1 Estatística e Probabilidade Aula 7 Medidas de Tendência Central 2ª parte Professor Luciano Nóbrega
Medidas de posição Resumo Média aritmética ( x ) É a razão entre o somatório dos valores das variáveis e a quantidade de variáveis. n x = xi i = 1 n x = xifi fi Moda (mo) É o valor de maior frequência em um conjunto de dados. Mediana (md) É um valor real que separa o ROL ao meio. 1º) Identifique qual a maior frequência; 2º) A moda é o xi correspondente a essa frequência. 1º) Calculamos as frequências acumuladas; 2º) Determinamos o(s) termo(s) mediano(s); 3º) Aplicamos a fórmula da mediana. n ímpar, termo do meio; n par, média dos meios. md = lmd + n /2 - Fant. h fmd
Testando os conhecimentos 1 A distribuição a seguir representa os salários dos funcionários de um escritório de contabilidade. Calcule a média, a moda e a mediana da série: Salários (R$) f i x i x i f i F i 1000 --- 1200 2 1200 --- 1400 5 1400 --- 1600 10 1600 --- 1800 5 1800 --- 2000 2 md = lmd + n /2 - Fant. h fmd
Medidas de posição Moda (mo) É o valor de maior frequência em um conjunto de dados. Outros tipos de Moda (mo) Alguns métodos foram desenvolvidos que justificam a formulação para a obtenção da moda de um conjunto de dados. Vejamos alguns deles: Moda bruta (mo) Já vimos! É o método mais simples, consiste em tomar como moda o ponto médio da classe modal. Classe modal determinada pela maior frequência. mo = 170 Altura (cm) f i x i 155 --- 165 3 160 165 --- 175 18 170 175 --- 185 11 180 185 --- 195 9 190
(Continuação) mo = 3.md 2.xmo = 3.(23,33) 2.(22,5) = 25 Medidas de posição Moda de Pearson (mo) mo = 3.md 2.x Exemplo: Vejamos o cálculo da moda através da fórmula de Pearson: Classes f i x i x i f i F i 5 5 1 0 --- 10 1 10 --- 20 3 20 --- 30 6 30 --- 40 2 12 15 25 35 45 150 70 270 4 10 12 1º) Preencher a tabela; 2º) Determinar a média; x = xifi = 270 = 22,5 fi 12 3º) Determinar a mediana; n = 12 (é par) => 6º Termo Usando a fórmula: md = lmd + n/2 - Fant. h fmd md = 20+ 12 /2-4. 10 6 md = 23,33 ok ok ok
Medidas de posição Moda de King (mo) mo = lmo + fpost. h fant + fpost Classes f i x i x i f i F i 5 5 1 0 --- 10 1 10 --- 20 3 20 --- 30 6 30 --- 40 2 12 15 25 35 45 150 70 270 4 10 12 Onde: lmo-lim. Inf. da classe modal; fpost-freq. Da classe posterior; fant-freq. Da classe anterior; h-amplitude da classe. Exemplo: Vejamos o cálculo da moda de King: mo = 20 + 2. 10 3 + 2 mo = 24
Medidas de posição Moda de Czuber (mo) mo = lmo + fmo - fant. h 2fmo -(fant + fpost) Onde: lmo-lim. Inf. da classe modal; fpost-freq. Da classe posterior; fant-freq. Da classe anterior; h-amplitude da classe. fmo-freq. Da classe modal Classes f i x i x i f i F i 5 5 1 0 --- 10 1 10 --- 20 3 20 --- 30 6 30 --- 40 2 12 15 45 4 25 150 10 35 70 12 270 Exemplo: Vejamos o cálculo da moda de Czuber: mo = 20 + 6 3. 10 2.(6) (3 + 2) mo = 24,29
Moda de Pearson mo = 3.md 2.x Moda de Czuber mo = lmo + fmo - fant. h 2fmo -(fant + fpost) Testando os conhecimentos 2 A distribuição a seguir representa os salários dos funcionários de um escritório de contabilidade. Calcule a média, a moda e a mediana da série: Calcule a moda de Pearson, a moda de King e a moda de Czuber. Salários (R$) f i x i F i 1000 --- 1200 2 1200 --- 1400 5 1400 --- 1600 10 1600 --- 1800 5 1800 --- 2000 2 Moda de King mo = lmo + fpost. h fant + fpost
Moda de Pearson mo = 3.md 2.x Moda de Czuber mo = lmo + fmo - fant. h 2fmo -(fant + fpost) Testando os conhecimentos 3 A distribuição a seguir representa os salários dos funcionários de um escritório de contabilidade. Calcule a média, a moda e a mediana da série: Calcule a moda de Pearson, a moda de King e a moda de Czuber. Salários (R$) f i x i F i 800 --- 1100 8 1100 --- 1400 6 1400 --- 1700 8 1700 --- 2000 5 2000 --- 2300 2 Moda de King mo = lmo + fpost. h fant + fpost
Medidas de posição As separatrizes São números que separam a sequência ordenada de dados em partes que contêm a mesma quantidade de elementos da série. Exemplo: A mediana divide o ROL em duas partes iguais, sendo assim, a mediana é também uma separatriz. Centil, decil e quartil: Pi O centil (ou percentil) divide a série em 100 partes. Di O decil separa a série em 10 partes. Qi Da mesma forma, o quartil faz a série ser dividida em quatro.
Medidas de posição Cálculo das separatrizes Vamos estudar o percentil, uma vez que as demais separatrizes são múltiplos dele. Por exemplo: P25 = Q1 ; P20 = D2 ; P75 = Q3 Dados brutos ou em ROL 1º) Identificamos a medida Pi que queremos obter, para isso, calculamo i% de n. 2º) Identificamos o elemento que Pi ocupa e se i% de n for: Inteiro Pi é o elemento da série; Racional Pi é a média dos valores próximos. Exemplo: 1, 2, 5, 5, 5, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 15. Identifique: a) Q1 = P25 = 25% de 12 (pois n = 12) => P25 = 3 (3º termo do ROL) => Portanto Q1 = 3º termo = 5
Medidas de posição Cálculo das separatrizes Vamos estudar o percentil, uma vez que as demais separatrizes são múltiplos dele. Por exemplo: P25 = Q1 ; P20 = D2 ; P75 = Q3 Exemplo: 1, 2, 5, 5, 5, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 15. Identifique: b) D7 = P70 = 70% de 12 => P70 = 8,4 (média entre o 8º e o 9º termo do ROL) => P70 = D7 = (8º + 9º):2 => Portanto D7 = (11 + 12):2 = 11,5 Agora é com vocês: c) P23 =? d) Q2 =?
Medidas de posição Dados agrupados sem intervalos de classes Da mesma forma que no cálculo da mediana, devemos preencher a coluna da frequência acumulada ( Fi ). Exemplo: Determine os valores de D4 e Q3, para isso: 1º) Preencha Fi Idade (x i ) 18 3 19 8 20 5 21 9 Nº alunos (f i ) Freq. Acum. (F i ) 3 11 16 25 Total 25 //////////////////// 2º) Determine as posições de Pi e, em seguida, seu valor D4 = P40 =40% de 25 D4 = 10 D4 = 10º termo D4 = 19 Q3 =?
md = lmd + n /2 - Fant. h fmd Medidas de posição Dados agrupados com intervalos de classes Vamos precisar daquela fórmula da mediana. Observe que md = P50 Convertendo a fórmula: P50 = l50 + 50n /100 - Fant. h f50 Altura (cm) f i F i 155 --- 165 3 3 165 --- 175 8 11 175 --- 185 4 15 185 --- 195 9 24 Exemplo: Determine Q3 e D4 Generalizando: Pi = li + i.n /100 - Fant. h fi Q3 = P75 => P75 = 75% de 24 => P75 = 18º P75 = l75 + 75x24 /100 - Fant. h f75 P75 = 185 + 18-15. 10 9 P75 = Q3 = 188,33 Agora D4 é com vocês!
Pi = li + i.n /100 - Fant. h Testando os conhecimentos fi 1 A distribuição a seguir representa os salários dos funcionários de um escritório de contabilidade. Determine D2, Q1 Q3 e P1 Salários (R$) f i F i 1000 --- 1200 2 1200 --- 1400 5 1400 --- 1600 10 1600 --- 1800 5 1800 --- 2000 2
Testando os conhecimentos 2 Determine D3, Q1, Q3 e P3 Pi = li + i.n /100 - Fant. h fi Classes f i F i 10 --- 13 5 13 --- 16 3 16 --- 19 9 19 --- 22 4 22 --- 25 2
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