BIOMETRIA:CURVA DE CRESCIMENTO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FACULDADE DE ESTATÍSTICA BIOMETRIA:CURVA DE CRESCIMENTO TAYANI RAIANA DE SOUZA ROQUE Disciplina: Estatística Aplicada Professores: Héliton Tavares e Regina Tavares Aluna: Tayani Raiana de Souza Roque Matrícula: Belém, 22 de Outubro de 2014 Belém

2 Introdução Os métodos estatísticos destacam-se cada vez mais como estratégias de solução para problemas, na área de pesquisa médica, nas quais se podem citar Estudos de Bioequivalência, Bioestatística, Análise de Sobrevivência e Epidemiologia, dentre outros. Além disso, tem ocorrido notável utilização da Estatística no controle de processos de indústrias farmacêuticas e na implementação de projetos de melhoria de qualidade em hospitais e clínicas. Neste sentido, a Estatística é atualmente um recurso essencial para a divulgação de resultados de pesquisas da área médica. Não só na análise dos dados, mas também como uma forma de planejamento de estudos clínicos, que constituem uma poderosa ferramenta de investigação científica para a avaliação de intervenções na saúde. Isto se dá desde a análise descritiva mais simples até as modelagens e técnicas Multivariada mais complexas. Tecnologia biométrica, ou Bioestatística, é a ciência da tecnologia de medição e análise de dados biológicos. Este campo tem sido estudado desde o início do século XX, mas nestes dias o futuro já está aqui com muitas aplicações baseadas em vários tipos de dados biométricos, como impressões digitais, íris e retinas, os padrões de voz, padrões faciais, dentre as regiões geométricas das mãos e muitos outros. População ou Universo Conceitos Básicos É todo conjunto que possui determinada característica em comum entre todos os seus elementos componente, limitados no tempo e no espaço. Uma população pode ser finita e pequena, sendo fácil de conhecer todos os seus elementos. Porém, na maioria das vezes, é finita mais incontável ou mesmo pequena. Nestes dois últimos casos, para conhecer uma população, a estatística lança mão de um recurso que é coletar uma amostra desta população e caracterizar alguma variável da população a partir dos resultados obtidos a partir da amostra, ou seja, tirar conclusões sobre a população partir de resultados obtidos em amostras (inferência estatística). Ex: População da pacientes internados em um dado hospital. recursos. É muito difícil poder trabalhar com todos os elementos da população, pois é comum termos pouco tempo e Assim, geralmente, o pesquisador só estuda um pequeno grupo de indivíduos retirados da população, grupo esse que é chamado de amostra. Uma amostra estatística consiste em um subconjunto representativo, ou seja, em um conjunto de indivíduos retirados de uma população, a fim de que seu estudo estatístico possa fornecer informações importantes sobre aquela população. Assim, analisando-se uma boa amostra chega-se a resultados que podem ser imputados á população inteira. É importante lembrar que: A amostra é sempre finita,quanto maior for a amostra mais significativo é o estudo. Deve-se notar que os elementos amostrais podem ser: Simples (indivíduos) ou Coletivos (famílias, irmandades, colônias). 2

3 gem Como já foi dito, quando se realiza um estudo quase nunca é possível examinar todos os elementos da população em que se está interessado, por motivos financeiros, ou por limite de tempo, ou restrição na locomoção para registro dos dados. Mas, geralmente, pode-se trabalhar com o que é acessível, ou seja, com uma parte da população, que deve apresentar a maioria das características da população. Importante é lembrar que a tomada de decisões sobre a população, com base em estudos feitos sobre os dados de uma amostra, constitui a problema central da inferência estatística. Assim, amostragem é o processo pelo qual se obtém informação sobre um todo (população), examinando-se apenas uma parte do mesmo (amostra). Felizmente, a inferência estatística nos dá elementos para generalizar as conclusões obtidas da amostra para toda a população. Deve-se lembrar que os erros de coleta e manuseio de um grande número de dados podem ser maiores do que as imprecisões a que estamos sujeitos quando generalizamos, via inferência, as conclusões de uma amostra bem selecionada. Portanto, é incorreto pensar que seríamos mais precisos, se tivéssemos acesso a todos os elementos da população. Entretanto, risco é a margem de erro motivada pelo fato de se investigar parcialmente (amostra) o universo (população). Ressalte-se que quanto maior e mais representativa for a amostra, mais forte é o argumento. Se uma amostra for insuficiente ou tendenciosa, conclusões retiradas a partir dela poderão ser totalmente falsas. Tipos de s Variável É o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno (resposta), ou ainda são as propriedades (características) dos elementos da população que se pretende conhecer. Variáveis Quantitativas As variáveis quantitativas são características que podem ser descritas por números, sendo estas classificadas entre contínuas e discretas. 3

4 - Variáveis discretas: a variável é avaliada em números que são resultados de contagens e, por isso, somente fazem sentido números inteiros. Exemplos: número de filhos, número de bactérias por litro de leite, número de cigarros fumados por dia. - Variáveis contínuas: a variável é avaliada em números que são resultados de medições e, por isso, podem assumir valores com casas decimais e devem ser medidas por meio de algum instrumento. Exemplos: massa (balança), altura (régua), tempo (relógio), pressão arterial, idade. Variáveis Qualitativas As variáveis qualitativas (ou categóricas) são as características que não possuem valores quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por categorias, ou seja, representam uma classificação dos indivíduos. E podem ser nominais ou ordinais. - Variáveis nominais: não existe ordenação dentre as categorias. Exemplos: sexo, cor dos olhos, fumante/não fumante, doente/sadio. - Variáveis ordinais: existe uma ordenação entre as categorias. Exemplos: escolaridade (1º, 2º, 3º graus), estágio da doença (inicial, intermediário, terminal), mês de observação (janeiro, fevereiro,, dezembro). Medidas de Tendência Central São valores que trazem informação sobre a região em torno da qual os dados estão posicionadas. As medidas de tendência central mais utilizadas são: Média, Mediana e Moda. Média Aritmética (µ,x) : É definida como a soma de todas observações da variável x, dividida pelo número de elementos do conjunto de dados. Frequentemente a média aritmética é o valor que melhor representa um conjunto de dados. Quando os dados não estão organizados na forma de uma tabela de frequências e, portanto, estão na forma isolada, as expressões genéricas para encontrar a média são: População Quando os dados estão organizados na forma de uma tabela de frequência deve-se ponderar os diferentes valores x i pelas respectivas frequências f i.procedendo desta forma o cálculo da média aritmética torna-se mais simples e rápido. População Mediana(Me): É o valor central em um rol, ou seja, a mediana de um conjunto de valores ordenados, ou ainda a mediana divide a distribuição ao meio. mediana de valores brutos -Ordenar os valores em ordem crescente (Rol); -Verifica se o número de elementos é par ou ímpar; -Se n for ímpar, posição da mediana no conjunto, será o valor localizado na posição dada por:p = n+1 / 2 4

5 -Se n for par, o conjunto terá dois valores centrais, neste caso, a mediana será igual à média aritmética dos valores centrais, cujas posições são dadas por: P1 = n / 2 e P2 = (n / 2) + 1. Mediana de valores tabelados Localiza-se primeiro, por meio da frequencia acumulada, a posição (P) da mediana na tabela: P = ( fi / 2) F -Calcula-se o valor da mediana por onde: li= Limite inferior da classe da mediana; Faa= Frequência acumulada anterior da classe da Me; Fi= Frequência simples da classe da mediana; H= Intervalo de classe. Observação: a mediana é muito empregada em pesquisas onde não interessam valores extremos, por terem pouca significação para o conjunto em geral. Moda (Mo): É definida como o valor mais frequente de um conjunto de dados. É possível que o conjunto seja bimodal(duas modas) ou até multimodal (três os mais modas). Observação: a moda pode não ser única ou ate mesmo pode não existir. Moda de valores brutos: basta observar o valor que mais aparece no conjunto. Exemplo: 3 ; 3 ; 6 ; 8 ; 10 ; 10; 10; 11; 11; 12 Mo = 10. Moda de valores tabelados: a) Moda Bruta: é ponto médio da classe de maior frequência simples. Denomina-se de classe modal à classe que possui maior frequência simples numa distribuição de frequência. b) Moda pelo processo de Czuber. onde: li =Limite inferior da classe modal; fpost= Frequência simples posterior à classe modal; fant= Frequência simples anterior à classe modal; h= Intervalo de classe; fmo =Frequência modal. Observação: É valida a seguinte relação empírica. 5

6 Separatrizes: São valores que separam o conjunto de dados ordenado em partes com igual número de observações. Mediana é, portanto, uma separatriz porque divide o conjunto de dados em duas partes igual. Quartis(Qi) dividem o conjunto de dados em 4 partes iguais. Decis (Di) são as medidas separatrizes que dividem a série em 10 partes iguais Percentis(Pi) são as medidas separatrizes que dividem a série em 100 partes iguais. Medidas de Dispersão ou Variabilidade As medidas de tendência central nos dão uma ideia da concentração dos dados em torno de um valor. Entretanto, é preciso também conhecer suas características de espalhamento ou dispersão medidas de variabilidade (ou dispersão). Amplitude: É definida como a diferença do menor ao maior valor de um conjunto de dados. Variância: É uma medida da variação em torno da média. Por, definição, variância é a média dos quadrados dos desvios em torno da média. População A variância, ao contrário da amplitude, considera todos os elementos do conjunto de dados no seu cálculo. Quanto maior for a variação dos valores do conjunto de dados, maior será a variância. Quando os dados estão organizados na forma de uma tabela de frequência, devem-se ponderar os quadrados dos desvios pela frequência. Esse procedimento facilita o cálculo. População Desvio-Padrão: É a raiz quadrada positiva da variância. Essa medida corrige o problema de unidade que surge na variância. O desvio-padrão também é uma medida da variação em torno da média. População Desvio médio de valores brutos 6

7 Desvio médio de valores tabelados onde Curvas de Crescimento: Modelos Matemáticos e Estatísticos Crescimento Exponencial O crescimento exponencial compreende o crescimento populacional onde os indivíduos de uma dada espécie não encontram desafios para sobreviver, apresentando aumento contínuo nas suas taxas individuais de fecundidade, sobrevivência e crescimento. Ou seja, eles crescem e ocupam determinada área de forma rápida e sem interferências de competidores interespecíficos (de outras espécies) e parecem nem competir ou competem muito pouco de forma intraespecifica (entre eles mesmos). Esta característica é muito observada em espécies r estrategistas (espécies que investem muito na reprodução e pouco no crescimento) sendo fracas competidoras mas excelente colonizadoras, ocupando áreas disponíveis de forma rápida. O crescimento exponencial é caracterizado também como diversas gerações contínuas e sobrepostas. Assim sendo, a curva de sobrevivência destes indivíduos tende a ser assim, como na figura (a): A equação, conforme os modelos matemáticos, é a seguinte para o crescimento exponencial: dn / dt = r. N 7

8 dn = variação no tamanho populacional dt = variação no tempo r = taxa intrínseca de crescimento populacional N = tamanho da população Crescimento Logístico O modelo de crescimento logístico é mais complexo um pouco, porém, ainda assim ele é considerado apenas um modelo que nos ajuda a prever os fenômenos naturais. Ele é atualmente o que mais reflete o que ocorre com as espécies no ambiente natural porque ele considera a competição intraespecífica. Na equação do modelo de crescimento logístico temos a adição de um novo termo, que complementa a equação do crescimento exponencial, é a capacidade suporte, representada pela letra (k) na ecologia. Assim sendo, a equação para o modelo de crescimento logístico fica deste modo: dn / dt = r. N. (1 - N) / k ou também dn/dt = r. N (k - N) / k 8

9 Modelo linear Em estatística, o termo modelo linear é usado de diferentes maneiras de acordo com o contexto. O sentido mais comum é em com conexão com modelos de regressão e o termo é frequentemente tomado como um sinônimo de modelo de regressão linear. Entretanto o termo é também usado em análise de séries temporais com um diferente significado. Em cada caso, a designação "linear" é usada para identificar uma subclasse de modelos para os quais redução substancial na complexidade da teoria estatística relacionada é possível. Em estatística ou econometria, regressão linear é um método para se estimar a condicional (valor esperado) de uma variável y, dados os valores de algumas outras variáveis x. A regressão, em geral, trata da questão de se estimar um valor condicional esperado. A regressão linear é chamada "linear" porque se considera que a relação da resposta às variáveis é uma função linear de alguns parâmetros. Os modelos de regressão que não são uma função linear dos parâmetros se chamam modelos de regressão não-linear. Sendo uma das primeiras formas de análise regressiva a ser estudada rigorosamente, e usada extensamente em aplicações práticas. Isso acontece porque modelos que dependem de forma linear dos seus parâmetros desconhecidos, são mais fáceis de ajustar que os modelos não-lineares aos seus parâmetros, e porque as propriedades estatísticas dos estimadores resultantes são fáceis de determinar. Modelos de regressão linear são frequentemente ajustados usando a abordagem dos mínimos quadrados, mas que também pode ser montada de outras maneiras, tal como minimizando a "falta de ajuste" em alguma outra norma (com menos desvios absolutos de regressão), ou através da minimização de uma penalização da versão dos mínimos quadrados. Por outro lado, a abordagem de mínimos quadrados pode ser utilizado para ajustar a modelos que não são modelos lineares. Assim, embora os termos "mínimos quadrados" e "modelo linear" estão intimamente ligados, eles não são sinônimos. ] Equação da Regressão Linear Para se estimar o valor esperado, usa-se de uma equação, que determina a relação entre ambas as variáveis. Em que: - Variável explicada (dependente); é o valor que se quer atingir; - É uma constante, que representa a interceptação da reta com o eixo vertical; - É outra constante, que representa o declive(coeficiente angular)da reta; - Variável explicativa (independente), representa o factor explicativo na equação; - Variável que inclui todos os factores residuais mais os possíveis erros de medição. O seu comportamento é aleatório, devido à natureza dos factores que encerra. Para que essa fórmula possa ser aplicada, os erros devem 9

10 satisfazer determinadas hipóteses, que são: serem variáveis normais, com a mesma variância independentes e independentes da variável explicativa X. (desconhecida), Referências Bibliográficas BUSSAB, W., MORETTIN,P.(2005),Estatistica Basica, Editora Saraiva, são Paulo. DIAZ,F.R.,LOPEZ,F.J.B.(2007), Bioestatistica, Thomson, São Paulo. MORETTIN,L.G. (2000), Estatistica Basica, Volume 1 (Probabilidade) e volume 2 (inferência),makron Books, São Paulo. 10