Escola Secundária de Lagoa Física e Química A 11º Ano Paula Melo Silva Ficha de Trabalho 3 1.3. Forças e Movimentos 1. Uma bola é lançada, verticalmente para cima, a partir do solo, com uma velocidade inicial de módulo 20 m s 1. Considere um referencial de eixo vertical, com origem no solo, e sentido positivo para cima e ainda que o objeto pode ser representado pelo seu centro de massa (modelo da partícula material). Despreze a ação da resistência do ar. 1.1. Escreva as equações que traduzem o movimento, y(t) e v(t). 1.2. Calcule a altura máxima que a bola atinge, a partir do ponto de lançamento. 1.3. Calcule o instante em que a bola atinge novamente a posição de lançamento e relacione-o com o tempo de subida. 1.4. Determine a componente escalar da velocidade com que a bola atinge o solo. 2. Para estudar o movimento de queda de um corpo de massa 100 g de uma altura de cerca de 2 m, um grupo de alunos prendeu uma fita de papel a uma esfera e fez passar a outra extremidade pelo marcador eletromagnético, tendo o cuidado de verificar que a fita ficava solta para que a esfera pudesse cair livremente, apenas sob a influência da força gravítica. Na fita que obtiveram, marcaram, a partir da origem (primeiro ponto que se consegue distinguir), algumas posições da esfera e determinaram, para cada uma das posições marcadas, as componentes escalares da velocidade instantânea. Os resultados encontram-se registados na tabela, tendo-se considerado como referencial o eixo vertical com origem no solo e sentido positivo para cima. 2.1. Com base nos resultados obtidos, trace o gráfico da componente escalar da velocidade da esfera em função do tempo e determine a equação da reta que melhor se ajusta ao conjunto de pontos obtidos. 2.2. Qual a componente escalar da aceleração da esfera? 2.3. Selecione a opção que melhor indica o esboço do gráfico da variação da posição da esfera em função do tempo. Escola Secundária de Lagoa Paula Melo Silva Página 1
3. O gráfico representa o módulo da velocidade de um paraquedista, em queda vertical, em função do tempo. Considere que o movimento se inicia no instante t = 0 s. 3.1. Identifique o tipo de movimento adquirido pelo paraquedista em cada um dos intervalos de tempo assinalados no gráfico. 3.2. Em que instante foi aberto o paraquedas? Fundamente a sua resposta. 3.3. Indique o(s) intervalo(s) de tempo em que o módulo da aceleração do paraquedista é nula. 3.4. No instante em que o altímetro regista 800 m, o paraquedista abre o seu paraquedas. A distância de 800 m do solo é apropriada, pois no caso do paraquedas principal não abrir corretamente, será necessário que o paraquedista tenha espaço de manobra e tempo suficiente para acionar o paraquedas de reserva. A essa altura, estime o tempo que o paraquedista demoraria a atingir o solo se nenhum dos dois paraquedas abrisse. 4. O movimento de queda na vertical de dois pedaços de papel, um liso e um amarrotado, foi analisado recorrendo a um sensor de movimento e a uma calculadora gráfica. O gráfico da figura traduz o módulo da velocidade dos dois pedaços de papel ao longo do tempo de queda. Considere que os pedaços de papel podem ser representados pelo seu centro de massa (modelo da partícula material). 4.1. Qual das curvas corresponde ao movimento do pedaço de papel amarrotado? 4.2. Tendo em conta a informação apresentada no gráfico, identifique os tipos de movimento adquiridos por cada um dos pedaços de papel ao longo da queda. 4.3. Represente as forças que atuam em cada um dos pedaços de papel, no instante 0,1 s, e justifique a razão dos pedaços de papel atingirem o solo com diferentes módulos de velocidade. 4.4. Selecione a opção que completa corretamente a afirmação: O módulo da aceleração adquirida pelo pedaço de papel amarrotado é ao módulo da aceleração do pedaço de papel liso, pelo que atingirá o solo num intervalo de tempo. (A) inferior inferior (B) inferior superior (C) superior inferior (D) superior superior Escola Secundária de Lagoa Paula Melo Silva Página 2
5. Dois corpos, A e B, descrevem trajetórias retilíneas durante 5,0 s. A variação da posição no tempo é descrita pelas equações: x A = 5,0 4,0 t 2,0 t 2 (SI) e x B = 25,0 16,0 t (SI), respetivamente. 5.1. Identifique, justificando, o corpo que se desloca com movimento retilíneo uniforme. 5.2. Qual é a componente escalar do deslocamento de cada corpo nos 5,0 s de movimento? 5.3. Utilizando as potencialidades gráficas da calculadora, determine, para o corpo A: a) o instante em que ocorreu a inversão do sentido da trajetória. b) o instante em que o corpo passa na origem das posições. 6. O condutor de um automóvel deslocava-se a velocidade constante de módulo 17,0 m s 1, sobre uma trajetória retilínea coincidente com o sentido positivo do eixo Ox de um referencial unidimensional, quando o sensor de movimento do seu carro indicou a proximidade a outro veículo. Para parar, aplicou uma força de travagem, F t, de intensidade 9,6 10 3 N. Considere que o sistema automóvel + condutor, com 1,2 toneladas de massa, pode ser representado pelo seu centro de massa (modelo da partícula material). 6.1. Determine a componente escalar da aceleração adquirida pelo automóvel. 6.2. Escreva a equação x(t), que traduz o movimento descrito pelo automóvel, a partir do instante em que passa a atuar a força de travagem. 6.3. A partir do gráfico velocidade-tempo esboce o gráfico posição-tempo para o movimento descrito. Utilizando as potencialidades da calculadora confirme o resultado obtido, explicitando o raciocínio. 6.4. Determine a distância percorrida pelo automóvel, desde o instante em que passou a ser atuado pela força de travagem até parar, recorrendo exclusivamente às equações do movimento. 6.5. Obtenha o resultado da alínea anterior, recorrendo exclusivamente às leis de conservação da energia dos sistemas mecânicos. 7. A figura mostra um satélite em órbita em torno da Terra. 7.1. Indique a relação entre as direções da força gravítica, que mantém o satélite na sua órbita, e da velocidade do satélite. 7.2. Por que razão o satélite não cai na Terra? Escola Secundária de Lagoa Paula Melo Silva Página 3
7.3. Quais os gráficos que traduzem corretamente a variação do módulo da velocidade, v, do satélite e da intensidade da força gravítica, F g, que sobre ele atua, em função do tempo, t. 8. A Estação Espacial Internacional (EEI, ou ISS em inglês) funciona como um laboratório espacial com permanência humana no espaço. A estação mantém um movimento circular uniforme numa órbita próxima da superfície da Terra o que possibilita ser vista da Terra a olho nu. 8.1. É correto afirmar-se que num movimento circular uniforme a velocidade é constante? Justifique. 8.2. Selecione o diagrama que representa corretamente a aceleração, a, que a EEI está sujeita e a velocidade, v, da Estação, durante o seu movimento em torno da Terra. 8.3. Como pode a EEI deslocar-se com velocidade de módulo constante se está sujeita à força gravítica? 9. Num percurso retilíneo, um ciclista desloca-se a uma velocidade de módulo 25 km h 1, numa bicicleta com uma roda traseira de 70 cm de diâmetro. No centro da roda traseira, presa ao eixo, encontra-se uma roda dentada com 7,0 cm de Diâmetro. (Note-se que o módulo da velocidade com que o ciclista se desloca na bicicleta é igual ao módulo da velocidade linear de um qualquer ponto do pneu da roda.) 9.1. Quanto tempo, em unidades do SI, demora a válvula de encher o pneu a dar uma volta completa? 9.2. Determine o módulo da velocidade angular do movimento de rotação da roda. 9.3. Um ponto da periferia da roda dentada, em relação à válvula de encher o pneu, apresenta módulo de velocidade angular e um módulo de velocidade linear. (A) igual 10 vezes menor (B) igual 10 vezes maior (C) diferente 10 vezes maior (D) diferente 10 vezes menor Escola Secundária de Lagoa Paula Melo Silva Página 4
9.4. Quando a roda está em movimento a válvula de encher o pneu e um ponto da periferia da roda dentada completam uma volta ao mesmo tempo. Conclua, justificando, se é a válvula ou o ponto da roda dentada que tem maior módulo de aceleração. 10. A figura mostra as órbitas circulares para dois satélites com movimento de rotação em torno da Terra. 10.1. Selecione a expressão que traduz a relação entre o módulo da velocidade do satélite X e Y sabendo que possuem órbitas de raio, respetivamente, r e 2r e que apresentam igual período orbital. (A) v x = ¼ v y (B) v x = 4 v y (C) v x = 2 v y (D) v x = ½ v y 10.2. A órbita do satélite X tem um raio de 26 616 km e o período orbital é de 12 h. Determine o módulo da velocidade angular e da aceleração centrípeta do satélite, em unidades do SI. 11. O Telescópio Espacial Hubble (HST) descreve uma órbita aproximadamente circular a uma altitude média de 598 km acima da superfície da Terra. Raio da Terra = 6,37 10 6 m e massa da Terra = 5,98 10 24 kg 11.1. Determine o módulo da velocidade orbital do HST, em unidades do SI, para manter a sua órbita. 11.2. Qual é o período orbital do Telescópio Espacial Hubble (HST)? 11.3. Selecione a opção que completa corretamente a afirmação. Aumentando a altitude de um satélite artificial em órbita aproximadamente circular em relação à Terra, o módulo da velocidade orbital do satélite (A) aumenta. (B) diminui. (C) não se altera. (D) anula-se 12. O gráfico mostra a variação da altitude de um satélite artificial em função do período orbital do satélite. 12.1. Como se relacionam as grandezas representadas no gráfico? 12.2. Atendendo à figura, qual deverá ser a altitude de um satélite geoestacionário. 12.3. As órbitas dos satélites do sistema GPS têm um período orbital de 12 h, aparecendo no mesmo ponto do céu, vistos da Terra, duas vezes por dia. 12.3.1. Estes satélites terão uma órbita de raio inferior ou superior à de um satélite geoestacionário? Justifique a sua resposta. 12.3.2. Apresente a expressão que permite determinar o raio da órbita de um satélite do sistema GPS. Escola Secundária de Lagoa Paula Melo Silva Página 5
Soluções 1.1 y = y0 v0 t ½ a t 2 y = 20 t ½ ( 10) t 2 y = 20 t 5 t 2 (SI) v = v0 a t v = 20 10 t (SI) 1.2. A bola atinge a altura máxima, no instante t, em que v = 0 m s 1 : v = 20 10 t 0 = 20 10 t t = 2 s Substituindo t na das posições, obtém-se a altura máxima atingida pela bola:y = 20 t 5 t 2 y = 20 2 5 22 y = 20 m 1.3. A bola atinge o chão (isto é, y = 0) no instante t, tal que, 0 = 20 t 5 t 2 0 = t (20 5 t) t = 0 s t = 4 s O tempo que a bola demora a atingir novamente a posição de lançamento é o dobro do tempo necessário para atingir a altura máxima, uma vez que corresponde ao dobro da distância percorrida, admitindo que não há dissipação de energia. 1.4. Como a bola está sujeita apenas à ação da força gravítica, não há dissipação de energia mecânica e, deste modo, a bola atinge o ponto de partida com igual energia cinética. Ou seja, regressa ao ponto de partida com velocidade de igual módulo mas com sentido oposto (vf = 20 m s 1 ). Ou, como a bola atinge o solo ao fim de 4 s:v = 20 10 t v = 20 10 4 v = 20 m s 1 2.1. v = 0,98 10,1 t (SI) 2.2. Sendo o gráfico velocidade-tempo um segmento de reta, o declive é constante e coincide com a componente escalar da aceleração: a = 10,1 m s 2 2.3. Opção (B). 3.1. [0; 20] s movimento retilíneo acelerado; [20; 40] s e [45; 60] s movimento retilíneo uniforme; [40; 45] s movimento retilíneo retardado. 3.2. O paraquedas foi aberto no instante 40 s, uma vez que, após esse instante, o módulo da velocidade diminuiu rapidamente em consequência do aumento da intensidade da resistência do ar. 3.3. Nos intervalos [20; 40] s e [45; 60] s a intensidade da resistência do ar torna-se igual à intensidade da força gravítica. As duas forças têm a mesma direção, a mesma intensidade mas sentidos opostos anulando-se. Sendo nula a intensidade da força resultante, o módulo da velocidade não varia, sendo também nulo o módulo da aceleração do paraquedista. 3.4. Aos 20 s de movimento o paraquedista atinge a primeira velocidade terminal e a queda dá-se com velocidade constante até abrir o paraquedas. Caso o paraquedista não abra o paraquedas, atingirá o solo com velocidade de módulo 50 m s 1. Como o paraquedista se desloca com velocidade constante: x = x0 + v t 0 = 800 50 t t = 16 s O paraquedista demoraria apenas 16 s a atingir o solo. 4.1. Curva A. 4.2. A pedaço de papel amarrotado: movimento retilíneo uniformemente acelerado. B pedaço de papel liso: [0,0; 0,4] s movimento retilíneo acelerado; [0,4; 0,7] s movimento retilíneo uniforme. 4.3.Como a resistência do ar atua no sentido contrário ao movimento e aumenta de intensidade, com o aumento do módulo da velocidade, a folha de papel lisa atingirá o solo com uma velocidade de módulo inferior à da folha de papel amarrotada, em que se despreza o efeito da resistência do ar. Escola Secundária de Lagoa Paula Melo Silva Página 6
4.4. Opção (C). 5.1. O corpo B, uma vez que a equação das posições corresponde a uma equação de primeiro grau em ordem a t que traduz a linearidade entre a posição e o tempo. Por outro lado, nessa expressão a aceleração é nula pelo que a velocidade não varia. 5.2. Corpo A 𝑥 = 5,0 4,0 t 2,0 t2 𝑥 = 5,0 4,0 5,0 2,0 5,02 𝑥 = 25,0 m Como o corpo inicia o seu movimento na posição 𝑥0 = 5,0 m, a componente escalar do deslocamento será, então: 𝑥 = 𝑥f 𝑥i 𝑥 = 25,0 5,0 = 30,0 m Corpo B 𝑥 = 25,0 16,0 t 𝑥 = 25,0 16,0 5,0 𝑥 = 105 m Como o corpo inicia o seu movimento na posição 𝑥0 = 25,0 m, a componente escalar do deslocamento será, então: 𝑥 = 𝑥f 𝑥i 𝑥 = 105 ( 25,0) = 80 m 5.3. a) O instante em que ocorre a inversão do sentido do movimento corresponde neste caso ao máximo da função. Com a calculadora TI-Nspire: Abrir um novo documento, selecionando a opção 1:Novo no ecrã inicial da calculadora. Adicionar uma página de Gráficos; Ao surgir a linha de entrada f1(x), introduzir a expressão 5,0 4,0 x 2,0 x2; Ajustar a janela, selecionando menu:, 4:Janela, 1:Definições da janela e introduzir os valores: xmin: 0; xmax: 10; Escala x: Automático; ymin: - 25; ymax: 10; Escala y: Automático; Para determinar a posição máxima atingida pelo corpo fazer menu:, 6:Analisar gráfico, 3:Máximo; Selecionar uma região à esquerda do máximo para limite inferior e uma região à direita do máximo para limite superior; Conclusão: o ponto obtido possui as coordenadas (1; 7), pelo que o corpo inverte o sentido ao fim de 1,0 s na posição 7,0 m. 4 5.3. b) O corpo passa pela origem das posições quando se encontra na abcissa zero, ou seja no(s) zero(s) da função. Com a calculadora TI-Nspire: Para determinar o(s) zero(s) da função selecionar Menu:, 6: Analisar gráfico, 1:Zero; Selecionar uma região à esquerda do zero para limite inferior e uma região à direita do zero para limite superior; Conclusão: o ponto obtido possui as coordenadas (2,87; 0), logo o corpo passa na origem das posições no instante 2,9 s. Escola Secundária de Lagoa Paula Melo Silva Página 7
0 F F N F F F 6.1. R g t R t De acordo com a Segunda Lei de Newton e tendo em conta que o automóvel se desloca no sentido positivo da trajetória: FR = m a 9,6 10 3 = 1,2 10 3 a a = 8,0 m s 2 6.2. x = x0 v0 t ½ a t 2 x = 17,0 t 4,0 t 2 (SI) 6.3. Como se trata de um MRUR, o gráfico x = f(t) deverá corresponder a um ramo de uma parábola, com curvatura para baixo uma vez que o declive da linha do gráfico v = f(t), que indica a componente escalar da aceleração, é negativo. x = 17,0 t 4,0 t 2 (SI) 6.4. Recorrendo à relação v = v0 a t, com v = 0 m s 1, é possível encontrar o tempo que demorou a travar: v = v0 a t 0 = 17,0 8,0 t t = 2,1 s Substituindo t por 2,1 s na equação das posições obtém-se a posição final do corpo: x = 17,0 t 4,0 t 2 x = 17,0 2,1 4,0 2,12 x = 18 m Como a posição inicial é 0 m e a posição final é 18 m, o corpo percorreu 18 m desde o momento de atuação da força até parar. 6.5. A força de travagem é uma força não conservativa. Como a trajetória é retilínea e não há inversão de sentido, a distância percorrida é igual ao módulo do deslocamento, logo, d = 18 m. E E E m c pg 1 ( 2 2 m f i ) ( f i ) E m v v mg h h 2 1 1,2 10 3 (0 2 17,0 2 ) 0 Em 2 5 E 1,7 10 J m W W E W Fnão conservativas Ft m Ft 5 1,7 10 J 5 3 W F cos 1,7 10 9,6 10 cos 180 Ft t r r r 18 m 7.1. A direção da força gravítica é perpendicular à direção da velocidade em cada ponto. 7.2. O satélite move-se em volta da Terra com uma velocidade de módulo suficientemente elevado e com direção perpendicular à força gravítica, fazendo com que esta seja responsável por manter a sua órbita. 7.3. Opção (B), pois o módulo da velocidade e a intensidade da força gravítica são constantes. 8.1. Não é correto afirmar que a velocidade é constante pois, embora não varie em módulo, varia constantemente em direção e sentido. 8.2. Opção (A). 8.3. Como a força gravítica que atua na Estação Espacial Internacional tem uma direção perpendicular à direção da velocidade, não lhe altera o módulo mas apenas a sua direção. 9.1. v = 25 km h 1 = 6,9 m s 1 2 r 2 0,35 v 6,9 0,32 s 9.2. 2 2 20 rad s 0,32 1 v r 6,9 0,35 20 rad s 1 9.3. Opção (A). Escola Secundária de Lagoa Paula Melo Silva Página 8
9.4. Se a válvula e o ponto da roda dentada completam a volta ao mesmo tempo apresentam igual período e, consequentemente, igual módulo de velocidade angular. Como ac = 2 r, o módulo da aceleração centrípeta é diretamente proporcional ao raio. Como o raio da circunferência descrita pela válvula é maior, esse ponto apresenta maior aceleração centrípeta. 11.3. Opção (B). 12.1. A altitude do satélite aumenta à medida que aumenta o período orbital. 12.2. O período orbital de um satélite geoestacionário é de 24 h, pelo que a altura acima da superfície da Terra a que se encontra é cerca de 36 milhões de metros. 12.3.1. Como os satélites do sistema GPS apresentam um período orbital inferior à dos satélites geoestacionários, terão uma órbita de raio inferior a estes. Bom trabalho Jovens Cientistas Paula Melo Silva Escola Secundária de Lagoa Paula Melo Silva Página 9