Cálculo de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais

Instituto Superior de Transportes e Comunicações Cálculo de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais Órgãos de Máquinas Aula 3 3⁰ Ano Eng⁰ Eulices Mabasso

Tópicos 1. Conceitos gerais Transmissões por engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 3. Esforços actuantes nas transmissões helicoidais 4. Resistência das engrenagens helicoidais 5. Dimensionamento de engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 6. Cálculo cinemático 2

1. Conceitos gerais Engrenagens cilíndricas de dentes inclinados, ou helicoidais, são construídas com dentes que não são alinhados com a direção axial dos elementos de transmissão. São utilizadas quando é necessário construir reduções que ocupem menor espaço axial e que gerem menor ruído. A primeira característica vem do fato de que a largura efetiva dos dentes é maior do que a de engrenagens cilíndricas de dentes retos e a segunda é devida ao engrenamento gradual dos dentes. Engrenagens de dentes inclinados geram esforços axiais, já que o contato ocorre em um plano inclinado em relação ao eixo dos elementos. 3

1. Conceitos gerais Para suportar esses esforços deve-se prever a utilização de mancais de escora ou mancais radiais, como os rolamentos de contato angular. Uma providência de projeto bastante comum é a montagem de uma redução com dois pares de engrenagens, cada conjunto gerando esforços axiais em uma direção. Com engrenagens semelhantes, os esforços axiais resultantes serão mínimos. A figura 2 mostra esse tipo de montagem. 4

1. Conceitos gerais A fabricação dos dentes é similar à fabricação de dentes de rodas dentadas com dentes rectos. Por isso, o perfil dos dentes na secção normal n- n é similar ao perfil de dentes rectos. 5

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais Um esquema dos dentes e das variáveis envolvidas no estudo das engrenagens helicoidais é mostrado na figura 1. Nessa figura, β é o ângulo de hélice, que define a inclinação dos dentes em relação ao eixo das engrenagens; p é o passo; p n é o passo normal ou ortogonal; p a é o passo axial e b é a largura da engrenagem. A variável b,, não mostrada, é utilizada para a largura efetiva dos dentes, que em engrenagens helicoidais depende do ângulo de hélice. Fig 1. Vista Superior de uma Engrenagem Helicoidal mostrando as designações mais importantes 6

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais A figura 1 também mostra os planos RR e NN. O primeiro é o plano perpendicular ao eixo da engrenagem e o segundo é perpendicular aos dentes. A visão dos dentes em cada plano é diferente. A figura 2 mostra os dentes em ambos os planos. Nessa figura, φ n é o ângulo de pressão normal ou ortogonal e φ é o ângulo de pressão. Pode-se notar que os ângulos são diferentes. Fig 1. Vista Superior de uma Engrenagem Helicoidal mostrando as designações mais importantes 7

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais O ângulo normal é o que realmente está no plano de rolamento e é normalizado. Embora o perfil dos dentes deva ser evolvental nesse plano, dificuldades de fabricação impedem que isso ocorra. Pequenas diferenças são levadas em conta no dimensionamento através da modificação dos fatores geométricos. Fig 2. Visualização dos Dentes de Engrenagens Helicoidais. À esquerda, corte no Plano NN da figura 1; à direita, corte no Plano RR 8

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais Com as figuras 1 e 2 é possível descrever as relações entre as diversas variáveis. Assim, o passo normal pode ser calculado por: 1. Passo tangencial p t = p n /cosβ 2. módulo tangencial m t = m n /cosβ 3. Diâmetro primitivo d = m t z = m n z/cosβ 1 2 3 Os índices "n" e "t" designam "normal" e "tangencial", respectivamente. A resistência dos dentes é determinada para dimensões e forma na secção normal. A forma do dente na secção normal permite idealizar uma roda dentada com dentes rectos equivalente à roda dentada com dentes helicoidais. 9

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais A forma do dente na secção normal permite idealizar uma roda dentada com dentes rectos equivalente à roda dentada com dentes helicoidais: A secção da roda dentada normal ao eixo do dente é uma elipse com semieixos c = r e e = r/cos β, onde r = d/2. Para engrenamento, a segunda roda situa-se numa posição correspondente ao eixo menor da elipse, à distância c = d/2 = r. Esta é a posição real. O raio de curvatura da elipse no eixo menor (da geometria da elipse) é: r v = e 2 /c 4 Fig 3. Roda virtual, equivalente a uma engrenagem helicoidal e seu respectivo diâmetro, dv 10

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais A forma do dente na secção normal permite idealizar uma roda dentada com dentes rectos equivalente à roda dentada com dentes helicoidais: O raio r v é o raio da roda dentada cilíndrica com dentes rectos equivalente ou virtual. De modo similar, pode-se determinar um diâmetro da roda cilíndrica com dentes rectos equivalente à roda cilíndrica com dentes helicoidais por: d v = d/cos 2 β 4 Fig 3. Roda virtual, equivalente a uma engrenagem helicoidal e seu respectivo diâmetro, dv 11

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais z v = d v m n = d m n cos 2 β = m t z z m t cos 3 β v = z cos 3 β 4 Por exemplo, para β = 20 o d v = 1,13 d e z v = 1,2 z 5 O aumento dos parâmetros equivalentes (d v e z v ) com o aumento do ângulo β resulta no aumento da resistência das transmissões com dentes helicoidais relativamente a transmissões com dentes rectos. Para efeitos de cálculo projectivo, este aumento de resistência relativa resulta na redução das dimensões da transmissão. A redução de ruídos e menores exigências de comprimento da linha de movimentação (ou do grau de recobrimento aparente) devidas à inclinação dos dentes, contribuem para a popularidade do uso de rodas dentadas com dentes inclinados, apesar do inconveniente de gerar forças parasitas na direcção axial das rodas dentadas. 12

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 2.1. Multiparidade e suavidade de funcionamento Enquanto que os dentes rectos engrenam instantaneamente ao longo de todo o seu comprimento, nas engrenagens com dentes inclinados o engrenamento é progressivo do ponto 1 ao ponto 2 (fig. 4). As posições das linhas de contacto são mostradas na fig. 5. As linhas de contacto não estão dispostas sob ângulo o β mas sob o βb, que é um parâmetro referente à superfície de base, mas para fins práticos considera-se que βb β. Fig 4. Inclinação dos dentes em engrenagens com dentes helicoidais 13

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 2.1. Multiparidade e suavidade de funcionamento Durante a rotação das engrenagens, as linhas de contacto deslocam-se na direcção indicada pela seta. Para o instante da observação patente na figura 5, há três pares de dentes em engrenamento: 1, 2 e 3. O par 2 engrena ao longo de toda a extensão do dente, mas os pares 1 e 3 engrenam parcialmente. Quando o par 3 sai do engrenamento no ponto 3' os pares 1 e 2 continuam em engrenamento nos pontos 1' e 2', respectivamente. Fig 5. Multiparidade em engrenagens com dentes helicoidais 14

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 2.1. Multiparidade e suavidade de funcionamento Por isso, as rodas dentadas com dentes inclinados não têm zonas em que só há um par de dentes em engrenamento, diferentemente das rodas com dentes rectos. Isto reduz os choques e ruídos, resultando numa maior capacidade de carga (devida à redução de cargas dinâmicas e outros efeitos) e suavidade de funcionamento. Nas transmissões com dentes inclinados há um mínimo de 2 pares de dentes em engrenamento. Fig 5. Multiparidade em engrenagens com dentes helicoidais 15

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 2.1. Multiparidade e suavidade de funcionamento As transmissões com dentes inclinados podem funcionar com ε α < 1 desde que o recobrimento axial se verifique: b w < p bt (fig. 5). O grau de recobrimento (ou tgβ coeficiente de sobreposição axial) é: 6 7 Fig 5. Multiparidade em engrenagens com dentes helicoidais 16

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 2.1. Multiparidade e suavidade de funcionamento É de recomendar a escolha de ε β 1,1. É particularmente benéfico escolher um valor ε β = 2 ou 3 (número inteiro), para depois calcular o valor de β a posteriori. Para dentes inclinados, a carga distribui-se por todas as linhas de contacto agregadas nos pares 1, 2 e 3 (fig. 5). A carga específica diminui com o aumento do somatório do comprimento das linhas de contacto l Σ. Considerando o grau de recobrimento aparente (ou razão de transmissão frontal) ε α, da figura 5, tem-se: 17

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 2.1. Multiparidade e suavidade de funcionamento Pode-se depreender que ε β aumenta com o aumento de β, mas este aumento acarreta o inconveniente de aumentar as forças axiais. Por isso, o ângulo β é limitado: 18

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 2.1. Multiparidade e suavidade de funcionamento Nas transmissões por dentes inclinados a linha de contacto não é paralela ao eixo da roda. Não só se inclina no sentido do ângulo β como também se inclina num ângulo λ relativamente à linha da crista dos dentes e ocupa uma faixa de alturas no flanco do dente. (fig. 6). O ângulo λ é proporcional ao ângulo β. A distribuição da carga q ao longo da linha de contacto não é uniforme, pois a linha de contacto em cada dente inclinado é ligeiramente arqueada, devido à inclinação do dente. A carga é máxima a meio da linha. 19

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 2.1. Multiparidade e suavidade de funcionamento O uso de dentes inclinados permite o emprego de materiais mais duros e mais resistentes. Em geral, o uso de dentes inclinados aumenta a capacidade de carga da transmissão em 25... 30%, em comparação com a de dentes rectos. Fig 6. Inlcinação das linhas de contacto em engrenagens com dentes helicoidais 20

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 2.2. Coeficiente de sobreposição frontal ou tangencial Para transmissões por engrenagens com dentes inclinados, sem deslocamento do perfil, o coeficiente de sobreposição frontal ou tangencial ou de face é dado por: Se bem que se recomenda ε α 1,4 (1,2 em casos extremos) para dentes rectos, para dentes inclinados aceita-se ε α 1. 21

3. Esforços actuantes nas transmissões helicoidais Conforme já mencionado, o contato entre os dentes ocorre no plano inclinado NN. Assim, a força de contato F, que é normal à superfície de ambos os dentes, também deve estar nesse plano. Devido à essa inclinação, três componentes de força são geradas. As componentes radial (Fr) e axial (Fa) não causam torque nos eixos de transmissão. A primeira causa flexão e a segunda apenas tensão axial. Embora sejam importantes no dimensionamento da transmissão com um todo (eixos, engrenagens, selos, mancais,..) aparecem apenas indiretamente nos cálculos das tensões nos dentes. 22

3. Esforços actuantes nas transmissões helicoidais De fato, uma vez que os ângulos de hélice e pressão para um conjunto de redução são fixos e definem a relação entre as forças, o efeito de cada uma pode ser incluído na força tangencial (Ft), que é a que define o torque que está sendo transmitido. A figura 7 permite determinar as relações entre as forças. Nessa figura é mostrada uma vista superior da engrenagem helicoidal e os dentes nos planos RR e NN. Fig 7. Esquema para a determinação das relações entre as Forças em Engrenagens Helicoidais 23

3. Esforços actuantes nas transmissões helicoidais A força tangencial pode ser obtida a partir dos dados de entrada do problema. Normalmente esses dados são a potência (ou torque) e a rotação da fonte de acionamento (motor). Para calcular a força é necessário que se conheça o raio da engrenagem, que não está disponível no início de um projeto. 8 24

3. Esforços actuantes nas transmissões helicoidais A força tangencial pode ser obtida a partir dos dados de entrada do problema. Normalmente esses dados são a potência (ou torque) e a rotação da fonte de acionamento (motor). Para calcular a força é necessário que se conheça o raio da engrenagem, que não está disponível no início de um projeto. 8 25

3. Esforços actuantes nas transmissões helicoidais Para determinar as forças que actuam nas engrenagens angulares (espinha de peixe, bihelicoidais, dois pares de engrenagens), usa-se o mesmo metódo (fórmulas 8 ), sendo que para rodas dentadas com dentes angulares (fig. 8.b) a força axial resultante é nula. Fig 8. Forças nas engrenagens com dentes helicoidais 26

4. Resistência das engrenagens helicoidais Da mesma forma que para engrenagens cilíndricas de dentes retos, as tensões relevantes para o dimensionamento dos dentes são geradas pela força a ser transmitida. A figura 6 mostra um modelo foto-elástico de um dente em contato com outro de um material metálico. Por essa técnica é possível visualizar as linhas de deformação (ou tensão) geradas pelos esforços. A diminuição do espaçamento dessas linhas significa uma maior concentração de tensões. 27

4. Resistência das engrenagens helicoidais Observando a figura é possível identificar a raiz do dente e o ponto de contato entre os dentes como os pontos de maior tensão, conforme já visto no estudo de engrenagens de dentes retos. Fig 9. Tensões nas engrenagens com dentes helicoidais 28

4. Resistência das engrenagens helicoidais 4.1. Cálculo da resistência à fadiga por contacto A resistência ao contacto é verificada utilizando a fórmula de Hertz. Porém, a carga específica é dada pela expressão: 9 29

4. Resistência das engrenagens helicoidais 4.1. Cálculo da resistência à fadiga por contacto e substituindo dw1 por dv1 pela expressão obtida na fórmula: d v = cos 2 β obtém-se a seguinte fórmula para o raio reduzido de curvatura das engrenagens helicoidais: d 10 30

4. Resistência das engrenagens helicoidais 4.1. Cálculo da resistência à fadiga por contacto Comparando a fórmula para a relação helicoidais conclui-se que: q ρ red em dentes rectos 9)) e dentes 10 31

4. Resistência das engrenagens helicoidais 4.1. Cálculo da resistência à fadiga por contacto O valor de K Hα é, geralmente, apenas um pouco superior a 1 e ε α é quase sempre maior que K Hα, pelo que Z Hβ é menor que 1. Isto significa que os dentes helicoidais sofrem menores tensões que os rectos. Por isso Z Hβ é chamado coeficiente de aumento da resistência dos dentes helicoidais às tensões de contacto. Usando o novo coeficiente, temos a seguinte fórmula: KHv 1,0 K H = K Hβ K HV 10 32

4. Resistência das engrenagens helicoidais 4.1. Cálculo da resistência à fadiga por contacto Os valores dos coeficientes de irregularidade da carga no engrenamento K Hα são aproximados e são dados na tabela 1. Em princípio, os dentes helicoidais são engrenados de tal forma que há pelo menos dois pares de dentes em engrenamento em qualquer instante. Por isso as sobrecargas devidas a irregularidades de fabricação são pequenas. 10 33

4. Resistência das engrenagens helicoidais 4.1. Cálculo da resistência à fadiga por contacto Os valores dos coeficientes de irregularidade da carga no engrenamento K Hα são aproximados e são dados na tabela 1. Uma vez que no início do cálculo projectivo não são conhecidos muitos dos parâmetros geométricos, arbitram-se valores aproximados de forma a simplificar o procedimento. O efeito das aproximações pode ser corrigido em cálculos testadores. Assim, assumindo os seguintes valores aproximados: ε α = 1,5 e β = 12 o, o valor de Z Hβ fica aproximadamente igual a 0,85 e as fórmulas para o cálculo do diâmetro e da distância interaxial ficam: 11 12 34

4. Resistência das engrenagens helicoidais 4.1. Cálculo da resistência à fadiga por contacto Os números das curvas Correspondem às transmissões Esquematizadas acima. 35

4. Resistência das engrenagens helicoidais 4.2. Cálculo da resistência dos dentes à fadiga por flexão Este cálculo é feito por analogia às transmissões cilíndricas com dentes rectos. As fórmulas para as tensões de flexão e para o módulo ficam modificadas com a incorporação de um coeficiente que espelha o aumento da resistência dos dentes à flexão, ZFβ, análogo a ZHβ, para tensões de flexão. Porém, o coeficiente KFv para engrenagens com dentes helicoidais é baixo e aproximadamente igual à unidade: KFv 1,5, e por isso o coeficiente fica reduzido. K F = K Fβ K FV 13 36

4. Resistência das engrenagens helicoidais 4.2. Cálculo da resistência dos dentes à fadiga por flexão O módulo e os outros coeficientes podem ser determinados com base nas seguintes fórmulas: 14 15 O coeficiente YF é o coeficiente de forma do dente e é escolhido das mesmas tabelas ou dos mesmos gráficos que para dentes rectos. Porém, em vez do número real de dentes usa-se o número virtual, zv, que se calcula utilizando a fórmula (5). Os valores de β e de ψm escolhem-se de recomendações. 37

4. Resistência das engrenagens helicoidais 4.2. Cálculo da resistência dos dentes à fadiga por flexão 38

4. Resistência das engrenagens helicoidais 4.2. Cálculo da resistência dos dentes à fadiga por flexão Valores dos módulos normalizados, em milímetros 39

4. Resistência das engrenagens helicoidais 4.2. Cálculo da resistência dos dentes à fadiga por flexão Os valores comuns de YF estão próximos de 3,5... 4. Estes valores são aceitáveis como valores aproximados de YF para engrenagens externas, sem modificação do perfil do dente, isto é, sem deslocamento. 40

Exercícios 1. Determinar os parâmetros geométricos, a tensão de contacto e as forças que actuam no par de engrenagens helicoidais (ECDH), para que possa atuar com segurança na transmissão representada na figura abaixo. O accionamento será por meio do motor eléctrico com potência: P = 14,7kW 20cv n = 1140 rpm (ω = 38πrad s ) Considere: b d = 0,25 coeficiente de largura α = 20o z 1 = 29, z 2 = 89 m n = 3mm, β o = 20 o. 41

Exercícios 2. Determinar a força que actua no veio-ii e verificar se os dentes resistem ao contacto, considerar a tensão admissível de σ H = 500MPa e HB>350 (disposição simetrica das rodas em relação aos apoios, transmissão geral do tipo redutor). Considere os seguintes dados: P = 11kW 15cv n = 1140 rpm) Considere: ψ bd = 0,4 α = 20 o u = 3, β = 20 o. 42

Exercícios 3. Um pinhão de aço de 12 dentes, módulo de 2,5 mm, fresado com um ângulo de pressão de 18 o,e o ângulo de inclinação dos dentes igual à 20 o, gira a 1800 rpm e acopla-se a uma engrenagem de ferro fundido de 72 dentes. Calcular a tensão de contacto superficial critica que atuaria nos dentes se o par transmitir uma potência de 1,5 kw, a largura do denteado é de 38 mm. Para todos materiais HB<350. 4. Um pinhão de aço tem módulo de 4,0 mm, 20 o de ângulo de pressão e o ângulo de inclinação dos dentes igual à 18 o, de 32 dentes, gira a 900 rpm e transmite 9,5 kw a uma engrenagem de 60 dentes (considerar o deslocamento nulo). Calcular a tensão normal de flexão dos dentes do pinhão considerando a largura do dentado de 38 mm. Para todos materiais HB<350. 43

Exercícios 3. Determinar o diâmetro primitivo da roda movida de ferro fundido (o pinhão é de aço) duma transmissão, com tensão admissível de σ H = 400MPa, HB<350 (disposição simetrica das rodas em relação aos apoios, transmissão muito carregada e precisa). Considere os seguintes dados: P = 60kW n = 1200 rpm) Considere: ψ bd = 0,8 α = 20 o u = 5, β = 20 o. 44