Quanto mais ato o coqueiro, maior é o tombo A UU L AL A Quanto mais ato o coqueiro, maior é o tombo, pra baixo todo santo ajuda, pra cima é um Deus nos acuda... Essas são frases conhecidas, ditos popuares que expressam a mesma idéia: na subida há consumo de energia, na queda ou descida, a energia é fornecida ou devovida. É por isso que o nosso amigo Roberto tinha esperanças de gastar a energia do chocoate subindo escadas. O que ee não imaginava é que o chocoate fosse capaz de fornecer tanta energia. Agora é a hora de saber como Maristea chegou à concusão surpreendente de que Roberto poderia subir mihares de degraus, comendo uma barrinha de chocoate! A primeira pergunta que se pode fazer é: por que subir é difíci e descer é fáci? Por que todo santo ajuda? A resposta está na ei da gravitação universa: a Terra nos atrai, puxa a gente para baixo. Na inguagem dos físicos, isso significa que a Terra exerce sobre cada corpo uma força proporciona à massa desse corpo, dirigida para baixo (para o centro da Terra). Quando evantamos agum objeto, devemos fazer uma força no mínimo igua ao seu peso (no começo ea deve ser um pouquinho maior, é caro). Para baixar esse objeto, não é preciso fazer força aguma, basta argá-o que a Terra se encarrega do serviço. Em outras paavras: para evantar um corpo é preciso exercer uma força sobre ee, reaizar um trabaho. Em compensação, esse trabaho não se perde. O corpo adquire uma energia. E essa energia fica armazenada no corpo porque ee pode, ao cair, devover o trabaho que reaizamos sobre ee. Mais ainda, a energia depende da posição, da atura em que ee está. É, portanto, uma energia potencia. E, como já vimos, sendo a origem dessa energia a atração gravitaciona da Terra, ea é uma energia potencia gravitaciona. Estudaremos agora essa energia e vamos aprender, finamente, como Maristea fez aquea conta mauca. Energia potencia gravitaciona Figura1 Suponha que um corpo de massa m estava no chão e você mg o evantou até uma atura h (ver a Figura 1). Que trabaho você h reaizou? Uma das maneiras de responder a essa pergunta é imaginar o que aconteceria se ee caísse ivremente, sob a ação da gravidade. Para trazê-o de vota ao chão a Terra deve reaizar um trabaho igua ao que fizemos para coocá-o á em cima. Portanto, o trabaho que reaizamos sobre o corpo é igua ao trabaho reaizado pea Terra. W t = mgh
A U L A Lembre-se da a expressão do trabaho de uma força: t F = F d cos a O trabaho reaizado pea Terra será o trabaho da força que ea exerce sobre o corpo, isto é, o peso do corpo ( P). ρ Então, o trabaho reaizado pea Terra é o trabaho do peso do corpo (t P ) ao ongo de um desocamento d = h, atura de queda. Como o peso atua na mesma direção e sentido do desocamento, o ânguo a é zero. Apicando-se a expressão do trabaho temos, então: t P = P h cos a = P h cos 0 = P h 1,0 = P h Mas, como P = mg, podemos escrever: t P = mgh Se esse é o trabaho reaizado peo peso do corpo durante a queda, essa é a energia que ee tinha armazenado quando nós o evantamos até a atura h. Em outras paavras, essa é a sua energia potencia gravitaciona, E P. Portanto, a energia potencia gravitaciona de um corpo de massa m, a uma atura h do soo, num ugar onde a aceeração da gravidade é g, pode ser definida pea expressão: E P = mgh A unidade de energia potencia é a mesma de trabaho e energia cinética, o joue (J). Quanto ao vaor de h, é importante notar que ee depende do referencia adotado. Suponha que o nosso amigo Roberto, que mora no 5º andar, queira cacuar a energia potencia gravitaciona de um pacote de açúcar em cima da mesa da cozinha do seu apartamento (ver a Figura 2). Que vaor de h ee deve usar? O da atura da mesa até o chão da cozinha ou da atura da mesa até o piso do andar térreo? A resposta é: depende do referencia adotado. Ee tanto pode cacuar a energia potencia gravitaciona em reação a um piso ou a outro. Em gera, essa escoha é feita em função do nosso interesse. Por exempo, se quisermos saber com que veocidade o pacote atinge o soo, vamos utiizar o vaor de h em reação ao chão da cozinha, já que o pacote não pode atravessá-o. Se quisermos cacuar a energia que podemos aproveitar de uma queda d água, vamos utiizar como referência a atura onde vão ser coocadas as turbinas e assim por diante. Uma concusão mais importante ainda é que a atura h não depende da trajetória, mas apenas do desníve entre os pontos inicia e fina. Observe a Figura 3: imagine que o trenzinho da figura seja soto a uma atura h do ponto mais baixo da sua trajetória. Pode-se mostrar que o trabaho reaizado pea Terra sobre o trenzinho é, sempre, mgh, quaquer que seja a trajetória do trenzinho. Isso porque sempre é possíve decompor quaquer trajetória em pequeninos trechos verticais e horizontais. Como nos horizontais a Terra não reaiza trabaho, porque o peso é perpendicuar ao desocamento, sobram só os verticais, que somados, dão sempre o mesmo vaor h (veja o destaque da Figura 3). h T rreo h Figura 2
P A U L A Figura 3 Passo-a-passo Suponha que o pacote de açúcar que está sobre a mesa da cozinha do Roberto tenha 2 kg. Qua é a energia potencia gravitaciona desse pacote em reação ao piso da cozinha e em reação ao piso do andar térreo? Vamos admitir que a atura da mesa seja h c = 0,8 m e que a atura do piso da cozinha ao piso do andar térreo seja m. Portanto, a atura do pacote ao piso do andar térreo é h t =,8 m. Então, a energia potencia gravitaciona (E Pc ) do pacote em reação ao piso da cozinha é E Pc = m g h c = 2 10 0,8 = 16 J Em reação ao piso do andar térreo, a energia potencia gravitaciona (E Pt ) é E Pt = m g h t = 2 10,8 = 316 J Passo-a-passo Um sitiante pretende instaar um gerador eétrico para aproveitar a energia de uma queda d água de 20 m de atura e vazão de 200 itros por segundo. Sabendo que cada itro de água tem massa de 1 kg e admitindo g = 10 m/s 2, qua a potência máxima que ee pode obter dessa queda d água? Lembrando a definição de potência, P = t/dt, para saber a potência máxima que pode ser aproveitada dessa queda d água é preciso saber qua o trabaho (t) que a água pode reaizar sobre o gerador (movendo uma roda-d água, por exempo) ocaizado no ponto mais baixo da queda. Esse trabaho deve ser reaizado num intervao de tempo Dt. Como a água cai continuamente, vamos considerar um intervao de tempo Dt = 1,0 s. Sendo de 200 itros por segundo a vazão da queda d água e como 1,0 itro de água tem uma massa de 1,0 kg, podese concuir que, no intervao de tempo considerado, cai sobre o gerador uma massa m = 200 kg de água. Por outro ado, o trabaho que essa água reaiza sobre o gerador, no ponto mais baixo, é igua a sua energia potencia gravitaciona no ato da queda d água, quando h = 20 m. Portanto, podemos escrever: P = t = E p D t D t = mgh 200 10 20 = = 40.000 W D t 1,0 Essa é a potência máxima ou potência tota que poderia ser obtida dessa queda d água. Dizemos máxima porque não pode ser atingida, sendo que a potência úti é bem menor, pois ocorrem inúmeras perdas. A água perde energia na queda devido ao atrito com o ar e com a roda-d água que ea deve fazer girar para acionar o gerador, que também tem perdas por atrito e aquecimento. Para saber o que de fato se aproveita, isto é, o vaor da potência úti, é necessário conhecer o rendimento do sistema.
A U L A Nesse útimo Passo-a-passo, você pôde perceber que, à medida que a água cai, sua veocidade aumenta. Isso significa que, durante a queda, a água adquire energia cinética. Mais ainda: enquanto a água cai, essa energia cinética aumenta pois a veocidade também aumenta. Por outro ado, ao mesmo tempo, a atura vai diminuindo e, portanto, a energia potencia gravitaciona também vai diminuindo. Será que não há uma compensação? O que se perde de uma forma de energia não se ganha de outra? Isso é verdade e é o assunto da nossa próxima aua. Mas, antes de passar à outra aua, é hora de pagar a nossa dívida. Expicar aquea conta mauca da Maristea. Vamos ver como ea fez. Em primeiro ugar, ea consutou numa tabea de aimentos as caorias que ees fornecem ao corpo humano. Lá está: 1,0 grama de chocoate fornece 4,7 quiocaorias (em agumas tabeas está escrito apenas caorias, mas o correto é quiocaorias). Quiocaoria é uma unidade de energia muito usada em termodinâmica e vae, aproximadamente, 4.200 J. Portanto, 1,0 g de chocoate fornece 4,7 4.200 J. Isso dá 19.740 J. Como o Roberto disse que a barrinha de chocoate tinha "só" 100 gramas, a energia que ee consumia era de 100 19.740 J, ou seja, 1.974.000 J! Agora, é só cacuar a que atura um corpo de 80 kg (que é a massa do Roberto) pode ser eevado com essa energia. Em outras paavras, se o organismo do Roberto tem disponíve uma energia de 1.974.000 J para subir, qua a atura que ee pode atingir carregando o seu próprio peso? Para fazer esse cácuo, basta apicar a definição de energia potencia, admitindo-se que toda energia do chocoate seja transformada em energia potencia no corpo do Roberto, e cacuar a atura h em que isso acontece. Teremos então: E P = mgh Þ 1.974.000 = 80 10 h Þ h = 2.467,5 m Em gera, os degraus das escadas têm 20 cm de atura (0,2 m) e os andares têm 3,0 m. Então, 2.467,5 m correspondem a 2.467,5 0,2 = 12.337,5 degraus e a 2.467,5 3,0 = 822,5 andares. Para subir apenas os 5 andares ( m), a energia necessária seria: E P = mgh Þ E P = 80 10 = 12.000 J Como 1,0 g de chocoate fornece 19.740 J, bastariam 12.000 19740 = 0,6 g de chocoate, aproximadamente para subir até sua casa. Esses resutados são tão fantásticos porque o organismo humano é, de fato, uma máquina fantástica. Aém disso, estamos supondo que toda a energia do chocoate foi usada peo organismo para fazer o Roberto subir, o que não é verdade. O vaor rea, certamente, é menor, mas uma concusão é, infeizmente, inevitáve: a única forma eficiente de emagrecer é não comer muito chocoate! Nesta aua você aprendeu: o conceito de energia potencia e como cacuá-a; como cacuar a potência fornecida por uma queda d'água. aguns exempos de transformação de energia.
Exercício 1 Suponha que um pacote de açúcar com massa de 5 kg está sobre o armário da cozinha de sua casa. O armário tem 1,8 m e você mora no 10º andar de um prédio em que o piso do seu andar está a 30 m do soo. Qua a energia potencia gravitaciona desse pacote em reação ao piso da cozinha e em reação ao piso do andar térreo? A U L A Exercício 2 Um sitiante pretende instaar um gerador eétrico para aproveitar a energia de uma queda d água de 12 m de atura e vazão de 60 itros por segundo. Sabendo que cada itro de água tem massa de 1 kg e admitindo g = 10 m/s 2, qua é a potência máxima que ee poderá obter dessa queda d água? Exercício 3 Suponha que o nosso amigo Roberto substitui o chocoate por um suco com 100 gramas de beterraba e cenoura, sem açúcar. Sabendo que 1,0 grama desses saudáveis e saborosos vegetais tem 400 caorias, cacue a atura que ee seria capaz de subir se toda energia desses aimentos fosse aproveitada para isso. Admita que g = 10 m/s 2, que 1 caoria vae 4,2J e embre-se de que a massa do Roberto é de 80 kg.