Guia do Professor Conteúdos Digitais Simulador Funções do Primeiro Grau Simuladores
Coordenação Geral Elizabete dos Santos Autores Alexandre Direne Andrey Pimentel Fabiano Silva Laura Garcia Luis Bona Marcos Castilho Marcos Sunye Danilo Picolotto Derik da Silva Diego Marczal Felipe Moreschi Fernando Coelho Gabriel Ramos Grazielle Vernize Jonatas Teixeira Luan dos Santos Raphael Andrade Leandro Ferreira Luciana Gastaldi Lourdes Almeida Marcia Cyrino Jorge Luis Salvi Juliana Bueno Rose Shimizu Andre Machado Revisão Textual Elizabeth Sanfelice Coordenação de Produção Eziquiel Menta Projeto Gráfico Juliana Gomes de Souza Dias Diagramação e Capa Aline Sentone Juliana Gomes de Souza Dias Realização Secretaria de Estado da Educação do Paraná DISTRIBUIÇÃO GRATUITA IMPRESSO NO BRASIL 2
SIMULADOR FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 1 Introdução O simulador Funções do primeiro grau é constituído por oito seções e seis exercícios que apresentam situações que permitem discutir o conceito de função, o comportamento de uma função, diferentes tipos de representação de uma função (gráfica, tabular e analítica), dando ênfase ao estudo da função linear. Para passar de uma página a outra, deve-se clicar na seta amarela que fica no canto inferior da tela. Na mesma linha, encontram-se três ícones: o primeiro fornece um glossário de termos para acesso rápido às definições resumidas, o segundo, um bloco de anotações e o terceiro, uma calculadora. Nos exercícios propostos o aluno, caso cometa algum erro, poderá buscar sozinho a correção do mesmo, pois o simulador possibilita uma interatividade na busca da solução para os exercícios com sinalização imediata da ocorrência de erro. Há possibilidade de retroação aos erros que forem cometidos pelo aluno, incluindo um sub-ambiente para a tentativa de correção (isso pode ser observado por meio de um botão circular vermelho que fica no canto inferior direito esse botão só aparece depois que o usuário comete o primeiro erro em qualquer exercício). Um outro dispositivo interessante é a existência de um teclado virtual para a entrada natural de expressões na representação analítica. Este teclado apresenta como única opção a letra n para designar a variável, deve ser utilizada a vírgula para decimais e x para a operação de multiplicação. Depois de digitada a expressão, deve-se clicar em enviar. 1.1 O conceito de função O objetivo principal deste quadro é chamar a atenção para a interdependência e a fluência de um fenômeno, características essenciais para investigá-lo e fazer previsões sobre seu comportamento futuro. Na figura, aparece uma corda amarrada a um osso em uma extremidade e ao rabo de um cachorro na outra, de tal forma que, quando o cachorro corre atrás do osso, este se desloca, fazendo com que o cachorro nunca o alcance. Assim, o deslocamento do osso é totalmente dependente do deslocamento do cachorro. Outros fatores poderiam influenciar nesta corrida do cachorro, como a sua fome, o aroma do osso, a boa saúde do animal, entre outros, mas para se estudar uma situação é impossível observar todos os fatores que a influenciam, fazendo-se necessário o destaque de apenas um foco, abstraindo-se de todos os outros fatores aos quais a situação está relacionada. Escolhidos os dois fatores principais, no caso, o deslocamento do osso e o deslocamento do cachorro, a próxima coisa a ser feita será arranjar uma representação simbólica para os conjuntos, caso contrário, teríamos sempre que estar às voltas com tabelas de resultados particulares e não teríamos uma generalidade conveniente. Essa representação simbólica consegue-se introduzindo o conceito de variável, que seria um símbolo capaz de representar qualquer dos elementos de um conjunto, sem coincidir individualmente com algum. Poderíamos neste caso, por exemplo designar por x a variável deslocamento do cachorro e por y o deslocamento do osso. Percebe-se na relação entre elas que a variável y é função da variável x. Chamamos à variável x, antecedente da correspondência, de variável independente. À variável y, chamamos de variável dependente. A observação do fato permite estudar a frequência de repetições e prever resultados, por meio da regularidade do fenômeno. Dizemos que a variável y é função da variável x e escrevemos simbolicamente y=f(x). 3
Assim, o conceito de função surge como o instrumento próprio para o estudo das leis. 1.2. Comportamento de uma função O comportamento de uma função pode ser estudado por meio de tabelas ou de gráficos. No caso, a figura representa o gráfico do fenômeno do lançamento de uma bola para cima cuja altura (variável dependente) está em função do seu alcance (variável independente). Num gráfico é convenção colocar-se a variável dependente no eixo vertical e a variável independente no eixo horizontal. O gráfico de uma função é o conjunto de pontos (x,y) do plano tal que y=f(x). O exemplo em questão apresenta um gráfico não linear. 1.3 Função do Primeiro Grau com sua representação gráfica Nessa seção, o objetivo é introduzir as atividades que serão desenvolvidas a seguir, que dizem respeito a um sistema massa/mola, no qual o comprimento/alongamento da mola está em função do seu peso. O peso (variável independente) é dado pelo número de moedas colocadas na balança, e o comprimento (variável dependente) está em função do número de moedas e é medido em centímetros. Vale a pena, nesse momento, destacar os conceitos de variável discreta e variável contínua. Uma variável discreta é aquela que se pode contar: no caso, uma moeda, duas moedas e assim por diante. Perceba que, neste caso, só se utiliza quantidades inteiras, não existe meia moeda, por exemplo. Já uma variável é contínua quando se pode medi-la. O comprimento é um exemplo de variável contínua, pois pode ser subdividido e ser medido em cm. Percebe-se pelo gráfico, que, com o prato vazio, sem moeda alguma, o comprimento da mola (Y) é de 3cm (ponto (0,3)). Já com 1 moeda (n=1), o comprimento vai para 5cm (ponto (1,5), com duas (n=2) vai para 7cm (ponto (2,7), com três moedas para 9 cm (ponto (3,9) e assim por diante. Esses dados podem ser organizados em uma tabela (veja seção seguinte). 1.4 Função do Primeiro Grau com suas representações tabular e analítica Este quadro traz a tabela que representa o comprimento da mola em função de diferentes pesos. Vale a pena destacar que a convenção é não fechar a tabela e colocar a variável independente à esquerda e a variável dependente à direita. Nas atividades que se seguem, o aluno deverá encontrar uma expressão analítica que generalize a função Comprimento da mola, de tal forma que para qualquer peso n, encontra-se o respectivo comprimento. No caso, pode-se afirmar que a cada moeda colocada, a mola alonga 2cm. Como o comprimento inicial da mola era de 3cm, infere-se que a lei que fornece o comprimento da mola é: Y = 2n + 3 Caso o aluno não consiga a generalização, aconselha-se a entrar com um número grande de moedas (por exemplo, 25) e perguntar quais são os cálculos necessários para que ele possa calcular o comprimento. A resposta pode, nesse caso, ser: 3 + 2. 25. Uma outra sugestão é pedir para que os alunos considerem apenas o alongamento. Neste caso, deve-se desconsiderar o comprimento inicial da mola e levar em consideração apenas o quanto a mola se alongou. Neste caso, como ela está alongando 2 cm a cada moeda, o alongamento é dado pela expressão analítica: Y=2n 4
Esta expressão representa uma função do primeiro grau que passa pela origem. Ela também é chamada de função linear. 1.5. Generalização de uma função do Primeiro Grau As seções 5 e 6 trazem os gráficos de duas funções do primeiro grau genéricas, uma crescente e a outra decrescente, ambas da forma Y=ax+b Se a reta r é o gráfico da função afim então o coeficiente é chamado inclinação ou coeficiente angular da reta r, e pode ser obtido por meio do cálculo da tangente trigonométrica do ângulo que a reta r faz com o eixo Ox. Perceba, na Figura 1, que o ângulo formado pela reta r e o eixo x é o mesmo que o ângulo P 2 P 1 P 2. Desse modo, onde (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ) são dois pontos distintos quaisquer de r. Para deduzir-se a equação da reta r, toma-se dois pontos conhecidos da reta, por exemplo, P1(x 1,y 1 ) e P2(x 2,y 2 ) e um ponto genérico P(x,y) e trabalha-se com a igualdade da tangente do ângulo agudo para os triângulos P 2 P 1 P 2 e PP 1 P, como mostrado a seguir., Figura 1: Representação gráfica de uma função do 1º grau 5
Assim, toda vez que tivermos que construir o gráfico de uma função, saberemos que é uma reta, bastando, portanto, determinar apenas dois de seus pontos. Quando o valor de a>0, a função é crescente, ou seja, os valores de x e y crescem na mesma proporção. Quando o valor de a<0, a função é decrescente, ou seja, quando o valor de x cresce o valor de y decresce na mesma proporção. O ponto onde o gráfico corta o eixo x, correspondente ao valor de x tal que f(x)=0 é chamado de zero ou raiz da função de 1 grau. O ponto onde o gráfico corta o eixo y, corresponde ao valor de y no qual x=0, ou seja, y=b e é chamado de coeficiente linear. 1.6. Aplicação Na seção 7 temos um sistema de roldanas móveis, no qual a interdependência entre as quantidades de moedas em cada prato é regida por uma função do primeiro grau. Cabe ao usuário descobrir essa lei. A montagem do gráfico é feita automaticamente. 2 Objetivos Conceituar função e função do 1º grau. Conhecer diferentes tipos de representação de uma função do 1º grau (tabular, analítica e gráfica). Efetuar conversões entre diferentes tipos de representação de uma função do 1º grau. Reconhecer uma função do 1º grau por meio de sua representação gráfica e analítica. Identificar e determinar os coeficientes de uma função do 1º grau. 3 Tempo previsto para a atividade O tempo previsto para a atividade com o software no laboratório é de aproximadamente uma hora e meia. No entanto, esse tempo pode variar de acordo com o potencial de intervenção do professor antes da execução da atividade ou mesmo durante a atividade. Recomenda-se que o professor utilize a oportunidade dos momentos no ambiente laboratorial, fora do âmbito hierárquico de sala de aula, para explorar as possíveis sugestões de desenvolvimento da atividade vindas dos próprios alunos. 4 Sugestão de atividade Após o trabalho no laboratório o professor pode propor atividades que permitam aos alunos refletir, questionar e aprofundar conhecimentos sobre os conteúdos abordados no simulador. A seguir apresentamos algumas sugestões. Atividade 1 Represente graficamente as funções y=3x e y=3x+3, e meça o ângulo as retas que representam a função e o eixo O X. A seguir responda: formado entre a) qual o valor de? b) qual o valor do coeficiente angular de ambas as funções? c) qual o valor do coeficiente linear? 6
Comentários: O professor pode chamar a atenção dos alunos para o fato de que em ambas as funções o coeficiente angular é a=3 e o ângulo de inclinação é = 72. Já o coeficiente linear b varia, porque b=0 em y=3x e b=3 em y=3x+3. Atividade 2 As funções da atividade 1 têm o mesmo coeficiente angular, mas com coeficientes lineares diferentes. Observe os gráficos construídos na atividade 1 e responda: a) o que é possível dizer sobre os gráficos? Há alguma mudança no gráfico? b) em que ponto cada gráfico corta o eixo O y? Comentários Se mantivermos a mesma escala na construção dos gráficos podemos perceber que as retas são paralelas. A variação no coeficiente linear causa uma variação, uma translação vertical do gráfico da função. O gráfico de toda função do 1 grau f(x)=ax+b, a 0, intercepta o eixo O Y no ponto (0, b). Atividade 3 Observe os gráficos a seguir e responda e identifique qual representa uma função crescente e qual representa uma função decrescente. a) b) 7
Comentários A reta representará uma função crescente se a>0 ou uma função decrescente se a<0. 5 No laboratório de computadores 5.1 Material necessário A rigor, não é necessário material adicional ao equipamento técnico (ver hardware e software descritos a seguir). No entanto, alguns alunos podem preferir fazer anotações com lápis em papel durante o trabalho com o simulador. Adicionalmente, o professor pode solicitar a entrega de algum trabalho após o uso da ferramenta, o que também pode exigir o uso de instrumentos tradicionais de escrita, por exemplo, se não houver uma impressora disponível. 5.2 Requisitos técnicos É necessário que os computadores do laboratório tenham: CD com o software ou uma conexão com a Internet (qualquer velocidade); qualquer Sistema Operacional (exemplos: Ubuntu Linux, Kurumin Linux, Debian Linux, Windows 98, Windows XP, Windows Vista, etc) instalado; qualquer Navegador Web (Web browser) que suporte Java (exemplos: Mozilla Firefox, Epiphany, Opera, Internet Explorer, etc) instalado; e o Java JRE 1.6 instalado. 6 Avaliação A avaliação pode ser realizada durante todo o desenvolvimento das atividades, por meio de questionamentos como os sugeridos anteriormente. O professor pode aproveitar as respostas dos alunos para fazer as intervenções que julgar necessárias. 7 Sugestões de sítios Os sítios a seguir podem oferecer interessantes motivações para pesquisas: http://www.ime.unicamp.br/~lem/publica/e_sebast/conc_fun.pdf http://www.inf.unioeste.br/~rogerio/conceito-funcao.pdf 8 Indicações de leituras CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. 2ª ed. Lisboa/Portugal: Gradiva, 1998. MOURA, M. O. de; MORETTI, V. D. Investigando a aprendizagem do conceito de função a partir dos conhecimentos právios e das interações sociais. Ciência & Educação, v. 9, n. 1, p. 67-82, 2003. PARANÁ, Diretrizes Curriculares de Matemática para as Séries Finais do Ensino Fundamental e para o Ensino Médio. Curitiba, 2008 8
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