Integral Definida na perspectiva da Semiótica Ana Karine Dias Caires Brandão 1 GD4 Educação Matemática no Ensino Superior A Semiótica desenvolvida por Charles Sanders Peirce tem como base a relação signa sob a tríade: signo, objeto e interpretante. O signo representa algo para alguém, que pode ser uma sensação, intuição, pensamento; a mente então relaciona esse pensamento a um objeto e proporciona ao interpretante um significado do algo pensado. Essa ação da mente, também chamada de semiose, gera novos signos e inicia uma nova relação tríade, que ocorre de forma infinita. Com essa abordagem teórica, estamos desenvolvendo uma pesquisa cujo objetivo é analisar as contribuições que podem ser observadas na aprendizagem do conceito de integral definida quando se faz uso da representação gráfica, da representação analítica e da oralidade. A pesquisa é de abordagem qualitativa com ênfase no método quase-experimental e, terá como público alvo estudantes da Licenciatura em Matemática que estão devidamente matriculados na componente curricular Cálculo Diferencial e Integral II, em uma Universidade pública no Estado da Bahia. Os procedimentos metodológicos para a coleta de dados consistem em: observação, aplicação de instrumento diagnóstico a priori; intervenção de ensino; aplicação de instrumento diagnóstico a posteriori. A elaboração do instrumento diagnóstico e as sequências de ensino foram criadas com a finalidade de promover um ambiente em sala de aula que favorecesse o diálogo entre os estudantes e a mobilização de diferentes representações acerca da integral definida. Dentro deste contexto espera-se que os resultados apontem as contribuições da abordagem de ensino da integral focada nas três representações (analítica, gráfica e a oralidade). Palavras-chave: Semiótica peirciana. Integral Definida. Representações. Pretende-se com este estudo compreender as contribuições do uso das representações gráficas, das representações analíticas e da oralidade no processo de aprendizagem de integrais definidas, na perspectiva da Semiótica. Será realizado em uma Universidade Pública no Estado da Bahia, com uma turma de estudantes do curso de Licenciatura em Matemática devidamente matriculados na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, no primeiro semestre do ano de 2015. Quando nos propomos trazer a questão de representação para a nossa análise percebemos a sua familiariedade com as categorias semióticas percianas: Primeiridade, Segundidade e Terceiridade. Essa semelhança se sustenta porque tudo que vem a nossa mente tem início através da percepção dos fatos, que é a primeira categoria de Peirce denominada de Primeiridade. Percepção que coloca o pensamento em ação, fato analisado como Segundidade e a mente vai representar, generalizar, interpretar que será a terceira categoria, ou Terceiridade. 1 Universidade Estadual de Santa Cruz, e-mail: karine_caires@hotmail.com, orientador: Dra. Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana.
Na terceiridade ocorre a mediação entre a Primeiridade e a Segundidade através do processo dinâmico entre a semiose e a cognição. Peirce entende a semiose como uma ação ou influência que consiste, ou envolve, a cooperação de três correlatados, o signo, o objeto e o interpretante; influência tri-relativa que não pode de forma alguma ser resolvida em ações entre pares (PEIRCE, 1983, p. 13), e então define a semiótica, ou seja, a doutrina de natureza essencial das variedades fundamentais de possível semiose (ibid., p.135). Ao atribuir significado aos processos mentais que envolvem a percepção, a atenção, o pensamento, a faculdade de aprendizado, o raciocínio na obtenção do conhecimento, Peirce então elabora o seu significado da cognição. Neste contexto teórico esta pesquisa se fundamenta no estudo das relações triádicas e na obtenção dos significados para responder a seguinte questão de pesquisa: Quais contribuições podem ser observadas na aprendizagem do conceito de integral definida quando se faz uso da representação gráfica, da representação analítica e da oralidade, na perspectiva da semiótica? No caminho do Teórico: O estudo dos signos, ou também chamado de sinais, remonta a Antiguidade. Foi Platão (428 a.c 347 a.c) quem primeiro utilizou, o estudo de signos na perspectiva do discurso, trazendo como componentes para análise o nome, a ideia e a coisa a qual o signo se refere, constituindo o modelo platônico de signo. Posteriormente encontramos seu discípulo, Aristóteles (384 a.c 322 a.c) que criou a teoria silogística, que é o primeiro estudo da Lógica. Essa teoria defendia que um argumento, no qual certas premissas estão postas, deve resultar em uma conclusão. Mas, foi na obra De Magistro, que Agostinho (354d.C 430d.C) generaliza as considerações acerca da palavra a outros signos e acredita que os pensamentos são criados por signos. Com estas afirmações ele vai dar a base para o estudo dos signos. Esses filósofos foram aqueles que influenciaram outros estudiosos a se dedicarem ao estudo da lógica, entre eles John Locke (no século XVII), Ferdinand Saussure e Charles Sanders Peirce, no século XX. No desenvolvimento da lógica, ou semiótica, que se encontra o legado deixado pelo matemático, cientista, lógico e filósofo americano Charles Sanders Peirce. Ele percebeu
que para a semiótica atingir um corpus de conhecimento era necessário atribuir a todo processo um significado, designado pelo nome de semiose. Para Peirce um signo é algo que representa algo para alguém, sob algum prisma (PEIRCE, 1975, p. 94). Através desta definição dada podemos extrapolar o nosso entendimento e chegarmos à conclusão de que tudo que nos cerca são signos, mas que para constitui-lo como signo é necessário ter um objeto e um interpretante envolvidos. Pensamentos, imagens, gráficos, equações, palavras, falas, sons são signos que desencadeiam ações que chamamos de objeto e que por sua vez solicitará um interpretante para entender o que cada signo representa mentalmente possibilitando um significado para o indivíduo. A interpretação desencadeia a criação, a manutenção ou alteração destes significados. Na semiótica o signo, o objeto e o interpretante só farão sentindo se estiverem interligados. Um pensamento (signo) permite uma ação (objeto) e resulta em um significado (interpretante) essa relação triádica acontece sucessivamente e infinitamente. Peirce (2005) define: Um signo, ou representâmen, é aquilo que, sob certo aspecto ou modo, representa algo para alguém. Dirige-se a alguém, isto é cria, na mente dessa pessoa, um signo equivalente, ou talvez um signo mais desenvolvido. Ao signo assim criado denomino interpretante do primeiro signo. O signo representa alguma coisa seu objeto. Representa esse objeto não em todos os seus aspectos, mas com a referência a um tipo de ideia que eu, por vezes, denominei de fundamento do representâmen. (PEIRCE, 2005, p.46). Incide do exposto acima, que um signo tem ao seu lado sempre um objeto e um interpretante. Quando o signo representa, ou se refere à outra coisa, a essa referência denominamos de objeto. O signo não pode caracterizar um objeto, não pode proporcionar familiaridade ou reconhecimento desse objeto. (ibid, p.47), mas o objeto de um signo pode ser algo a ser criado pelo signo (Peirce, 1983, p. 122). Ao relacionarmos a semiótica com a educação observamos que este procedimento é o que acontece com o fenômeno da aprendizagem: um conhecimento é adquirido quando associamos o que já está construído mentalmente com as ideias que surgem, permitido um vínculo e novas conjecturas que possibilitarão outros conhecimentos. Essa relação triádica é presente nesta pesquisa, o signo é observado quando se faz uso de um gráfico, ou no cálculo algébrico, ou ainda, as relações das palavras oralmente
pronunciadas em um ambiente educacional para a aprendizagem de um objeto matemático, que seria a integral definida, e o interpretante aparece como uma lei ou generalização, que relação se apresenta, por exemplo, na relação entre a área de uma região de lados curvos e a integral definida. Se partirmos de um gráfico de uma área delimitada por uma função num intervalo dado, o signo será esse gráfico; o cálculo da área usando o conceito de integrais definidas será o objeto; a generalização desse cálculo para uma área determinada por uma função qualquer num intervalo dado, se dará através de uma lei, que será resultado da interpretação de uma mente, (o que matematicamente resulta no cálculo da área de uma região delimitada por uma função num intervalo dado feito usando a integral definida) a essa lei geral é o que se pode atribuir como interpretante. Nesta tríade Semiótica, o signo (o gráfico) exerce uma função mediativa na qual um objeto (o cálculo) é posto em relação a um interpretante (a lei geral da integral definida). Esta estrutura articula-se em diferentes níveis: o signo com ele mesmo que corresponde ao processo de significação, o signo com o objeto que corresponde ao processo de objetivação e o signo com seu interpretante que corresponde ao processo de interpretação, os quais foram chamadas por Peirce de Tricotomia. Quanto ao processo de significação os signos podem ser qualissigno, sinsigno e legissignos; quanto ao processo de objetivação podem ser ícone, índice e símbolo e quanto ao processo de interpretação podem ser rema, discente e argumento. Ressaltamos que as tricotomias quando combinadas adequadamente podem proporcionar sessenta e seis classes de signos das quais citamos apenas dez e trataremos nesta pesquisa apenas com três: a primeira, a quarta e a décima. Fato justificado pelo estudo de Silva (2013, p. 132) que afirma: os processos de ensino e aprendizagem de matemática podem ser fundamentados nas três classes de signos de Peirce, na primeira, na quarta e na décima. Seguiremos, portanto, o caminho percorrido pela autora citada anteriormente, por acreditarmos que essas três classes são realmente mais relevantes para o nosso estudo. A saber, a primeira tricotomia é o qualissigno é uma qualidade qualquer, na medida em que for um signo (PEIRCE, 2005, p.55) e só poderá se associar a um objeto por uma semelhança em comum, portanto o qualissigno será um ícone, e quando relaciona com o interpretante será uma rema, pois desenvolve possibilidades lógicas, envolvendo a
essência do fenômeno. A quarta tricotomia é o Sinsigno Dicente é todo objeto da experiência direta na medida em que é um signo e como tal, propicia informação a respeito de seu objeto. (PEIRCE, 2005, p.55). Todo Sinsigno Dicente ele se relaciona com o objeto e pode (ou não) modificá-lo por este motivo poderá ser um Índice. E a décima tricotomia Um argumento é um signo cujo interpretante representa seu objeto como sendo um signo ulterior através de uma lei, a saber, a lei segundo a passagem dessas premissas para essas conclusões tendem a ser verdadeira. (ibid, p. 56) Diante do exposto acerca da tricotomia percebemos a relação que existe entre o signo, o objeto e o interpretante, bem como, a intrínseca relação que existe entre as tricotomias e o processo de aprendizagem dentro de um ambiente de sala de aula. As percepções, as sensações, o contato com o objeto e as interpretações variadas pressupõe todas as tricotomias explicitadas anteriormente. Esses fenômenos em sala de aula estarão representados através da linguagem no sentindo mais amplo: escrita, oralidade, gestos, expressões físicas, arte, entre outras. Quando utilizadas sem uma referência a um determinado contexto em que o fenômeno ocorre fica vazia de significado, não sustenta o discurso. Assim acreditamos que, o homem que vive a procura de aprender algo ainda não conhecido se motiva pela vontade de ir à busca das verdades de suas concepções. Nessa busca o homem apropria dos alicerces da Ciência, pois a vida da ciência reside na vontade de conhecer. (PEIRCE,1983, p. 140). Observa-se na prática que ao viver no mundo científico, ou não, o homem estará envolvido num conjunto de experiências, de opiniões divergentes que possibilitarão adquirir o conhecimento, mas inferimos, também, que estarão envolvidos com um signo, um objeto e um interpretante. Não se concebe adquirir um conhecimento em que não tenha um pensamento, algo que relacione com esse signo denominado objeto, e um homem que interprete a relação existente entre os três. Kant (1992) afirma que: Todo conhecimento envolve uma dupla relação: primeiro uma relação com o objeto; segundo uma relação com o sujeito. Sob o primeiro aspecto, ele relaciona-se com a representação; sob o segundo, com a consciência, a condição universal de todo conhecimento em geral. (KANT, 1992, p.50)
Com esta colocação é possível afirmar que, dentre outros fatores, um homem só adquire o conhecimento quando toma consciência da representação. O autor ainda esclarece: [...] que a consciência é a condição essencial de toda forma lógica dos conhecimentos. (KANT, 1992, p.50). Assim, a rigor, a consciência é uma representação de que uma outra representação está em mim. (KANT,1992,p.50). Entretanto o pensamento, que é um signo, desperta na mente a percepção de algo através da observação, toma consciência, associa a um objeto e transforma em outra representação, que de novo, desencadeará outras representações. Por outro lado, Kant (1992, p.51) esclarece que a representação ainda não é o conhecimento, mas o conhecimento pressupõe sempre a representação. Essa afirmativa nos assegura que o conhecimento é mais amplo engloba outras faculdades tais como a sensibilidade e o entendimento. Buscamos ainda em Kant (1974) a síntese dessas outras faculdades, quando afirma: A capacidade (receptividade) de obter representações segundo o modo como somos afetados por objetos denomina-se sensibilidade. Portanto, por intermédio da sensibilidade são-nos dados objetos e apenas ela nos fornece intuições; pelo entendimento, ao invés, são os objetos pensados e dele originam-se conceitos. (KANT, 1974, p.39) Para melhor compreensão dessas faculdades exemplificaremos: um estudante de cálculo observa uma expressão analítica e um gráfico de uma mesma função, se a sua mente relaciona as duas coisas observadas ao mesmo objeto matemático, no caso função, então ele estará fazendo representações do mesmo objeto, a representação analítica e a representação gráfica. Ao observar as duas representações, analítica e gráfica, o estudante utiliza a sensibilidade, e ao associar as duas representações a uma mesma função constrói o entendimento. Concordamos com Peirce quando afirma que conhecer o interpretante, que é aquilo que o próprio signo expressa, pode ser algo que requeira o mais alto poder de raciocínio (PEIRCE, 2005, p. 162). Nesta relação o interpretante fará a conexão entre a sensibilidade e o entendimento, por meio do raciocínio. Peirce sintetiza o raciocínio em três tipos: Dedução, Indução e Abdução. A Dedução prova, que algo deve ser; a Indução mostra que alguma coisa é realmente operativa; a Abdução simplesmente sugere que alguma coisa pode ser. (PEIRCE, 2005, p.220)
Para o autor, a abdução é dos três tipos de raciocínio aquele que apresenta uma ideia nova, pois se nos é dado aprender algo ou compreender os fenômenos, deve ser realizado através da abdução. (PEIRCE, 2005, p.220). No raciocínio abdutivo o indivíduo será defrontado a conhecer fatos diferentes daqueles que esteja acostumado a resolver ou a ser confrontado. Peirce (1975, p. 73) afirma que o objetivo de raciocinar é descobrir, a partir da consideração do que já sabemos, algo que não sabemos. Ora esse é um princípio fundamental para uma Educação que coloca o estudante na perspectiva de construtor participe de seu próprio conhecimento. Percebemos também que o conhecimento depende da relação triádica e só ocorre por meio da experiência, pois tudo que é universalmente verdadeiro só é obtido através da experiência. E o homem sempre expressa a compreensão de algo fundamentado na experiência vivida, publicando o seu sentido, a sua significação aos seus pares. A relação dos signos com seus interpretantes é o que chamamos de significação. Essa significação pode acontecer de forma geral ou a partir de um conjunto de premissas que o interpretante utiliza para contestar ou afirmar a veracidade da conclusão. Nos estudos de Peirce observamos que todo significado tem um propósito, se refere a uma intenção. Mas a percepção da intenção, fazendo surgir ideias novas nos traz o valor de algo, da necessidade de fazer sentido para alguém, no caso o interpretante. Ao sentido podemos dizer que é toda forma de percepção das sensações. Peirce esclarece afirmando que a palavra sentido parece ser a análise lógica ou definição, para a qual ainda prefiro insistir no velho termo Acepção 2. (PEIRCE, 1983, p.125) A representação, a significação e o sentido irão exercer um papel especial para a interpretação de um signo, e se relacionarmos ao processo educacional, encontraremos a questão da compreensão do conhecimento, a cognição, envolvido neste processo de representar, significar e dar sentido a uma ideia. Ao trazer a cognição para o seu estudo, Peirce contribui para estabelecer um vínculo entre a Semiótica e a Educação, e em particular, amplia o campo da Educação Matemática trazendo perspectivas para a interpretação e representação dos processos mentais utilizados 2 Acepção: diz respeito aos diversos significados e usos que pode ter uma palavra em função do contexto em que se insere.
pelos estudantes na busca pela significação dos conceitos matemáticos e na aquisição da aprendizagem. Uma maneira de caminhar Para que pudéssemos responder a questão de pesquisa tivemos que delinear um conjunto de procedimentos, orientações, processos, descrições, interpretações e métodos que assegurassem a validade e a confiabilidade dos dados obtidos, sistematizando-os e sustentando-os em uma teoria. A metodologia consiste na escolha dos métodos usados pelo pesquisador para investigação dos dados coletados. Nesta pesquisa optamos por uma abordagem qualitativa, pois acreditamos que concilia o objetivo, a metodologia e a coleta com a teoria escolhida. Segundo Bicudo (2010, p.101) para falar em pesquisa qualitativa, é preciso esclarecer o que se busca ao pesquisar e em que sentido se fala em qualitativo. Seguindo esse raciocínio ela continua o qualitativo engloba a ideia do subjetivo, passível de expor sensações e opiniões. O significado atribuído a essa concepção de pesquisa engloba noções a respeito de percepções de diferenças e semelhanças de aspectos comparáveis de experiências. (ibid, p.106) Para a coleta de dados, utilizamos o estudo quase-experimental que é aquele em que a variável independente é manipulada pelo pesquisador, operando com grupos de sujeitos escolhidos sem o seu controle. (FIORENTINI; LORENZATO, 2009, p. 105) Ressaltamos que os sujeitos não serão escolhidos pelas pesquisadoras, já que a formação da turma da componente curricular, Cálculo Diferencial e Integral- II, não é feita por elas, mas pelo processo seletivo de entrada na Universidade. A pesquisa acontecerá em dois momentos distintos, o estudo piloto e o estudo principal, cujo caráter será intervencionista. Aplicaremos instrumentos diagnósticos e sequências de ensino, elaborados pelos pesquisadores, visando atender ao objetivo da pesquisa e coletar dados para uma análise eficaz dos resultados. Esses instrumentos diagnósticos serão aplicados em dois momentos, antes e depois da intervenção de ensino. Para a sua constituição elaboramos 14 perguntas discursivas do tipo lápis e papel, disponibilizadas no primeiro contato com os estudantes no semestre letivo para que pudessem responder de forma espontânea, sem consulta a nenhum material, e sem intervenções por parte do professor/pesquisador.
Estudo Piloto: O estudo foi desenvolvido em um Instituto Federal de um munícipio da região Sudoeste da Bahia, com uma turma de Cálculo Diferencial e Integral II do curso de Engenharia Ambiental que funciona nos turnos matutino e vespertino. Passaram pelo processo da aplicação do instrumento diagnóstico e da intervenção de ensino 20 estudantes devidamente matriculados no segundo semestre de 2014. A professora da componente curricular também é uma das investigadoras desta pesquisa. Esse fato contribuiu para que a análise do estudo piloto fosse sendo discutida e avaliada pelos estudantes com mais tranquilidade, visto que, o contato com eles foi contínuo e o processo de construção das críticas e sugestões tem nos guiado para o estudo principal. Para a intervenção de ensino estamos propondo atividades elaboradas na perspectiva da aplicação do Cálculo Diferencial e Integral em um contexto real, simulando situações problemas envolvendo paisagens naturais de uma região turística do Sul da Bahia. Estudo Principal Sobre o estudo principal esclarecemos que acontecerá no primeiro semestre letivo de 2015, com estudantes devidamente matriculados na disciplina Cálculo Diferencial e Integral II em uma Universidade Pública do Estado da Bahia. O estudo principal permanecerá com a mesma metodologia aplicada no estudo piloto apenas diferenciando com os reajustes que se fizerem necessário após a análise dos resultados aplicados no estudo piloto. Registramos, através de gravações, as perguntas ou orientações feitas na aplicação, bem como, tiramos algumas fotografias do estudo piloto e pretendemos fazer o mesmo no estudo principal. Destacamos que foram também observadas e satisfeitas todas as normas do Conselho de Ética com pesquisas com seres humanos. Analisando os caminhos: A análise dos resultados será feita respeitando as três formas de representação: analítica, gráfica e a oralidade, bem como a sensibilidade e o entendimento que geram o raciocínio, permitindo a compreensão do signo. Para isso, serão respeitadas as três etapas elaboradas na metodologia, a saber: investigação diagnóstica a priori, intervenção de ensino, investigação diagnóstica posteriori que nos
ajudará a estabelecer comparações entre os diagnósticos obtidos ao final de cada etapa, percebendo as contribuições para a aprendizagem do signo (conceito de integral definida) usando as diferentes representações. Essas comparações e os dados obtidos possibilitarão a criação de categorias utilizando os fundamentos da semiótica que nos fornecerão dados para responder a questão da pesquisa. Considerando os caminhos: Acreditamos que a semiótica peirciana contribui para responder a nossa questão de pesquisa, pois está fundamentada em pressupostos que asseguram a significação, o sentido, a representação e o raciocínio essenciais no processo de aprendizagem da matemática. Os instrumentos diagnósticos e a intervenção de ensino foram elaborados com o objetivo de promover durante a aplicação um momento de discussão a respeito do objeto matemático proposto, a integral definida. E ainda, proporcionar atividades que permitissem a valorização das falas de todos os envolvidos no processo, bem como, a contextualização de situações matemáticas, envolvendo as representações gráficas e analíticas, retiradas das paisagens de uma região turística do sul da Bahia. Almejamos contribuir com o campo de pesquisa em Educação Matemática através de uma análise dos resultados dos instrumentos diagnósticos, bem como, da intervenção de ensino propiciando reflexões acerca das representações gráficas e analíticas e principalmente acerca da oralidade, que não se apresenta com muita frequência nas aulas de cálculo. Referências: BICUDO, M.A.V. Pesquisa Qualitativa e Pesquisa Quantitativa segundo a abordagem fenomenológica. In: BORBA, M.C.; ARAUJO, J.L.(orgs). Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. 3.ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2010. FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigações em Educação Matemática: processos metodológicos. Campinas-SP: Autores Associados, 2009. KANT, I. Crítica da Razão Pura. Tradução de Valério Rodhen. 1.ed. São Paulo: Abril Cultural, 1974. (Coleção os Pensadores)
. Lógica. Traduzido por Gottlob Benjamim Jäsche de Guido Antônio de Almeida. Rio de Janeiro: Tempo Brasileiro, 1992. PEIRCE, C.S. Semiótica e Filosofia. Tradução de Octanny Silveira da Mota e Leonidas Hegenberg. São Paulo: Cultrix, Editora da Universidade de São Paulo, 1975.. Escritos Coligidos. Tradução de Armando Mora D Oliveira e Sergio Pomerangblum. 3 ed. São Paulo: Abril Cultural, 1983. (Coleção Os Pensadores). Semiótica. Tradução de José Teixeira Coelho Neto. São Paulo: Perspectiva, 2005. SILVA, C.R. Os Signos Peircianos e os Registros de Representação Semiótica: qual semiótica para a matemática e seu ensino? 2013. 191f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2013.