas dos pontos da orma (x, a(x)) e (x, b(x)), sendo x { 5, 10, 20, 30, 40, 45, 60} a ( 5) = 0,35 5 = 1,75 ( 5; 1,75 ) a ( 10) = 0,35 10 = 3,50 ( 10; 3,50) Capítulo 2 Página 19
a ( 20) = 0,35 20 = 7,00 ( 20; 7,00) a ( 30) = 0,35 30 = 10,5 ( 30; 10,5) a ( 40) = 0,35 40 = 14,00 ( 40; 14,00) a ( 45) = 0,35 45 = 15,75 ( 45; 15,75) a ( 60) = 0,35 60 = 21,00 ( 60; 21,00 ) b ( 5) = 1,75 ( 5; 1,75 ) b ( 10) = 1,75 ( 10; 1,75 ) b ( 20) = 1,75 + 10 0, 40 = 5,75 ( 20; 5,75) b ( 30) = 1,75 + 20 0,40 = 9,75 ( 30; 9,75) b ( 40) = 1,75 + 30 0, 40 = 13,75 ( 40; 13,75) b ( 45) = 1,75 + 35 0, 40 = 15,75 ( 45; 15,75) b ( 60) = 1,75 + 50 0, 40 = 21,75 ( 60; 21,75 ) b) a (x) = b (x) para x = 5 e x = 45. Repara que a (5) = b (5)=1,75 e a (45) = b (45) = 15,75. Signiica que uma chamada com a duração de 5 segundos e 45 segundos tem o mesmo custo nos dois tariários. 15.4. De acordo com os dados disponíveis, entre os 5 s e 45 s optaria pelo tariário B. Para chamadas com durações distintas optaria pelo tariário A. Exercícios, problemas e desaios complementares Pág. 91 16.1. Não, pois para um mesmo valor da distância estão associados dois valores distintos de litros de gasóleo no depósito. Veja-se o caso de 400 km e 950 km. 16.2. O automóvel iniciou a viagem com 40 litros de gasóleo no depósito. 16.3. Foram percorridos 1200 km. 16.4. Observando o gráico conclui-se que o Pedro abasteceu o seu automóvel duas vezes após o início da viagem. Capítulo 2 Página 20
16.5. 1.º abastecimento: (60 10) l = 50 l 2.º abastecimento: (55 20) l = 35 l O Pedro abasteceu 85 litros de gasóleo no seu automóvel. 16.6. Antes do 1.º abastecimento: (40 10) l = 30 l Antes do 2.º abastecimento: (60 20) l = 40 l Depois do 2.º abastecimento: (55 35) l = 20 l Portanto, no total, o automóvel do Pedro gastou 90 litros. 16.7. a) 1 3 da distância total corresponde a 1 1200 km = 400 km. Observando o gráico 3 veriica-se que o automóvel do Pedro consumiu 30 litros. b) 1 2 da distância total corresponde a 1 1200 km = 600 km. Analisando o gráico conclui- 2 se que o automóvel do Pedro consumiu 30 litros antes do primeiro abastecimento e 15 litro depois desse abastecimento. No total, o automóvel gastou 45 litros. 16.8. Sim. Sabemos que o automóvel do Pedro consumiu 90 litros de gasóleo durante a viagem (alínea 16.6.). No início da viagem, o automóvel do Pedro tinha 40 litros de gasóleo e, no primeiro abastecimento, o Pedro abasteceu o depósito do seu automóvel com 50 litros de gasóleo. Temos então que 40 + 50 = 90. Ou Quando o Pedro eetuou o último abastecimento tinha 20 litros de gasóleo. Até ao im da viagem gastou exatamente 20 litros. Logo, podemos airmar que se o Pedro só tivesse eetuado o primeiro abastecimento no depósito do seu automóvel poderia ter terminado a viagem. 16.9. Se a viagem continuasse, o Pedro ainda tinha disponíveis 35 litros de gasóleo. Como em média, o automóvel consome 8 litros por cada 100 km, tem-se: 8 ----------- 100 35 ----------- x 35 100 x = = 437,5 8 O Pedro ainda poderia azer 437,5 km com aquele automóvel. Autoavaliação 1.1. A correspondência entre o tempo (t) e a distância (D) é uma unção pois para cada t D está associado um elemento único de D. Pág. 92 Capítulo 2 Página 21
' 1.2. Domínio de : D = { 1, 2, 3, 4, 5} ; contradomínio de : D = { 1,5; 3,0; 4,5; 6,0; 7,5} 1.3. 1.4. A velocidade média é dada pelo quociente 7,5 km 1,5 km/min 5 min = 2. Não, pois ao valor de x igual a 5 correspondem dois valores distintos de y. 3.1. Observando o gráico cartesiano de, tem-se: {( 2, 1 ); ( 1, 1 ); ( 0, 0 ); ( 1, 0 ); ( 2, 1 ); ( 3, 2 ); ( 4, 0) } G = 3.2. a) Domínio de : D = { 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} ' b) Contradomínio de : D = { 1, 0, 1, 2} c) ( 3) = 2. A imagem de 3 é 2. d) ( x ) = 0 para valores de x iguais a 0, 1 e 4. e) ( x ) = 1 para valores de x iguais a 2 e 1. 3.3. Tabela: x 2 1 0 1 2 3 4 y 1 1 0 0 1 2 0 Diagrama de setas: Capítulo 2 Página 22