DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA: VISUALIZANDO AS RETAS TANGENTES E NORMAIS COM O AUXÍLIO DO WINPLOT Silmara Alexandra da Silva Vicente Universidade Presbiteriana Mackenzie Gisela Hernandes Gomes Universidade Presbiteriana Mackenzie e Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (doutoranda em Educação Matemática) Resumo: O presente trabalho pretende levantar algumas questões para uma discussão sobre a interpretação dos alunos com relação à resolução de uma atividade proposta na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral para uma turma de Engenharia Civil da Universidade Presbiteriana Mackenzie. Essa atividade teve como objetivo o uso de uma ferramenta tecnológica para auxiliar na compreensão dos conceitos trabalhados em sala de aula, assim como, propor outra forma de avaliar esse aluno não somente por intermédio de avaliações escritas. O principal ponto da discussão é como auxiliar um aluno que resolve um exercício de diferenciação implícita de forma algébrica, traça o gráfico da função, da reta tangente e da reta normal em um determinado ponto dessa função usando um recurso tecnológico e não consegue perceber que sua resolução está incorreta. Nesse artigo apresentamos alguns exemplos que foram entregues por esses alunos e levantamos algumas questões sobre o uso da tecnologia em sala de aula e como ela deve propiciar uma análise crítica por esse aluno. Palavras-chave: Diferenciação Implícita. Software Winplot. Ensino de Engenharia. 1 INTRODUÇÃO Diversas pesquisas vêm abordando as dificuldades encontradas pelos alunos na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, que é ministrada em cursos de graduação na área de exatas e principalmente nos cursos de Engenharia. Os alunos que iniciam um curso de Engenharia muitas das vezes sofrem pela falta de embasamento matemático, geralmente com tópicos relacionados às funções, como destaca Mariani (2006). No entanto essas dificuldades não se restringem apenas a esses fatores, Cândido, Barufi e Monteiro (2004) também ressaltam que A introdução de idéias abstratas como a noção de limite, por exemplo, constitui um passo difícil porque implica em uma mudança profunda na maneira de raciocinar e obriga o aluno
a desenvolver uma sofisticada mudança do nível de reflexão na busca da compreensão do assunto. Esses e outros trabalhos juntamente com nossa prática docente nos remetem a vislumbrarmos algumas alternativas que contribuam para o aprendizado dessa disciplina. Gomes e Vicente (2007) observaram que o uso do software Winplot em aulas de Cálculo pode ser muito produtivo na visualização do gráfico de uma função dada na forma explícita e das retas tangente e normal em um determinado ponto, embora a produção dos alunos usando uma ferramenta computacional revelou que é fundamental ter senso crítico na análise das atividades. O computador ou os softwares utilizados em sala de aula reproduzem os dados neles inseridos e não nos dizem se a atividade está correta ou errada. Para uma maior compreensão e aprofundamento de nossos estudos que vêm sendo realizados desde 2005, produzimos e aplicamos no 2º semestre de 2007 uma atividade com alunos ingressantes do curso de Engenharia Civil da Escola de Engenharia (EE) da Universidade Presbiteriana Mackenzie (UPM) que visava à exploração do conceito de coeficiente angular de uma reta tangente ao gráfico de uma função dada tanto na forma explícita como na implícita, em um ponto P(x 0 ; y 0 ). Para a realização dessa atividade usamos o software Winplot.. Nesse trabalho discutiremos os resultados apresentados pelos alunos em relação às funções dadas na forma implícita. 2 OS SOFTWARES USADOS COMO FERRAMENTAS DIDÁTICAS Assim como diversas pesquisas apontam as dificuldades encontradas pelos alunos que cursam a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, temos também muitos trabalhos que indicam o uso de novas tecnologias como uma maneira de superação dessas dificuldades. De acordo com Dall`Anese (2006) o computador é uma ferramenta que facilita a visualização de conteúdos abstratos trabalhados em sala de aula, sendo dessa forma uma ferramenta promitente para a discussão e aprofundamento desses conceitos. Por iguais razões, também devemos destacar o trabalho de Bonomi, Boscaino e Nieto (2004) que apresenta a utilização de ferramentas tecnológicas possibilitando estabelecer situações que exploram não apenas a criatividade, mas, sobretudo o senso crítico, nas quais o conhecimento construído pelos estudantes é testado, valorizado, adquirindo uma dimensão mais significativa. O uso de um software gráfico como o Winplot propicia ao aluno a elaboração de conjecturas a partir da observação e reflexão.
2.1 Os trabalhos já realizadas com o software Winplot nas aulas de Cálculo Diferencial e Integral O uso do software Winplot nas aulas da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I das turmas de Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie tem sido feito desde 2005 e temos observado que apesar da contribuição pertinente que o uso de novas tecnologias traz para a sala de aula, é muito importante estarmos atento aos resultados apresentados pelos alunos. No trabalho de Gomes e Vicente (2007) foi apresentada uma proposta metodológica para abordar a relação entre os sinais do gráfico da derivada de uma função f(x) e o gráfico dessa função utilizando o software Winplot permitindo a representação gráfica dessas funções. Nas atividades realizadas por 36 alunos ingressantes, no 1º semestre de 2005, do Curso de Engenharia Civil da EE da UPM, as autoras observaram que ao obterem o gráfico de uma função e o de sua derivada eles puderam visualizar mais facilmente a correspondência entre os sinais da função derivada e os intervalos de crescimento e decrescimento da função. No decorrer do final do semestre, os alunos apresentaram uma compreensão maior do que em semestres anteriores quando estudaram os problemas de otimização. Em outro trabalho desenvolvido por Gomes e Vicente (2007), foi aplicada uma atividade aos alunos calouros admitidos no 1º semestre de 2007 do curso de Engenharia Civil da EE da UPM, sendo 50 alunos da turma A e 61 alunos da turma B. O objetivo da atividade foi utilizar uma ferramenta computacional, no caso o software Winplot, no qual os alunos pudessem visualizar o gráfico de uma função dada na forma explícita e implícita e os gráficos da reta tangente e da reta normal a um determinado ponto dessa função. Ao avaliarem os resultados apresentados pelos alunos, apenas das funções explícitas, as pesquisadoras notaram que apesar da importância do uso de uma ferramenta computacional, faz-se necessário uma análise crítica na avaliação dos resultados apresentados pelo software. A falta de conhecimento dos conceitos desenvolvidos em sala gera interpretações incorretas, pois a tecnologia por si só não tem a capacidade de resolver problemas. 3 AS ATIVIDADES APLICADAS AOS ALUNOS CALOUROS DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL A atividade foi aplicada aos alunos ingressantes no curso de Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie, no 2º semestre de 2007, sendo 54 alunos da
turma A e 52 alunos da turma B. O objetivo da atividade, como o do trabalho realizado com os alunos do 1º semestre do mesmo ano, foi utilizar uma ferramenta computacional no qual os alunos pudessem visualizar o gráfico de uma função dada na forma explícita e implícita e os gráficos da reta tangente e da reta normal a um determinado ponto dessas funções. A entrega da atividade não era de caráter obrigatório, ela poderia substituir uma questão da 2ª prova semestral valendo 2,0 pontos. Essa condição foi exposta antes da realização da atividade o que acarretou um alto índice de alunos que não a entregaram. Para a realização da atividade, os alunos primeiramente foram levados ao laboratório de informática para que pudessem conhecer o software Winplot e algumas de suas aplicações. A exploração do Winplot foi feita na aula de exercícios, pois essas aulas são dadas com as turmas divididas, o que facilita a discussão de algumas questões. Durante as aulas de derivadas, diferentemente das atividades realizadas no 1º semestre de 2007, os alunos não precisaram criar uma função explícita, mas sim cada um sorteou, uma função dada na forma explícita e implícita, criadas pela professora. Após o sorteio, o aluno teria duas semanas para, usando o software Winplot, desenhar as funções, calcular o coeficiente angular das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto dado, encontrar as equações da reta tangente e normal, imprimir as representações gráficas e entregar juntamente com os cálculos efetuados. A primeira atividade estava relacionada a uma função dada na forma explícita e a segunda a uma função dada na forma implícita. Nesse trabalho são discutidos apenas os resultados obtidos nas funções dadas da forma implícita. 3.1 Os resultados da atividade Dos 54 alunos da turma A, 25 entregaram a atividade relacionadas à função dada na forma explícita, ou seja 54% não a entregaram, e apenas 18 entregaram a atividade da função dada na forma implícita, ou seja 67% não a entregaram. Na turma B, a diferença não foi tão grande quanto na turma A e dos 52 alunos, 25 entregaram a da função explícita, ou seja 52% dos alunos não a entregaram, e 23 entregaram a da função implícita, ou seja 56% não a entregaram. Nos surpreendeu o baixo índice de entrega das atividades, uma vez que o aluno poderia fazer em casa, tinha duas semanas para realizar a tarefa e tirar as dúvidas com os colegas e o monitor da disciplina. Na mesma atividade realizada no semestre anterior, o índice de alunos que não realizaram a tarefa foi de 12% e 8,2% nas turmas A e B respectivamente e dos alunos que entregaram todos realizaram tanto a da função explícita como a da implícita. O baixo índice de entrega da atividade pode ter
ocorrido em função do aviso de que a atividade não era obrigatória, mas sim substituiria uma questão na prova. Nesse primeiro momento podemos observar que nem todos os alunos que realizaram as atividades conseguiram entregar a da função dada na forma implícita, o que nos sugerem que eles tiveram mais dificuldades, quer seja nos cálculos ou na própria execução da tarefa. Na correção da atividade, relacionada às funções dadas na forma implícita, foram consideradas as que estavam corretas, parcialmente corretas e as incorretas, como apresentados na tabela 1 e no gráfico 1. O critério usado para classificar uma atividade como parcialmente correta se deu pelo fato do aluno ter apresentado algum conceito conhecido para a realização parcial da atividade. Turma A (54 alunos) Turma B (52 alunos) Correto Parcialmente Correto Incorreto Não entregaram 13% 20% 0% 67% 29% 15% 0% 56% Tabela 1: Porcentagem de acertos e erros das Turmas A e B.. 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Correto Parcialmente Correto Incorreto Não entregaram Turma A (54 alunos) Turma B (52 alunos) Gráfico 1: Porcentagem de acertos e erros das Turmas A e B. Ao analisarmos as atividades que foram consideradas como parcialmente corretas encontramos alguns erros que nos apontam quais as dificuldades que os alunos apresentam. No caso do aluno 1, podemos observar que apesar de iniciar a diferenciação implícita corretamente, ele não colocou o número 100 antes dos parênteses, como ilustrado na figura 1. Esse aluno aparentemente tem noção sobre a posição relativa entre a reta tangente e a reta normal, devendo
estas ser perpendiculares entre si, no entanto não apresentou a noção de reta tangente ao gráfico de uma curva em um determinado ponto considerado. Figura 1: Gráfico e cálculos apresentados pelo aluno 1 A representação gráfica, nesse caso, não foi capaz de despertar nesse aluno uma análise crítica de que seus cálculos poderiam estar incorretos, pois a reta tangente não está tangenciando o gráfico no ponto dado. Esse fato se repete na atividade entregue pelo aluno 2, no entanto seu erro está relacionado ao uso incorreto da regra da multiplicação, como ilustrado na figura 2. Figura 2: Gráfico e cálculos apresentados pelo aluno 2
Outro caso que nos pareceu interessante foi o caso do aluno 3 que apesar de realizar os cálculos corretamente, substituiu as coordenadas x 0 e y 0 de forma invertida nas equações das retas tangente e normal, como ilustrado na figura 3. Figura 3: Gráfico e cálculos apresentados pelo aluno 3 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Através dos trabalhos realizados ao longo desses anos pelas pesquisadoras Gomes e Vicente, e levando em consideração essa atividade desenvolvida pelos alunos envolvendo diferenciação implícita, podemos ainda afirmar que o uso de novas tecnologias no ensino de Cálculo Diferencial e Integral é relevante, principalmente no que diz respeito à visualização. No entanto, até o presente momento não sabemos como encaminhar as atividades desenvolvidas em aula para propiciar aos alunos que não as realizaram corretamente e possam, com o auxílio de um software, analisar de forma crítica os resultados obtidos, encontrar seus erros e superar suas dificuldades. Alguns questionamentos são levantados pelas autoras do trabalho, tais como: O aluno sabe o conceito de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto? O aluno identifica se um ponto pertence ou não a uma função? A visualização gráfica auxilia na resolução das atividades, uma vez que os alunos não possuem essa análise crítica? Quais elementos devem ser discutidos em aula para que o aluno possa ter argumentos de decisão?
Nossas pesquisas têm sido voltadas para levantar elementos que nos apontem caminhos e estratégias que permitam o aluno compreender os conceitos de cálculo, mas mais do que isso, propiciar discussões sobre a maneira como essas idéias podem ser discutidas em aula. Referências Barufi, M. C.; Boscaino, E. G. & Nieto, S. S. (2004). A tecnologia no ensino da Matemática no Curso de Engenharia: não apenas como ferramenta de execução, mas de investigação. In: XXXII Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia, Brasília. Anais do XXXII Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia 2004. Brasília: Universidade de Brasília, 2004. 1 CD-ROM. Cândido, C.. C. & Barufi, M. C. B & Monteiro, M. S. (2004). Dificuldades no ensino/aprendizagem de Cálculo. In VII Encontro Paulista de Educação Matemática, Anais do VII Encontro paulista de Educação Matemática. São Paulo, Brasil. 1 CD- ROM.. Dall Anese, C. (2006). Visual e Analítico: Argumentos e Metáforas para a Taxa de Variação. In: III HTEM - Colóquio de História e Tecnologia no Ensino de Matemática, São Paulo. Anais do III HTEM. São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2006. 1 CD-ROM. Gomes, G. H.; Nieto, S. S. & Lopes, C. M. C. (2005). Um projeto de experiência pedagógica com calouros nos cursos de Engenharia. In: III Congresso Internacional de Ensino de Matemática. Anais do III Congresso Internacional de Ensino de Matemática. Canoas: Universidade Luterana do Brasil, 2005. 1 CD-ROM. Gomes, G. H. & Vicente, S. A. S. (2007). O uso do software winplot nas aulas de cálculo diferencial para a discussão do conceito de coeficiente angular da reta tangente. In XXXV Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia. Anais do XXXII Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia 2007. Curitiba: UnicenP, 2007. 1 CD-ROM. Mariani, R. C. P. (2006). Transição da educação básica para o ensino superior: a coordenação de registros de representação e os conhecimentos mobilizados pelos alunos no curso de Cálculo. (Tese de doutorado)