Elementos de Máquinas

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1 Elementos de Máquinas Engrenages Cilíndricas de Dentes Retos e Helicoidais Ramiro Brito Willmersdorf ramiro@willmersdorf.net Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Pernambuco

2 Introdução Considerações Gerais Apenas o dimensionamento mecânico; Cinemática e dinâmica já visto em Mecanismos; Revisão mais do que indicada (Cap. 13 Shigley); Engrenagens cilíndricas de dentes retos e helicoidais, o dimensionamento é idêntico; Dois procedimentos: Lewis e AGMA.

3 Equação de Lewis Lewis 1892 Procedimento básico para análise preliminar. σ = M I /c = 6W t l Ft 2 Semelhança de triângulos: ou t/2 x = l t/2 x = t2 4l

6 Equação de Lewis Lewis 1892 (Cont.) Tensão na base do dente: σ = 6W t l Ft 2 = W t F 1 t 2 /4l = W t F 1 1 t 2 /4l 4 6 Como x = t 2 /4l, Denominando y = 2x/3p σ = W t F 2 3 x = W t p F 2 3 xp σ = W t Fpy

12 Equação de Lewis Lewis 1892 (Cont.) Usando o passo diametral P = π/p, e Y = πy σ = W t Fpy = W t P FY, onde Y = 2xP 3. Esta equação considera apenas a flexão! Considera carga na ponta do dente, que não necessariamente é a situação mais crítica.

15 Equação de Lewis Fator de Forma Y de Lewis (P = 1)

16 Equação de Lewis de Velocidade Existe um aumento de carga em função da velocidade de operação: Para velocidades em pés/minuto: K v = V, perfil fundido 600 K v = V, perfil cortado ou fresado 1200 K v = 50 + V, fresado em caracol ou conformado V K v =, rebarbado ou retificado 78

17 Equação de Lewis de Velocidade Para velocidades em metros/segundo: K v = 3,05 + V, 3,05 perfil fundido K v = 6,1 + V, 6,1 perfil cortado ou fresado K v = 3,56 + V, fresado em caracol ou conformado 3,56 5,56 + V K v =, rebarbado ou retificado 5,56

18 Equação de Lewis Equação de Lewis σ = K v W t P FY (US); σ = K v W t FmY (SI). Recomendação de Projeto: 3p F 5p. Base para o projeto pela AGMA, e para o projeto manual. O projeto manual deve ser feito considerando a resistência estática e e a resistência à fadiga.

22 Equação de Lewis Durabilidade Superficial Os dentes podem falhar sob fadiga superficial também! A tensão Hertziana entre dois cilindros é dada por: p max = 2F πbl onde F : força de compressão, l: comprimento dos cilindros e a semilargura b é: b = { 2F πl com d 1,2 : diâmetros dos cilindros. [(1 ν1 2)/E 1] + [(1 ν2 2)/E } 1 2 2] (1/d 1 ) + (1/d 2 )

23 Equação de Lewis Durabilidade Superficial (cont.) Usando F = W t / cos φ, d = 2r e l = F, σ 2 C = (1/r 1 ) + (1/r 2 ) πf cos φ [(1 ν1 2)/E 1] + [(1 ν2 2)/E 2] W t r 1,2 : raios de curvatura instantâneos no ponto de contato. Lembrança: só há rolamento puro exatamente no ponto primitivo. Os raios de curvatura no ponto primitivo são r 1 = d P sin φ 2 e r 2 = d G sin φ 2

26 Equação de Lewis Durabilidade Superficial (cont.) Agrupando as constantes elásticas no Coeficiente Elástico C p = ( 1 ν 2 π P E P 1 ) + 1 ν2 G E G Adicionando também um coeficiente dinâmico, [ Kv W t ( 1 σ C = C p + 1 )] 1 2, F cos φ r 1 r 2 Que também deve considerar a fadiga! 1 2,

27 Equação de Lewis Durabilidade Superficial (cont.) Agrupando as constantes elásticas no Coeficiente Elástico C p = ( 1 ν 2 π P E P 1 ) + 1 ν2 G E G Adicionando também um coeficiente dinâmico, [ Kv W t ( 1 σ C = C p + 1 )] 1 2, F cos φ r 1 r 2 Que também deve considerar a fadiga! 1 2,

28 Equações de Tensão da AGMA Equações de Tensão AGMA O projeto moderno de engrenagens é feito com base nas equações da AGMA. Claramente inspiradas nas eq. clássicas; Vários fatores de correção experimentais; Tensões chamadas números de tensão; Consideração detalhada de fadiga (superficial e flexional); Equações para flexão e desgaste superficial.

29 Equações de Tensão da AGMA Equações para Flexão USA: σ = W t K o K v K s P d F SI: K m K B J σ = W t K o K v K s 1 bm t K H K B Y J W t : força tangencial, lbf(n); K o : fator de sobrecarga; K v : fator dinâmico; K s : fator de tamanho; P d : passo diametral transversal; F (b): largura da face, in(mm); K m (K H ): fator de distribuição de carga; K B : fator de espessura de borda; J(Y j ): fator geométrico; m t : módulo transversal.

30 Equações de Tensão da AGMA Equações para Crateramento Superficial USA: σ c = C p SI: σ c = Z E W t K o K v K s K m d P F K H W t K o K v K s d w1 b C f I Z R Z I W t : força tangencial, lbf(n); K o : fator de sobrecarga; K v : fator dinâmico; K s : fator de tamanho; F (b): largura da face; C p (Z E ): coeficiente elástico, lbf/in 2 ( N/mm 2 ); C f (Z R ): fator de condição superficial; d p (d w1 ): diâmetro primitivo do pinhão, in(mm) I (Z I ): fator geométrico para crateramento.

31 Equações de Resistência da AGMA Equações de resistência da AGMA Números de tensão admissível: Não são usadas as propriedades normais do material; Gráficos e fórmulas específicas para engrenagens; Dadas em função da dureza superficial e qualidade do aço; de correção para flexão e compressão que consideram efeitos de fadiga; Os números de tensão admissível valem para Carregamento unidirecional; 10 milhões de ciclos de carregamento; Confiabilidade de 99%.

32 Equações de Resistência da AGMA Flexão Resistência à Flexão Aços Endurecidos por Completo S = 0,533H B + 88,3 MPa, grau 1 S = 0,703H B + 113,3 MPa, grau 2

33 Equações de Resistência da AGMA Flexão Flexão Aços Endurecidos Totalmente por Nitretação S = 0,568H B + 83,8 MPa, grau 1 S = 0,749H B MPa, grau 2

34 Equações de Resistência da AGMA Flexão Flexão Aços Nitretados

35 Equações de Resistência da AGMA Flexão Flexão Aços Nitretados (cont.) S = 0,594H B + 87,76 MPa, Nitralloy grau 1 S = 0,784H B + 114,81 MPa, Nitralloy grau 2 S = 0,7255H B + 63,89 MPa, 2,5% cromo grau 1 S = 0,7255H B + 153,63 MPa, 2,5% cromo grau 2 S = 0,7255H B + 291,9 MPa, 2,5% cromo grau 3

36 Equações de Resistência da AGMA Flexão Flexão Outros Aços

37 Equações de Resistência da AGMA Flexão Flexão Outros Materiais

38 Equações de Resistência da AGMA Flexão Flexão Bidirecional Quando houver carregamento bidirecional, a AGMA recomenda que seja usado 70% do valor da resistência S l encontrada nas fórmulas, gráficos ou tabelas.

39 Equações de Resistência da AGMA Compressão Resistência à Compressão Aços Endurecidos por Completo S = 2,22H B MPa, grau 1 S = 2,41H B MPa, grau 2

40 Equações de Resistência da AGMA Compressão Nitretação Dureza Resultante

41 Equações de Resistência da AGMA Compressão Resistência à Compressão Outros Aços

42 Equações de Resistência da AGMA Compressão Resistência à Compressão Outros Materiais

43 Tensões Admissíveis Flexão Tensão Admissível USA: SI: σ all = S t S F σ all = S t S F Y N K T K R Y N Y θ Y Z S t : tensão de flexão admissível, lbf/in 2 (N/mm 2 ); Y N : fator de ciclagem de tensão; K T (Y θ ): fator de temperatura; K R (Y Z ): fator de confiabilidade; S F : fator de segurança da AGMA;

44 Tensões Admissíveis Contato Tensão Admissível USA: SI: σ c,all = S c S H Z N C H K T K R σ all = S c S H Z N Z W Y θ Y Z S c : tensão de contato admissível, lbf/in 2 (N/mm 2 ); Z N : fator de ciclagem de tensão; C H (Z W )): fatores de razão de dureza; K T (Y θ ): fator de temperatura; K R (Y Z ): fator de confiabilidade; S H : fator de segurança da AGMA;

45 Geométricos Geométricos I e J (Z I e Y J ) Usados para introduzir a forma do dente na equação de tensão (analogamente ao fator geométrico Y.) Dependem da razão de contato de face: m F = F p x onde, p x : passo axial, F : largura da face. Para ECDR, m F = 0.

46 Geométricos Geométricos para Flexão J (Y J ) J = Y K f m N onde, Y : fator de forma (dado, não Lewis); K f : fator de concentração de tensão para fadiga; m N : razão de compartilhamento de carga no dente. Para ECDR, m N = 1,0. Para ECDH, m N = onde, p N : passo de base normal; Z: comprimento da linha de ação. p N 0,95Z

47 Geométricos Comprimento da Linha de Ação

48 Geométricos Fator J, ECDR

49 Geométricos Fator J, ECDH Para engrenagens de 75 dentes.

50 Geométricos Multiplicadores de J para ECDH Para engrenagens com números de dentes diferente de 75.

51 Geométricos Fator de Resistência Superficial I (Z I ) Podemos escrever = 2 ( ) r 1 r 2 sin φ t d P d G onde φ t é o ângulo de pressão transversal. A razão de velocidades é dada por m G = N G N P = d G d P O que leva a 1 r r 2 = 2 d P sin φ t m G + 1 m G

54 Geométricos Fator de Resistência Superficial I (Z I ) (cont.) A equação para tensão de contato é [ Kv W t ( 1 σ C = C p + 1 )] 1 2. F cos φ r 1 r 2 Substituido a soma dos inversos dos raios, [ Kv W t ( σ C = C p F cos φ Rearrumando e redefinindo σ c = σ C = C p [ K v W t d P F 2 m G + 1 d P sin φ t m G 1 cos φ t sin φ t 2 m G m G +1 )] 1 2, ] 1 2.

57 Geométricos Fator de Resistência Superficial I (Z I ) (cont.) O fator geométrico para crateramento é e I = cos φ t sin φ t 2m N I = cos φ t sin φ t 2m N m G m G + 1, m G m G + 1, onde a razão de compartilhamento de carga é m N = para engrenagens externas, para engrenagens internas, p N 0,95Z.

58 Geométricos Cálculo de m N O passo normal no círculo de base é p N = p n cos φ n onde p n é o passo circular normal. O comprimento da linha de contato é dado por Z = [ (r P + a) 2 rbp 2 ] [ (r G + a) 2 rbg 2 ] 1 2 (r P + r G ) sin φ t onde, é claro, r b = r cos φ t.

59 Geométricos Cálculo de m N O passo normal no círculo de base é p N = p n cos φ n onde p n é o passo circular normal. O comprimento da linha de contato é dado por Z = [ (r P + a) 2 rbp 2 ] [ (r G + a) 2 rbg 2 ] 1 2 (r P + r G ) sin φ t onde, é claro, r b = r cos φ t.

60 Outros Coeficiente Elástico C p (Z E ) Ou calculado por C p = ( 1 ν 2 π P E P 1 ) + 1 ν2 G E G 1 2, ou tabelado.

61 Outros Coeficiente Elástico C p (Z E ) (cont.)

62 Outros Fator Dinâmico K v Considera o erro de transmisão, causado por: erros no espaçamento, perfil, acabamento; vibração do dente; magnitude da velocidade no círculo primitivo; desbalaceameto dinâmico; desgaste e deformação permanente; desalinhamento devido à deflexões lineares e angulares; fricção entre dentes. AGMA define números de qualidade Q v, que determinam as tolerâncias para uma determinada acurácia especificada. 3 Q v 7, engrenagens normais, qualidade comercial; 8 Q v 12, engrenagens precisas.

63 Outros Fator Dinâmico K v Considera o erro de transmisão, causado por: erros no espaçamento, perfil, acabamento; vibração do dente; magnitude da velocidade no círculo primitivo; desbalaceameto dinâmico; desgaste e deformação permanente; desalinhamento devido à deflexões lineares e angulares; fricção entre dentes. AGMA define números de qualidade Q v, que determinam as tolerâncias para uma determinada acurácia especificada. 3 Q v 7, engrenagens normais, qualidade comercial; 8 Q v 12, engrenagens precisas.

64 Outros Fator Dinâmico K v (cont.) onde ( K v = ( A + V A A + 200V A ) B, V em ft/min ) B, V em m/s A = (1 B) B = 0,25(12 Q v ) 2 3. A velocidade máxima para cada número de qualidade é dada por [A + (Q v 3)] 2, em ft/min (V r ) = [A + (Q v 3)] em m/s

65 Outros Fator Dinâmico K v (cont.) onde ( K v = ( A + V A A + 200V A ) B, V em ft/min ) B, V em m/s A = (1 B) B = 0,25(12 Q v ) 2 3. A velocidade máxima para cada número de qualidade é dada por [A + (Q v 3)] 2, em ft/min (V r ) = [A + (Q v 3)] em m/s

66 Outros Fator Dinâmico K v (cont.) Graficamente,

67 Outros Fator de Sobrecarga K o São aplicados de acordo com a experiência do fabricante, para cobrir: variações de torque; reações da carga; Máquina acionada Choques Choques Fonte de potência Uniforme Moderados Intensos Uniforme 1,00 1,25 1,75 Choque leve 1,25 1,50 2,00 Choque médio 1,50 1,75 2,25

68 Outros Fator de Condição de Superfície C f (Z R ) Aplicado à crateramento apenas. Não é tabelado, depende de: acabamento superficial devido ao processo de fabricação; tensões residuais; efeitos plásticos (encruamento) A AGMA recomenda o uso deste fator quando há desconfiança que algum efeito de superfície possa ser detrimental à vida por fadiga da engrenagem.

69 Outros Fator de Tamanho K s Deveria considerar tamanho do dente; diâmetro da peça; razão entre os tamanhos; largura da face; área padrão de tensão; razão entre profundidade da camada e tamanho do dente; capacidade de endurecimento e tratamento térmico. Infelizmente não há valores tabelados. Pode-se usar K s = 1, ou fazer uma análise de fadiga e ( F ) 0,0535 Y K s = 1,192 P

70 Outros Fator de Tamanho K s Deveria considerar tamanho do dente; diâmetro da peça; razão entre os tamanhos; largura da face; área padrão de tensão; razão entre profundidade da camada e tamanho do dente; capacidade de endurecimento e tratamento térmico. Infelizmente não há valores tabelados. Pode-se usar K s = 1, ou fazer uma análise de fadiga e ( F ) 0,0535 Y K s = 1,192 P

71 Outros Fator de Distribuição de Carga K m (K H ) Considera a não uniformidade na distribuição de carga na face de uma engrenagem montada não simetricamente. Supondo que F /d 2; engrenagens montandas entre mancais; F 40 in; contato ocorrendo ao longo de todo o elemento mais estreito,; então podemos usar onde, K m = C mf = 1 + C mc (C pf C pm + C ma C e )

72 Outros Fator de Distribuição de Carga K m (K H ) (cont.) C mc = { 1,0 para dentes coroados, 0,8 para dentes sem coroamento F 10d 0,025 F 1 in C pf = F 10d 0, ,0125F 0,0207F + 0,000228F 2 17 F 10d 1 F 17 in F 40 in Se F /(10d) < 0,05, F /(10d) = 0,05 deve ser usado no cálculo. C pm = { 1,0 para pinhão montado com S 1 /S < 0,175 1,1 para pinhão montado com S 1 /S 0,175

75 Outros Fator de Distribuição de Carga K m (K H ) (cont.)

76 Outros Fator de Distribuição de Carga K m (K H ) (cont.)

77 Outros Fator de Distribuição de Carga K m (K H ) (cont.) C ma = A + BF + CF 2

78 Outros Fator de Distribuição de Carga K m (K H ) (cont.) Usar C e = 0,8, para engrenamento ajustado na montagem, ou quando é lapidado, ou ambos. Usar C e = 1, em qualquer outra condição.

79 Outros Fator de Razão de Dureza C H Ideia geral: Diâmetro do pinhão < diâmetro da coroa; Pinhão submetido a mais ciclos de carga; Para uma durabilidade equivalente, o pinhão deveria ser mais endurecido do que a coroa; Tratamentos diferentes também são possíveis; O fator C H é usado somente para a coroa para compensar esta diferença. C H é dado por C H = 1,0 + A (m G 1,0) com A = 8, ( HBP H BG ) 8, ,2 H BP H BG 1,7.

80 Outros Fator de Razão de Dureza C H (cont.) onde, m G = N G N P = D G D P. e H BG e H BP são as durezas Brinell da coroa e do pinhão. Além disto, A = 0, para H BP < 1.2, H BG e A = 0,00698, para H BP > 1,7. H BG

81 Outros Fator de Razão de Dureza C H (cont.) Graficamente,

82 Outros Fator de Razão de Dureza C H (cont.) Para pinhões muito duros (Rockwell C48 ou maiores), C H = 1,0 + B (450 H BG ), onde B = 0,00075e 0,0112fp e f p é o acabamento superficial do pinhão, medido como a raiz média quadrática da aspereza R a, em µin.

83 Outros Fator de Razão de Dureza C H (cont.) Graficamente,

84 Outros de Ciclagem de Tensão Y N e Z N Usados para compensar números de ciclos diferente de Para flexão:

85 Outros de Ciclagem de Tensão Y N e Z N (cont.) Para crateramento: Obs: Não é impossível usar fórmulas diferentes para a coroa e o pinhão (para flexão e compressão).

86 Outros Fator de Confiabilidade K R (Y Z ) Corrige para confiabilidades diferentes de 99%. Para valores tabelados: 0,5 < R < 0,99: K R = 0,658 0,0759 ln(1 R) 0,99 R 0,9999: K R = 0,50 0,109 ln(1 R)

87 Outros Fator de Temperatura K T (Y θ ) Para temperaturas até 120 C, usar K T = Y θ = 1. Compensar com fatores maiores para temperaturas superiores. Considerar refrigeração ativa, se for o caso.

88 Outros Fator de Espessura do Aro K B Compensa uma possível fratura ao longo do aro. { 1,6 ln 2,242 m K B = B, para m B < 1,2; 1,0 para m B 1,2, onde m B = t R h T, com h t : altura do dente e t R : espessura do aro.

89 Outros Fator de Espessura do Aro K B (cont.) Na forma gráfica

90 Elementos de Máquinas Outros Roteiro de Análise Flexão, Parte 1

91 Elementos de Máquinas Outros Roteiro de Análise Flexão, Parte 2

92 Elementos de Máquinas Outros Roteiro de Análise Compressão, Parte 1

93 Elementos de Máquinas Outros Roteiro de Análise Compressão, Parte 2