Carlos Javier Melchor Placencia. Análise do Colapso de Estruturas com Não Linearidade Física e Geométrica. Dissertação de Mestrado

Carlos Javier Melchor Placencia Análise do Colapso de Estruturas com Não Linearidade Física e Geométrica Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pósgraduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Orientador: Prof. Raul Rosas e Silva Co-orientadora: Profª. Deane de Mesquita Roehl Rio de Janeiro Julho de 2015

Carlos Javier Melchor Placencia Análise do Colapso de Estruturas com Não Linearidade Física e Geométrica Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de mestre pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada. Prof. Raul Rosas e Silva Orientador Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio Profª. Deane de Mesquita Roehl Co-Orientadora Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio Prof. Sebastião Artur Lopes de Andrade Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio Prof. Carlos Alberto de Almeida Departamento de Engenharia Mecânica - PUC-Rio Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico PUC-Rio Rio de Janeiro, 15 de Julho de 2015

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização do autor, da orientadora e da universidade. Carlos Javier Melchor Placencia Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidad Nacional de Ingeniería - UNI (Lima Perú), em 2009. Ingressou no curso de mestrado em Engenharia Civil, na área de Estruturas, da PUC-Rio em 2013, desenvolvendo investigações na linha de pesquisa de Modelos computacionais para Instabilidade. Ficha Catalográfica Melchor Placencia, Carlos Javier Análise do Colapso de Estruturas com Não- Linearidade Física e Geométrica / Carlos Javier Melchor Placencia; orientador: Raul Rosas e Silva; co-orientadora: Deane de Mesquita Roehl. - 2015. v., 102 f.: il. ; 30 cm Dissertação (mestrado) Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2015. Inclui referências bibliográficas. 1. Engenharia Civil Teses. 2. Elementos Finitos. 3. Colapso. 4. Plasticidade. 5. Analise Não Linear. 6. Flambagem. 7. Instabilidade. 8. Cargas Críticas. 9. Problema de autovalor. I. Silva, Raul Rosas e. II. Roehl, Deane de Mesquita. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título. CDD: 624

Agradecimentos Ao meu orientador Raul Rosas e Silva pela amizade, orientação e conhecimentos transmitidos. À minha co-orientadora Deane Roehl pela motivação, ajuda e ensinamentos. Aos meus pais, Javier e Elsa, pelo incentivo, amor e dedicação infinita. Aos professores integrantes da banca examinadora. As pessoas que de alguma maneira influíram na realização deste trabalho, especialmente a Deysi Garcia, pela paciência e amizade, ao Nilthson Noreña e Luis Fernando Paullo que souberam compartilhar e transmitir seus conhecimentos para enriquecer este trabalho. A todos os professores e funcionários do Departamento de Engenharia Civil. A CAPES e FAPERJ, pelos auxílios financeiros concedidos.

Resumo Placencia, Carlos Javier Melchor; Silva, Raul Rosas e; Roehl, Deane de Mesquita. Análise do Colapso de Estruturas com Não Linearidade Física e Geométrica. Rio de Janeiro, 2015. 102p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Neste trabalho apresentam-se três tipos de técnicas de análise do colapso estrutural através do método dos elementos finitos: análise linearizada da carga crítica, análise incremental da carga crítica e análise não linear completa. Na análise linearizada da carga crítica formulou-se um problema de autovalor empregando matrizes de rigidez baseadas na configuração indeformada da estrutura e materiais com comportamento linear elástico. No caso da análise incremental da carga crítica, o problema de autovalor foi formulado empregando matrizes de rigidez incrementais para levar em consideração os grandes deslocamentos e propriedades não lineares do material. Finalmente, na análise não linear completa a configuração deformada da estrutura e propriedades não lineares do material são atualizadas durante todo o processo incremental-iterativo até atingir a carga crítica. Desenvolveu-se uma implementação computacional para estudar as três técnicas de análise em estruturas planas como vigas, colunas, pórticos e arcos, empregando elementos isoparamétricos bidimensionais para estado plano de tensões. A configuração deformada da estrutura, devido aos grandes deslocamentos e rotações dos elementos, foi considerada através de uma formulação Lagrangeana Total, enquanto o comportamento inelástico do material foi modelado empregando um modelo elastoplástico de Von Mises (J2) com encruamento isotrópico. Nos exemplos apresentados mostrou-se a influência da não linearidade geométrica e física na estimativa de cargas críticas e no comportamento pós-crítico, podendo ocorrer bifurcações ao longo da trajetória de equilíbrio fundamental definida no espaço carga-deslocamentos. Palavras chave Elementos finitos; colapso; plasticidade; análise não linear; flambagem; instabilidade; cargas críticas; problema de autovalor.

Abstract Placencia, Carlos Javier Melchor; Silva, Raul Rosas e (Advisor); Roehl, Deane de Mesquita (Co-Advisor). Collapse Analysis of Structures with Geometric and Material Nonlinearity. Rio de Janeiro, 2015. 102p. MSc. Dissertation Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. This work presents three kinds of techniques for collapse analysis using the finite element method: linear buckling analysis, nonlinear buckling analysis and full nonlinear analysis. The linear buckling analysis requires the definition of an eigenvalue problem using a stiffness matrix formulation based on the initial configuration of the structure and under the assumption of a linear elastic material behavior. In the case of nonlinear buckling analysis, the eigenvalue problem was formulated employing an incremental stiffness matrix in order to consider the effects of large displacements and nonlinear material properties in the critical load estimation. Finally, the full nonlinear analysis takes into account the deformed configuration and the nonlinear material properties of the structure, updating both of them through all the incremental-iterative process up to reaching the critical load. A Finite Element computational program, using plane stress isoperimetric bidimensional elements, was developed to study the three analysis techniques applied to plane structures such as beams, columns, frames and arches. The deformed configuration of the structure, due to large displacements and rotations, was considered through the Total Lagrangian formulation, whereas the inelastic material behavior was modeled using the Von Mises plasticity model with isotropic hardening. The examples presented in this article show the influence of geometric and material nonlinearity in the critical load estimation and the postcritical behavior, being this the reason for the potential occurrence of bifurcation points over the fundamental equilibrium path defined in the load-displacement space. Keywords Finite elements; collapse; plasticity; nonlinear analysis; buckling; instability; critical loads; eigenvalue problem.

Sumário 1 Introdução 15 1.1. Justificativa do trabalho de pesquisa 15 1.2. Objetivos do trabalho e tipo de problemas a considerar 17 1.3. Organização dos capítulos restantes 18 2 Análise do Colapso de Estruturas através do Método dos Elementos Finitos 20 2.1. Análise Não-Linear Completa 20 2.1.1. Princípio dos Trabalhos Virtuais 20 2.1.2. Formulação Lagrangeana 21 2.1.3. Equações Constitutivas 23 2.1.4. Análise Incremental-Iterativa das Equações Não-Lineares 30 2.2. Análise incremental da Carga Crítica 34 2.3. Análise Linearizada da Carga Crítica 35 3 Implementação Computacional 36 3.1. Elemento Isoparamétrico Bidimensional 36 3.2. Considerações do Estado Plano de Tensões 37 3.3. Matrizes Utilizadas na Formulação Lagrangeana Total 38 3.3.1. Matriz de Rigidez Tangente 38 3.3.2. Vetor de Forças Internas 39 3.3.3. Matrizes de Transformação Deformação-Deslocamento 40 3.3.4. Matrizes empregadas na análise linearizada e incremental da carga crítica 41 3.4. Algoritmo de Integração Numérica das Relações Constitutivas 42 3.4.1. Algoritmo de integração Plane Stress-Projected 44 3.4.2. Matriz Tangente Elastoplástica Consistente 46 3.5. Exemplos de Validação 46 3.5.1. Exemplo de Validação 1: Viga em balanço empregando um modelo elastoplástico do material 47 3.5.2. Exemplo de Validação 2: Viga em balanço com grandes deslocamentos e material linear-elástico 48 3.5.3. Exemplo de Validação 3: Viga em balanço com grandes deslocamentos e material elastoplástico 49 3.5.4. Exemplo de Validação 4: Cálculo da carga crítica do pórtico de Roorda 51 3.5.5. Exemplo de Validação 5: Pontos críticos de um arco abatido 52

3.5.6. Exemplo de Validação 6: Pórtico de Lee 53 4 Exemplos Numéricos 55 4.1. Estimação de cargas críticas com Material Linear Elástico 55 4.1.1. Arco circular abatido 55 4.1.2. Arco circular elevado 59 4.1.3. Pórtico T 68 4.2. Estimação de cargas críticas com Material Elastoplástico 72 4.2.1. Arco circular abatido 72 4.2.2. Pórtico toggle 76 4.2.3. Pórtico T 80 5 Conclusões e Sugestões 84 5.1. Conclusões 84 5.2. Sugestões para trabalhos futuros 85 Referências Bibliográficas 87 Apêndice A 90 A.1 Malha e outros resultados do exemplo de validação 1 90 A.2 Malha e outros resultados do exemplo de validação 2 91 A.3 Malha e outros resultados do exemplo de validação 3 92 A.4 Malha e outros resultados do exemplo de validação 4 93 A.5 Malha e outros resultados do exemplo de validação 5 94 A.6 Malha e outros resultados do exemplo de validação 6 95 Apêndice B 98 B.1 Tensões de Von Mises do exemplo numérico 1 98 B.2 Tensões de Von Mises do exemplo numérico 2 98 B.3 Tensões de Von Mises do exemplo numérico 3 99 B.4 Tensões de Von Mises do exemplo numérico 4 100 B.5 Tensões de Von Mises do exemplo numérico 5 101 B.6 Tensões de Von Mises do exemplo numérico 6 101

Lista de Figuras Figura 2.1 Descrição do movimento do sólido. 21 Figura 2.2 Superfície de escoamento de Von Mises. 27 Figura 2.3 Vetor de fluxo da Lei de Prandtl-Reuss (Souza Neto et al., 2008). 28 Figura 2.4 Encruamento Isotrópico. Teste uniaxial e Plano π (Souza Neto et al., 2008). 29 Figura 3.1 Funções de Interpolação de elementos Bidimensionais (Bathe, 1996). 36 Figura 3.2 Estado plano de tensões (Souza Neto et al., 2008). 37 Figura 3.3 Propriedades e geometria da Viga em balanço do exemplo de validação 1. 47 Figura 3.4 Curva carga-deslocamento do exemplo de validação 1. 47 Figura 3.5 Viga em balanço com material linear-elástico do exemplo de validação 2. 48 Figura 3.6 Curva carga-deslocamento do exemplo de validação 2. 49 Figura 3.7 Viga em balanço com material elastoplástico do exemplo de validação 3. 49 Figura 3.8 Curva carga-deslocamento do exemplo de validação 3. 50 Figura 3.9 Curva carga-deslocamento do exemplo de validação 3 (ampliação). 50 Figura 3.10 Pórtico de Roorda. 51 Figura 3.11 Arco abatido do exemplo de validação 5. 52 Figura 3.12 Trajetórias de equilíbrio do arco abatido do exemplo de validação 5. 52 Figura 3.13 Pórtico de Lee do exemplo de validação 6. 53 Figura 3.14 Curva carga-deslocamento do pórtico de Lee no caso elástico. 54 Figura 3.15 Curva carga-deslocamento do pórtico de Lee no caso inelástico. 54 Figura 4.1 Arco circular abatido do exemplo 4.1.1. 56 Figura 4.2 Malha do arco abatido do exemplo 4.1.1. 56 Figura 4.3 Modo de colapso do exemplo 4.1.1 (análise linearizada da carga crítica). 56 Figura 4.4 Modo de colapso do exemplo 4.1.1, após o passo 26. 58 Figura 4.5 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.1.1. 58 Figura 4.6 Configuração deformada do exemplo 4.1.1 (análise não linear completa). 58 Figura 4.7 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.1. 59 Figura 4.8 Arco circular elevado do exemplo 4.1.2. 60 Figura 4.9 Malha do arco elevado do exemplo 4.1.2. 60 Figura 4.10 Modo assimétrico do exemplo 4.1.2 (análise linearizada da carga crítica). 61 Figura 4.11 Modo assimétrico do exemplo 4.1.2, após o passo 32. 62 Figura 4.12 Trajetória de equilíbrio assimétrica do exemplo 4.1.2. 63 Figura 4.13 Deformada assimétrica do exemplo 4.1.2 (análise não linear completa). 63 Figura 4.14 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.2 (assimétrico). 64 Figura 4.15 Modo de colapso do exemplo 4.1.2, após o passo 95. 66

Figura 4.16 Trajetória de equilíbrio simétrica do exemplo 4.1.2. 66 Figura 4.17 Deformada simétrica do exemplo 4.1.2 (análise não linear completa). 67 Figura 4.18 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.2 (simétrico). 67 Figura 4.19 Pórtico T do exemplo 4.1.3. 68 Figura 4.20 Malha do pórtico T do exemplo 4.1.3. 68 Figura 4.21 Modo de colapso do exemplo 4.1.3 (análise linearizada da carga crítica). 69 Figura 4.22 Modo de colapso do exemplo 4.1.3, após o passo 50. 70 Figura 4.23 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.1.3. 70 Figura 4.24 Configuração deformada do exemplo 4.1.3 (análise não linear completa). 71 Figura 4.25 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.3. 71 Figura 4.26 Malha do arco abatido do exemplo 4.2.1. 72 Figura 4.27 Modo de colapso do exemplo 4.2.1 (análise linearizada da carga crítica). 72 Figura 4.28 Modo de colapso do exemplo 4.2.1, após o passo 15. 74 Figura 4.29 Modo de colapso do exemplo 4.2.1, após o passo 23. 74 Figura 4.30 Configuração deformada do exemplo 4.2.1 (análise não linear completa). 74 Figura 4.31 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.2.1. 74 Figura 4.32 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.2.1. 75 Figura 4.33 Pórtico toggle do exemplo 4.2.2. 76 Figura 4.34 Malha do pórtico toggle do exemplo 4.2.2. 76 Figura 4.35 Modo de colapso do exemplo 4.2.2 (análise linearizada da carga crítica). 76 Figura 4.36 Modo de colapso do exemplo 4.2.2, após o passo 50. 78 Figura 4.37 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.2.2. 78 Figura 4.38 Configuração deformada do exemplo 4.2.2 (análise não linear completa). 78 Figura 4.39 Configuração deformada do exemplo 4.2.2 (análise não linear completa). 78 Figura 4.40 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.2.2. 79 Figura 4.41 Malha do pórtico T do exemplo 4.2.3. 80 Figura 4.42 Modo de colapso do exemplo 4.2.3 (análise linearizada da carga crítica). 80 Figura 4.43 Modo de colapso do exemplo 4.2.3, após o passo 266. 82 Figura 4.44 Configuração deformada do exemplo 4.2.3 (análise não linear completa). 82 Figura 4.45 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.2.3. 82 Figura 4.46 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.2.3. 83

Lista de Tabelas Tabela 2.1 Modelo constitutivo elastoplástico geral. 25 Tabela 3.1 Algoritmo implícito preditor/corretor. PSP aplicado ao modelo de Von Mises com encruamento isotrópico não linear. 43 Tabela 3.2 Cálculo da matriz tangente elastoplástica empregando o algoritmo PSP aplicado ao modelo de Von Mises. 46 Tabela 3.3 Valores estimados da carga crítica do exemplo de validação 4. 51 Tabela 3.4 Resultados obtidos dos pontos críticos do exemplo de validação 5. 53 Tabela 4.1 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.1. 57 Tabela 4.2 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.1. 57 Tabela 4.3 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.1. 57 Tabela 4.4 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.2 (assimétrico). 61 Tabela 4.5 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.2 (assimétrico). 62 Tabela 4.6 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.2 (assimétrico). 62 Tabela 4.7 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.2 (simétrico). 65 Tabela 4.8 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.2 (simétrico). 65 Tabela 4.9 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.2 (simétrico). 65 Tabela 4.10 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.3. 69 Tabela 4.11 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.3. 69 Tabela 4.12 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.3. 69 Tabela 4.13 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.2.1. 73 Tabela 4.14 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.2.1. 73 Tabela 4.15 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.2.1. 73 Tabela 4.16 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.2.2. 77 Tabela 4.17 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.2.2. 77 Tabela 4.18 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.2.2. 77 Tabela 4.19 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.2.3. 81 Tabela 4.20 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.2.3. 81 Tabela 4.21 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.2.3. 81

Lista de Símbolos t+ t 0P Trabalho virtual externo na configuração do tempo t + t t+ t 0V Volume do sólido na configuração do tempo t + t t+ t 0 σ ij Componentes do tensor de tensão de Cauchy no tempo t + t δ e ij 0 t+ t 0 Componentes do tensor de deformações infinitesimais dos deslocamentos virtuais na configuração do tempo t + t t+ t B 0f i Componentes das forças aplicadas externas por unidade de volume na configuração do tempo t + t t+ t S 0f i Componentes das forças aplicadas externas por unidade de superfície na configuração do tempo t + t t+ t 0 δ 0u i Componentes dos deslocamentos virtuais na configuração do tempo t + t t+ t 0S Superfície do sólido na configuração do tempo t + t t+ t 0S ij Componentes do segundo tensor das tensões de Piolla-Kirchhoff na configuração do tempo t + t em relação à configuração inicial t+ t 0 ε ij Componentes do Tensor de deformação Green-Lagrange na configuração do tempo t + t t+ t δ Variação das componentes do tensor de deformação Green-Lagrange na ε ij 0 configuração do tempo t + t 0 0 0ε ij Componentes dos incrementos do tensor de deformação Green-Lagrange 0 0 0e ij Componentes lineares nos incrementos dos deslocamentos no incremento do 0 0η ij tensor de deformação Green-Lagrange 0 Componentes não lineares nos incrementos dos deslocamentos no incremento u i do tensor de deformação Green-Lagrange Componentes do vetor de incrementos dos deslocamentos 0 t uk Componentes do vetor de deslocamentos no tempo t 0 0 0x i Coordenas do corpo em relação à configuração inicial 0 0 C ijrs Tensor incremental de tensão-deformação no tempo t em relação à configuração inicial 0 0 δ 0e ij Variação das componentes lineares nos incrementos dos deslocamentos 0 0 δ 0η ij Variação das componentes não lineares nos incrementos dos deslocamentos ε ε e ε p D e Tensor de deformação total Tensor de deformação elástica Tensor de deformação plástica Tensor elástico infinitesimal

ε ij σ σ ij ψ A α Φ γ N H Ψ δ ij J 2 s σ y ε p u t Η h k U t ξ, η, ζ K L K NL U δ U P t+ t F t K i K j i U j i P j Componentes do tensor de deformação total Tensor de tensão de Cauchy Componentes do tensor de tensão de Cauchy Energia livre por unidade de massa de Helmholtz Conjunto genérico de forças termodinâmicas Conjunto genérico de variáveis do estado interno Função da superfície de escoamento Multiplicador plástico Vetor de fluxo plástico Modulo de encruamento generalizado Potencial de fluxo plástico Delta de Kronecker Invariante da tensão desviadora Tensor de tensão desviadora de Cauchy ou Kirchhoff Tensão de escoamento uniaxial Deformação plástica acumulada ou equivalente Vetor de deslocamentos no tempo t Matriz das funções de forma ou interpolação Função de forma ou interpolação k Vetor dos deslocamentos nodais no tempo t Coordenadas isoparamétrica dentro de um elemento Primeira contribuição na matriz de rigidez tangente (matriz linear nos efeitos cinemáticos) Segunda contribuição na matriz de rigidez tangente (matriz não linear nos efeitos cinemáticos) Incremento no vetor dos deslocamentos nodais Variação no Incremento dos deslocamentos nodais Vetor de forças externas no tempo t + t Vetor de forças internas no tempo t Matriz de rigidez tangente total Matriz de rigidez tangente total na j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo Incremento no vetor dos deslocamentos nodais na j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo Vetor de forças externas na j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo i F j 1 Vetor de forças internas na j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo

λ j i P Parâmetro do incremento de carga na j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo Vetor da carga de referência (constante) U ji Vetor dos deslocamentos nodais da solução tangencial na j-ésima iteração do i- ésimo incremento de passo U ji Vetor dos deslocamentos nodais da solução iterativa na j-ésima iteração do i- ésimo incremento de passo i U qj Componente q-ésima do incremento no vetor dos deslocamentos da j-ésima l ν E iteração do i-ésimo incremento de passo Comprimento de arco prescrito na solução incremental Coeficiente de Poisson Módulo de Young 0 0 e Representação matricial das componentes do tensor 0e ij η C B L B NL Representação matricial das componentes do tensor 0η ij 0 Representação matricial das componentes do tensor 0 C ijrs Matriz de transformação deformação-deslocamento linear Matriz de transformação deformação-deslocamento não-linear S t, S t t+ t Representação matricial e vetorial das componentes do tensor 0S ij Ϝ ij γ E, E e, E p o D e D ep H t Componentes do tensor gradiente de deformação Incremento do multiplicador plástico Representação matricial dos tensores ε, ε e y ε p, respectivamente Representação matricial do tensor σ Representação matricial do tensor D e Matriz tangente elastoplástica consistente Modulo de encruamento Intervalo de tempo 0 0

1 Introdução 1.1. Justificativa do trabalho de pesquisa Na atualidade, os engenheiros estruturais são conscientes de que considerar eventos extremos no carregamento vai se tornar uma parte necessária do projeto estrutural. Em particular, um entendimento do comportamento estrutural durante o colapso parcial ou completo, permitirá avaliar de maneira mais precisa a integridade total do projeto estrutural quando é submetido a carregamentos extremos. A natureza do colapso de estruturas envolve grandes deslocamentos, grandes rotações e respostas inelásticas do material como plasticidade, dano, fraturamento, entre outros, nas regiões de tensão extrema. No estado limite perto do colapso, grandes deformações são prováveis também. Para simular tal comportamento de colapso é necessário empregar modelos computacionais que considerem tanto a não linearidade geométrica quanto a não linearidade do material. As não linearidades geométricas ocorrem quando as forças requeridas para causar deformação na estrutura são funções não lineares do deslocamento. Estas não linearidades são essenciais na simulação do colapso porque capturam os efeitos da flambagem, as grandes mudanças na forma da estrutura e as mudanças nas forças internas que são necessárias para manter a estrutura em equilíbrio estático. Por outro lado, as não linearidades do material, considerando só efeitos elastoplásticos, ocorrem quando as regiões de tensão extrema atingem a superfície de escoamento do material, ocasionando uma perda de rigidez da estrutura que frequentemente causa uma redução considerável na carga máxima da mesma. O fenômeno de escoamento pode tornar um comportamento póscrítico estável em um instável, já que depois do escoamento um incremento na deformação causa um decréscimo na carga.

16 As técnicas de análise do colapso estrutural são um assunto importante no processo de projeto em engenharia civil, mecânica, naval e aeronáutica. Para estudar as instabilidades estruturais que levam ao colapso de estruturas elásticas e inelásticas, costuma-se avaliar os pontos críticos, que podem ser pontos limite ou de bifurcação, ao longo dos caminhos ou trajetórias de equilíbrio definidas no espaço carga-deslocamentos. A avaliação exata destes pontos é necessária para poder definir as condições críticas na funcionalidade da estrutura. No entanto, os usuários de programas comerciais de elementos finitos, trabalham frequentemente na modelagem deste tipo de problemas de maneira parcial. Usualmente, as cargas críticas dos caminhos de equilíbrio são calculadas através de uma análise linearizada da carga crítica, a qual leva a resultados errados em alguns casos. A análise linearizada da carga crítica prediz a resistência teórica de flambagem de uma estrutura ideal linear elástica. Na análise é assumido que a configuração da estrutura não muda no processo de carregamento, ou seja, as equações de equilíbrio são sempre referidas à configuração indeformada da estrutura. As cargas críticas são calculadas nesta análise formulando um problema de autovalores que torna singular a matriz de rigidez tangente da estrutura. A suposição de que uma estrutura se comporta elasticamente e deslocamentos e rotações são desprezíveis até atingir o valor da carga crítica nem sempre é verdadeira. Se alguma parte da estrutura desenvolve deformações plásticas e mudanças relativamente grandes na geometria, a análise linearizada da carga crítica levará a resultados errados, usualmente maiores que o resultado exato. Neste tipo de casos a análise da instabilidade da estrutura deve incluir a não linearidade geométrica e não linearidade do material. Trabalhos desenvolvidos por Zhehua et al. (2002), Zhou et al. (2011); e Novoselac et al. (2012); mostram os efeitos na estimação do valor das cargas críticas quando as não-linearidades geométricas e físicas não são consideradas. Pelos motivos expostos anteriormente, neste trabalho pretende-se incluir os efeitos das não linearidades geométricas e físicas, na estimação das cargas críticas presentes nas trajetórias de equilíbrio definidas pelas variáveis nodais e o parâmetro de carga.

17 1.2. Objetivos do trabalho e tipo de problemas a considerar No método dos elementos finitos existem dois tipos de categorias para analisar o problema de flambagem ou colapso de estruturas. A primeira emprega um problema de autovalor, formulado a partir de uma linearização, e a outra uma análise não linear completa. Na primeira categoria incluem-se dois tipos de problemas de autovalores, uma baseada na análise linear que emprega matrizes de rigidez iniciais; e outra baseada na análise não linear que emprega matrizes de rigidez atualizadas que consideram até certo nível as não linearidades geométricas e físicas da estrutura. No entanto, no caso da análise não linear completa os efeitos não lineares geométricos e físicos são considerados em sua totalidade durante toda a análise. O principal objetivo deste trabalho é poder comparar de maneira qualitativa, em base a resultados quantitativos, os três tipos de técnicas de análise do colapso estrutural apresentados. Para avaliar os resultados das três técnicas de colapso, desenvolveu-se um programa computacional em Matlab baseado no método dos elementos finitos para o processamento dos dados e pós-processamento dos resultados. No pré-processamento, geração de dados (malhas), e visualização das tensões desenvolvidas nos elementos empregou-se o programa GID. Na implementação do programa considerou-se a formulação das equações de equilíbrio na configuração deformada da estrutura e um comportamento inelástico do material através do modelo elastoplástico de Von Mises (J2) com encruamento isotrópico baseado na decomposição aditiva, já que na maioria dos casos, o colapso das estruturas de engenharia civil envolvem grandes deslocamentos, grandes rotações e relativamente pequenas deformações. Nas últimas décadas muitos trabalhos na área da instabilidade de estruturas elásticas e inelásticas foram desenvoltos por muitos autores. Na maioria dos casos foram empregados elementos de pórtico na análise de estruturas planas como vigas, colunas, pórticos e arcos. Neste trabalho pretende-se estudar a instabilidade destas estruturas planas adotando uma aproximação de meio contínuo considerando um estado plano de tensões, que permitirá aproveitar as vantagens da formulação Lagrangeana Total neste tipo de estruturas. Trabalhos feitos por Wood and Zienkiewicz (1976), e Guimarães (2006), consideraram uma aproximação de meio continuo para avaliar cargas críticas e comportamento pós-crítico em estruturas planas.

18 Adotando as hipóteses descritas acima, pretende-se abordar os seguintes problemas presentes numa análise computacional do colapso: Incorporar as não linearidades geométricas através da formulação lagrangeana Total. Levar em consideração a plasticidade distribuída, que permite uma propagação inelástica ao longo da seção e comprimento do elemento, através da aproximação de contínuo e um modelo elastoplástico de Von Mises (J2). Considerar as deformações cisalhantes e distorções da seção transversal, através da teoria do meio contínuo adotada. Prevenir o efeito de shear locking empregando elementos isoparamétricos de ordem tal que não permitam a necessidade de uma malha refinada. Considerar as altas não linearidades da curvatura ao longo do elemento pela formação de regiões plásticas, através da suficiente discretização do domínio. Capturar as respostas carga-deslocamento de estruturas instáveis que apresentam uma alta não linearidade, onde a carga e/ou o deslocamento decrescem no progresso da solução, mediante o uso do método de controle por deslocamentos e comprimento de arco. Outro objetivo do presente trabalho é dar continuidade aos trabalhos desenvolvidos na área de instabilidade e dinâmica de estruturas no departamento de engenharia civil da PUC-Rio. Trabalhos que abordaram estudos quase estáticos de colapso ou instabilidade de estruturas planas foram Gabbay (1977), Sousa (1984), Guimarães (1999, 2006) e Burgos (2005). 1.3. Organização dos capítulos restantes Além da introdução, este trabalho conta com os seguintes capítulos: Capítulo 2 Aqui se apresentam todos os fundamentos teóricos das técnicas de análise do colapso que são empregadas no método dos elementos finitos. Descrevem-se a análise não linear completa,

19 a análise incremental da carga crítica, e a análise linearizada da carga crítica. Capítulo 3 Neste capítulo são apresentadas as características próprias do estado plano de tensões que devem ser consideradas na implementação computacional. São apresentadas as matrizes que relacionam as deformações e deslocamentos, matrizes de rigidez, vetor de forças internas, algoritmo de integração das tensões, e exemplos de validação da implementação numérica. Capítulo 4 Neste capítulo são apresentados exemplos de colapso ou flambagem de estruturas planas como vigas, colunas, pórticos e arcos. Aqui são estimadas as cargas críticas mediante as três técnicas de análise de colapso descritas. Capítulo 5 Aqui são apresentadas as conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

2 Análise do Colapso de Estruturas através do Método dos Elementos Finitos Neste capítulo, através do método dos elementos finitos baseado em deslocamentos, são apresentadas três técnicas de análise do colapso de estruturas: Análise não linear completa, análise incremental da carga crítica e análise linearizada da carga crítica. Os problemas de autovalor são formulados a partir de uma linearização. 2.1. Análise Não-Linear Completa Esta técnica de análise é denominada completa porque as equações de equilíbrio são resolvidas até atingir a carga crítica de colapso. Além disso, permite descrever o comportamento pós-crítico da estrutura. Através desta, problemas com não linearidade geométrica e física podem ser abordados. A seguir são apresentados as equações de equilíbrio da configuração deformada, a cinemática da deformação, as equações constitutivas e os métodos de controle que resolvem as equações linearizadas do equilíbrio. 2.1.1. Princípio dos Trabalhos Virtuais O princípio dos trabalhos virtuais estabelece que o trabalho virtual interno e o externo, na configuração deformada de um sólido em equilíbrio, devem ser iguais. Empregando uma notação tensorial o princípio pode ser escrito como: (2.1) Na equação anterior, a parcela à esquerda representa o trabalho virtual interno das tensões reais através das deformações virtuais, e a direita representa o trabalho virtual externo das forças reais de corpo e superfície através dos deslocamentos virtuais, descritos na seguinte equação:

21 (2.2) Um sólido pode experimentar grandes deslocamentos, grandes deformações e respostas não lineares do material. 2.1.2. Formulação Lagrangeana Na formulação Lagrangeana, a malha de elementos finitos é fixa ao material e se desloca através do espaço com este. Esta formulação permite uma descrição natural da deformação dos elementos estruturais. A formulação Lagrangeana pode ser classificada em duas categorias: uma formulação Lagrangeana Total e uma formulação Lagrangeana Atualizada. Na formulação Lagrangeana Total, a configuração de referência é a configuração indeformada ou inicial; na formulação Lagrangeana Atualizada, a configuração de referência é a configuração prévia ou última calculada. A cinemática da deformação e a descrição do movimento são descritas na Figura 2.1. Figura 2.1 Descrição do movimento do sólido. Mais detalhes das formulações Lagrangeanas Total e Atualizada podem ser encontrados em Bathe (1996) e De Borst et al. (2012).

22 2.1.2.1. Formulação Lagrangeana Total Embora esta formulação seja baseada na geometria inicial dos elementos, as matrizes de rigidez incrementais são montadas para considerar as tensões desenvolvidas previamente e mudanças na geometria. A formulação Lagrangeana Total é frequentemente útil para abordar problemas com plasticidade, grandes deslocamentos, grandes rotações, mas considerando pequenas deformações desenvolvidas nos elementos, hipóteses consideradas neste trabalho. Na formulação Lagrangeana Total, as equações de equilíbrio podem ser expressas através do princípio dos trabalhos virtuais como: (2.3) Aqui é o segundo tensor das tensões de Piolla-Kirchhoff, e é o tensor das deformações de Green-Lagrange. As integrações são feitas na configuração indeformada inicial no tempo. Decompondo a deformação total do tempo na deformação da configuração equilibrada do tempo e a deformação incremental do tempo entre e, obtém-se: (2.4) Decompondo a deformação incremental numa parte linear e outra não linear nos incrementos dos deslocamentos: (2.5) Onde, a parte linear da deformação incremental, pode ser descrito em função dos incrementos dos deslocamentos como: ( ) ( ) (2.6)

23 O segundo termo entre parêntesis da equação anterior leva em consideração o efeito inicial dos deslocamentos. Por outro lado,, a parte não linear da deformação incremental, pode ser descrito em função dos incrementos dos deslocamentos como: *( ) ( )+ (2.7) Linearizando o equilíbrio expressado na equação (2.3), e utilizando a equação (2.5), obtém-se: (2.8) Os termos resultantes da equação anterior são lineares nos incrementos dos deslocamentos. 2.1.3. Equações Constitutivas As equações constitutivas são utilizadas para representar de forma ideal o comportamento elastoplástico de um material através de um modelo matemático. Estas equações contêm todas as componentes básicas de um modelo constitutivo elastoplástico: A decomposição da deformação Elastoplástica; A lei elástica; Critério de escoamento, estabelecida com o uso da superfície de escoamento; A lei de fluxo plástico definindo a evolução do tensor das deformações plásticas; A lei encruamento, que caracteriza a evolução da tensão de escoamento. As equações constitutivas que definem o modelo constitutivo elastoplástico de determinado material, estão resumidas na Tabela 2.1 A resolução das equações constitutivas permite avaliar as tensões e operadores tangentes elastoplásticos que são empregadas na aproximação do método dos elementos finitos. As tensões avaliadas são utilizadas no cálculo do

24 vetor de forças internas e na contribuição não linear da matriz de rigidez tangente, e os operadores tangentes avaliados são utilizados no cálculo da contribuição linear da matriz de rigidez tangente. Avaliar de forma precisa as tensões e o operador tangente é importante na obtenção de soluções corretas e matrizes verdadeiramente tangentes. Estas matrizes tangentes permitem na análise incremental-iterativa utilizar o número mínimo de iterações para atingir a convergência. Na avaliação das tensões emprega-se a lei elástica, mostrada na Tabela 2.1, que depende da derivada da energia potencial livre com relação à parte elástica do tensor de deformação. No presente trabalho foram considerados materiais isotrópicos com comportamento linear elástico, sendo a contribuição elástica da energia potencial livre: ( ) (2.9) Resultando a seguinte lei elástica: (2.10) As relações constitutivas elastoplásticas mostradas na Tabela 2.1 podem ser reduzidas no seguinte sistema de equações: ( ) ( ) ( ( ) ( )) (2.11) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) (2.12) ( ) ( ) (2.13) Neste sistema de equações reduzidas, as únicas variáveis desconhecidas são a deformação elástica, as variáveis internas de encruamento, e o multiplicador plástico.

25 Tabela 2.1 Modelo constitutivo elastoplástico geral. 1. Decomposição aditiva do tensor de deformação: ou 2. Função de energia potencial livre ( ) onde representa as variáveis internas de encruamento 3. Equação constitutiva para o tensor de tensões e forças termodinâmicas de encruamento 4. Função de escoamento ( ) 5. Lei de fluxo plástico e encruamento ( ) ( ) onde é o vetor de fluxo e é o modulo generalizado de encruamento sendo o potencial de fluxo 6. Critério de carregamento/descarregamento condições que definem quando ocorre a evolução de deformações plásticas e variáveis internas As equações constitutivas reduzidas apresentadas acima contêm equações diferenciais ordinárias, cuja resolução de forma analítica não é sempre possível devido à complexidade presente na maioria dos problemas de engenharia. Por esta razão, a resolução destas equações precisa de um algoritmo de integração numérica que será abordado no capítulo 3. Nos modelos constitutivos abordados neste trabalho é perfeitamente valido substituir o tensor de tensões e deformações por o segundo tensor das tensões de Piolla-Kirchhoff e o tensor das deformações de Green-Lagrange, respectivamente. Isto é valido porque na hipótese de grandes deslocamentos e rotações, mas de pequenas deformações nos elementos, as componentes dos tensores mencionados acima não se alteram com movimentos de corpo rígido.

26 Nesta seção são abordados os aspectos mais importantes da descrição matemática do modelo constitutivo linear elástico e de Von Mises, empregados numa análise não linear. Neste trabalho são discutidos aspectos da plasticidade baseado na hipótese de pequenas deformações, embora grandes deslocamentos e rotações ocorram. Esta hipótese permite uma decomposição aditiva das deformações e aplicar a teoria clássica da plasticidade. 2.1.3.1. Modelo Linear Elástico O modelo linear elástico adota a Lei de Hooke para definir a relação tensão-deformação. Neste caso não é necessário empregar uma integração das tensões porque as tensões e operador tangente podem ser diretamente avaliados do estado de deformação atual. A relação tensão-deformação empregada no modelo linear elástico é a mesma da equação (2.10), e pode ser expressa de maneira tensorial como: (2.14) Onde são as componentes do tensor de elasticidade infinitesimal, sendo estas expressas da seguinte forma: ( ) (2.15) Onde e são as constante de Lamé e é a função delta de Kronecker. 2.1.3.2. Modelo Elastoplástico de Von Mises Aqui são descritos a superfície ou critério de escoamento, a lei de fluxo ou escoamento e a lei de encruamento do modelo elastoplástico de Von Mises. Outros aspectos matemáticos e teóricos podem ser estudados em Souza Neto et al. (2008).

27 2.1.3.2.1. Superfície de Escoamento De acordo com o critério de Von Mises, o escoamento começa quando a invariante do tensor desviador atinge um valor limite. Esta condição pode ser representada como: ( ) (2.16) Onde é função da variável interna de encruamento, que será definida na Lei de encruamento. De forma alternativa, incluindo a tensão de escoamento uniaxial, a superfície de escoamento de Von Mises pode ser definida através da seguinte função: ( ) ( ( )) ( ) (2.17) Das equações (2.16) e (2.17) pode-se notar que as componentes do tensor da tensão hidrostática não são levadas em consideração no critério de Von Mises, sendo o escoamento só influenciado pelo tensor da tensão desviadora. Portanto, este critério é incompressível com as deformações plásticas. A função da superfície de escoamento de Von Mises é uma função isotrópica devido a sua definição em termos das invariantes do tensor de tensões, permitindo assim uma representação da superfície de escoamento em função das tensões principais como é apresentado na Figura 2.2. Figura 2.2 Superfície de escoamento de Von Mises.

28 2.1.3.2.2. Lei de Fluxo A lei de escoamento de Prandtl-Reuss é a lei de fluxo que considera a função da superfície de escoamento de Von-Mises da equação (2.17) como o potencial de fluxo. Neste caso o vetor de fluxo é calculado como: [ ( )] (2.18) Da equação anterior a lei de fluxo resulta na seguinte expressão: (2.19) Devido à insensibilidade do critério de Von Mises com as pressões hidrostáticas, o vetor de fluxo do escoamento resulta paralelo à direção desviadora. Isto é mostrado na Figura 2.3. Figura 2.3 Vetor de fluxo da Lei de Prandtl-Reuss (Souza Neto et al., 2008). A lei do fluxo de Prandtl-Reuss é frequentemente empregada junto à superfície de escoamento do critério de Von Mises, para criar desta maneira o modelo elastoplástico referido como modelo associativo de Von Mises, ou simplesmente o modelo de Von Mises.

29 2.1.3.2.3. Lei de Encruamento Considerando encruamento isotrópico a superfície de escoamento cresce ou decresce de forma uniforme em todas as direções. No caso específico do modelo de Von Mises, um aumento ou diminuição no raio do cilindro ocorre. Este fenômeno pode ser ilustrado na Figura 2.4 junto com um teste cíclico uniaxial. Figura 2.4 Encruamento Isotrópico. Teste uniaxial e Plano (Souza Neto et al., 2008). Na descrição constitutiva do encruamento isotrópico emprega-se apenas uma variável escalar para determinar o tamanho da superfície de escoamento. Esta variável do estado interno do encruamento é escolhida como uma medida escalar de deformação. No caso do modelo de Von Mises emprega-se a deformação plástica acumulada definida como: (2.20) A definição acima generaliza a deformação axial plástica acumulada de um modelo unidimensional para um modelo que considera deformações multiaxiais. Empregando a equação (2.19) e a taxa de variação da equação (2.20), encontrase que: (2.21)

30 O modelo de Von Mises com encruamento isotrópico é obtido permitindo que a tensão de escoamento uniaxial seja função da deformação plástica acumulada ( ) (2.22) Esta função define a curva deformação-encruamento que pode ser obtida através de um teste de tração uniaxial. 2.1.4. Análise Incremental-Iterativa das Equações Não-Lineares No método dos elementos finitos baseado nos deslocamentos, podemos aproximar o campo contínuo dos deslocamentos através de uma discretização do domínio empregando funções de forma ou interpolação onde as variáveis desconhecidas a calcular são os deslocamentos nodais dos elementos. As funções de interpolação utilizadas numa análise não linear são as mesma empregadas numa análise linear, apresentadas em Felippa (2004) e Cook et al. (1989). Esta aproximação nos deslocamentos pode ser descrita como: ( ) (2.23) Substituindo a equação anterior da aproximação dos deslocamentos na equação linearizada do equilíbrio da equação (2.8), obtém-se em forma matricial: ( ) ( ) ( ) (2.24) Da equação de acima é a matriz de rigidez tangente, e são os vetores de forças externa e interna, e é o incremento dos deslocamentos nodais. Sendo a equação (2.24) válida para qualquer incremento dos deslocamentos virtuais nodais, obtém-se: (2.25) As equações algébricas resultantes da equação anterior, que surgiram da linearização da equação de equilíbrio, precisam de um processo incremental-

31 iterativo para assegurar que as condições de equilíbrio sejam satisfeitas, permitindo assim melhorar a qualidade das soluções. No processo incremental-iterativo da resolução das equações (2.25), adotou-se uma notação para a j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo da maneira seguinte: [ ]{ } { } { } (2.26) O vetor de forças externas { } pode ser decomposto da seguinte forma: { } { } { } (2.27) Ou de maneira equivalente: { } { } { } (2.28) Onde é o incremento do fator de carga da j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo, e { } é o vetor da carga de referência. Com o incremento dos deslocamentos nodais { } resolvido na j-ésima iteração, os deslocamentos nodais totais { seguinte maneira: } podem ser obtidos por acumulação da { } { } { } (2.29) Convenientemente denotou-se o vetor de forças desequilibradas { } como a seguinte diferença: { } { } { } (2.30) como: Empregando a equação (2.28) e (2.30), a equação (2.26) pode ser rescrita [ ]{ } { } { } (2.31)

32 Por conveniência, pode-se rescrever a equação anterior como duas equações da seguinte maneira: [ ]{ } { } (2.32) [ ]{ } { } (2.33) Resolvendo as equações acima pode-se obter o incremento dos deslocamentos nodais da seguinte forma: { } { } { } (2.34) A seguir descrevem-se as equações de restrição dos métodos mais empregados na resolução das equações não lineares. Estas equações permitem determinar o valor do incremento do fator de carga. Dentro dos métodos a mencionar descreve-se o método de controle de carga, controle de deslocamento e controle por comprimento de arco. 2.1.4.1. Método de Controle de Carga Na literatura, frequentemente denominado como o Método de Newton- Raphson, sendo provavelmente o método iterativo mais antigo que ainda é amplamente empregado. Neste método as cargas externas são acrescentadas em uma quantidade constante apenas na primeira iteração do incremento de passo. Nas iterações seguintes, as cargas externas são mantidas, ou seja, o incremento de carga é zero dentro de um mesmo passo. A equação de restrição do método pode ser expressa como: { (2.35) Detalhes das vantagens e limitações do método são descritas por McGuire et al. (2000) e Yang and Kuo (1994).

33 2.1.4.2. Método de Controle de Deslocamento Neste método precisa-se escolher uma componente particular de deslocamento, denotado como a q-ésima componente, para ser o parâmetro de controle nas iterações. Denotando como o incremento do deslocamento da q-ésima componente associada com a j-ésima iteração, a equação de restrição poder ser expressa como: { (2.36) Neste método, na primeira iteração do incremento de passo, é acrescentada uma quantidade constante na componente de deslocamento escolhida. Nas iterações restantes do passo, o incremento é zero. Esta equação de restrição pode ser expressa em termos do incremento do fator de carga como: { (2.37) Claramente, as cargas externas não são mantidas constantes durante o processo iterativo. Detalhes das vantagens e limitações do método são descritas por McGuire et al. (2000) e Yang and Kuo (1994). 2.1.4.3. Método de Controle por Comprimento de Arco Neste trabalho é abordado só o Método de controle por comprimento de arco cilíndrico. A equação de restrição deste método pode ser expressa como: ( ) ( ) (2.38) Neste caso, requer-se que a norma Euclidiana do incremento total de deslocamento no passo seja igual a, i.e., que a solução no final do incremento fique na interseção entre a trajetória de equilíbrio e um cilindro de raio centrado

34 na configuração de equilíbrio do início do incremento. Esta equação de restrição pode ser expressa em termos do incremento do fator de carga como: (2.39) { {( ) ( )} Onde os coeficientes da equação de segundo grau são: ( ) ( ) ( ) (2.40) Detalhes das vantagens e limitações do método são descritas por Souza Neto et al. (2008) e Paullo and Roehl (2012). 2.2. Análise incremental da Carga Crítica A análise de autovalores pode ser utilizada junto com uma análise não linear completa, formulando o problema de autovalor após cada incremento de carga. Esta técnica, baseada nas matrizes de rigidez incrementais, é considerada como uma análise não linear embora seja empregada uma análise linearizada de autovalores em cada passo. Considerando uma estrutura sujeita a um carregamento * + e um estado de tensões e deslocamentos atuais * + e * +, respectivamente, o problema de autovalor após um incremento de carga * + pode ser formulado da seguinte maneira:, ( ) ( )-* + * + (2.41) Sendo a matriz de rigidez total no início do incremento e o incremento da matriz de rigidez geométrica no incremento de carga * +. Nesta equação, é assumida como uma função linear do incremento de carga * + para causar a condição crítica. O incremento da rigidez geométrica empregada na estimativa da carga crítica está baseado nos incrementos das tensões e deslocamentos e, respectivamente, em relação ao início do

35 incremento. No entanto, os estados de tensão e deformação não são atualizados durante a análise desta técnica de colapso. Segundo Dupuis et al. (1970), o incremento da matriz de rigidez geométrica é: ( ) ( ) ( ) (2.42) Sendo o incremento da matriz de rigidez das tensões iniciais e o incremento da matriz de rigidez dos deslocamentos iniciais. Segundo Waszczyszyn et al. (1994), o incremento da matriz de rigidez geométrica é: ( ) ( ) ( ) (2.43) Sendo a mesma matriz da equação (2.42) e ( ) o incremento da parte linear nos deslocamentos da matriz de rigidez dos deslocamentos iniciais ( ). Se os termos do incremento desta matriz não forem considerados na equação (2.43), obtém-se o incremento da matriz de rigidez geométrica clássica: ( ) ( ) (2.44) 2.3. Análise Linearizada da Carga Crítica Na análise linearizada da carga crítica é considerado todo o comportamento da estrutura como linear antes do colapso. Através desta consideração, o problema de autovalor da análise linearizada pode ser obtido como um caso especial da análise incremental de carga crítica. Nesta análise os valores das tensões iniciais * + e deslocamentos iniciais * + são considerados nulos no início do incremento. Além disto, os efeitos dos deslocamentos iniciais não são levados em consideração no incremento da matriz de rigidez geométrica, sendo só considerados os efeitos do incremento da matriz de rigidez das tensões iniciais. A equação do problema de autovalor para estimar a carga crítica numa análise linearizada, conhecida na literatura como a equação da carga de flambagem de Euler, é descrita como:, ( ) ( )-* + * + (2.45)

3 Implementação Computacional Neste trabalho considerou-se o estudo da instabilidade elástica e inelástica de estruturas planas como vigas, colunas, pórticos e arcos. No estudo deste tipo de estruturas adotou-se uma aproximação de meio continuo, considerando um estado plano de tensões que será resolvido através do método dos elementos finitos. Neste capítulo descreve-se as considerações particulares da formulação do estado plano de tensões na implementação computacional das técnicas do colapso descritas no capítulo anterior. 3.1. Elemento Isoparamétrico Bidimensional Empregou-se um tipo de elementos isoparamétricos bidimensional de alta ordem, amplamente utilizado no método dos elementos finitos, conhecido na literatura como Q9. Este elemento, do tipo Lagrangeano, permite uma melhor modelagem de problemas no regime plástico. As funções de forma do elemento são mostradas na Figura 3.1. Figura 3.1 Funções de Interpolação de elementos Bidimensionais (Bathe, 1996).

37 3.2. Considerações do Estado Plano de Tensões As hipóteses do estado plano de tensões, mostrado na Figura 3.2, são validas na análise de corpos com uma dimensão (espessura) muito menor em comparação as demais, e sujeitos a carregamentos que geram tensões predominantemente na direção perpendicular à espessura do corpo. Figura 3.2 Estado plano de tensões (Souza Neto et al., 2008). Sendo os índices 1 e 2 as direções associadas ao plano e o índice 3 à direção normal, o estado plano de tensões pode ser definido através do seguinte tensor de tensões: [ ] (3.1) Os problemas de estado plano de tensões que envolvem elasticidade linear de materiais isotrópicos são simplesmente abordados através da seguinte relação entre as tensões não nulas e as deformações planas: { } [ ] { } (3.2) No entanto, os problemas de estado plano de tensões que envolvem plasticidade requerem uma abordagem especial no algoritmo de integração das

38 relações constitutivas para poder levar em consideração as restrições das componentes nulas das tensões e deformações seguintes: (3.3) (3.4) 3.3. Matrizes Utilizadas na Formulação Lagrangeana Total Nesta seção apresentam-se as matrizes e vetores empregados na resolução do sistema de equação não lineares (2.25), que resultam da discretização do meio continuo através da aproximação do método dos elementos finitos. A avaliação precisa das matrizes e vetores na formulação Lagrangeana Total permitirá considerar grandes deslocamentos e rotações nos elementos sem causar deformações errôneas quando ocorrerem movimentos de corpo rígido. 3.3.1. Matriz de Rigidez Tangente Substituindo as aproximações do método dos elementos finitos da equação (2.23), no primeiro termo da parte esquerda da equação linearizada do equilíbrio (2.8), obtém-se em forma matricial a seguinte expressão: (3.5) Da expressão acima define-se a primeira contribuição da matriz de rigidez tangente denominada como matriz de rigidez linear na cinemática da deformação, descrita da seguinte forma: (3.6) Sendo a matriz de transformação deformação-deslocamento linear e a matriz tangente consistente, definidas nas seções seguintes deste capítulo. Da mesma forma que o caso anterior, o segundo termo da equação (2.8) pode ser expresso em forma matricial como:

39 (3.7) Onde é definida como a segunda contribuição da matriz de rigidez tangente, denominada também como matriz de rigidez não linear na cinemática da deformação. Esta matriz é expressa como: (3.8) Sendo a matriz de transformação deformação-deslocamento nãolinear, descrita nas seções seguintes, e a matriz do segundo tensor das tensões de Piolla-Kirchhoff descrito como: [ ] (3.9) Finalmente, a matriz de rigidez tangente total empregada nos métodos iterativo-incrementais é a soma das duas contribuições, descrita como: (3.10) 3.3.2. Vetor de Forças Internas Substituindo no segundo termo da parte direita da equação linearizada do equilíbrio (2.8), as aproximações do método dos elementos finitos da equação (2.23), obtém-se em forma matricial: (3.11) Da expressão acima se define que é descrito como: como o vetor de forças internas nodais, (3.12)

40 Sendo a matriz de transformação deformação-deslocamento linear, que será definida nas próximas seções deste capítulo, e o vetor do segundo tensor das tensões de Piolla-Kirchhoff descrito como: { } (3.13) 3.3.3. Matrizes de Transformação Deformação-Deslocamento Como foi discutido nas seções anteriores a avalição das matrizes de rigidez tangente e vetor de forças internas dependem do emprego das matrizes de transformação deformação-deslocamento. Estas matrizes relacionam os incrementos das deformações com os incrementos dos deslocamentos. A matriz de transformação deformação-deslocamento linear é definida como: (3.14) [ ] Onde as componentes gradiente de deformação, e são as componentes do tensor são as derivadas das funções de interpolação em relação às coordenadas iniciais. A matriz poder ser dividida em duas partes empregando a expressão do gradiente de deformação em função dos deslocamentos: (3.15) Substituindo a equação acima, na expressão (3.14) da matriz matrizes apresentadas a seguir:, as duas

41 (3.16) [ ] (3.17) [ ] As matrizes e são empregadas na formulação do incremento das matrizes de rigidez geométricas das equações (2.42), (2.43) e (2.44). Outra matriz empregada nestas equações é a matriz de transformação deformaçãodeslocamento não linear, definida como: (3.18) [ ] 3.3.4. Matrizes empregadas na análise linearizada e incremental da carga crítica Segundo Dupuis et al. (1970) a matriz de rigidez tangente estrutura pode ser expressa como a soma de três matrizes: de uma (3.19) Sendo a matriz de rigidez linear ou dos pequenos deslocamentos, a matriz de rigidez dos deslocamentos iniciais, e a matriz de rigidez das tensões iniciais. Empregando as matrizes de transformação (3.16), (3.17) e (3.18), estas matrizes podem ser descritas como: (3.20)

42 (3.21) (3.22) Segundo Waszczyszyn et al. (1994), a matriz de rigidez pode ser dividida em uma parte linear nos deslocamentos e outra quadrática nos deslocamentos, descritos como: (3.23) (3.24) Na análise linearizada da carga crítica, a matriz de rigidez tangente da equação (2.45), é simplesmente a matriz de rigidez linear (3.20) considerando o comportamento do material linear-elástico: (3.25) 3.4. Algoritmo de Integração Numérica das Relações Constitutivas As equações constitutivas reduzidas (2.11), (2.12), e (2.13); envolvem equações diferencias ordinárias que precisam ser discretizadas para ser resolvidas mediante um algoritmo numérico de integração. No presente trabalho abordou-se o algoritmo preditor/corretor baseado no método implícito de Euler para discretizar no tempo as equações diferenciais ordinárias. Outros métodos de discretização podem ser estudados em Souza Neto et al. (2008). A discretização das equações constitutivas reduzidas (2.11), (2.12) e (2.13) num intervalo [ ] através do método implícito de Euler, estabelece o seguinte sistema de equações algébricas: (3.26)

43 (3.27) (3.28) Nas equações discretizadas de acima, adotou-se a notação: (3.29) No sistema de equações discretas, as únicas variáveis desconhecidas são a deformação elástica, as variáveis internas de encruamento, e o incremento do multiplicador plástico. Tabela 3.1 Algoritmo implícito preditor/corretor. PSP aplicado ao modelo de Von Mises com encruamento isotrópico não linear. (i) Preditor elástico. Dado o incremento da deformação total, e as variáveis internas e tensões no tempo, avalia-se o estado elástico: (ii) Verificar a admissibilidade plástica: (iii) Corretor Plástico. Resolver a equação não linear em função do incremento do multiplicador plástico empregando o método de Newton-Raphson: Encontrado o valor de, atualiza-se o valor das variáveis: (iv) SAIR

44 3.4.1. Algoritmo de integração Plane Stress-Projected Na análise de problemas de estado plano de tensões que envolvem plasticidade, algumas modificações no algoritmo preditor/corretor baseado no método implícito de Euler, equações (3.26)-(3.29), são necessárias para levar em consideração as equações (3.3) e (3.4). Neste trabalho empregou-se o procedimento Plane Stress-Projected (PSP) aplicado ao modelo constitutivo de Von Mises, resumido na Tabela 3.1. Para obter uma representação compacta do procedimento anteriormente mencionado empregou-se a seguinte notação matricial dos tensores da tensão, deformação total, plástica, e elástica: [ ] [ ] [ ] [ ] (3.30) Por conveniência no desenvolvimento do procedimento empregou-se uma função modificada da superfície de escoamento, descrita como: (3.31) Onde é a matriz definida como: [ ] (3.32) O algoritmo inicia-se com o cálculo do passo preditor elástico. Neste passo empregam-se as seguintes expressões no intervalo [ ]: (3.33) (3.34) (3.35)

45 Se as condições de admissibilidade não são satisfeitas procede-se ao cálculo do passo corretor plástico. Neste passo deve-se resolver o seguinte sistema de equações algébricas: (3.36) (3.37) (3.38) Substituindo a expressão (3.37) em (3.38), e reorganizando (3.36) e empregando a inversa da lei elástica, obtém-se o seguinte sistema reduzido de equações algébricas: [ ] (3.39) (3.40) Finalmente, substituindo (3.39) em (3.40), reduz-se o sistema de equações algébricas do passo corretor plástico numa só equação não linear, tendo como única variável o incremento do multiplicador plástico : ( ) (3.41) Da equação acima, define-se as seguintes expressões: (3.42) [ ] (3.43) Para atualizar as variáveis: tensão, deformação elástica e deformação plástica acumulada, deve-se resolver a equação escalar não linear (3.41) pelo método de Newton-Raphson.

46 3.4.2. Matriz Tangente Elastoplástica Consistente A matriz tangente elastoplástica consistente é definida como: (3.44) Onde é resultado do algoritmo preditor/corretor PSP. Na derivação da expressão de, empregou-se a derivada de (3.36) e (3.41), a expressão (3.42), e a lei elástica de (2.10). O resumo do cálculo da matriz tangente elastoplástica é resumido na Tabela 3.2. Tabela 3.2 Cálculo da matriz tangente elastoplástica empregando o algoritmo PSP aplicado ao modelo de Von Mises. (i) Determinado, e (resultados obtidos do algoritmo mostrado na Tabela 3.1), calcula-se: [ ] (ii) Finalmente, calcula-se a matriz tangente elastoplástica: 3.5. Exemplos de Validação Da literatura pesquisada, seis exemplos foram selecionados para validar a implementação computacional em lidar com problemas que envolvem não linearidade geométrica e/ou física. No primeiro exemplo testou-se a resposta não linear de uma viga em balanço devido à não-linearidade do material. A seguir, outra viga em balanço que sofre grandes deslocamentos é testada com material elástico e inelástico. Os pórticos de Roorda e Lee também foram testados para avaliar a análise linear da carga crítica e o método de controle por comprimento de arco, respectivamente. Finalmente, um arco abatido foi testado para validar o cálculo dos pontos críticos sobre a trajetória de equilíbrio.

47 3.5.1. Exemplo de Validação 1: Viga em balanço empregando um modelo elastoplástico do material Neste exemplo uma viga em balanço de seção I, submetida a uma carga concentrada no extremo, foi testada empregando uma malha composta por 150 elementos isoparamétricos Q9 com 9 pontos de integração. A malha é mostrada na Figura A.1 do Apêndice A. Na análise da viga, consideraram-se as seguintes hipóteses: pequenos deslocamentos, deformações cisalhantes e comportamento elastoplástico do material. Figura 3.3 Propriedades e geometria da Viga em balanço do exemplo de validação 1. O objetivo deste exemplo é testar o algoritmo PSP aplicado ao modelo de Von Mises (J2). Na avaliação dos resultados empregaram-se as propriedades descritas na Figura 3.3. O diagrama carga-deslocamento, da carga concentrada versus deslocamento vertical no extremo da viga, é apresentado na Figura 3.4. Figura 3.4 Curva carga-deslocamento do exemplo de validação 1.

48 Os resultados obtidos na figura acima foram comparados com os resultados analíticos apresentados por Yaw (2008), não apresentando diferenças significativas entre os resultados. Outros resultados da análise são apresentados no Apêndice A. 3.5.2. Exemplo de Validação 2: Viga em balanço com grandes deslocamentos e material linear-elástico O objetivo deste exemplo é testar a formulação Lagrangeana Total em lidar com grandes deslocamentos e rotações de uma estrutura. Para validar esta formulação testou-se uma viga em balanço com propriedades descritas na Figura 3.5. Na análise da viga empregou-se uma malha composta por 5 elementos Q9 com 9 pontos de integração, como é mostrada na Figura A.4 do Apêndice A. Figura 3.5 Viga em balanço com material linear-elástico do exemplo de validação 2. Na análise da viga consideraram-se as seguintes hipóteses: grandes deslocamentos, deformações cisalhantes desprezíveis, e comportamento linearelástico do material. O diagrama carga-deslocamento, da carga concentrada versus deslocamento vertical no extremo da viga, é apresentado na Figura 3.6 e comparado com os resultados analíticos descritos no livro de Gere and Timoshenko (1991). Os resultados comparados não apresentam diferenças significativas, validando a formulação. Outros resultados da análise são apresentados no Apêndice A.

49 Figura 3.6 Curva carga-deslocamento do exemplo de validação 2. 3.5.3. Exemplo de Validação 3: Viga em balanço com grandes deslocamentos e material elastoplástico A viga em balanço do exemplo anterior é testada considerando um comportamento elastoplástico do material. As propriedades elastoplásticas consideradas na análise são mostradas na Figura 3.7. Neste exemplo, consideraram-se grandes deslocamentos e deformações plásticas ao longo da análise. Na análise empregou-se uma malha composta por 5 elementos Q9 com 9 pontos de integração, como é mostrada na Figura A.8 do Apêndice A. Figura 3.7 Viga em balanço com material elastoplástico do exemplo de validação 3.

50 Neste exemplo validou-se a implementação em lidar com efeitos não lineares geométricos e físicos ao mesmo tempo. O diagrama cargadeslocamento, da carga concentrada versus deslocamento vertical no extremo da viga, é mostrado na Figura 3.8 e ampliado na Figura 3.9. Estes resultados são comparados com os resultados obtidos por Kondoh and Atluri (1987). Os resultados comparados se mostram de acordo. Outros resultados da análise são apresentados no Apêndice A. Figura 3.8 Curva carga-deslocamento do exemplo de validação 3. Figura 3.9 Curva carga-deslocamento do exemplo de validação 3 (ampliação).

51 3.5.4. Exemplo de Validação 4: Cálculo da carga crítica do pórtico de Roorda O pórtico de Roorda é um dos exemplos mais testados no cálculo de carga crítica. Através deste exemplo validou-se o problema de autovalor formulado na análise linearizada da carga crítica. Na avaliação dos resultados empregaram-se as propriedades mostradas na Figura 3.10. Figura 3.10 Pórtico de Roorda. Na análise empregou-se uma malha composta por 21 elementos Q9 com 9 pontos de integração, como é mostrada na Figura A.12 do Apêndice A. O resultado da carga crítica foi comparado com o resultado analítico obtido por Koiter (1962) na Tabela 3.3. A configuração deformada do modo de flambagem do pórtico esta apresentada na Figura A.13 do Apêndice A. Tabela 3.3 Valores estimados da carga crítica do exemplo de validação 4. Carga crítica analítica Carga crítica obtida Dos valores obtidos na tabela anterior pode-se observar que os valores só diferem em 0.57%, validando assim a formulação do problema de autovalor.

52 3.5.5. Exemplo de Validação 5: Pontos críticos de um arco abatido Neste exemplo foram avaliados os pontos críticos sobre a trajetória de equilíbrio de um arco abatido. As propriedades e geometria do arco são mostradas na Figura 3.11. Na avaliação do ponto de bifurcação empregou-se uma imperfeição inicial na geometria, proporcional ao primeiro modo da flambagem linear. Figura 3.11 Arco abatido do exemplo de validação 5. Na análise empregou-se uma malha composta por 40 elementos Q9 com 9 pontos de integração, como é mostrada na Figura A.14 do Apêndice A. As trajetórias de equilíbrio fundamental e secundária, definidas pela carga e deslocamento vertical no centro do arco, são mostradas na Figura 3.12. Os resultados foram comparados com os obtidos por Wood and Zienkiewicz (1977). Figura 3.12 Trajetórias de equilíbrio do arco abatido do exemplo de validação 5.

53 Os pontos críticos (bifurcação e limite) são apresentados na Tabela 3.4 para uma melhor comparação. Os resultados obtidos mostraram ser satisfatórios. A configuração deformada do arco no caso simétrico e antissimétrico é mostrada na Figura A.15 e Figura A.16, respectivamente, do Apêndice A. Tabela 3.4 Resultados obtidos dos pontos críticos do exemplo de validação 5. Pontos Críticos Wood and Zienkiewicz (1977) Implementação Ponto de Bifurcação Ponto Limite 3.5.6. Exemplo de Validação 6: Pórtico de Lee Neste exemplo testou-se o pórtico de Lee para validar o método de controle por comprimento de arco. As propriedades e geometria do pórtico são mostradas na Figura 3.13. Na análise do pórtico considerou-se um comportamento linear-elástico e inelástico. Malhas compostas por 41 e 84 elementos Q9 com 9 pontos foram empregadas no caso linear-elástico e inelástico, respectivamente. Na Figura A.17 e Figura A.18 do Apêndice A, são mostradas as malhas empregadas na análise. Figura 3.13 Pórtico de Lee do exemplo de validação 6.

54 Os diagramas carga-deslocamento são mostrados na Figura 3.14 e na Figura 3.15 para o caso elástico e plástico, respectivamente, e comparados com os resultados obtidos por Da Silva and Silva (2012). Os resultados comparados mostraram estar de acordo. As configurações deformadas do pórtico são mostradas na Figura A.19 e na Figura A.20 do Apêndice A. Figura 3.14 Curva carga-deslocamento do pórtico de Lee no caso elástico. Figura 3.15 Curva carga-deslocamento do pórtico de Lee no caso inelástico.

4 Exemplos Numéricos Nos exemplos a serem apresentados, mostram-se os efeitos da consideração das não linearidades geométrica e física na estimativa de cargas críticas. Para um melhor estudo da influência dos efeitos não lineares, estudouse primeiro estruturas que incluem só não-linearidade geométrica e um comportamento linear-elástico do material. A seguir foram estudadas estruturas que incluem além da não linearidade geométrica a não linearidade física, considerando um comportamento elastoplástico do material. Na estimativa de cargas críticas empregaram-se as três técnicas de análise estudadas: Análise linearizada da carga crítica, Análise incremental da carga crítica e Análise não linear completa. Na técnica de análise incremental da carga crítica empregaramse as matrizes de rigidez geométrica formuladas nos métodos da seção 2.2. Para um melhor estudo e comparação das matrizes formuladas, os métodos de Dupuis et al. (1970), Waszczyszyn et al. (1994) e o método clássico atualizado foram denominados como método I, método II e método III, respectivamente. Antes de empregar as técnicas de análise estudadas, foi feito um estudo de convergência de malha nos problemas a serem abordados. 4.1. Estimação de cargas críticas com Material Linear Elástico Nesta seção são estudados três exemplos encontrados na literatura: um arco circular abatido, um arco circular elevado e um pórtico T. 4.1.1. Arco circular abatido Um arco circular abatido com extremos fixos é carregado em sua parte central com uma força concentrada, como é mostrado na Figura 4.1. A geometria e propriedades do arco, empregadas na análise, são mostradas na mesma figura. Utiliza-se uma malha composta por 20 elementos isoparamétricos Q9, na direção circunferencial, com nove 9 pontos de integração. A malha empregada no arco é mostrada na Figura 4.2.

56 A precisão da solução numérica, na obtenção da trajetória de equilíbrio, pode ser verificada com o auxílio dos resultados obtidos por Yaw (2008). Neste problema será estimada a carga crítica associada ao ponto limite da trajetória de equilíbrio. Figura 4.1 Arco circular abatido do exemplo 4.1.1. Figura 4.2 Malha do arco abatido do exemplo 4.1.1. Empregando a técnica da análise linearizada da carga crítica obtém-se um valor numérico de 78.3kN na estimativa da carga. A configuração deformada relacionada ao primeiro modo de colapso, obtida através desta técnica, é mostrada na Figura 4.3. A configuração obtida é assimétrica. Figura 4.3 Modo de colapso do exemplo 4.1.1 (análise linearizada da carga crítica). Na análise incremental da carga crítica aplicou-se uma carga de 26kN em 26 passos, sendo estimado o valor da carga crítica após cada passo. Os resultados obtidos após os passos 10, 15, 20, 23 e 26; são resumidos na Tabela 4.1, Tabela 4.2 e Tabela 4.3, respectivamente. Na avaliação dos resultados empregou-se um incremento de carga de 1kN.

57 Tabela 4.1 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.1. [ ) ))]{ } { } N do passo (kn) (kn) Carga crítica (kn) 10 9 1 24.40 33.4 15 14 1 17.52 31.5 20 19 1 10.48 29.5 23 22 1 6.12 28.1 26 25 1 1.31 26.3 Tabela 4.2 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.1. [ ) ))]{ } { } N do passo (kn) (kn) Carga crítica (kn) 10 9 1 21.30 30.3 15 14 1 13.80 27.8 20 19 1 7.10 26.1 23 22 1 3.58 25.6 26 25 1 0.54 25.5 Tabela 4.3 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.1. [ ))]{ } { } N do passo (kn) (kn) Carga crítica (kn) 10 9 1 58.20 67.2 15 14 1 46.31 60.3 20 19 1 32.89 51.9 23 22 1 20.97 43.0 26 25 1 4.08 29.1 A partir dos resultados da análise incremental da carga crítica, observou-se que nos métodos I e II todos os modos de colapso obtidos após os passos são simétricos. Entretanto, no caso do método III os modos de colapso obtidos após os passos 10, 15 e 20 são assimétricos como no caso prévio da análise linearizada da carga crítica, enquanto os modos de colapso obtidos após os passos 23 e 26 são simétricos como os modos obtidos nos métodos I e II. Os valores estimados das cargas críticas nos métodos I, II e III, após o passo 26, foram de 26.3kN, 25.5kN e 29.1kN, respectivamente. Os modos de colapso obtidos, após o passo 26, são muito parecidos nos três métodos. Na Figura 4.4 é mostrada a configuração deformada do primeiro modo de colapso obtido após este passo, empregando o método III da análise incremental da carga crítica.

58 Figura 4.4 Modo de colapso do exemplo 4.1.1, após o passo 26. Finalmente, empregou-se a análise não linear completa para estimar o valor da carga crítica. Através desta técnica obteve-se um valor numérico de 26.1kN para a carga crítica e a trajetória de equilíbrio mostrada na Figura 4.5. A configuração deformada do arco abatido na carga crítica é mostrada na Figura 4.6. Figura 4.5 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.1.1. Os valores obtidos nas três técnicas apresentam diferenças na estimativa do valor da carga crítica. As diferenças também estão presentes nos três métodos abordados na análise incremental da carga crítica. Na Figura 4.7 são mostrados os valores obtidos para a carga crítica. Figura 4.6 Configuração deformada do exemplo 4.1.1 (análise não linear completa).

59 Figura 4.7 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.1. Da Figura 4.7 pode-se observar que os valores obtidos na análise incremental da carga crítica, convergem para um valor próximo do valor obtido na análise não linear completa. Neste exemplo, os métodos I e II apresentam uma convergência melhor e mais rápida que a do método III. Pode-se observar também que os valores obtidos na análise incremental da carga crítica e análise não linear completa diferem significativamente do valor obtido na análise linearizada da carga crítica. Esta diferença entre os valores obtidos pode ser devido à mudança da geometria e distribuição das tensões. As tensões equivalentes de Von Mises, para o caso linear e não linear, são mostradas na Figura B.1 e Figura B.2 do Apêndice B, respectivamente. 4.1.2. Arco circular elevado Um arco circular elevado com extremos fixos é carregado em sua parte central com uma força concentrada, como é mostrado na Figura 4.8. A geometria e propriedades do arco, empregadas na análise, são mostradas na mesma figura. Utiliza-se uma malha composta por 80 elementos isoparamétricos Q9, na direção circunferencial, com nove 9 pontos de integração. A malha empregada neste exemplo é mostrada na Figura 4.9.

60 A precisão da solução numérica, na obtenção da trajetória de equilíbrio, pode ser verificada com o auxílio dos resultados obtidos por Battini (2002). Neste problema serão estimadas as cargas críticas associadas ao ponto de bifurcação e ponto limite da trajetória de equilíbrio. Figura 4.8 Arco circular elevado do exemplo 4.1.2. Figura 4.9 Malha do arco elevado do exemplo 4.1.2. Neste exemplo, primeiro será estimada a carga crítica relacionada ao ponto de bifurcação associada à configuração deformada assimétrica. A seguir será estimada a carga crítica relacionada ao ponto limite associada à configuração deformada simétrica.

61 4.1.2.1. Estimativa da carga crítica associada ao ponto de bifurcação Empregando a técnica da análise linearizada da carga crítica obtém-se um valor numérico de 357.1lbf (1588.5N) na estimação da carga. A configuração deformada relacionada ao primeiro modo de colapso, obtida através desta técnica, é mostrada na Figura 4.10. A configuração obtida é assimétrica. Figura 4.10 Modo assimétrico do exemplo 4.1.2 (análise linearizada da carga crítica). Na análise incremental da carga crítica aplicou-se uma carga de 320lbf (1423.4N) em 32 passos, sendo estimado o valor da carga crítica após cada passo. Os resultados obtidos após os passos 10, 15, 20, 27 e 32; são resumidos na Tabela 4.4, Tabela 4.5 e Tabela 4.6, respectivamente. Na avaliação dos resultados empregou-se um incremento de carga de 10lbf (44.5N). Tabela 4.4 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.2 (assimétrico). [ ) ))]{ } { } N do passo (lbf) (lbf) Carga crítica (lbf) 10 90 10 1.22 102.2 15 140 10 1.16 151.6 20 190 10 1.11 201.1 27 260 10 1.04 270.4 32 310 10 1.01 320.1

62 Tabela 4.5 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.2 (assimétrico). [ ) ))]{ } { } N do passo (lbf) (lbf) Carga crítica (lbf) 10 90 10 0.0164 90.2 15 140 10 0.0076 140.1 20 190 10 0.0038 190.0 27 260 10 0.0012 260.0 32 310 10 0.0002 310.0 Tabela 4.6 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.2 (assimétrico). [ ))]{ } { } N do passo (lbf) (lbf) Carga crítica (lbf) 10 90 10 25.36 343.6 15 140 10 19.72 337.2 20 190 10 14.20 332.0 27 260 10 6.75 327.5 32 310 10 1.72 327.2 A partir dos resultados da análise incremental da carga crítica, observou-se que nos três métodos todos os modos de colapso obtidos após os passos são assimétricos como no caso prévio da análise linearizada da carga crítica. Os valores estimados das cargas críticas nos métodos I, II e III, após o passo 32, foram de 320.1lbf (1423.9N), 310lbf (1378.9N) e 327.2lbf (1455.5N), respectivamente. Os modos de colapso obtidos, após o passo 32, são muito parecidos nos três métodos. Na Figura 4.11 é mostrada a configuração deformada do primeiro modo de colapso obtido após este passo, empregando o método III da análise incremental da carga crítica. Figura 4.11 Modo assimétrico do exemplo 4.1.2, após o passo 32.

63 Finalmente, empregou-se a análise não linear completa para estimar o valor da carga crítica. Na avaliação desta carga crítica empregou-se uma imperfeição inicial na geometria, proporcional ao primeiro modo obtido da análise linearizada da carga crítica. Através desta técnica obteve-se um valor numérico de 320.8lbf (1427.0N) para a carga crítica e a trajetória de equilíbrio mostrada na Figura 4.12. Também foi estimado um valor numérico de 414.0lbf (1841.6N) para a carga crítica relacionada ao ponto limite da trajetória de equilíbrio secundária. A configuração deformada assimétrica do arco elevado nesta carga crítica é mostrada na Figura 4.13. Figura 4.12 Trajetória de equilíbrio assimétrica do exemplo 4.1.2. Os valores obtidos nas três técnicas apresentam diferenças na estimativa do valor da carga crítica. As diferenças também estão presentes nos três métodos abordados na análise incremental da carga crítica. Na Figura 4.14 são mostrados os valores obtidos para a carga crítica. Figura 4.13 Deformada assimétrica do exemplo 4.1.2 (análise não linear completa).

64 Figura 4.14 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.2 (assimétrico). Da Figura 4.14 pode-se observar que os valores obtidos na análise incremental da carga crítica, convergem para um valor próximo do valor obtido na análise não linear completa. Neste exemplo, os métodos I e II apresentam uma convergência mais lenta que a do método III. Pode-se observar também que os valores obtidos na análise incremental da carga crítica e análise não linear completa não diferem significativamente do valor obtido na análise linearizada da carga crítica. Esta diferença não significativa entre os valores obtidos pode ser devido à mudança não significativa da geometria e distribuição das tensões. As tensões equivalentes de Von Mises, para o caso linear e não linear, são mostradas na Figura B.3 e Figura B.4 do Apêndice B, respectivamente. 4.1.2.2. Estimativa da carga crítica associada ao ponto limite Neste exemplo a carga crítica estimada, relacionada ao ponto limite, está associada à trajetória de equilíbrio fundamental. Na estimação desta carga só foram empegadas as técnicas de análise incremental da carga crítica e análise não linear completa.

65 Na análise incremental da carga crítica aplicou-se uma carga de 950lbf (4225.8N) em 95 passos, sendo estimado o valor da carga crítica após cada passo. Os resultados obtidos após os passos 60, 70, 80, 90 e 95; são resumidos na Tabela 4.7, Tabela 4.8 e Tabela 4.9, respectivamente. Na avaliação dos resultados empregou-se um incremento de carga de 10lbf (44.5N). Tabela 4.7 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.2 (simétrico). [ ) ))]{ } { } N do passo (lbf) (lbf) Carga crítica (lbf) 60 590 10 0.14 591.4 70 690 10 0.17 691.7 80 790 10 0.19 791.9 90 890 10 0.08 890.8 95 940 10 0.01 940.1 Tabela 4.8 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.2 (simétrico). [ ) ))]{ } { } N do passo (lbf) (lbf) Carga crítica (lbf) 60 590 10 0.00198 590.0 70 690 10 0.00124 690.0 80 790 10 0.00070 790.0 90 890 10 0.00026 890.0 95 940 10 0.00006 940.0 Tabela 4.9 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.2 (simétrico). [ ))]{ } { } N do passo (lbf) (lbf) Carga crítica (lbf) 60 590 10 128.03 1870.3 70 690 10 98.83 1678.3 80 790 10 70.98 1499.8 90 890 10 40.60 1296.0 95 940 10 9.08 1030.8 A partir dos resultados da análise incremental da carga crítica, observou-se que nos métodos II e III todos os modos de colapso obtidos após os passos são simétricos, enquanto no caso do método I todos os modos de colapso obtidos após os passos são assimétricos. Os valores estimados das cargas críticas nos métodos I, II e III, após o passo 95, foram de 940.1lbf (4181.8N), 940.0lbf

66 (4181.3N) e 1030.8lbf (4585.2N), respectivamente. Os modos de colapso obtidos, após o passo 95, são muito parecidos nos métodos II e III. Na Figura 4.15 é mostrada a configuração deformada do primeiro modo de colapso obtido após este passo, empregando o método III da análise incremental da carga crítica. Figura 4.15 Modo de colapso do exemplo 4.1.2, após o passo 95. Finalmente, empregou-se a análise não linear completa para estimar o valor da carga crítica. Através desta técnica obteve-se um valor numérico de 957.2lbf (4257.8N) para a carga crítica e a trajetória de equilíbrio mostrada na Figura 4.16. A configuração deformada simétrica do arco elevado na carga crítica é mostrada na Figura 4.17. Figura 4.16 Trajetória de equilíbrio simétrica do exemplo 4.1.2.

67 Figura 4.17 Deformada simétrica do exemplo 4.1.2 (análise não linear completa). Os valores obtidos nas duas técnicas apresentam diferenças na estimativa do valor da carga crítica. As diferenças também estão presentes nos três métodos abordados na análise incremental da carga crítica. Na Figura 4.18 são mostrados os valores obtidos para a carga crítica. Figura 4.18 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.2 (simétrico). Da Figura 4.18 pode-se observar que os valores obtidos na análise incremental da carga crítica, convergem para um valor próximo do valor obtido na análise não linear completa. Neste exemplo, os métodos I e II apresentam valores muito semelhantes, com uma convergência melhor e mais rápida que a do método III.

68 4.1.3. Pórtico T Um pórtico T é carregado com uma força concentrada, como é mostrado na Figura 4.19. A geometria e propriedades do pórtico, empregadas na análise, são mostradas na mesma figura. Utiliza-se uma malha composta por 31 elementos isoparamétricos Q9, discretizados na direção do comprimento dos elementos, com nove 9 pontos de integração. A malha empregada no pórtico é mostrada na Figura 4.20. A precisão da solução numérica, na obtenção da trajetória de equilíbrio, pode ser verificada com o auxílio dos resultados obtidos por Yaw (2008). Neste problema serão estimadas a cargas críticas associadas ao ponto limite da trajetória de equilíbrio. Figura 4.19 Pórtico T do exemplo 4.1.3. Figura 4.20 Malha do pórtico T do exemplo 4.1.3. Empregando a técnica da análise linearizada da carga crítica obtém-se um valor numérico de 3044.3kip (13541.7kN) na estimativa da carga. A configuração deformada relacionada ao primeiro modo de colapso, obtida através desta técnica, é mostrada na Figura 4.21. Na análise incremental da carga crítica aplicou-se uma carga de 1250kip (5560.3kN) em 50 passos, sendo estimado o valor da carga crítica após cada passo do incremento.

69 Figura 4.21 Modo de colapso do exemplo 4.1.3 (análise linearizada da carga crítica). Os resultados obtidos após os passos 20, 35, 42, 47 e 50; são resumidos na Tabela 4.10, Tabela 4.11 e Tabela 4.12, respectivamente. Na avaliação dos resultados empregou-se um incremento de carga de 25kip (111.2kN). Tabela 4.10 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.3. [ ) ))]{ } { } N do passo (kip) (kip) Carga crítica (kip) 20 475 25 10.69 742.2 35 850 25 6.31 1007.7 42 1025 25 4.17 1129.2 47 1150 25 2.41 1210.3 50 1225 25 1.14 1253.4 Tabela 4.11 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.3. [ ) ))]{ } { } N do passo (kip) (kip) Carga crítica (kip) 20 475 25 3.38 559.5 35 850 25 0.87 871.9 42 1025 25 0.37 1034.4 47 1150 25 0.14 1153.4 50 1225 25 0.03 1225.6 Tabela 4.12 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.3. [ ))]{ } { } N do passo (kip) (kip) Carga crítica (kip) 20 475 25 101.73 3018.3 35 850 25 68.16 2554.0 42 1025 25 41.16 2054.0 47 1150 25 19.03 1625.8 50 1225 25 4.66 1341.4

70 A partir dos resultados da análise incremental da carga crítica, observou-se que os valores estimados das cargas críticas nos métodos I, II e III, após o passo 50, foram de 1253.4kip (5575.4kN), 1225.6kip (5451.7kN) e 1341.4kip (5966.8kN), respectivamente. Os modos de colapso obtidos, após o passo 50, são muito parecidos nos três métodos. Na Figura 4.22 é mostrada a configuração deformada do primeiro modo de colapso obtido após este passo, empregando o método III da análise incremental da carga crítica. Figura 4.22 Modo de colapso do exemplo 4.1.3, após o passo 50. Figura 4.23 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.1.3. Finalmente, empregou-se a análise não linear completa para estimar o valor da carga crítica. Através desta técnica obteve-se um valor numérico de 1256kip (5587kN) para a carga crítica e a trajetória de equilíbrio mostrada na Figura 4.23. A configuração deformada do pórtico T na carga crítica é mostrada na Figura 4.24.

71 Figura 4.24 Configuração deformada do exemplo 4.1.3 (análise não linear completa). Os valores obtidos nas três técnicas apresentam diferenças na estimativa do valor da carga crítica. As diferenças também estão presentes nos três métodos abordados na análise incremental da carga crítica. Na Figura 4.25 são mostrados os valores obtidos para a carga crítica. Figura 4.25 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.3. Da Figura 4.25 pode-se observar que os valores obtidos na análise incremental da carga crítica, convergem para um valor próximo do valor obtido na análise não linear completa. Neste exemplo, os métodos I e II apresentam uma convergência mais rápida que a do método III. Pode-se observar também que os valores obtidos na análise incremental da carga crítica e análise não linear completa diferem significativamente do valor obtido na análise linearizada da carga crítica. Esta diferença entre os valores obtidos pode ser devido à

72 mudança da geometria e distribuição das tensões. As tensões equivalentes de Von Mises, para o caso linear e não linear, são mostradas na Figura B.5 e Figura B.6 do Apêndice B, respectivamente. 4.2. Estimação de cargas críticas com Material Elastoplástico Nesta seção serão estudados dois exemplos da seção anterior, o arco abatido e pórtico T, e outro exemplo encontrado na literatura denominado como pórtico toggle. Nos três exemplos a serem estudados, considerou-se um comportamento elastoplástico do material na análise. 4.2.1. Arco circular abatido O arco circular abatido do exemplo 4.1.1 é analisado considerando uma tensão de escoamento e modulo elastoplástico. A geometria e propriedades do arco, empregadas na análise, são mostradas na Figura 4.1. Utiliza-se uma malha composta por 80 elementos isoparamétricos Q9, discretizada com 40 divisões na direção circunferencial e 2 divisões na direção radial, com 9 pontos de integração. A malha empregada no arco é mostrada na Figura 4.26. Neste problema será estimada a carga crítica associada ao ponto limite da trajetória de equilíbrio. Figura 4.26 Malha do arco abatido do exemplo 4.2.1. Empregando a malha da figura anterior obtém-se um valor numérico de 78.6kN na estimativa da carga através da técnica da análise linearizada da carga crítica. A configuração deformada relacionada ao primeiro modo de colapso, obtida através desta técnica, é mostrada na Figura 4.27. A configuração obtida é assimétrica. Os resultados obtidos são similares aos do exemplo 4.1.1. Figura 4.27 Modo de colapso do exemplo 4.2.1 (análise linearizada da carga crítica).

73 Na análise incremental da carga crítica aplicou-se uma carga de 11.5kN em 23 passos, sendo estimado o valor da carga crítica após cada passo. Os resultados obtidos após os passos 10, 15, 18, 21 e 23; são resumidos na Tabela 4.13, Tabela 4.14 e Tabela 4.15, respectivamente. Na avaliação dos resultados empregou-se um incremento de carga de 0.5kN. Tabela 4.13 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.2.1. [ ) ))]{ } { } N do passo (kn) (kn) Carga crítica (kn) 10 4.5 0.5 54.0 31.5 15 7 0.5 32.2 23.1 18 8.5 0.5 20.1 18.6 21 10 0.5 10.6 15.3 23 11 0.5 2.6 12.3 Tabela 4.14 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.2.1. [ ) ))]{ } { } N do passo (kn) (kn) Carga crítica (kn) 10 4.5 0.5 50.4 29.7 15 7 0.5 28.1 21.1 18 8.5 0.5 16.3 16.7 21 10 0.5 7.5 13.8 23 11 0.5 1.2 11.6 Tabela 4.15 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.2.1. [ ))]{ } { } N do passo (kn) (kn) Carga crítica (kn) 10 4.5 0.5 139.1 74.1 15 7 0.5 111.8 62.9 18 8.5 0.5 90.2 53.6 21 10 0.5 53.5 36.8 23 11 0.5 10.1 16.0 A partir dos resultados da análise incremental da carga crítica, observou-se que nos métodos I e II todos os modos de colapso obtidos após os passos são simétricos. Entretanto, no caso do método III os modos de colapso obtidos após os passos 10, 15 e 18 são assimétricos como no caso prévio da análise linearizada da carga crítica, enquanto os modos de colapso obtidos após os passos 21 e 23 são simétricos como os modos obtidos nos métodos I e II. Os

74 valores estimados das cargas críticas nos métodos I, II e III, após o passo 23, foram de 12.3kN, 11.6kN e 16.0kN, respectivamente. Na Figura 4.28 e Figura 4.29 são mostradas as configurações deformadas do primeiro modo de colapso obtidas após os passos 15 e 23, respectivamente, empregando o método III da análise incremental da carga crítica. Figura 4.28 Modo de colapso do exemplo 4.2.1, após o passo 15. Figura 4.29 Modo de colapso do exemplo 4.2.1, após o passo 23. Finalmente, empregou-se a análise não linear completa para estimar o valor da carga crítica. Através desta técnica obteve-se um valor numérico de 11.5kN para a carga crítica e a trajetória de equilíbrio mostrada na Figura 4.31. A configuração deformada do arco na carga crítica é mostrada na Figura 4.30. Figura 4.30 Configuração deformada do exemplo 4.2.1 (análise não linear completa). Figura 4.31 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.2.1.

75 Os valores obtidos nas três técnicas apresentam diferenças na estimativa do valor da carga crítica. As diferenças também estão presentes nos três métodos abordados na análise incremental da carga crítica. Na Figura 4.32 são mostrados os valores obtidos para a carga crítica. Figura 4.32 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.2.1. Da Figura 4.32 pode-se observar que os valores obtidos na análise incremental de carga crítica, convergem para um valor próximo do valor obtido na análise não linear completa. Neste exemplo, os métodos I e II apresentam uma convergência melhor e mais rápida que a do método III, como no caso elástico. Pode-se observar também que os valores obtidos na análise incremental da carga crítica e análise não linear completa diferem significativamente do valor obtido na análise linearizada da carga crítica. Esta diferença entre os valores obtidos pode ser devido à mudança da geometria e distribuição das tensões. As tensões equivalentes de Von Mises, para o caso linear e não linear, são mostradas na Figura B.7 e Figura B.8 do Apêndice B, respectivamente.

76 4.2.2. Pórtico toggle Um pórtico toggle com extremos fixos é carregado em sua parte central com uma força concentrada, como é mostrado na Figura 4.33. A geometria e propriedades do pórtico, empregadas na análise, são mostradas na mesma figura. Utiliza-se uma malha composta por 80 elementos isoparamétricos Q9, discretizada com 20 divisões no comprimento de cada elemento e 2 divisões na altura, com 9 pontos de integração. A malha empregada no pórtico é mostrada na Figura 4.34. A precisão da solução numérica, na obtenção da trajetória de equilíbrio, pode ser verificada com o auxílio dos resultados obtidos por Battini (2002). Neste problema será estimada a carga crítica associada ao ponto de bifurcação da trajetória de equilíbrio associada à configuração deformada assimétrica. Figura 4.33 Pórtico toggle do exemplo 4.2.2. Figura 4.34 Malha do pórtico toggle do exemplo 4.2.2. Empregando a malha da figura anterior obtém-se um valor numérico de 43.3lbf (192.6N) na estimativa da carga através da técnica da análise linearizada da carga crítica. A configuração deformada relacionada ao primeiro modo de colapso, obtida através desta técnica, é mostrada Figura 4.35. A configuração obtida é assimétrica. Figura 4.35 Modo de colapso do exemplo 4.2.2 (análise linearizada da carga crítica).

77 Na análise incremental da carga crítica aplicou-se uma carga de 26.5lbf (117.9N) em 53 passos, sendo estimado o valor da carga crítica após cada passo. Os resultados obtidos após os passos 20, 30, 40, 50 e 53; são resumidos na Tabela 4.16, Tabela 4.17 e Tabela 4.18, respectivamente. Na avaliação dos resultados empregou-se um incremento de carga de 0.5lbf (2.2N). Tabela 4.16 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.2.2. [ ) ))]{ } { } N do passo (lbf) (lbf) Carga crítica (lbf) 20 9.5 0.5 44.4 31.7 30 14.5 0.5 34.0 31.5 40 19.5 0.5 23.6 31.3 50 24.5 0.5 10.0 29.5 53 26 0.5 4.2 28.1 Tabela 4.17 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.2.2. [ ) ))]{ } { } N do passo (lbf) (lbf) Carga crítica (lbf) 20 9.5 0.5 38.2 28.6 30 14.5 0.5 26.2 27.6 40 19.5 0.5 15.7 27.3 50 24.5 0.5 4.9 26.9 53 26 0.5 1.5 26.7 Tabela 4.18 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.2.2. [ ))]{ } { } N do passo (lbf) (lbf) Carga crítica (lbf) 20.0 9.5 0.5 59.3 39.1 30.0 14.5 0.5 45.1 37.1 40.0 19.5 0.5 31.0 35.0 50.0 24.5 0.5 12.3 30.6 53.0 26.0 0.5 5.1 28.6 A partir dos resultados da análise incremental da carga crítica, observou-se que nos três métodos todos os modos de colapso obtidos após os passos são assimétricos como no caso prévio da análise linearizada da carga crítica. Os valores estimados das cargas críticas nos métodos I, II e III, após o passo 53, foram de 28.1lbf (125N), 26.7lbf (118.8N) e 28.6lbf (127.2N), respectivamente. Os modos de colapso obtidos, após o passo 53, são muito parecidos nos três

78 métodos. Na Figura 4.36 é mostrada a configuração deformada do primeiro modo de colapso obtida após este passo, empregando o método III da análise incremental da carga crítica. Figura 4.36 Modo de colapso do exemplo 4.2.2, após o passo 50. Figura 4.37 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.2.2. Finalmente, empregou-se a análise não linear completa para estimar o valor da carga crítica. Através desta técnica obteve-se um valor numérico de 26.3lbf (117N) para a carga crítica e a trajetória de equilíbrio, associada à configuração deformada assimétrica, mostrada na Figura 4.37. Nesta figura também se mostra a trajetória de equilíbrio associada à configuração deformada simétrica. A configuração deformada do pórtico toggle na carga crítica e póscrítica são mostradas na Figura 4.38 e Figura 4.39, respectivamente. Figura 4.38 Configuração deformada do exemplo 4.2.2 (análise não linear completa). Figura 4.39 Configuração deformada do exemplo 4.2.2 (análise não linear completa).

79 Os valores obtidos nas três técnicas apresentam diferenças na estimativa do valor da carga crítica. As diferenças também estão presentes nos três métodos abordados na análise incremental da carga crítica. Na Figura 4.40 são mostrados os valores obtidos para a carga crítica. Figura 4.40 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.2.2. Da Figura 4.40 pode-se observar que os valores obtidos na análise incremental de carga crítica, convergem para um valor próximo do valor obtido na análise não linear completa. Neste exemplo, os métodos I e II apresentam uma convergência mais rápida que a do método III, e o método II apresenta uma convergência melhor que a dos métodos I e III. Pode-se observar também que os valores obtidos na análise incremental da carga crítica e análise não linear completa diferem significativamente do valor obtido na análise linearizada da carga crítica. Esta diferença entre os valores obtidos pode ser devido à mudança da geometria e distribuição das tensões. As tensões equivalentes de Von Mises, para o caso linear e não linear, são mostradas na e Figura B.9 e Figura B.10 do Apêndice B, respectivamente.

80 4.2.3. Pórtico T O pórtico T do exemplo 4.1.3 é analisado considerando uma tensão de escoamento ) e modulo elastoplástico ). A geometria e propriedades do pórtico, empregadas na análise, são mostradas na Figura 4.19. Utiliza-se uma malha composta por 124 elementos isoparamétricos Q9 com 9 pontos de integração. A malha empregada no pórtico é mostrada na Figura 4.41. Neste problema será estimada a carga crítica associada ao ponto limite da trajetória de equilíbrio. Figura 4.41 Malha do pórtico T do exemplo 4.2.3. Empregando a malha da figura anterior obtém-se um valor numérico de 3012.6kip (13400.7kN) na estimativa da carga através da técnica da análise linearizada da carga crítica. A configuração deformada relacionada ao primeiro modo de colapso, obtida através desta técnica, é mostrada na Figura 4.42. Os resultados obtidos na análise são similares aos do exemplo 4.1.3. Figura 4.42 Modo de colapso do exemplo 4.2.3 (análise linearizada da carga crítica). Na análise incremental da carga crítica aplicou-se uma carga de 798kip (3549.7kN) em 266 passos, sendo estimado o valor da carga crítica após cada passo. Os resultados obtidos após os passos 220, 235, 250, 260 e 266; são resumidos na Tabela 4.19, Tabela 4.20 e Tabela 4.21, respectivamente. Na avaliação dos resultados empregou-se um incremento de carga de 3kip (13.3kN).

81 Tabela 4.19 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.2.3. [ ) ))]{ } { } N do passo (kip) (kip) Carga crítica (kip) 220 657 3 2.3 664.0 235 702 3 2.3 708.9 250 747 3 2.4 754.1 260 777 3 0.8 779.4 266 795 3 1.8 800.4 Tabela 4.20 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.2.3. [ ) ))]{ } { } N do passo (kip) (kip) Carga crítica (kip) 220 657 3 2.0 663.0 235 702 3 1.9 707.8 250 747 3 1.7 752.1 260 777 3 0.4 778.2 266 795 3 0.1 795.3 Tabela 4.21 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.2.3. [ ))]{ } { } N do passo (kip) (kip) Carga crítica (kip) 220 657 3 741.0 2880.0 235 702 3 617.0 2553.1 250 747 3 299.2 1644.7 260 777 3 207.5 1399.5 266 795 3 25.9 872.8 A partir dos resultados da análise incremental da carga crítica, observou-se que os modos de colapso obtidos após dos incrementos 235, 250, 260 e 266 diferem do modo obtido no caso prévio da análise linearizada da carga crítica. Os valores estimados das cargas críticas nos métodos I, II e III, após o passo 50, foram de 800.4kip (3560.4kN), 795.3kip (3537.7kN) e 872.8kip (3882.4kN), respectivamente. Na Figura 4.43 é mostrada a configuração deformada do primeiro modo de colapso obtido após o passo 266, empregando o método III da análise incremental da carga crítica.

82 Figura 4.43 Modo de colapso do exemplo 4.2.3, após o passo 266. Finalmente, empregou-se a análise não linear completa para estimar o valor da carga crítica. Através desta técnica obteve-se um valor numérico de 798.9kip (3553.7kN) para a carga crítica e a trajetória de equilíbrio mostrada na Figura 4.45. A configuração deformada do pórtico T na carga crítica é mostrada na Figura 4.44. Figura 4.44 Configuração deformada do exemplo 4.2.3 (análise não linear completa). Figura 4.45 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.2.3.

83 Os valores obtidos nas três técnicas apresentam diferenças na estimativa do valor da carga crítica. As diferenças também estão presentes nos três métodos abordados na análise incremental da carga crítica. Na Figura 4.46 são mostrados os valores obtidos para a carga crítica. Figura 4.46 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.2.3. Da Figura 4.46 pode-se observar que os valores obtidos na análise incremental de carga crítica, convergem para um valor próximo do valor obtido na análise não linear completa. Neste exemplo, os métodos I e II apresentam valores muito semelhantes, com uma convergência melhor e mais rápida que a do método III. Pode-se observar também que os valores obtidos na análise incremental da carga crítica e análise não linear completa diferem significativamente do valor obtido na análise linearizada da carga crítica. Esta diferença entre os valores obtidos pode ser devido à mudança da geometria e distribuição das tensões. As tensões equivalentes de Von Mises, para o caso linear e não linear, são mostradas na Figura B.11 e Figura B.12 do Apêndice B, respectivamente.

5 Conclusões e Sugestões 5.1. Conclusões Dos exemplos estudados no capítulo 4, observou-se que os valores de carga crítica obtidas através dos métodos I e II parecem ser sempre menores que os obtidos através do método III. Os métodos I e II não garantem uma variação de cima para baixo ou de baixo para cima dos valores de carga crítica, tornando os métodos não muito confiáveis por não ter certeza no lado do erro em relação ao valor obtido numa análise não linear completa. As cargas críticas e modos de colapso obtidos a partir de uma análise incremental da carga crítica convergem para valores de carga e configurações deformadas próximas das obtidas numa análise não linear completa. Nos exemplos da seção 4.2 foram empregados materiais com comportamento elastoplástico. Nos resultados obtidos observou-se uma redução do valor da carga crítica e uma perda de rigidez da estrutura, pelo fato dos elementos deformáveis comprimidos terem entrado em um regime plástico. Os modos de colapso obtidos a partir de uma análise linearizada da carga crítica podem resultar às vezes em configurações deformadas diferentes das obtidas numa análise incremental da carga crítica e uma análise não linear completa. O caso mais representativo foi observado no exemplo do arco abatido, onde o modo de colapso assimétrico obtido na análise linearizada da carga crítica foi totalmente diferente das obtidas nas outras técnicas.

85 A avaliação de pontos de bifurcação na trajetória de equilíbrio fundamental é necessária para poder traçar as trajetórias de equilíbrio secundárias. Estas trajetórias podem apresentar pontos limites menores que o obtido na trajetória de equilíbrio fundamental, como o caso mostrado no exemplo do arco elevado. As cargas críticas calculadas a partir da análise linear da carga crítica apresentam valores maiores aos obtidos das outras técnicas, devido às limitações da técnica em lidar com uma acentuada não linearidade no estado pré-crítico. Quando este fenômeno acontece não pode ser considerado que a distribuição das tensões permanece inalterada e que os valores das tensões mudam somente com o fator de carga. Isto pode ser constatado na distribuição das tensões equivalentes de Von Mises obtidas nos exemplos numéricos, as quais são mostradas no Apêndice B. A formulação lagrangeana total empregada em elementos bidimensionais permitiu lidar com grandes deslocamentos e rotações nos elementos das estruturas sem causar deformações errôneas quando ocorrem movimentos de corpo rígido. O uso destes elementos nesta formulação permitiu também lidar com grandes deformações nos elementos pelo fato de empregar um tensor de deformação completo onde termos de alta ordem não foram desprezados. 5.2. Sugestões para trabalhos futuros Sugere-se implementar algoritmos que permitam considerar cargas dependentes dos deslocamentos na análise, como o caso de cargas seguidoras e cargas dirigidas para um ponto. Seria importante estudar a não linearidade geométrica considerando outras formulações, empregadas na descrição cinemática da deformação, como a formulação lagrangeana atualizada ou formulação co-rotacional.

86 Sugere-se também implementar uma formulação hierárquica nas funções de interpolação dos elementos bidimensionais para poder lidar com as altas não linearidades das curvaturas presentes nos elementos, empregando um número menor de elementos bidimensionais na análise. Seria importante também incluir técnicas que permitissem avaliar pontos de bifurcação sem a necessidade de empregar pequenas imperfeições iniciais na geometria, devido à dificuldade na escolha da forma e magnitude das imperfeições quando se analisa sistemas estruturais mais complexos. Sugere-se estudar problemas de instabilidade que incluíam cargas distribuídas como o peso próprio da estrutura.

Referências Bibliográficas BATHE, K. J. Finite Element Procedures. New Jersey: Prentice Hall, 1996. BATTINI, J. M. Co-rotational beam elements in instability problems. Royal Institute of Technology, Technical Report. Stockholm. 2002. BATTINI, J. M.; PACOSTE, C. Plastic instability of beam structures using co-rotational elements. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, v. 191, n. 51-52, p. 5811-5831, 2002. BURGOS, R. B. Avaliação de Cargas Críticas e Comportamento Pós- Crítico Inicial de Pórticos Planos. PUC-RIO, Dissertação de Mestrado. Rio de Janeiro. 2005. COOK, R. D; MALKUS, D. S; PLESHA, M. E. Concepts and Applications of Finite Element Analysis. 3ª. ed. Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 1989. CRISFIELD, M. A. Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. London, UK: John Wiley & Sons Ltd, v. 1 : ESSENTIALS, 2000. DE BORST, R; CRISFIELD, M. A; REMMERS, J. J. C; VERHOOSEL, C. V. Nonlinear Finite Element Analysis of Solids and Structures. 2ª. ed. Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 2012. DUPUIS, G. A.; PFAFFINGER, D. D.; MARCAL, P. V. Effective Use of the Incremental Stiffness Matrices in Nonlinear Geometric Analysis. International Union of Theoretical and Applied Mechanics, Liège, Belgium, Technical report. 1970. FELIPPA, C. A. Introduction to Finite Element Methods (ASEN 5007). University of Colorado, Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures, Lecture Notes, 2004. FELIPPA, C. A. Nonlinear Finite Element Methods (ASEN 6107). University of Colorado, Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures, Lecture Notes, 2010. GABBAY, A. Conceito de Rankine-Merchant e o Cálculo Automatizado de Cargas Aproximadas de Colapso de Pórticos Planos. PUC-RIO, Dissertação de Mestrado. Rio de Janeiro. 1977.

88 GERE, J. E; TIMOSHENKO, S. P. Mechanics of Materials. 3ª. ed. UK: Springer-Science+Business Media, B.V., 1991. GUIMARÃES JUNIOR, W. M. Avaliação do Efeito das Imperfeições Sobre a Flambagem de Estruturas Sob a Ação de Cargas Dependentes dos Deslocamentos. PUC-RIO, Dissertação de Mestrado. Rio de Janeiro. 1999. GUIMARÃES JÚNIOR, W. M. Flambagem de Estruturas Viscoelásticas. PUC RIO, Tese de Doutorado. Rio de Janeiro. 2006. KOITER W. T. Post-Buckling Analysis of a Simple Two-Bar Frame. Recent progress in applied mechanics. Recent progress in applied mechanics; the Folke Odquist volume, B. Broberg, J. Hult, and F. Niordson, Admquist and Wiksell, Stockholm, Sweden, 337-354, 1962. KONDOH, K.; ATLURI, S. N. Large-deformation, elasto-plastic analysis of frames under nonconservative loading, using explicitly derived tangent stiffnesses based on assumed stresses. Computational Mechanics, v. 2, p. 1-25. 1987. MCGUIRE, W.; GALLAGHER, R. H; ZIEMIAN, R. D. Matrix Structural Analysis. 2ª. ed. John Wiley & Sons Ltd. 2000. MSC SOFTWARE. Theory and User Information: Volume A. MSC. Software Corporation, USA. Version 2001. NESRU SHERIF, F. MATLAB FEM Code - From Elasticity to Plasticity. Norwegian University of Science and Technology, Department of Civil and Transport Engineering. Trondheim. 2012. SOUSA, E. M. Analise Não Linear de Pórticos Espaciales com Elementos Finitos de Curvatura e Espessura Variaveis. Dissertação de Mestrado, PUC-RIO. Rio de Janeiro. 1984. SOUZA NETO, E. A.; PERÍC, D.; OWEN, D. Computational Methods For Plasticity: Teory and Applications. 1ª. ed. John Wiley & Sons Ltd, 2008. NOVOSELAC, S.; ERGIĆ, T.; BALIČEVIĆ, P. Linear and Nonlinear Buckling and Post Buckling Analysis of a Bar With the Influence of Imperfections. Technical Report, v. 19, n. 3, 2012. PAULLO, L; ROEHL, D. Comparação de Métodos de Continuação em Problemas com Análise Inelástica. Mecánica Computacional Vol XXXI, Salta, Argentina, p. 4155-4175, 2012. DA SILVA, S. S; SILVA, W. T. M. Nonlinear Analysis of Plane Frames Using a Corotational Fomulation and Plasticity by Layers in a Timoshenko Beam El-Ement. Blucher Mechanical Engineering Proceedings, v. 1, n. 1, 2014.

89 WASZCZYSZYN, Z; CICHON, C; RADWANSKA M. Stability of Structures by Finite Element Methods. Amsterdam: ELSEVIER SCIENCE B. V, 1994. WOOD, R. D.; ZIENKIEWICZ, O. C. Geometrically nonlinear finite element analysis of beams, frames, arches and axisymmetric shells. Computers & Structures, v. 7, p. 725-735, 1977. YANG, Y. B.; KUO, S. R. Theory and Analysis of Nonlinear Framed Structures. Prentice Hall, 1994. YAW, L. L. Co-rotational Meshfree Formulation For Large Deformation Inelastic Analysis Of Two-Dimensional Structural Systems. University of California, Dissertation Doctor of Philosophy. 2008. YAW, L. L.; SUKUMAR, N.; KUNNATH, S. K. Meshfree co-rotational formulation for two-dimensional continua. International Journal for Numerical Methods in Engineering, v. 79, n. 8, p. 979-1003, 2009. ZHEHUA, W.; WENJUAN, L.; JINCHUN, T.; ZHONGLIN, C. Stability Analysis of the Thin Concrete Walls of the Hangzhou Grand Theater. Zhejiang University Hangzhou, Department of Civil Engineering. Conference Papers ANSYS, 2002. ZHOU, Z.; NISHIDA, A.; KUWAMURA, H. Applicability of Finite Element Method to Collapse Analysis of Steel Connection under Compression. Journal of Nuclear Science and Technology, v. 2, p. 481-485, 2011.

Apêndice A Neste apêndice serão mostradas as discretizações do continuo e outros resultados da análise dos exemplos de validação do capítulo 3. A.1 Malha e outros resultados do exemplo de validação 1 Neste exemplo empregou-se uma malha de 6x25 (150) elementos isoparamétricos bidimensionais Q9. A discretização do continuo é mostrado na Figura A.1. Figura A.1 Malha da viga do exemplo de validação 1. As tensões desenvolvidas na direção longitudinal da viga, devido a um carregamento pontual de 8kip (35.6kN), são mostrada na Figura A.2. Também as tensões de Von Mises foram obtidas na análise e são mostradas na Figura A.3. Figura A.2 Tensões na direção longitudinal da viga do exemplo de validação 1. Figura A.3 Tensões equivalentes de Von Mises do exemplo de validação 1.

91 A.2 Malha e outros resultados do exemplo de validação 2 Neste exemplo, uma malha de 1x5 (5) elementos isoparamétricos bidimensionais Q9 foi suficiente para descrever o comportamento não linear geométrico da viga nos deslocamentos. A discretização do continuo é mostrado na Figura A.4. Figura A.4 Malha da viga do exemplo de validação 2. A configuração deformada da viga, devido a um carregamento pontual de 15kip (66.7kN), é mostrada na Figura A.5. Também são mostrados os deslocamentos desenvolvidos na viga para este carregamento na Figura A.6 e Figura A.7. Figura A.5 Configuração deformada da viga do exemplo de validação 2. Figura A.6 Deslocamentos na direção longitudinal da viga.

92 Figura A.7 Deslocamentos na direção transversal da viga. A.3 Malha e outros resultados do exemplo de validação 3 Neste exemplo empregou-se a mesma malha do exemplo anterior. A malha de 1x5 (5) elementos isoparamétricos bidimensionais Q9 é mostrada na Figura A.8. Figura A.8 Malha da viga do exemplo de validação 3. A configuração deformada da viga, devido a um carregamento pontual de 1400lbf (6227.5N), é mostrada na Figura A. 9. Também são mostrados os deslocamentos desenvolvidos na viga para este carregamento na Figura A.10 e Figura A.11. Figura A. 9 Configuração deformada da viga do exemplo de validação 3.

93 Figura A.10 Deslocamentos na direção longitudinal da viga. Figura A.11 Deslocamentos na direção transversal da viga. A.4 Malha e outros resultados do exemplo de validação 4 Neste exemplo empregou-se uma malha de 21 elementos isoparamétricos bidimensionais Q9, como é mostrada na Figura A.12. A configuração deformada do primeiro modo de flambagem é mostrada na Figura A.13. Figura A.12 Malha do pórtico de Roorda do exemplo de validação 4.

94 Figura A.13 Primeiro modo de flambagem do pórtico de Roorda. A.5 Malha e outros resultados do exemplo de validação 5 Neste exemplo uma malha composta por 40 elementos isoparamétricos bidimensionais Q9, na direção circunferencial, foi necessária para descrever o comportamento não linear geométrico do arco abatido. A discretização do continuo é mostrado na Figura A.14. Figura A.14 Malha do arco abatido do exemplo de validação 5. A configuração deformada do arco para um deslocamento vertical de 20in (50.8cm) no centro do arco foi obtida para o caso simétrico e assimétrico. Na Figura A.15 e Figura A.16 são mostradas as configurações deformadas para o caso simétrico e assimétrico, respectivamente. No caso assimétrico considerou-

95 se uma imperfeição inicial na geometria proporcional ao primeiro modo de flambagem. Figura A.15 Configuração deformada simétrica do exemplo de validação 5. Figura A.16 Configuração deformada assimétrica do exemplo de validação 5. A.6 Malha e outros resultados do exemplo de validação 6 Neste exemplo empregou-se a malha da Figura A.17 e Figura A.18 para o caso elástico e inelástico, respectivamente. Figura A.17 Malha do pórtico de Lee no caso elástico.

96 Figura A.18 Malha do pórtico de Lee no caso inelástico. A configuração deformada do pórtico para um deslocamento vertical de 82cm, no ponto de aplicação da forca, é mostrada na Figura A.19 e Figura A.20 para o caso elástico e inelástico, respectivamente. Figura A.19 Configuração deformada do pórtico no caso elástico.

Figura A.20 Configuração deformada do pórtico no caso inelástico. 97

Apêndice B Neste apêndice serão mostradas as tensões equivalentes de Von Mises dos exemplos numéricos do capítulo 4. B.1 Tensões de Von Mises do exemplo numérico 1 As tensões equivalentes de Von Mises obtidas numa análise não linear completa e uma análise linear são mostradas na Figura B.1 e Figura B.2, respectivamente. O carregamento empregado nas duas análises foi o carregamento crítico obtido na análise não linear completa do exemplo 1. Figura B.1 Tensões equivalentes de Von Mises no caso linear do exemplo 1. Figura B.2 Tensões equivalentes de Von Mises no caso não linear do exemplo 1. B.2 Tensões de Von Mises do exemplo numérico 2 As tensões equivalentes de Von Mises obtidas numa análise não linear completa e uma análise linear são mostradas na Figura B.3 e Figura B.4, respectivamente. O carregamento empregado nas duas análises foi o carregamento crítico obtido na análise não linear completa do exemplo 2.

99 Figura B.3 Tensões equivalentes de Von Mises no caso linear do exemplo 2. Figura B.4 Tensões equivalentes de Von Mises no caso não linear do exemplo 2. B.3 Tensões de Von Mises do exemplo numérico 3 As tensões equivalentes de Von Mises obtidas numa análise não linear completa e uma análise linear são mostradas na Figura B.5 e Figura B.6, respectivamente. O carregamento empregado nas duas análises foi o carregamento crítico obtido na análise não linear completa do exemplo 3.

100 Figura B.5 Tensões equivalentes de Von Mises no caso linear do exemplo 3. Figura B.6 Tensões equivalentes de Von Mises no caso não linear do exemplo 3. B.4 Tensões de Von Mises do exemplo numérico 4 As tensões equivalentes de Von Mises obtidas numa análise não linear completa e uma análise linear são mostradas na Figura B.7 e Figura B.8, respectivamente. O carregamento empregado nas duas análises foi o carregamento crítico obtido na análise não linear completa do exemplo 4. Figura B.7 Tensões equivalentes de Von Mises no caso linear do exemplo 4. Figura B.8 Tensões equivalentes de Von Mises no caso não linear do exemplo 4.